(word完整版)量子力學(xué)知識(shí)點(diǎn)小結(jié),推薦文檔

1、第一章玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱黑體。普朗克量子假說：表述 1：對(duì)于一定頻率的輻射，物體只能以h為能量單位吸收或發(fā)射電磁輻射。表述2 ：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，只能以量子的方式進(jìn)行，每個(gè)量子的能量為：=h。表述 3：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時(shí)，只能以能量的整數(shù)倍來實(shí)現(xiàn)，即， 2， 3，。光電效應(yīng)：光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：存在臨界頻率0：只有當(dāng)光的頻率大于一定值v0 時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長(zhǎng)，都沒有光電子

2、產(chǎn)生。光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無關(guān)。 光的強(qiáng)度只決定光電子數(shù)目的多少。愛因斯坦光量子假說：光 (電磁輻射 )不僅在發(fā)射和吸收時(shí)以能量 E= h 的微粒形式出現(xiàn)， 而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。愛因斯坦方程光電效應(yīng)機(jī)理：當(dāng)光射到金屬表面上時(shí)， 能量為 E= h 的光子立刻被電子所吸收，電子把這能量的一部分用來克服金屬表面對(duì)它的吸引，另一部分就是電子離開金屬表面后的動(dòng)能。解釋光電效應(yīng)的兩個(gè)典型特點(diǎn)：存在臨界頻率 v0：由上式明顯看出，當(dāng)h - W 0 0 時(shí)，即 0 = W 0 / h 時(shí)，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產(chǎn)生。光電子動(dòng)能只決

3、定于光子的頻率：上式表明光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強(qiáng)度無關(guān)。康普頓效應(yīng)：高頻率的X 射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。康普頓效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律：散射光中，除了原來X 光的波長(zhǎng)外，增加了一個(gè)新的波長(zhǎng)為'的 X 光，且 ' >；波長(zhǎng)增量= -隨散射角增大而增大。量子現(xiàn)象凡是普朗克常數(shù) h 在其中起重要作用的現(xiàn)象光具有微粒和波動(dòng)的雙重性質(zhì)，這種性質(zhì)稱為光的波粒二象性與運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波。EhhPnkh2, kn2光譜線： 光經(jīng)過一系列光學(xué)透鏡及棱鏡后，會(huì)在底片上留下若干條線，每個(gè)線條就是一條光譜線。所有光譜線的總和稱為光譜。線狀光譜

4、：原子光譜是由一條條斷續(xù)的光譜線構(gòu)成的。21.標(biāo)識(shí)線狀光譜：對(duì)于確定的原子，在各種激發(fā)條件下得到的光譜總是完全一樣的，也就是說，可以表征原子特征的線狀光譜。第二章量子力學(xué)中，原子的軌道半徑的含義。波函數(shù)的物理意義：某時(shí)刻t 在空間某一點(diǎn) (x,y,z) 波函數(shù)模的平方與該時(shí)刻t 該地點(diǎn) (x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度(通常稱為幾率 )dw(x,y,z,t) 成正比。 按照這種解釋， 描寫粒子的波是幾率波。波函數(shù)的特性： 波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，并不改變?cè)诳臻g各點(diǎn)找到粒子的幾率，即不改變波函數(shù)所描寫的狀態(tài)。21(2.1- 7)波函數(shù)的歸一化條件(x, y, z, t) d態(tài)疊加原理

5、：若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)1， 2， n，則這些可能狀態(tài)的任意線性組合，也一定是該體系的一個(gè)可能的狀態(tài)。也可以說， 當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，體系部分地處于態(tài) 1， 2， n 中。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃敌?，有限性和連續(xù)性，波函數(shù)歸一化。定態(tài)： 微觀體系處于具有確定的能量值的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)： 描述定態(tài)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。 。定態(tài)的性質(zhì)： 由定態(tài)波函數(shù)給出的幾率密度不隨時(shí)間改變。粒子幾率流密度不隨時(shí)間改變。任何不顯含時(shí)間變量的力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間改變。本征方程、本征值和本征波函數(shù)：在量子力學(xué)中，若一個(gè)算符作用在一個(gè)波函數(shù)上，等于一個(gè)常數(shù)乘以該波函數(shù)， 則稱此方程為該算符的本征方程。 常

