激光原理答案

1、激光原理習(xí)題解答第一章習(xí)題解答 1 為了使氦氖激光器的相干長度達(dá)到1KM，它的單色性應(yīng)為多少？解答：設(shè)相干時間為，則相干長度為光速與相干時間的乘積，即根據(jù)相干時間和譜線寬度的關(guān)系 又因?yàn)?，由以上各關(guān)系及數(shù)據(jù)可以得到如下形式：單色性=解答完畢。2 如果激光器和微波激射器分別在10、500nm和輸出1瓦連續(xù)功率，問每秒鐘從激光上能級向下能級躍遷的粒子數(shù)是多少。解答：功率是單位時間內(nèi)輸出的能量，因此，我們設(shè)在dt時間內(nèi)輸出的能量為dE，則功率=dE/dt激光或微波激射器輸出的能量就是電磁波與普朗克常數(shù)的乘積，即d，其中n為dt時間內(nèi)輸出的光子數(shù)目，這些光子數(shù)就等于腔內(nèi)處在高能級的激發(fā)粒子在dt時間

2、輻射躍遷到低能級的數(shù)目（能級間的頻率為）。由以上分析可以得到如下的形式：每秒鐘發(fā)射的光子數(shù)目為：N=n/dt,帶入上式，得到：根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)可知： 把三個數(shù)據(jù)帶入，得到如下結(jié)果：，3 設(shè)一對激光能級為E1和E2（f1=f2），相應(yīng)的頻率為（波長為），能級上的粒子數(shù)密度分別為n2和n1，求(a)當(dāng)=3000兆赫茲，T=300K的時候，n2/n1=?(b)當(dāng)=1m，T=300K的時候，n2/n1=?(c)當(dāng)=1m，n2/n1=0.1時，溫度T=？解答:在熱平衡下，能級的粒子數(shù)按波爾茲曼統(tǒng)計分布，即： （統(tǒng)計權(quán)重）其中為波爾茲曼常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度。(a)(b) (c) 4 在紅寶石調(diào)Q激光器中

3、，有可能將幾乎全部離子激發(fā)到激光上能級并產(chǎn)生激光巨脈沖。設(shè)紅寶石棒直徑為1cm，長度為7.5cm，離子濃度為，巨脈沖寬度為10ns，求激光的最大能量輸出和脈沖功率。解答：紅寶石調(diào)Q激光器在反轉(zhuǎn)能級間可產(chǎn)生兩個頻率的受激躍遷，這兩個躍遷幾率分別是47%和53%，其中幾率占53%的躍遷在競爭中可以形成694.3nm的激光，因此，我們可以把激發(fā)到高能級上的粒子數(shù)看成是整個激發(fā)到高能級的粒子數(shù)的一半（事實(shí)上紅寶石激光器只有一半的激發(fā)粒子對激光有貢獻(xiàn)）。設(shè)紅寶石棒長為L，直徑為d，體積為V，總數(shù)為N，粒子的濃度為n，巨脈沖的時間寬度為，則離子總數(shù)為：根據(jù)前面分析部分，只有N/2個粒子能發(fā)射激光，因此，整

4、個發(fā)出的脈沖能量為：脈沖功率是單位時間內(nèi)輸出的能量，即解答完畢。5 試證明，由于自發(fā)輻射，原子在能級的平均壽命為。證明如下：根據(jù)自發(fā)輻射的定義可以知道，高能級上單位時間粒子數(shù)減少的量，等于低能級在單位時間內(nèi)粒子數(shù)的增加。即： - （其中等式左邊表示單位時間內(nèi)高能級上粒子數(shù)的變化，高能級粒子數(shù)隨時間減少。右邊的表示低能級上單位時間內(nèi)接納的從高能級上自發(fā)輻射下來的粒子數(shù)。）再根據(jù)自發(fā)輻射躍遷幾率公式：，把代入式，得到：對時間進(jìn)行積分，得到： （其中隨時間變化，為開始時候的高能級具有的粒子數(shù)。）按照能級壽命的定義，當(dāng)時，定義能量減少到這個程度的時間為能級壽命，用字母表示。因此，即： 證明完畢6 某一

5、分子的能級E4到三個較低能級E1 E2 和E3的自發(fā)躍遷幾率分別為A43=5*107s-1, A42=1*107s-1, A41=3*107s-1，試求該分子E4能級的自發(fā)輻射壽命4。若1=5*10-7s，2=6*10-9s，3=1*10-8s，在對E4連續(xù)激發(fā)且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，試求相應(yīng)能級上的粒子數(shù)比值n1/n4, n2/n4和n3/n4，并說明這時候在哪兩個能級間實(shí)現(xiàn)了集居數(shù)解: (1)由題意可知E4上的粒子向低能級自發(fā)躍遷幾率A4為:-1則該分子E4能級的自發(fā)輻射壽命：結(jié)論:如果能級u發(fā)生躍遷的下能級不止1條,能級u向其中第i條自發(fā)躍遷的幾率為Aui 則能級u的自發(fā)輻射壽命為:(2)對E4連

6、續(xù)激發(fā)并達(dá)到穩(wěn)態(tài),則有:,（上述三個等式的物理意義是：在只考慮高能級自發(fā)輻射和E1能級只與E4能級間有受激吸收過程，見圖）宏觀上表現(xiàn)為各能級的粒子數(shù)沒有變化由題意可得:,則同理：，進(jìn)一步可求得: ，由以上可知:在 E2和E4;E3和E4;E2和E3能級間發(fā)生了粒子數(shù)反轉(zhuǎn).7 證明，當(dāng)每個模式內(nèi)的平均光子數(shù)（光子簡并度）大于1時，輻射光中受激輻射占優(yōu)勢。證明如下：按照普朗克黑體輻射公式，在熱平衡條件下，能量平均分配到每一個可以存在的模上，即 （為頻率為的模式內(nèi)的平均光子數(shù)）由上式可以得到：又根據(jù)黑體輻射公式：根據(jù)愛因斯坦輻射系數(shù)之間的關(guān)系式和受激輻射躍遷幾率公式，則可以推導(dǎo)出以下公式： 如果模內(nèi)

