第十一章 級 數(shù)

1、第十一章 無窮級數(shù)考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 收斂級數(shù)的和的概念 級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必要條件 幾何級數(shù)與p級數(shù)及其收斂性 正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法 交錯級數(shù)與Leibniz定理 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念 冪級數(shù)及其收斂半徑、收斂數(shù)的求法 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 考試要求1. 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及與收斂的必要條件2. 掌握幾何級數(shù)與p級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件3. 掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法4. 掌握交錯級數(shù)的Leibniz判別法5. 了解任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂域條件收斂

2、的概念，以及絕對收斂與收斂的關(guān)系6. 了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念（數(shù)三不要求）7. 理解冪級數(shù)收斂半徑的概念并掌握冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及其收斂域的求法8. 了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)9. 了解函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的充分必要條件10. 掌握的展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容與常見題型1. 判定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對收斂、條件收斂2. 求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域3. 求冪級數(shù)的和函數(shù)或求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和4. 將函數(shù)展開為冪級數(shù)（包括寫出收斂域）5. 綜合證明題 11.1 數(shù)項(xiàng)級

3、數(shù)的概念和斂散性的判別法1 基本內(nèi)容1. 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和基本性質(zhì)式子叫做無窮級數(shù)，叫做級數(shù)的一般項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)的和稱為級數(shù)的部分和若部分和數(shù)列的極限存在，則稱級數(shù)收斂，并稱此極限值S=為級數(shù)的和，記作S=若不存在，則稱此級數(shù)發(fā)散，發(fā)散的級數(shù)沒有和基本性質(zhì)：（1） 設(shè)，則與同斂散；且當(dāng)其收斂時，=k（2） 收斂級數(shù)的和（差）仍收斂，且有（3） 在級數(shù)中加入或去掉有限項(xiàng)，不影響級數(shù)的斂散性（4） 收斂級數(shù)加括號后所成新級數(shù)仍收斂，且其和不變（5） 級數(shù)收斂的必要條件是注：對于級數(shù)，以下是一些基本事實(shí)：若兩個級數(shù)與，一個收斂，一個發(fā)散，則發(fā)散；若與均發(fā)散，則級數(shù)的斂散性不定若級數(shù)加括號后所得的新級

4、數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)必發(fā)散；級數(shù)加括號后所得的新級數(shù)收斂，原級數(shù)的收斂性不定性質(zhì)（5）只是級數(shù)收斂的必要條件，而或不存在時，級數(shù)必發(fā)散.這一點(diǎn)是經(jīng)常使用的2. 正項(xiàng)級數(shù)審斂法（充分條件）若，則稱為正項(xiàng)級數(shù).正項(xiàng)級數(shù)的特點(diǎn)是部分和序列是單調(diào)遞增的，而單增序列收斂序列有上屆，由此可見：正項(xiàng)級數(shù)收斂部分和序列有上屆.這正是正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法的基礎(chǔ)（1） 比較審斂法： 若，則常用的比較級數(shù)為等比級數(shù)（又稱為幾何級數(shù)）和p級數(shù)等： 等比級數(shù) P級數(shù) 級數(shù)比較審斂法極限形式為：若，則 當(dāng)時，與同時收斂或同時發(fā)散 當(dāng)時，收斂收斂 當(dāng)時，發(fā)散發(fā)散注：由比較判別法可推出如下的快速判別法：設(shè)，由比較判別法的極限形式

5、可知：若當(dāng)時，是等價無窮小時，則正項(xiàng)級數(shù)與同斂散；若當(dāng)時，是高階無窮小，收斂，則正項(xiàng)級數(shù)收斂（2） 比值審斂法（DAlembert判別法） 若，當(dāng)時，收斂； 當(dāng)時，發(fā)散； 當(dāng)時，斂散性不能確定（3） 根值審斂法（Cauchy判別法） 若，當(dāng)時，收斂； 當(dāng)時，發(fā)散； 當(dāng)時，斂散性不能確定注意：比值判別法與根值判別法是充分但非必要的，即由（）收斂不能推出<1或<13. 交錯級數(shù)的萊布尼茨審斂法設(shè)交錯級數(shù)，則當(dāng)，且時級數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對值4. 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂若收斂，則也收斂，稱是絕對收斂若收斂而發(fā)散，則稱是條件收斂注： 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法對交錯級數(shù)適用數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散