6、數(shù) fn 為該算符的第n 個(gè)本征值。波函數(shù)n 為 fn 相應(yīng)的本征波函數(shù)。束縛態(tài)：在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)?；鶓B(tài)：體系能量最低的態(tài)。宇稱： 在一維問題中， 凡波函數(shù) (x) 為 x 的偶函數(shù)的態(tài)稱為偶(正 )宇稱態(tài)； 凡波函數(shù) (x)為 x 的奇函數(shù)的態(tài)稱為奇(負(fù) )宇稱態(tài)。在一維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子的勢(shì)能為( 2x2)/2， 是常數(shù)，這種粒子構(gòu)成的體系稱為線性諧振子。線性諧振子的能級(jí)為：En(n21),n 0,1,2,3,透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。隧道效應(yīng)：粒子在能量E 小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象。16

7、量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的波場(chǎng)有何本質(zhì)性的區(qū)別？答: 量子力學(xué)的波函數(shù)是一種概率波，沒有直接可測(cè)的物理意義，它的模方表示概率，才有可測(cè)的意義；經(jīng)典的波場(chǎng)代表一種物理場(chǎng)，有直接可測(cè)的物理意義。17什么是量子力學(xué)中的定態(tài)？它有什么特征？答：定態(tài)是一種特殊狀態(tài)即能量本征態(tài)，在定態(tài)下，一切顯含時(shí)間的力學(xué)量（不管是否為守恒量）的平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變， 粒子在空間的幾率密度和幾率流密度也不隨時(shí)間改變。第三章算符 : 作用在一個(gè)函數(shù)上得出另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號(hào)， 量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)上的運(yùn)算符號(hào)。厄密算符的定義： 如果算符?滿足下列等式?dx?為厄密算符。FF dxF，則稱 F式中和為任意波

8、函數(shù)，x 代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個(gè)區(qū)域。推論：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。厄密算符的性質(zhì)：厄密算符的本征值必是實(shí)數(shù)。厄密算符的屬于不同本征值的兩個(gè)本征函數(shù)相互正交。簡(jiǎn)并：對(duì)應(yīng)于一個(gè)本征值有一個(gè)以上本征函數(shù)的情況。簡(jiǎn)并度：對(duì)應(yīng)于同一個(gè)本征值的本征函數(shù)的數(shù)目。氫原子的電離態(tài)：氫原子中的電子脫離原子的束縛，成為自由電子的狀態(tài)。電離能：電離態(tài)與基態(tài)能量之差氫原子中在半徑r 到 r+dr 的球殼內(nèi)找到電子的概率是：Wnl (r )drR 2nl (r)r 2dr在方向 ( ， )附近立體角 d內(nèi)的概率是：wlm ( , )d Ylm ( ,2) d兩函數(shù) 和 2 正交的條

9、件是：12d0 式中積分是對(duì)變量變化的全部區(qū)域進(jìn)行的，1則稱函數(shù) 12和 相互正交。正交歸一系：滿足正交條件的歸一化本征函數(shù)k 或 l 。厄密算符本征波函數(shù)的完全性：如果?n 是本n(r) 是厄密算符 F 的正交歸一本征波函數(shù)，征值，則任一波函數(shù) (r) 可以按 n(r) 展開為級(jí)數(shù)的性質(zhì)。或者說n(r) 組成完全系。算符與力學(xué)量的關(guān)系：當(dāng)體系處于算符F? 的本征態(tài)時(shí)，力學(xué)量 F 有確定值， 這個(gè)值就是算符 F? 在態(tài)中的本征值。力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定的數(shù)值，而有一系列的可能值，這些可能值就是表示這個(gè)力學(xué)量的算符的本征值。每個(gè)可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。A , B? ? ?算符對(duì)易關(guān)系：?