7、的平均光子數(shù)（）大于1，即 ，則受激輻射躍遷幾率大于自發(fā)輻射躍遷幾率，即輻射光中受激輻射占優(yōu)勢。證明完畢8 一質(zhì)地均勻的材料對光的吸收系數(shù)為，光通過10cm長的該材料后，出射光強(qiáng)為入射光強(qiáng)的百分之幾？ 如果一束光通過長度為1M地均勻激勵的工作物質(zhì)，如果出射光強(qiáng)是入射光強(qiáng)的兩倍，試求該物質(zhì)的增益系數(shù)。解答：設(shè)進(jìn)入材料前的光強(qiáng)為，經(jīng)過距離后的光強(qiáng)為，根據(jù)損耗系數(shù)的定義，可以得到：則出射光強(qiáng)與入射光強(qiáng)的百分比為：根據(jù)小信號增益系數(shù)的概念：，在小信號增益的情況下，上式可通過積分得到 解答完畢。激光原理習(xí)題解答第二章習(xí)題解答1 試?yán)猛稻仃囎C明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限次，而且兩

8、次往返即自行閉合.證明如下：（共焦腔的定義兩個反射鏡的焦點(diǎn)重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實(shí)共焦腔和虛共焦腔。公共焦點(diǎn)在腔內(nèi)的共 焦腔是實(shí)共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對稱共焦腔，可以證明，對稱共焦腔是實(shí)雙凹腔。）根據(jù)以上一系列定義，我們?nèi)【邔ΨQ共焦腔為例來證明。設(shè)兩個凹鏡的曲率半徑分別是和，腔長為，根據(jù)對稱共焦腔特點(diǎn)可知：因此，一次往返轉(zhuǎn)換矩陣為把條件帶入到轉(zhuǎn)換矩陣T，得到：共軸球面腔的穩(wěn)定判別式子如果或者，則諧振腔是臨界腔，是否是穩(wěn)定腔要根據(jù)情況來定。本題中 ，因此可以斷定是介穩(wěn)腔（）臨界腔），下面證明對稱共焦腔在近軸光線條件下屬于穩(wěn)定腔。經(jīng)過兩個往返的轉(zhuǎn)換矩陣

9、式，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：其中等式左邊的坐標(biāo)和角度為經(jīng)過兩次往返后的坐標(biāo)，通過上邊的式子可以看出，光線經(jīng)過兩次往返后回到光線的出發(fā)點(diǎn)，即形成了封閉，因此得到近軸光線經(jīng)過兩次往返形成閉合，對稱共焦腔是穩(wěn)定腔。2 試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。解答如下：共軸球面腔的，如果滿足，則腔是穩(wěn)定腔，反之為非穩(wěn)腔,兩者之間存在臨界腔，臨界腔是否是穩(wěn)定腔，要具體分析。下面我們就根據(jù)以上的內(nèi)容來分別求穩(wěn)定條件。對于平凹共軸球面腔， ()所以，如果，則是穩(wěn)定腔。因?yàn)楹途笥诹?，所以不等式的后半部分一定成立，因此，只要滿足，就能滿足穩(wěn)定腔的條件，因此，就是平凹腔的穩(wěn)定條件。類似的分析可以知道，凸凹腔的穩(wěn)定條件

10、是：,且。 雙凹腔的穩(wěn)定條件是：， （第一種情況） ，且（第二種情況） （對稱雙凹腔）求解完畢。3 激光腔的諧振腔由一曲率半徑為1M的凸和曲率半徑為2M的凹面鏡構(gòu)成，工作物質(zhì)長度為0.5M，其折射率為1.52，求腔長在什么范圍內(nèi)諧振腔是穩(wěn)定的。解答如下：設(shè)腔長為，腔的光學(xué)長度為，已知，根據(jù)，代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到：因?yàn)楹泄ぷ魑镔|(zhì)，已經(jīng)不是無源腔，因此，這里L(fēng)應(yīng)該是光程的大?。ɑ蛘哒f是利用光線在均勻介質(zhì)里傳播矩陣）。即，代入上式，得到：要達(dá)到穩(wěn)定腔的條件，必須是，按照這個條件，得到腔的幾何長度為：，單位是米。解答完畢。5 有一方形孔徑共焦腔氦氖激光器，腔長L=30CM，方形孔徑邊長為

11、d=2a=0.12CM，=632.8nm，鏡的反射率為r1=1，r2=0.96，其他損耗以每程0.003估計。此激光器能否做單模運(yùn)轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔光闌來選擇TEM00模，小孔的邊長應(yīng)為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一大略的估計。氦氖激光器增益由公式估算，其中的l是放電管長度。分析：如果其他損耗包括了衍射損耗，則只考慮反射損耗及其他損耗的和是否小于激光器的增益系數(shù)，增益大于損耗，則可產(chǎn)生激光振蕩。 如果其他損耗不包括衍射損耗，并且菲涅爾數(shù)小于一，則還要考慮衍射損耗，衍射損耗的大小可以根據(jù)書中的公式00=10.9*10-4.94N來確定，其中的N是菲涅爾數(shù)。解答：根據(jù)，可以知道單