6、性判別的程序如下：注：對一般項(xiàng)級數(shù)，如果用正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法或根值判別法判定，若得收斂，則收斂；若得發(fā)散，則發(fā)散在數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別時，要注意靈活運(yùn)用級數(shù)的有關(guān)性質(zhì)2 解題方法、技巧與例題分析例 11.1.1（1987，I，II）選擇題：設(shè)常數(shù)k>0，則級數(shù)（A） 發(fā)散 （B）絕對收斂 （C）條件收斂 （D）收斂或發(fā)散與k的取值有關(guān) 【】解：當(dāng)時，與是等價無窮小，所以發(fā)散又單減，由Leibniz法則可知，原級數(shù)條件收斂，故應(yīng)選（C）解：因，又絕對收斂，條件收斂，所以原級數(shù)條件收斂，故應(yīng)選（C）例 11.1.2（1992，I，II）選擇題：級數(shù)（常數(shù)）（A） 發(fā)散 （B）條件收斂 （C）

7、絕對收斂 （D）收斂性與有關(guān) 【 】解：因?yàn)楫?dāng)時，與是等價無窮小，而級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂，故應(yīng)選（C）例 11.1.3（1995，I，II）選擇題：設(shè)，則級數(shù)（A） 與都收斂 （B）與都發(fā)散（C）收斂而發(fā)散 （D）發(fā)散而收斂 【】解：因?yàn)楫?dāng)時，單減趨于，而與是等價無窮小，所以級數(shù)收斂，而發(fā)散，故應(yīng)選（C）例 11.1.4（1996，I，II）選擇題：設(shè)，且級數(shù)收斂，常數(shù)，則級數(shù)（A） 絕對收斂 （B）條件收斂（C）發(fā)散 （D）收斂性與有關(guān) 【】解：因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)收斂，所以也收斂，又當(dāng)時，與是等價無窮小，所以級數(shù)絕對收斂，故應(yīng)選（A）例 11.1.5（1994，I，II，IV）設(shè)常數(shù)，且級

8、數(shù)收斂，則級數(shù)（A） 發(fā)散 （B）條件收斂（C）絕對收斂 （D）收斂性與有關(guān) 【】解：因?yàn)椋趾褪諗?，所以原級?shù)絕對收斂，故應(yīng)選（C）例 11.1.6（2012，III）選擇題：已知級數(shù)絕對收斂，條件收斂，則常數(shù)的范圍是（A） （B）（C） （D） 【】解：因?yàn)榻^對收斂，且，所以，再由條件收斂可知，故應(yīng)選（D）例 11.1.7（1996，IV）選擇題：下列各選項(xiàng)正確的是（A） 若和都收斂，則收斂（B） 若收斂，則與都收斂（C） 若正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則（D） 若級數(shù)收斂，且，則級數(shù)也收斂 【】解：因?yàn)椋允諗?，故?yīng)選（A）注：對（B）（C）（D）可舉反例如下：（B）取，；（C）取；（D）取，注意：

9、本題容易錯選（D），要注意比較判別法只對正項(xiàng)級數(shù)成立例11.1.8（1991，IV）選擇題：設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是（A） （B）（C） （D） 【】解：因?yàn)?，而級?shù)收斂，所以絕對收斂，故應(yīng)選（D）例11.1.9（2000，I）選擇題：設(shè)級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為（A） （B）（C） （D） 【】解：因?yàn)槭諗?，所以收斂，因而級?shù)收斂，故應(yīng)選（D）注：對（A）（B）（C）可舉反例如下：（A）??；（B）取；（C）取，則注意：對正項(xiàng)級數(shù)，當(dāng)收斂時，級數(shù)、和均收斂，但對一般級數(shù)這個結(jié)論不成立例11.1.10（2002，I）選擇題：設(shè)，且，則級數(shù)（A） 發(fā)散 （B）絕對收斂 （C）條件收斂 （D）收