10、A BB A。可對(duì)易算符：如果?0?A , B，則稱算符 A與 B 是可對(duì)易的；不對(duì)易算符：如果?0?A , B，則稱算符 A與 B 是不對(duì)易的。兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件：定理 1：如果兩個(gè)算符?和?有一組共同本征函數(shù)nnFG組成完全系，則算符，而且對(duì)易。定理 2：如果兩個(gè)算符?和?對(duì)易，則這兩個(gè)算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。FG測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：當(dāng)兩個(gè)算符不對(duì)易時(shí)，它們不能同時(shí)有確定值，( F)2( G)2k 24量子力學(xué)中力學(xué)量運(yùn)動(dòng)守恒定律形式是：d FF1? ?0dttiF , H量子力學(xué)中的能量守恒定律形式是：d H?dti1H?, H?0空間反演：把一個(gè)波函數(shù)的所有坐標(biāo)自變量改變符號(hào)(

11、如r r)的運(yùn)算。宇稱算符：表示空間反演運(yùn)算的算符。宇稱守恒：體系狀態(tài)的宇稱不隨時(shí)間改變。16.相關(guān)關(guān)系式：?i?2，p, L0,(x, y, z)L,?i?L x, L yL z?i?0， (x , y, z)綜合寫成：?L y, L zL xL，LLLi L?i?Lz, L xL y?0,(x, y, z)?i z;?, xi zL,L x, yL y?zi x?yi x?xi y?zi yLy,Lz,Lz,Lx ,;?0,(L, p?i?L y, pzpx;?22i?f (x),x, px f (x)pxx , y, z)?Lx, pyi pz;L y, pxi pz?Lz, pyi p

12、xLz, pxi py;Lx, pzi py?i?x, pxf ( x) pxf (x) pxpx f (x) ,p LL p 2i p第四章基底：設(shè) e1, e2, e3 為線性無關(guān)的三個(gè)向量，空間內(nèi)任何向量v 必是 e1, e2, e3 的線性組合，則 e1 , e2, e3 稱為空間的基底。正交規(guī)范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的長(zhǎng)度等于 1，這樣的基底叫做正交規(guī)范基底。希耳伯特空間：如果把本征波函數(shù)m 看成類似于幾何學(xué)中的一個(gè)矢量( 這就是波函數(shù)有時(shí)稱為態(tài)矢量或態(tài)矢的原因)，則波函數(shù)的集合m構(gòu)成的一個(gè)線性空間。表象：量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式。第五章1.斯塔克效應(yīng)：在

13、外電場(chǎng)中，原子光譜產(chǎn)生分裂的現(xiàn)象。2.分別寫出非簡(jiǎn)并態(tài)的一級(jí)、二級(jí)能量修正表達(dá)式。3.周期微擾產(chǎn)生躍遷的條件是：mk或mk，說明只有當(dāng)外界微擾含有頻率mk 時(shí)，體系才能從k 態(tài)躍遷到m 態(tài)，這時(shí)體系吸收或發(fā)射的能量是mk ，這表明周期微擾產(chǎn)生的躍遷是一個(gè)共振躍遷。4.光的吸收現(xiàn)象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由較低的能級(jí)躍遷到較高的能級(jí)的現(xiàn)象。5.原子的受激輻射( 躍遷 )現(xiàn)象：在光的照射下，原子從較高的能級(jí)躍遷到較低的能級(jí)而放出光的現(xiàn)象。6.原子的自發(fā)輻射( 躍遷 )現(xiàn)象：在無光照射時(shí)，處于激發(fā)態(tài)的原子躍遷到較低能級(jí)而發(fā)光的現(xiàn)象。7.自發(fā)發(fā)射系數(shù)Amk：表示原子在單位時(shí)間內(nèi)，由 能級(jí)自