12、程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723由于反射不完全引起的損耗可以用公式2.1.24或者2.1.25來衡量根據(jù)2.1.24得到：r-0.5lnr1r2=0.0204根據(jù)題意，總的損耗為反射損+其他損耗，因此單程總損耗系數(shù)為=0.0204+0.0003<g0L如果考慮到衍射損耗，則還要根據(jù)菲涅爾數(shù)來確定衍射損系數(shù)：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅爾數(shù)為：N=a2/(L)=7.6，菲涅爾數(shù)大于一很多倍，因此可以不考慮衍射損耗的影響。通過以上分析可以斷定，此諧振腔可以產(chǎn)生激光振蕩。又根據(jù)氦氖激光器的多普勒展寬達(dá)到1.6GHZ，而縱模及橫模間隔根據(jù)計算可知很小，在一個大的展寬范圍

13、內(nèi)可以后很多具有不同模式的光波振蕩，因此不采取技術(shù)措施不可能得到基模振蕩。為了得到基模振蕩，可以在腔內(nèi)加入光闌，達(dá)到基模振蕩的作用。在腔鏡上，基模光斑半徑為：因此，可以在鏡面上放置邊長為20s的光闌。解答完畢。6 試求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布嗎？解答如下：方形鏡共焦腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程式為經(jīng)過博伊德戈登變換，在通過厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函數(shù)表示鏡面上場的函數(shù)使就可以求出節(jié)線的位置。由上式得到：，這些節(jié)線是等距的。解答完畢。7 求圓形鏡共焦腔和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。解答如下：圓形鏡共焦腔場函數(shù)在拉蓋爾高斯近似下，可以寫成如下的形式 （這個場對應(yīng)于，兩個

14、三角函數(shù)因子可以任意選擇，但是當(dāng)m為零時，只能選余弦，否則整個式子將為零）對于：并且，代入上式，得到，我們?nèi)∮嘞翼?xiàng)，根據(jù)題中所要求的結(jié)果，我們?nèi)?，就能求出鏡面上節(jié)線的位置。既對于，可以做類似的分析。，代入上式并使光波場為零，得到顯然，只要即滿足上式最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為：解答完畢。8 今有一球面腔，兩個曲率半徑分別是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，試證明該腔是穩(wěn)定腔，求出它的等價共焦腔的參數(shù)，在圖中畫出等價共焦腔的具體位置。解：共軸球面腔穩(wěn)定判別的公式是，這個公式具有普適性（教材36頁中間文字部分），對于簡單共軸球面腔，可以利用上邊式子的變換形式判斷穩(wěn)定性，其中。題中，在穩(wěn)定

15、腔的判別范圍內(nèi)，所以是穩(wěn)定腔。任意一個共焦腔與無窮多個穩(wěn)定球面腔等價，一個一般穩(wěn)定球面腔唯一對應(yīng)一個共焦腔，他們的行波場是相同的。等價共焦腔的參數(shù)包括：以等價共焦腔的腔中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，從坐標(biāo)原點(diǎn)到一般穩(wěn)定球面兩個腔鏡面的坐標(biāo)和，再加上它的共焦腔的鏡面焦距，這三個參數(shù)就能完全確定等價共焦腔。根據(jù)公式（激光原理p66-2.8.4）得到：因此等價共焦腔示意圖略。9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波長=10.6m，試計算鏡面上的光斑半徑、束腰半徑及兩個鏡面上的損耗。解：此二氧化碳激光器是穩(wěn)定腔，其中平面鏡的曲率半徑可以看作是無窮大。根據(jù)公式（激光原理p67-2.8

16、.6或2.8.7）得到：其中第一個腰斑半徑對應(yīng)平面鏡。上式中是這個平凹腔的等價共焦腔鏡面上的腰斑半徑，并且根據(jù)一般穩(wěn)定球面腔與等價共焦腔的性質(zhì)，他們具有同一個束腰。根據(jù)共焦腔束腰光斑半徑與鏡面上光斑半徑的關(guān)系可知：作為穩(wěn)定腔，損耗主要是衍射損，衍射損耗與鏡面上的菲涅爾數(shù)有關(guān)，在損耗不大的情況下，是倒數(shù)關(guān)系。即：根據(jù)公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分別求出兩個鏡面的菲涅爾數(shù)根據(jù)衍射損耗定義，可以分別求出：，10 證明在所有菲涅爾數(shù)相同而曲率半徑R不同的對稱穩(wěn)定球面腔中，共焦腔的衍射損耗最低。這里L(fēng)表示腔長，a是鏡面的半徑。證明：在對稱共焦腔中，11 今有一平面鏡和一個曲率半徑為

17、R=1M的凹面鏡，問：應(yīng)該如何構(gòu)成一個平凹穩(wěn)定腔以獲得最小的基模遠(yuǎn)場發(fā)散角，畫出光束發(fā)散角與腔長的關(guān)系。解答：我們知道，遠(yuǎn)場發(fā)散角不僅和模式（頻率）有關(guān)，還和腔的結(jié)構(gòu)有關(guān)。根據(jù)公式2.6.14得到：，如果平面鏡和凹面鏡構(gòu)成的諧振腔所對應(yīng)的等價共焦腔焦距最大，則可以獲得最小的基模光束發(fā)散角。代入發(fā)散角公式，就得到最小發(fā)散角為：發(fā)散角與腔長的關(guān)系式：13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面鏡的R=2M，腔長L=1M，試給出它所產(chǎn)生的高斯光束的束腰腰斑半徑的大小和位置，該高斯光束的焦參數(shù)和基模發(fā)散角。解答：14 某高斯光束束腰光斑半徑為1.14MM，波長=10.6M。求與束腰相距30厘米、100厘米、

