二階常系數(shù)線性微分方程的解法

1、二階常系數(shù)線性微分方程 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五節(jié) 第十章 11ycp 11ycq0證畢)(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0 qyypy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xycxycy將代入方程左邊, 得 11 yc22yc 22yc22yc1111qyypyc 2222qyypyc (疊加原理) )()(2211xycxycy則),(21為任意常數(shù)cc定理定理1.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu):)(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0 qyypy的兩個解,是該方程的通解.)()(2211xycxyc

2、y則),(21為任意常數(shù)cc定理定理2.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(21xyxy且 不為常數(shù)，二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrey 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxrececy2121( r 為待定常數(shù) ),xrer函數(shù)為常數(shù)時因為,所以令的解為 則微分其根稱為特征根特征根.機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相等實

3、根21rr 則微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexccy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 當(dāng)042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根irir21,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211

4、yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xcxceyx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrececy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexccy1)(21ir,21)sincos(21xcxceyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxececy321例例2. 求解初值問題0dd2d

5、d22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetccs)(21利用初始條件得, 41c于是所求初值問題的解為tets)24(22c機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xyxyyy (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)(xfqyypy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxyy代入方程左端, 得)*( yy)*(yyp)*(yqpyy )(yqypy )(0)(xfxf)*(yyq復(fù)習(xí) 目錄 上頁 下頁

6、返回 結(jié)束 )(*)(xyxyy故是非齊次方程的解,又y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xcxcysincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxcxcysincos21證畢因而 也是通解 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xqex )()2

7、(xqp)()(2xqqp)(xpemx1、 型)()(xpexfmx 為實數(shù) ,)(xpm其特解形如(1) 若 不是特征方程的根, 取)(xqm. )(*xqexymxk為 m 次多項式 .為 m 次多項式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ; 0k(2) 若 是特征方程的單根 , (3) 若 是特征方程的重根 , 取取; 1k. 2k例例3.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0機(jī)動

8、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxececy3221設(shè)非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxececy3221.)(2221xexx ,2機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 其特解形如xrxrexymmxksincos*)2()1(其中 和 為 次多項式， 不是特征方程的根，取ilnm,max機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 型xx

9、pxxpexfnlxsin)(cos)()(2、)()1(xrm)()2(xrmm而 的取值如下：ki 是特征方程的根，取; 0k. 1k例例5. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxpl, 0)(xpn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xcxcy3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xcxcy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為機(jī)動 目錄