14、發(fā)躍遷到k 能級(jí)，并發(fā)射出能m量為mk 的光子的幾率。8.受 激發(fā) 射系 數(shù) Bmk ： 作用于原子的 光波在d 頻 率范圍 內(nèi) 的能 量密 度是I ( )d ，則在單位時(shí)間內(nèi)，原子由 能級(jí)受激躍遷到能級(jí) 、并發(fā)射出能量為mk的mk光子的幾率是 Bmk I (mk ) 。B 躍遷到高能級(jí) 、并吸收能量為mk的光子的幾率是9.吸收系數(shù)km ：原子由低能級(jí)kmBkm I ( mk )。第七章斯特恩 -革拉赫實(shí)驗(yàn)證明電子存在自旋理由。塞曼效應(yīng)：在外磁場(chǎng)中，每一條光譜線劈裂成一組相鄰譜線的現(xiàn)象。簡(jiǎn)單 (正常 )塞曼效應(yīng)：無外磁場(chǎng)時(shí)的一條光譜線，在磁場(chǎng)中將分裂為三條光譜線。產(chǎn)生的條件是：當(dāng)外磁場(chǎng)足夠大時(shí)

15、，自旋和軌道運(yùn)動(dòng)間相互作用可以忽略。復(fù)雜 (反常 )塞曼效應(yīng)：無外磁場(chǎng)時(shí)的一條光譜線，在磁場(chǎng)中將分裂為更多條光譜線。產(chǎn)生的條件是：在弱外磁場(chǎng)中，必須考慮自旋和軌道運(yùn)動(dòng)間相互作用。兩個(gè)電子自旋角動(dòng)量耦合的自旋總角動(dòng)量S：Ss(s1)， ss1s2，s1s21，0所以兩個(gè)電子自旋角動(dòng)量耦合的自旋總角動(dòng)量只能有兩個(gè)可能值。兩個(gè)電子軌道角動(dòng)量耦合的軌道總角動(dòng)量L ：Ll(l1) , ll1l2, l1l21, l1l22, ? ?, l1l 2對(duì)于兩個(gè)電子，就有幾個(gè)可能的軌道總角動(dòng)量。電子自旋角動(dòng)量與軌道角動(dòng)量耦合為一個(gè)總角動(dòng)量J1：J1l1s1, l1s1，s112每個(gè)電子只有兩個(gè)J1 值。LS 耦

16、合總角動(dòng)量J：Jj( j1) ,jls, ls1, ls2, ? ?, lsjj 耦合總角動(dòng)量J：Jj( j1) ,jj1j2, j1j21, j1j22, ?,j1j2價(jià)電子：原子最外層的電子。原子的化學(xué)性質(zhì)以及光譜特性都決定于價(jià)電子。內(nèi)層電子：原子中除價(jià)電子外的剩余電子。原子實(shí)：原子核與內(nèi)層電子組成一個(gè)完整而穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)。電子組態(tài)：價(jià)電子所處的各種狀態(tài)。原子態(tài)：原子中電子體系的狀態(tài)。原子態(tài)符號(hào)：用來描述原子狀態(tài)的符號(hào)。原子態(tài)符號(hào)規(guī)則：用軌道總量子數(shù)l、自旋總量子數(shù)s 和總角動(dòng)量量子數(shù)j 表示軌道總量子數(shù)l=0,1,2,···，對(duì)應(yīng)的原子態(tài)符號(hào)為S,P,D ,F,

17、H ,I,K,L,··· ;原子態(tài)符號(hào)左上角的數(shù)碼表示重?cái)?shù)，大小為2s +1, 表示能級(jí)的個(gè)數(shù)。原子態(tài)符號(hào)右下角是j 值 ，表示能級(jí)對(duì)應(yīng)的j 值 。形式為： 2s 12s12s12s 1? ?Sj ,Pj ,D j ,F j ,光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)：用分辨率足夠高的儀器觀察類氫原子的光譜線，會(huì)發(fā)現(xiàn)每一條光譜線并不是簡(jiǎn)單的一條線，而是由二條或三條線組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。原子態(tài)能級(jí)的排序(洪特定則 )：(1) 從同一電子組態(tài)形成的、具有相同L 值的能級(jí)中，那重?cái)?shù)最高的，即S 值最大的能級(jí)位置最低；(2) 從同一電子組態(tài)形成的、具有不同L 值的能級(jí)中，那具有