18、1000米遠(yuǎn)處的光斑半徑及相應(yīng)的曲率半徑。解答：根據(jù)公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6）把不同距離的數(shù)據(jù)代入，得到：，曲率半徑與不同距離對應(yīng)的曲率半徑為：，15 若已知某高斯光束的束腰半徑為0.3毫米，波長為632.8納米。求束腰處的q參數(shù)值，與束腰距離30厘米處的q參數(shù)值，與束腰相距無限遠(yuǎn)處的q值。解答：束腰處的q參數(shù)值實(shí)際上就是書中的公交參量（激光原理p73-2.9.12）：根據(jù)公式（激光原理p75-2.10.8），可以得到30厘米和無窮遠(yuǎn)處的q參數(shù)值分別為無窮遠(yuǎn)處的參數(shù)值為無窮大。16 某高斯光束束腰半徑為1.2毫米，波長為10.6微米。現(xiàn)在用焦距F=2cm的鍺透鏡聚焦，當(dāng)束

19、腰與透鏡距離分別為10米，1米，10厘米和0時，求焦斑大小和位置，并分析結(jié)果。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18）當(dāng)束腰與透鏡距離10米時同理可得到：解答完畢17 二氧化碳激光器輸出波長為10.6微米的激光，束腰半徑為3毫米，用一個焦距為2厘米的凸透鏡聚焦，求欲得到焦斑半徑為20微米及2.5微米時，透鏡應(yīng)該放在什么位置。解答：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.18）上式中束腰到透鏡的距離l就是我們要求的參數(shù)，其他各個參數(shù)都為已知，代入題中給出的數(shù)據(jù)，并對上式進(jìn)行變換，得到當(dāng)焦斑等于20微米時，（透鏡距束腰的距離）當(dāng)焦斑等于2.5微米時，此提要驗(yàn)證18 如圖2.2所

20、示，入射光波廠為10.6微米，求及。解答：經(jīng)過第一個透鏡后的焦斑參數(shù)為： 經(jīng)過第二個透鏡后的焦參數(shù)為： 解方程可以求出題中所求。19 某高斯光束束腰腰斑半徑為1.2毫米，波長為10.6微米?，F(xiàn)在用一個望遠(yuǎn)鏡將其準(zhǔn)直。主鏡用曲率半徑為1米的鍍金反射鏡，口徑為20厘米；副鏡為一個焦距為2.5厘米，口徑為1.5厘米的鍺透鏡；高斯光束束腰與透鏡相距1米，如圖所示。求該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對高斯光束的準(zhǔn)直倍率。解答：根據(jù)公式（激光原理p84-2.11.19），其中，為望遠(yuǎn)鏡主鏡與副鏡的焦距比。題中的反射鏡，相當(dāng)于透鏡，且曲率半徑的一半就是透鏡的焦距。已知：，（經(jīng)過驗(yàn)證，光斑在第一個透鏡表面形成的光斑半徑小于透鏡鏡

21、面尺寸，衍射效應(yīng)很小，因此可以用準(zhǔn)直倍率公式）代入準(zhǔn)直倍率公式得到：解答完畢。20 激光器的諧振腔有兩個相同的凹面鏡組成，它出射波長為的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束焦參數(shù)f的實(shí)驗(yàn)原理及步驟。設(shè)計如下：首先明確焦參數(shù)的構(gòu)成元素為腰斑半徑，波長及參數(shù)，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，激光器的波長為已知，我們不可能直接測量腔內(nèi)的腰斑半徑（因?yàn)槭菍ΨQ腔，束腰在腔內(nèi)），只能通過技術(shù)手段測量發(fā)射出來的光波場的腰斑半徑，然后利用這里的z是由激光器腔中心到光功率計的距離，用卷尺可以測量。光功率計放置在緊貼小孔光闌的后面，沿著光場橫向移動，測量出。把測量的和z代入公式，可以求出焦

22、參數(shù)。設(shè)計完畢（以上只是在理論上的分析，實(shí)際中的測量要復(fù)雜得多，實(shí)驗(yàn)室測量中會用透鏡擴(kuò)束及平面鏡反射出射光，增加距離進(jìn)而增加測量精度）21 二氧化碳激光諧振腔由兩個凹面鏡構(gòu)成，兩個鏡面的曲率半徑分別是1米和兩米，光腔長度為0.5米。問：如何選擇高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它構(gòu)成該諧振腔的自再現(xiàn)光束。解答：高斯光束的自再現(xiàn)條件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）：根據(jù)公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18）經(jīng)過曲率半徑為1米的反射鏡后，為了保證自再現(xiàn)條件成立，腔內(nèi)的束腰半徑應(yīng)該與經(jīng)過反射鏡的高斯光束的束腰相同，因此得到： 1同理，經(jīng)過第二個反射鏡面也可以得到： 2

23、3根據(jù)以上三個式子可以求出，解答完畢。22 （1）用焦距為F的薄透鏡對波長為、束腰半徑為的高斯光束進(jìn)行變換，并使變換后的高斯光束的束腰半徑（此稱為高斯光束的聚焦），在和兩種情況下，如何選擇薄透鏡到該高斯光束束腰的距離？（2）在聚焦過程中，如果薄透鏡到高斯光束束腰的距離不變，如何選擇透鏡的焦距F？解答：（1） 根據(jù)可知，即通過運(yùn)算可得到：或者（舍去）（2） 參考激光原理p81-2. 一定時，隨焦距變化的情況。23 試用自變換公式的定義式（激光原理p84-2.12.2），利用q參數(shù)來推導(dǎo)出自變換條件式證明：設(shè)高斯光束腰斑的q參數(shù)為，腰斑到透鏡的距離為，透鏡前表面和后表面的q參數(shù)分別為、，經(jīng)過透鏡后