10、斂性根據(jù)所給條件不能確定 【】解：由于 ，注意到，可推出，所以 因此收斂，又由 ，所以級數(shù)發(fā)散，因此應(yīng)選（C）評注：若利用與是等價無窮小及條件收斂，選出（C），盡管結(jié)果正確，但是思路卻是錯誤的，因?yàn)槲覀儾⒉恢朗菃螠p的，不能利用Leibniz判別法.事實(shí)上，如果將題干設(shè)為：設(shè)，且，則級數(shù)（ ）選項(xiàng)不變，則應(yīng)選（D）.可用如下反例說明（C）不正確，如當(dāng)時， ，但條件收斂，而發(fā)散例11.1.11（1998，I）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，發(fā)散，試問是否收斂？并說明理由解：由于正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，存在，記這個極限為，則.若，則由Leibniz法則可知級數(shù)收斂，與題設(shè)矛盾，故.于是由 可知，級數(shù)收斂例11.1.

11、12（1997，I）設(shè)，.證明：（1） 存在（2） 級數(shù)收斂證明：（1）因?yàn)?，則有下界.又由于 ，則單調(diào)減少，因此存在(2)由（1）知 記 因存在，故級數(shù)收斂，故比較判別法可知級數(shù)收斂. 例11.1.13(1994,)設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)倒數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂.證明：由于可知，又 則由公式可知當(dāng)時，有，又由于收斂，所以級數(shù)絕對收斂.例11.1.14（2004，）設(shè)有方程，其中為正整數(shù)，證明此方程存在惟一的正實(shí)數(shù)根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂證明：令，則，即在上單調(diào)增加.又由于 ， ,由于,所以，因此級數(shù)收斂. 注：注意到 可知，于是當(dāng)時級數(shù)發(fā)散. 11.2 冪級數(shù)（B） 基本內(nèi)容2 函

12、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念及其收斂域定義1：設(shè)，為定義在區(qū)間上的函數(shù)序列，則稱級數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù).定義2：設(shè)是區(qū)間上一點(diǎn)，若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱為級數(shù)的收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)的全體稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域；使發(fā)散的點(diǎn)的全體稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的發(fā)散域.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在它的收斂域內(nèi)是有和的，它是的函數(shù)，稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)其中前項(xiàng)部分和；余項(xiàng)；.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂域的求法3. 用比值法（或根值法）求，即 或 ；（2）解不等式，求出的絕對收斂點(diǎn)；（3）考察滿足的點(diǎn)處級數(shù)的收斂性；（4）寫出函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域.2.冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域及和函數(shù)定義3：形如的級數(shù)稱為的冪級數(shù)，其中為常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù).當(dāng)時，稱為的冪

13、級數(shù).定理1：（Abel定理）（4） 若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對于的，發(fā)散.（5） 若冪級數(shù)在處發(fā)散，則對于的，發(fā)散. 根據(jù)Abel定理，若冪級數(shù)存在非零的收斂點(diǎn)，也存在發(fā)散點(diǎn)，則存在一個實(shí)數(shù)R（）,使得當(dāng)時，絕對收斂；當(dāng)時，發(fā)散；R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.區(qū)間（）稱為級數(shù)的收斂區(qū)間.當(dāng)時，可能收斂也可能發(fā)散.由處的收斂性決定的區(qū)間（-R,R），-R,R），（-R,R或-R,R為冪級數(shù)的收斂域.如果冪級數(shù)只在點(diǎn)收斂，規(guī)定其收斂半徑為.如果冪級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂，規(guī)定其收斂半徑為.冪級數(shù)的收斂域求法：（1） 求收斂半徑.使用比值法或根值法，如果或，則；由此可得收斂區(qū)間；（2） 討論端點(diǎn)的斂散性.如果，

