三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布

1、三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布 數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有數(shù)理統(tǒng)計中常用的分布除正態(tài)分布外，還有三個非常有用的連續(xù)型分布，即三個非常有用的連續(xù)型分布，即 2分布分布t 分布分布F分布分布 數(shù)理統(tǒng)計的三大分布數(shù)理統(tǒng)計的三大分布( (都是連續(xù)型都是連續(xù)型) ). .它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系. .在本章中特別要求掌握對正態(tài)分布在本章中特別要求掌握對正態(tài)分布、 2分布分布、t分布分布、F分布分布的一些結(jié)論的熟練運用的一些結(jié)論的熟練運用. . 它們它們是后面各章的基礎(chǔ)是后面各章的基礎(chǔ). .第四節(jié)第四節(jié) 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分

2、布三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布2（卡方）（卡方）分布分布 0,1XN定義定義1:1:設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的一的一個樣本個樣本, ,則統(tǒng)計量則統(tǒng)計量 X12,.,nXXX222212nXXX的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為 函數(shù)。為）（其中)0(01tdxextxt則稱統(tǒng)計量則稱統(tǒng)計量 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布，分布，記作記作222212nXXX222( )n0 x00 x)2(21)(2122xnnexnxf三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10圖圖5-4f(y)其圖形隨自由度的其

3、圖形隨自由度的不同而有所改變不同而有所改變. .分布密度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形2( )n注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)，注：自由度是指獨立隨機變量的個數(shù)， dfn三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布性質(zhì)性質(zhì)1 1： 2 2分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)設(shè) 2 2(n)，則，則E( 2)=n，D( 2)=2n.性質(zhì)性質(zhì)2 2： 2 2分布的可加性分布的可加性設(shè)設(shè)22221122( ),(),nn 且且2212, 相互獨立相互獨立，則則2221212()nn三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布定理定理1 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，

4、則2212()( )niiXn 證明證明 由已知，有由已知，有XiN( ， 2)且且X1，X2，Xn相互獨立，相互獨立，則則(0,1)iXN 且各且各iX 相互獨立，相互獨立，由定義由定義1 :得得2221212()( ).nniiiiXXn 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布 定理定理3 :3 : 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()(1)(1)niiXXnSn (2)(4.1)(4.1)式的自由度為什么是式的自由度為什么是n- -1？從表面上看，從表

5、面上看，21()niiXX 是是n個正態(tài)隨機變量個正態(tài)隨機變量的平方和，的平方和，iXX 但實際上它們不是獨立的，但實際上它們不是獨立的，它們之間有一種線性約束關(guān)系：它們之間有一種線性約束關(guān)系：11()nniiiiXXXnX =0這表明，當(dāng)這個這表明，當(dāng)這個n個正態(tài)隨機變量中有個正態(tài)隨機變量中有n- -1個取值給定時，剩下個取值給定時，剩下的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這的一個的取值就跟著唯一確定了，故在這n項平方和中只有項平方和中只有n- -1項是獨立的項是獨立的. .所以所以(4.1)式的自由度是式的自由度是n- -1.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布 定理定理3 3： 設(shè)設(shè)(X1，X2

6、，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則(1) 樣本均值樣本均值 與樣本方差與樣本方差S 2相互獨立；相互獨立； X222122()() 11(niiXnSXn (2)(4.1)與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較：與以下補充性質(zhì)的結(jié)論比較： 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( ， 2)的樣本，則的樣本，則2212()( )niiXn 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布其幾何意義見圖其幾何意義見圖5-5所示所示.其中其中f(x)是是 2-分布的概率密度分布的概率密度.f(x)xO 2( )n 圖圖5-5顯然，在自由度顯然，在自由度n取定以后，

7、取定以后， 的值只與的值只與 有關(guān)有關(guān). 2( )n 2 2分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點上側(cè)分位點。分布的為的點滿足條件稱）（對于給定的正數(shù)：設(shè)定義)()()()(,10),(222)(22222nndxxfnPnn三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布例如，當(dāng)例如，當(dāng)n=21， =0.05時，由附表時，由附表3(P254)可查得，可查得，20.05(21) 32.67即即 2(21)32.670.05.P 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布二、二、t t分布分布定義定義3 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量XN(0，1)，Y 2(n) ，且且X與與Y相互獨立，則稱統(tǒng)計量相互獨立，則稱統(tǒng)計量 XTYn 服從自由度

8、為服從自由度為n的的t分布分布， 記作記作t分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為T t(n).1221()2( )(1), ()( )2nntf ttnnn 其圖形如圖其圖形如圖5-6所示所示(P106)， 其其形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形狀類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度的圖形的概率密度的圖形.當(dāng)當(dāng)n較大時，較大時， t分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布定理定理4設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來自正態(tài)總體為來自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計量的樣本，則統(tǒng)計量證證由于由于與與S 2相互獨立，且相互獨立，且 X(0,1),XUNn 222(1)(1)nSn

9、 由定義由定義3得得22 (1)(1)(1)XnXTt nSnnSn 1)-t(n/nSXT三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布定理定理5 設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn1)和和(Y1，Y2，Yn2) 分分別是來自正態(tài)總體別是來自正態(tài)總體N( 1 ， 2)和和N( 2 ， 2)的樣本，且的樣本，且它們相互獨立，則統(tǒng)計量它們相互獨立，則統(tǒng)計量121212() (2)(5.10)11nXYTt nnSnn 其中其中22112212(1)(1),2nnSnSSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布t t 分布的分布的 上側(cè)分位點上側(cè)分位點對于給定的對于給定

10、的 (0 45時，如無詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)時，如無詳細(xì)表格可查，可以用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布代替正態(tài)分布代替t分布查分布查t (n)的值的值. 即即t (n)u ， n45. 一般的一般的t分布臨界值表中，詳列至分布臨界值表中，詳列至n=30，當(dāng)，當(dāng)n30就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布就用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)來近似來近似.三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布三、三、F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為n1，第二自由度為，第二自由度為n2的的F分布，分布，定義定義5.5 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且與相互獨立，則稱隨機變量與相互獨立，則稱隨機變量 12X nFY n 記作記作FF(n1，n2).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)11211222(1),0( )0,0nnnnAyyyf yny 其中其中11212122()2() ,() ()22nnnnAnnn 其圖形見圖其圖形見圖5-9.(P108) 三大抽樣分布及常用統(tǒng)計量的分布1X性質(zhì)性質(zhì)：若：若XF(n1，n2)，則，則F(n2，n1).F 分布的上側(cè)分布的上側(cè) 分位點分位點對于給定的對于給定的 (0 =0.1,求求 .解解因為因為n