24、的焦斑處q參數(shù)用表示，焦斑到透鏡的距離是=，透鏡的焦距為F。根據(jù)q參數(shù)變換，可以求出前表面、后表面、及焦斑處的q參數(shù)，分別是：透鏡前表面： 透鏡后表面：焦斑的位置：把經(jīng)過變換的代入到焦斑位置的q參數(shù)公式，并根據(jù)自再現(xiàn)的條件，得到：由此可以推導(dǎo)出證明完畢。24 試證明在一般穩(wěn)定腔中，其高斯模在腔鏡面處的兩個等相位面的曲率半徑必分別等于各鏡面的曲率半徑。證明設(shè)一般穩(wěn)定腔的曲率半徑分別是、，腔長為，坐標(biāo)取在這個穩(wěn)定腔的等價共焦腔中心上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)到鏡面的距離分別是和，等價共焦腔的焦距為。根據(jù)25 試從式和導(dǎo)出，其中的，并證明對雙凸腔解答：略26 試計算，的虛共焦腔。.若想保持不變并從凹面鏡端單端輸

25、出，應(yīng)如何選擇？反之，若想保持不變并從凸面鏡輸出，如何選擇？在這兩種情況下，和各為多大？解答：虛共焦腔的特點(diǎn)：激光原理p91,96激光原理p97-2.1511,2.15.12根據(jù)，同理： 單端輸出：如果要從虛共焦非穩(wěn)定腔的凸面鏡單端輸出平面波，并使腔內(nèi)振蕩光束全部通過激活物質(zhì)，則凹面鏡和凸透鏡的選區(qū)要滿足：，其中的a分別代表（按角標(biāo)順序）工作物質(zhì)的半徑、凹面鏡半徑、凸面鏡半徑1 實(shí)施意義上的單面輸出（從凸面鏡端輸出）：按照圖（激光原理p96-圖2.15.2a）為了保證從凸面鏡到凹面鏡不發(fā)生能量損失，則根據(jù)圖要滿足： 因?yàn)橥姑骁R的尺寸不變，所以在曲率半徑給定的條件下，凹面鏡的半徑應(yīng)該為：2 從凹

26、面鏡端輸出，只要保證有虛焦點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)凹面鏡后的反射光（平行光）正好在凸面鏡的限度范圍內(nèi)，則可保證從凹面鏡單端輸出。因此，此時只要滿足即可，因此這兩種情況下的單程和往返損耗略。解答完畢。第三章習(xí)題1 試由式（3.3.5）導(dǎo)出式（3.3.7）,說明波導(dǎo)模的傳輸損耗與哪些因素有關(guān)。在其他條件不變時，若波導(dǎo)半徑增大一倍，損耗將如何變化？若減小到原來的，損耗又將如何變化？在什么條件下才能獲得低的傳輸損耗？解：由及可得： 波導(dǎo)模的傳輸損耗與波導(dǎo)橫向尺寸,波長，波導(dǎo)材料的折射率實(shí)部以及不同波導(dǎo)模對應(yīng)得不同值有關(guān)。（a）波導(dǎo)半徑增大一倍，損耗減為原來的。（b）波長減小到原來的一半，損耗減為原來的。獲得低的

27、傳輸損耗應(yīng)增大波導(dǎo)橫向尺寸，選擇折射率實(shí)部小的介質(zhì)材料和小的波導(dǎo)模。2.試證明，當(dāng)為實(shí)數(shù)時，若，最低損耗模為模，而當(dāng)時，為模，并證明模的損耗永遠(yuǎn)比模低。證明： (3.3.8)對于以上三種不同模，參看書中表3.1，對于同一種模式，越小，損耗越小，因此以下考慮，模之間誰最?。ㄖ凶钚。╊}中設(shè)為實(shí)數(shù)，顯然， 所以,只需考慮與:當(dāng)時，小當(dāng)時，小3.在波長時，試求在內(nèi)徑為的波導(dǎo)管中模和模的損耗和，分別以，以及來表示損耗的大小。當(dāng)通過長的這種波導(dǎo)時，模的振幅和強(qiáng)度各衰減了多少（以百分?jǐn)?shù)表示）？解：由 ，。 當(dāng)時， ，4.試計算用于波長的矩形波導(dǎo)的值，以及表示，波導(dǎo)由制成，計算由制成的同樣的波導(dǎo)的值，計算中取

28、。解： : 。5.某二氧化碳激光器用作波導(dǎo)管，管內(nèi)徑，取，管長10cm,兩端對稱地各放一面平面鏡作腔鏡。試問：為了模能產(chǎn)生振蕩，反射鏡與波導(dǎo)口距離最大不得超過多少？計算中激活介質(zhì)增益系數(shù)。解：，時，而平面反射鏡所產(chǎn)生的耦合損耗為：，其中。為使模能產(chǎn)生振蕩則要求，得： ，即反射鏡與波導(dǎo)口距離不得超過1.66cm.第四章1 靜止氖原子的譜線中心波長為632.8納米，設(shè)氖原子分別以0.1C、O.4C、O.8C的速度向著觀察者運(yùn)動，問其表觀中心波長分別變?yōu)槎嗌?？解答：根?jù)公式（激光原理P136）由以上兩個式子聯(lián)立可得：代入不同速度，分別得到表觀中心波長為：，解答完畢（驗(yàn)證過）2 設(shè)有一臺麥克爾遜干涉儀