18、最大L 值的位置最低。輻射躍遷的普用選擇定則：1、選擇定則：原子光譜表明，原子中電子的躍遷僅發(fā)生在滿足一定條件的狀態(tài)之間，這些條件稱為選擇定則。2、原子的宇稱：如果原子中各電子的l 量子數(shù)相加，得到偶數(shù)，則原子處于偶宇稱狀態(tài)；如果是奇數(shù)，則原子處于奇宇稱狀態(tài)。3、普遍的選擇定則：躍遷只能發(fā)生在不同宇稱的狀態(tài)間，偶宇稱到奇宇稱，或奇宇稱到偶宇稱。電子能否有躍遷首先要考慮這一條，然后按照耦合類型再有以下定則。 LS 耦合選擇定則： S 0 ，要求單一態(tài)電子只能躍遷到單一態(tài)，三重態(tài)電子只能躍遷到三重態(tài)。 l 0, 1 ，當(dāng) l 0 時(shí)，要考慮宇稱奇偶性改變的要求。j0,1 ，j0 至 j0 的躍遷是

19、禁止的。jj 耦合選擇定則：j1j20,1 j 0, 1 ， j 0 至 j 0 的躍遷是禁止的。全同粒子：質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同微觀粒子。全同粒子的特性：全同粒子具有不可區(qū)分性，只有當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重疊時(shí)，才是可以區(qū)分的。21.全同性原理 : 在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。22.對(duì)稱波函數(shù)：設(shè)qi 表示第i 個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋， (q1,qi,qj, ,t)表示體系的波函數(shù)。如果兩粒子互換后波函數(shù)不變，則是q 的對(duì)稱波函數(shù)。23.反對(duì)稱波函數(shù)：設(shè)qi 表示第i 個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋， (q1, ,qi,qj, ,t) 表示體系的波函數(shù)。如

20、果兩粒子互換后波函數(shù)變號(hào)，則是q 的反對(duì)稱波函數(shù)。24.對(duì)稱性守恒原理：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，它們的對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱(反對(duì)稱 )的狀態(tài)， 則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱(反對(duì)稱 )的狀態(tài)上。25.費(fèi)密子：自旋為2或奇數(shù)倍的全同粒子。費(fèi)密子的特點(diǎn)：組成體系的波函數(shù)是反對(duì)稱2的，服從費(fèi)密狄拉克統(tǒng)計(jì)。26.玻色子：自旋為零、或整數(shù)倍的全同粒子。玻色子的特點(diǎn)：組成體系的波函數(shù)是對(duì)稱的，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計(jì)。27.交換簡(jiǎn)并：由全同粒子相互交換而產(chǎn)生的簡(jiǎn)并。28.泡利不相容原理：不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)密子處于同一狀態(tài)。29.交換能的出現(xiàn)，是由于全同粒子的波

21、函數(shù)必須是對(duì)稱波函數(shù)或反對(duì)稱波函數(shù)的緣故。30.交換能J 與交換密度有關(guān)，其大小決定于兩個(gè)電子波函數(shù)重疊的程度。重疊程度越大，交換能就越大。31.LS 耦合引起的精細(xì)結(jié)構(gòu)分析。如n=3 能級(jí)中，有一個(gè)p 電子和 d 電子所引起的能級(jí)差別(原子態(tài) )。32. 對(duì)氫原子，不考慮電子的自旋，能級(jí)的簡(jiǎn)并度，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動(dòng)量的耦合時(shí)，能級(jí)的簡(jiǎn)并度，如再考慮自旋與軌道角動(dòng)量的耦合，能級(jí)的簡(jiǎn)并度。33. 反常塞曼效應(yīng)的特點(diǎn)，引起的原因。(堿金屬原子能級(jí)偶數(shù)分裂；光譜線偶數(shù)條；分裂能級(jí)間距與能級(jí)有關(guān)；由于電子具有自旋。)量子力學(xué)期末試題及答案一一、（20 分）已知?dú)湓釉?t0 時(shí)處于狀態(tài)(x

