不定積分的概念及性質(zhì)

1、5.1 不定積分的概念及性質(zhì) 5.1.1不定積分的概念5.1.3不定積分的幾何意義5.1.2基本積分公式5.1.4不定積分的實際意義5.1.5 不定積分的性質(zhì)5.1.1不定積分的概念 如何尋求一個可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù)這是積分學(xué)的基本問題之一定義5.1 設(shè) )(xf在區(qū)間 I上有定義，如果存在一個可導(dǎo)函數(shù)( ),F x使對任一 ,xI都有 ( )( )F xf x或 ( )( ),dF xf x dx那么稱 )(xF為 )(xf在區(qū)間 I上的一個原函數(shù)原函數(shù) 例如， xsin是 xcos在 , 內(nèi)的一個原函數(shù) 2ln1x是 21xx在 , 內(nèi)的一個原函數(shù) 問題1關(guān)于原函數(shù)，下面討論解

2、決兩個問題： 函數(shù)滿足什么條件，能保證它的原函數(shù)存在? 這問題將在下章中具體討論，這里先介紹一個結(jié)論 定理5.1（原函數(shù)存在定理） 若函數(shù) )(xf在區(qū)間 I上連續(xù)，則在區(qū)間 I上存在一個可導(dǎo)函數(shù) ( ),F x使得對任一 ,xI都有 ( )( ).F xf x簡而言之，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)于是，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都有原函數(shù) 問題2若函數(shù) )(xF是 )(xf的一個原函數(shù)，則 )(xf還有沒有其他原函數(shù)?若有，他們和 )(xF有什么關(guān)系? 回答如下： 首先，若函數(shù)有一個原函數(shù)，則它就有無限多個原函數(shù) 其次，兩個原函數(shù)只差一個常數(shù) 因此，這一討論揭示了全體原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，即當 C為任意常數(shù)時，

3、函數(shù)族 ( )( )( )F xC F xf x正是 )(xf的全體原函數(shù)所組成的集合 由此引入不定積分的概念 定義5.2 函數(shù) )(xf的全體原函數(shù)稱為 )(xf的不定積分不定積分， 記為 ( ).f x dx由不定積分的定義及前面的討論可知， ( )( )( )( )f x dxF xC F xf x簡寫為 CxFdxxf)()(所以所以 因為因為例5.1 求求 解2.x dx32,3xx32.3xx dxC所以所以 因為因為例5.2 求求 解1.dxx1ln,xx1ln|.dxxCx5.1.2基本積分公式 從不定積分的定義，可知有以下重要結(jié)論： (1) ( )( )f x dxf x或

4、( )( ).df x dxf x dx(2) CxFdxxF)()(或 ( )( ).dF xF xC 結(jié)論表明不定積分運算（簡稱積分運算）與導(dǎo)數(shù)（微分）運算是互逆運算，當相繼作這兩種運算時，或相互抵消后還原，或抵消后只差一常數(shù) 可以由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得到常用的基本積分公式，建議自己證明出來先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式先把被積函數(shù)化為冪函數(shù)形式，再利用公式 例5.3 求求 解23.xxdxx1123223xxdxxdxx 136x dx136113611xC1966.19xC 先對被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式，先對被積函數(shù)稍作變形，化為指數(shù)函數(shù)形式，再利用公式再利用公式

5、 例5.4 求求 解6 e.xxdx6 e6exxxdxdx6eln 6exC6 e.1ln6xxC5.1.3不定積分的幾何意義 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 ，其上任一點，其上任一點 處切線的斜率為處切線的斜率為 例5.5 設(shè)曲線過點設(shè)曲線過點 ，且其上任一點處切線的，且其上任一點處切線的斜率是該點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程斜率是該點橫坐標的兩倍，求此曲線的方程 解(2,3)( )yf x),(yx 2fxx從而從而 22.f xxdxxC由由 ，得，得 ，(2)3f因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為 1C 21.yx5.1.4不定積分的實際意義 根據(jù)邊際成本的含義，有根據(jù)邊際成本的

6、含義，有 ，所以，所以 例5.6 某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知其邊際成本某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，已知其邊際成本解由由 ，代入得，代入得 所以成本函數(shù)所以成本函數(shù) 13160MCq其中其中 （件）為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，若當產(chǎn)量（件）為該產(chǎn)品的產(chǎn)量，若當產(chǎn)量 時，時，成本成本 元，求成本函數(shù)元，求成本函數(shù) q512q 51217240C C q 13160C qq 1121333131160160240.1C qqdqqCqC 51217240C23172402405121880.C 232401880.C qq5.1.5 不定積分的性質(zhì) 性質(zhì)5.1 性質(zhì)5.2 若 )(xf及 ( )g x有原函數(shù)，則 ( )

7、( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx若 )(xf有原函數(shù)，則 dxxfkdxxkf)()(0k 證 只示范性質(zhì)5.1的證明，因為 ( )( )( )( )( )( ),f x dxg x dxf x dxg x dxf xg x所以根據(jù)不定積分的定義可知性質(zhì)5.1成立 將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項積分將被積函數(shù)變形為代數(shù)和的形式，再分項積分 例5.7 求求 解21.xdxx x12342121xxxdxdxxx x3114442xxxdx531444484.53xxxC 被積函數(shù)是多項式之商，先利用多項式除法，進被積函數(shù)是多項式之商，先利用多項式除法，進行分拆，得行分拆，得 例5.8 求求 解42.1xdxx2244222221111 111.1111xxxxxxxxx 再分項積分再分項積分 4322211arctan.113xxdxx dxdxdxxxCxx 利用三角恒等式利用三角恒等式 把被積函數(shù)把被積函數(shù)變形后，再分項積分變形后，再分項積分 例5.9 求求 解2cot.xdx221cotcscxx22cot(csc1)xdxxdx2csc xdxdxcot.xxC 利用三角函數(shù)的半角公式把余弦平方的次數(shù)降低 例5.10 求求 解2cos.2xdx11cos22dxxdx21coscos22xxdxdx1(sin ).2xxC被積函