29、，其光源波長為，試用多普勒原理證明，當(dāng)可動反射鏡移動距離L時，接收屏上的干涉光強(qiáng)周期性的變化次。證明：對于邁氏干涉儀的兩個臂對應(yīng)兩個光路，其中一個光路上的鏡是不變的，因此在這個光路中不存在多普勒效應(yīng)，另一個光路的鏡是以速度移動，存在多普勒效應(yīng)。在經(jīng)過兩個光路返回到半透鏡后，這兩路光分別保持本來頻率和多普勒效應(yīng)后的頻率被觀察者觀察到（從半透境到觀察者兩個頻率都不變），觀察者感受的是光強(qiáng)的變化，光強(qiáng)和振幅有關(guān)。以上是分析內(nèi)容，具體解答如下：無多普勒效應(yīng)的光場：產(chǎn)生多普勒效應(yīng)光場：在產(chǎn)生多普勒效應(yīng)的光路中，光從半透經(jīng)到動鏡產(chǎn)生一次多普勒效應(yīng)，從動鏡回到半透鏡又產(chǎn)生一次多普勒效應(yīng)（是在第一次多普勒效應(yīng)

30、的基礎(chǔ)上）第一次多普勒效應(yīng)：第二次多普勒效應(yīng)：在觀察者處：觀察者感受到的光強(qiáng)：顯然，光強(qiáng)是以頻率為頻率周期變化的。因此，在移動的范圍內(nèi)，光強(qiáng)變化的次數(shù)為：證明完畢。（驗(yàn)證過）3 在激光出現(xiàn)以前，Kr86低氣壓放電燈是最好的單色光源。如果忽略自然加寬和碰撞加寬，試估計在77K溫度下它的605.7納米譜線的相干長度是多少？并與一個單色性/=10-8的He-Ne激光器比較。解：根據(jù)相干長度的定義可知，。其中分母中的是譜線加寬項(xiàng)。從氣體物質(zhì)的加寬類型看，因?yàn)楹雎宰匀缓团鲎布訉挘约訉捯蛩刂皇Ｏ露嗥绽占訉挼挠绊?。根?jù)P138頁的公式4.3.26可知，多普勒加寬：因此，相干長度為：根據(jù)題中給出的氦氖激光

31、器單色性及氦氖激光器的波長632.8納米，可根據(jù)下述公式得到氦氖激光器的相干長度：可見，即使以前最好的單色光源，與現(xiàn)在的激光光源相比，相干長度相差2個數(shù)量級。說明激光的相干性很好。4 估算CO2氣體在300K下的多普勒線寬D，若碰撞線寬系數(shù)=49MHZ/Pa，討論在什么氣壓范圍內(nèi)從非均勻加寬過渡到均勻加寬。解：根據(jù)P138頁的公式4.3.26可知，多普勒加寬：因?yàn)榫鶆蚣訉掃^渡到非均勻加寬，就是的過程，據(jù)此得到：，得出結(jié)論：氣壓P為1.08×103Pa時,是非均勻加寬與均勻加寬的過渡閾值，.當(dāng)氣壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1.08×103Pa 的情況下,加寬主要表現(xiàn)為均勻加寬。（驗(yàn)證過）5 氦

32、氖激光器有下列三種躍遷，即3S2-2P4的632.8納米，2S2-2P4的1.1523微米和3S2-3P4的3.39微米的躍遷。求400K時他們的多普勒線寬，并對結(jié)果進(jìn)行分析。解：根據(jù)P138頁的公式4.3.26，可分別求出不同躍遷的譜線加寬情況。3S2-2P4的632.8納米的多普勒加寬：2S2-2P4的1.1523微米的多普勒加寬：3S2-3P4的3.39微米的多普勒加寬：由以上各個躍遷的多普勒線寬可見，按照結(jié)題結(jié)果順序，線寬是順次減少，由于題中線寬是用頻率進(jìn)行描述，因此頻率線寬越大，則單色性越好。（驗(yàn)證過）6 考慮二能級工作系統(tǒng)，若E2能級的自發(fā)輻射壽命為S，無輻射躍遷壽命為nr。假設(shè)t

33、=0時激光上能級E2的粒子數(shù)密度為n2(0)，工作物質(zhì)的體積為V，發(fā)射頻率為，求：（1）自發(fā)輻射功率隨時間的變化規(guī)律。（2）E2能級的原子在其衰減過程中發(fā)出的自發(fā)輻射光子數(shù)。（3）自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時刻E2能級上的粒子數(shù)之比2。解：（1）根據(jù)P11相關(guān)內(nèi)容，考慮到E2的能級壽命不僅僅是自發(fā)輻射壽命，還包括無輻射躍遷壽命，因此，E2能級的粒子數(shù)變化規(guī)律修正為：，其中的與S、nr的關(guān)系為，為E2能級的壽命。在時刻t，E2能級由于自發(fā)和無輻射躍遷而到達(dá)下能級的總粒子數(shù)為：由于自發(fā)輻射躍遷而躍遷到激光下能級的粒子數(shù)為，因此由于自發(fā)輻射而發(fā)射的功率隨時間的變化規(guī)律可以寫成如下形式：（2）由上式可知，在