22、,0)12 ( x)121( x)023(x)1303130其中，n (x) 為該氫原子的第 n 個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋z 分量的取值概率與平均值，寫出 t0 時(shí)的波函數(shù)。解已知?dú)湓拥谋菊髦禐镋ne41， n 1,2,3,（ 1）2h2n2將 t0 時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式12( x,0)32 x33 x2（ 2）1x3利用歸一化條件1x23 x1*2*2 *2323cdx3 2 x33 x3 1 x2x（ 3）17 c3124c229999于是，歸一化后的波函數(shù)為1x2x1x2x923233377（ 4）( x,0)247xx1137能量的可能取值為E1 , E2 , E3 ，相應(yīng)的取值

23、幾率為W E1,04 ;W E2,01;W E3,02（ 5）777能量平均值為E 04 E11 E22 E3777（ 6）e4411121161 e42h2717479504h2自旋 z 分量的可能取值為 h ,h ，相應(yīng)的取值幾率為22W szh123h4（ 7）,077;W sz,07272自旋 z 分量的平均值為sz 03h4hh（ 8）727214t 0 時(shí)的波函數(shù)12 x expi E2 t23x expi E3 t7h7h( x, t )4i（ 9）71 x exph E1t二. （ 20 分） 質(zhì)量為 m 的粒子在如下一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)V0 0.x0VxV0 ,0x a0,xa若已

24、知該粒子在此勢(shì)阱中有一個(gè)能量EV0的狀態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a 。2解對(duì)于V0E0 的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為1x02xA sin kx（1）3xB expx其中，k2m(E V 0 ) ;2m E（2）利用波函數(shù)再 x0 處的連接條件知，n ， n 0,1,2, 。在 xa 處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件2a3a2'a3'（ 3）a得到Asin kanB expaAk cos kanB（ 4）expa于是有tan kak（5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)E1 V0 時(shí)，由于2mV 0 amV 0tan1mV 0（ 6）故mV 0 a nn 1 , 2 ,3 ,4（

25、7）最后得到勢(shì)阱的寬度an14mV 0（ 8）三、（20 分）證明如下關(guān)系式r滿足rrr（1）任意角動(dòng)量算符 ?。jjj ijh證明對(duì) x 分量有rr? ? ?jjj yj zjz j y =ihj xx同理可知，對(duì) y 與 z 分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立 。投影算符 ?n n 是一個(gè)厄米算符， 其中， n是任意正交歸一的完備本pn征函數(shù)系。證明在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符?pn 的矩陣元為?nnpn?而投影算符 pn 的共軛算符 pn 的矩陣元為±*?*?pnpnpnn*n*nnn n顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符p?n是厄米算符。利用*'

26、xx'x證明 ?，其中，kx為kx kxpx mnxmk px knkk任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明?dx*?xxp x mnmx xp x ndx*x xdx'x'?mx px n x*''?'dx m x xdx'n xx x px*'*'?'dx m x xdxk x'n xkk x px*'*'?'dx m x xkxdxk'nxkx pxxmk?px knk四、（20 分）在 L2 與 Lz 表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)l1 的子空間中，分L別計(jì)算算符 L?x 、

27、 ?y 與 L?z 的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解在 L2 與 Lz 表象下，當(dāng)軌道角動(dòng)量量子數(shù)l1 時(shí)， m1,0, 1，顯然，算符 L?x 、 L?y 與 L?z 皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故? 是對(duì)角矩陣，且其對(duì)角元為相應(yīng)的本征值，于是 Lz有?100000（ 1）Lz001相應(yīng)的本征解為1Lzh10;00Lz 0;0100Lzh;101對(duì)于算符 ? 、 ? 而言，需要用到升降算符，即 Lx Ly?1?Lx2LL?1?Ly2iLL而?Llmh l l1m m1 l , m1當(dāng) l 1,m 1,0, 1 時(shí)，顯然，算符 ? 、 ? 的對(duì)角元皆為零，并且，Lx Ly?