34、t-t+dt時間內(nèi)，E2能級自發(fā)輻射的光子數(shù)為：則在0-的時間內(nèi)，E2能級自發(fā)輻射的光子總數(shù)為：（3）自發(fā)輻射光子數(shù)與初始時刻能級上的粒子數(shù)之比為:此題有待確認(rèn)7 根據(jù)激光原理4.4節(jié)所列紅寶石的躍遷幾率數(shù)據(jù)，估算抽運(yùn)幾率等于多少時紅寶石對波長694.3納米的光透是明的（對紅寶石，激光上、下能級的統(tǒng)計權(quán)重為，且計算中可不考慮光的各種損耗）解答：已知紅寶石的，分析如下：增益介質(zhì)對某一頻率的光透明，說明介質(zhì)對外界光場的吸收和增益相等，或者吸收極其微弱，以至于對進(jìn)入的光場強(qiáng)度不會產(chǎn)生損耗。對于本題中的紅寶石激光器，透明的含義應(yīng)該屬于前者。根據(jù)公式：（激光原理P146-4.4.22）由上邊的第二項(xiàng)和第

35、四項(xiàng)，可以得到： -1又因?yàn)樾⌒盘栂拢Ｗ訑?shù)翻轉(zhuǎn)剛剛達(dá)到閾值），因此，且由此，方程組的第一個式子可以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?，代?式，得到：既然對入射光場是透明的，所以上式中激光能級發(fā)射和吸收相抵，即激光上能級的粒子數(shù)密度變化應(yīng)該與光場無關(guān)，并且小信號時激光上能級的粒子數(shù)密度變化率為零，得到最后得到：解答完畢。（驗(yàn)證過）11 短波長（真空紫外、軟X射線）譜線的主要加寬是自然加寬。試證明峰值吸收截面為。證明：根據(jù)P144頁吸收截面公式4.4.14可知，在兩個能級的統(tǒng)計權(quán)重f1=f2的條件下，在自然加寬的情況下，中心頻率0處吸收截面可表示為： - -1上式（P133頁公式4.3.9）又因?yàn)?，把A21和N的表達(dá)式

36、代入1式，得到：證畢。（驗(yàn)證過）12 已知紅寶石的密度為3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例為0.05%（質(zhì)量比），在波長為694.3nm附近的峰值吸收系數(shù)為0.4cm-1，試求其峰值吸收截面（T=300K）。解：分析：紅寶石激光器的Cr3+是工作物質(zhì)，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。根據(jù)題中所給資料可知：Cr2O3的質(zhì)量密度為3.98g/cm3×0.05%=1.99×10-3g/cm3,摩爾質(zhì)量為52×2+16×3=152g/mol設(shè)Cr3+的粒子數(shù)密度為n，則n=2×（1.99×10-3 /152）×

37、;6.02×1023=1.576×1019/cm3根據(jù)可知，根據(jù)nn1+n2，n=n1-n2,且，其中，可知E2能級粒子數(shù)密度接近于零，可求出n=n1=1.756×1019/cm3 ，代入到，可求出：解答完畢。13 略14 在均勻加寬工作物質(zhì)中，頻率為1、強(qiáng)度為I1的強(qiáng)光增益系數(shù)為gH(1,I1), gH(1,I1)- 1關(guān)系曲線稱為大信號增益曲線，試求大信號增益曲線的寬度H。解：大信號增益系數(shù)表達(dá)式為P153-4.5.17：根據(jù)譜線寬度的定義：增益下降到增益最大值的一半時，所對應(yīng)的頻率寬度，叫做大信號增益線寬。根據(jù)大信號增益曲線表達(dá)式可知，其中心頻率處具有最大增

38、益，即1=0時。在此條件下，增益最大值為：根據(jù)，可求出當(dāng)時滿足增益線寬條件，因此，線寬位：解答完畢。15 有頻率為1、2的兩強(qiáng)光入射，試求在均勻加寬情況下：(1) 頻率為的弱光的增益系數(shù)。(2) 頻率為1的強(qiáng)光增益系數(shù)表達(dá)式。(設(shè)頻率為1和2的光在介質(zhì)里的平均光強(qiáng)為I1、I2)解：在腔內(nèi)多模振蕩條件下，P151-4.5.7應(yīng)修正為：根據(jù)P150-4.5.5可知，增益系數(shù)與反轉(zhuǎn)粒子數(shù)成正比，即：把修正后的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)表達(dá)式代入上式，得到：因此，所求第一問“頻率為的弱光的增益系數(shù)”為：第二問“頻率為1的強(qiáng)光增益系數(shù)表達(dá)式”為：解答完畢。17 激光上下能級的粒子數(shù)密度速率方程表達(dá)式為P147-4.4.

39、28所示。(1) 試證明在穩(wěn)態(tài)情況下，在具有洛倫茲線型的均勻加寬介質(zhì)中，反轉(zhuǎn)粒子數(shù)表達(dá)式具有如下形式：，其中，n0是小信號反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度。(2) 寫出中心頻率處飽和光強(qiáng)Is的表達(dá)式。(3) 證明時，n和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示。解：1 穩(wěn)態(tài)工作時,由激光上、下能級的粒子數(shù)密度速率方程 (4.4.28)可得: - 1 -2 -3其中，由(3)式和(2)式可得:整理得:將(4)代入(1)式:整理得：其中，n0是小信號反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度。(2) 當(dāng)1=0時，(3) 高功率的激光系統(tǒng)中當(dāng)時，n和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示22 設(shè)有兩束頻率分

40、別為和，光強(qiáng)為和的強(qiáng)光沿相同方向或者相反方向通過中心頻率為的非均勻加寬增益介質(zhì)，。試分別劃出兩種情況下反轉(zhuǎn)粒子數(shù)按速度分布曲線，并標(biāo)出燒孔位置。分析:非均勻加寬的特點(diǎn)是增益曲線按頻率分布，當(dāng)有外界入射光以一定速度入射時，增益曲線對入射光頻率敏感，且產(chǎn)生飽和效應(yīng)的地方恰好是外界光場頻率對應(yīng)處，而其他地方則不會產(chǎn)生增益飽和現(xiàn)象。當(dāng)然，產(chǎn)生增益飽和的頻率兩邊一定頻譜范圍內(nèi)也會產(chǎn)生飽和現(xiàn)象，但是與外界光場對應(yīng)的頻率出飽和現(xiàn)象最大最明顯。設(shè)外界光場以速度入射，作為增益介質(zhì)，感受到的表觀頻率為：，當(dāng)增益介質(zhì)的固有頻率時，產(chǎn)生激光（發(fā)生粒子數(shù)反轉(zhuǎn)）而發(fā)生粒子數(shù)翻轉(zhuǎn)所對應(yīng)的速度為：正方向：負(fù)方向：一、當(dāng)都是正

41、方向入射時，兩束光對應(yīng)的速度分別為：也就是說在反轉(zhuǎn)粒子數(shù)按速度分布圖上，在速度等于和處形成反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和效應(yīng)。根據(jù)公式（激光原理p156-4.6.7）對于，孔的深度為：對于，孔的深度為：又因?yàn)榫€型函數(shù)以為對稱形式，且兩個入射光產(chǎn)生燒孔的位置也以為中心對稱分布，因此，產(chǎn)生燒孔的兩個對稱位置處的小信號反轉(zhuǎn)粒子數(shù)相等，即，因此，兩個燒孔的深度相比，因?yàn)?，所以兩個孔的深度入射光強(qiáng)大的反轉(zhuǎn)粒子數(shù)深度大。即：兩孔深度比：二、兩束光相對進(jìn)入增益介質(zhì)類似上面的分析可得到：，可見燒孔位置重合，燒一個孔因?yàn)閮蓚€光強(qiáng)不同的外場同時作用于某一品率處而產(chǎn)生增益飽和（反轉(zhuǎn)粒子數(shù)飽和），因此，次品率處的光強(qiáng)是兩個光強(qiáng)的和，

42、因此，燒孔深度為解答完畢。第五章 激光振蕩特性2長度為10cm的紅寶石棒置于長度為20cm的光諧振腔中，紅寶石694.3nm譜線的自發(fā)輻射壽命，均勻加寬線寬為。光腔單程損耗。求(1)閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)；(2)當(dāng)光泵激勵產(chǎn)生反轉(zhuǎn)粒子數(shù)時，有多少個縱模可以振蕩？(紅寶石折射率為1.76)解：(1) 閾值反轉(zhuǎn)粒子數(shù)為：(2) 按照題意，若振蕩帶寬為，則應(yīng)該有由上式可以得到相鄰縱模頻率間隔為所以所以有164165個縱?？梢云鹫?。3在一理想的三能級系統(tǒng)如紅寶石中，令泵浦激勵幾率在t=0瞬間達(dá)到一定值，為長脈沖激勵時的閾值泵浦激勵幾率。經(jīng)時間后系統(tǒng)達(dá)到反轉(zhuǎn)狀態(tài)并產(chǎn)生振蕩。試求的函數(shù)關(guān)系，并畫出歸一化的示意關(guān)系

43、曲線(令)。解：根據(jù)速率方程(忽略受激躍遷)，可以知道在達(dá)到閾值之前，在t時刻上能級的粒子數(shù)密度與時間t的關(guān)系為當(dāng)時，即由(1)可知，當(dāng)時間t足夠長的時候由上式可知由(2)式可得所以所以歸一化的示意關(guān)系曲線為4脈沖摻釹釔屢石榴石激光器的兩個反射鏡透過率、分別為0和0.5。工作物質(zhì)直徑d=0.8cm，折射率=1.836，總量子效率為1，熒光線寬，自發(fā)輻射壽命。假設(shè)光泵吸收帶的平均波長。試估算此激光器所需吸收的閾值泵浦能量。解：5測出半導(dǎo)體激光器的一個解理端面不鍍膜與鍍?nèi)瓷淠r的閾值電流分分別為J1與J2。試由此計算激光器的分布損耗系數(shù)(解理面的反射率)。解：不鍍膜的時候，激光器端面的反射率即為

44、r，鍍了全發(fā)射膜之后的反射率為R=1，設(shè)激光器的長度為l，則有由這兩式可以解得即得到了激光器的分布損耗系數(shù)。7如圖5.1所示環(huán)形激光器中順時針模式及逆時針模的頻率為，輸出光強(qiáng)為及。(1)如果環(huán)形激光器中充以單一氖同位素氣體，其中心頻率為，試畫出及時的增益曲線及反轉(zhuǎn)粒子數(shù)密度的軸向速度分布曲線。(2)當(dāng)時激光器可輸出兩束穩(wěn)定的光，而當(dāng)時出現(xiàn)一束光變強(qiáng)，另一束光熄滅的現(xiàn)象，試解釋其原因。(3)環(huán)形激光器中充以適當(dāng)比例的及的混合氣體，當(dāng)時，并無上述一束光變強(qiáng)，另一束光變?nèi)醯默F(xiàn)象，試說明其原因(圖5.2為、及混合氣體的增益曲線)，、及分別為、及混合氣體增益曲線的中心頻率，。 圖5.1 圖5.2(4)為了使混合氣體的增益曲線對稱，兩種氖同位素中哪一種應(yīng)多一些。解：(1) 時時(2) 時，及分別使用不同速度的反轉(zhuǎn)原子，使用速度為的高能級原子，使用速度為的高能級原子，這樣和不會彼此的爭奪