28、1,101, 1 Lx 1,11, 1 Ly?01,1 Lx 1, 11,1 Ly 1, 1只有當(dāng)量子數(shù) m 相差1時(shí)矩陣元才不為零，即1,?1?h1 Lx 1,01,0 Lx 1,1,0 Lx 1,11,1 Lx1,02?1?1,0i h1,0 Ly 1,1,1 Ly21,?ih1 L y 1,01,0 Ly 1,12于是得到算符?的矩陣形式如下Lx、 Ly0100i0?h?h0iLx21 0 1 ; Lyi0102i00（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（7）?L y 滿足的本征方程為0i0c1c1i0ic 2c 2（ 8）2i0c 3c30相應(yīng)的久期方程為i0i2i（9）2020i

29、2將其化為320（）10得到三個(gè)本征值分別為1;20;3（11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為i1i11;1（12）12 ;2032222i1i?L x 滿足的本征方程為010c1c1h01c 2c 21210c 3c 30（13）相應(yīng)的久期方程為h02hh022h02（14）將其化為320（15）得到三個(gè)本征值分別為1;20;3（16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為11111;1（17）12 ;2032222111五、（20 分）由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，?x1 x 2 （ x 1 , x 2 分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論加上微擾項(xiàng) W

30、求體系基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：線諧振子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為1nn1m x n2m,n 12m,n 1式中，。解體系的哈密頓算符為?HH 0W其中?1221222H 0?x1x22p1p22?x1 x2W?的解為已知 H0En0n 1nx1 , x2n1x1n 2x2其中n1 , n2 , n 0,1,2,1,2,3, f n將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫出來E00h;00 x10 x20h110 x11 x2E12 ,121x10x2E 03h,212x0x221220x12x2231x11x2對(duì)于基態(tài)而言， n1 n2n0 ， f 01，體系無簡(jiǎn)并。（ 1）（

31、2）（ 3）（ 4）（ 5）利用公式m x1nn1n2m,n 12m,n 1可知10?00E0Wf n0?n?0E02Wn WE00En0n 01顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣元只有?23?00 W23 W2于是得到基態(tài)能量的二級(jí)修正為22122E0E00E204 48 2 3第二激發(fā)態(tài)為三度簡(jiǎn)并，能量一級(jí)修正滿足的久期方程為W11 E21W12W13W21W22 E21W230W31W32W33 E21其中W11W22W33W12W210W13W31W23W3222將上式代入（ 10）式得到10E2220E212202222E21整理之， E21 滿足E2132E2104于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的

32、一級(jí)修正為E2112 ;E2210;E2312（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）（10）（11）（12）（13）（14）量子力學(xué)期末試題及答案二一、填空題（本大題共10 小題，每小題 3 分，共 30 分）1、A,B 兩束光， A 的波長(zhǎng)A3 10 9 m ， B的波長(zhǎng)B410 10 m ，請(qǐng)問哪束光的能量更高？A.2、微觀粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件是單值性，連續(xù)性，有限性.3、一粒子的波函數(shù)( x)3x2e x ，請(qǐng)問該粒子是否處在動(dòng)量的本征態(tài)？否.4、粒子穿過方勢(shì)壘，請(qǐng)問透射系數(shù)隨著勢(shì)壘的加高減小還是增大？減小.5、假如兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)，則此這個(gè)算符是否對(duì)易？對(duì)易.、對(duì)易關(guān)系r 2，?，?.6L ,L 0 L , L i hLz,zxyLx yi hz7、已知 x, pxih ,則 xpxh .28、算符在其自身表象中的表示