14、討論在的斂散性；（3） 寫出冪級數(shù)的收斂域.3. 冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1） 四則運(yùn)算：設(shè)，收斂半徑為,，收斂半徑為，則其收斂半徑為； 收斂半徑為.(2） 分析運(yùn)算和函數(shù)的連續(xù)性：冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的；如果冪級數(shù)在或處也收斂，則在處左連續(xù)（或在處右連續(xù)）.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 ，同時求導(dǎo)后得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是可積的，且有逐項(xiàng)積分公式同時逐項(xiàng)積分后得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.25. 函數(shù)展開成冪級數(shù)（E） 級數(shù)設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，則冪級數(shù) 稱為在點(diǎn)處的泰勒級數(shù).特別的，若，則級數(shù)稱為的級數(shù).注：只要在點(diǎn)處的某一

15、鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，就有上面的冪級數(shù)，這里的冪級數(shù)是否收斂，當(dāng)收斂時，是否收斂于原來函數(shù)都是不知道的.（F） 函數(shù)展開成冪級數(shù)的充要條件函數(shù)能在內(nèi)展成冪級數(shù)的充分必要條件是，其中，在和之間是的公式的Lagrange型余項(xiàng). 若函數(shù)可展成冪級數(shù)，則其展開式是唯一的，它就是的級數(shù).由于展開成冪級數(shù)的唯一性，所以我們可以用不同的方法求的冪級數(shù)展開式.（G） 冪級數(shù)展開的求法 直接法：計(jì)算，由此寫出的級數(shù)，并證明. 間接法：由于直接法通常比較復(fù)雜，所以冪級數(shù)展開多用間接法，也就是利用已知的冪級數(shù)展開式，并通過變量替換、四則運(yùn)算、逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分等方法，得到函數(shù)的展開式.（H） 常用的冪級數(shù)展開式：

16、 () （） （） () () ()該級數(shù)在端點(diǎn)處的收斂性，視而定.（B） 解題方法、技巧與例題分析關(guān)于冪級數(shù)，常見的題型有：冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域，冪級數(shù)求和，函數(shù)展開為冪級數(shù).例11.2.1(1988，I，)選擇題：若在處收斂，則此級數(shù)在處（1） 條件收斂 （B）絕對收斂（C）發(fā)散 （D）收斂性不能確定 【 】解：由于在處收斂，則當(dāng)時，冪級數(shù)絕對收斂，而，則冪級數(shù)在處絕對收斂.故應(yīng)選擇（B）.例11.2.2(2011.I)設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，則級數(shù)的收斂域?yàn)椋ˋ） (-1,1 (B)-1,1) (C)0,2) (D)(0,2 【 】解：有數(shù)列單間趨于0可知.于是級數(shù)發(fā)散，收斂，從而冪級

17、數(shù)的收斂域?yàn)?,2).應(yīng)選C.例11.2.3(1995，I，II)填空題：冪級數(shù)的收斂半徑R=_.解：.由于該冪級數(shù)缺偶次項(xiàng)，則冪級數(shù)收斂半徑為.解：令，則.根據(jù)DAlembert判別法可知，當(dāng)時原級數(shù)收斂，即時，原級數(shù)收斂，故收斂半徑為.評注：本題很容易出現(xiàn)錯誤的是，收斂半徑填為3.由于本題中冪級數(shù)只有奇數(shù)次項(xiàng)，所以按常規(guī)方法求出收斂半徑后方才時本題冪級數(shù)的收斂半徑.解法可以避免這種錯誤.例11.2.4(1997，I)填空題：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_.解：由于（）'=，可知冪級數(shù)的收斂半徑為3，從而可得冪級數(shù)的收斂半徑也為3.因此可知的收斂區(qū)間為（-2,4）.評

18、注：本題的條件不能確定該級數(shù)在端點(diǎn)和處的收斂性.例11.2.5(2000,I)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.解：由于，所以冪級數(shù)收斂半徑為3，收斂區(qū)間（-3,3）.當(dāng)時，因?yàn)?，且發(fā)散，所以原級數(shù)在處發(fā)散.當(dāng)時，由于，且級數(shù)與都收斂，所以原級數(shù)在處收斂.例11.2.6(2002,III)選擇題：設(shè)冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級數(shù)的收斂半徑為(A)5 (B) (C) (D) 【 】評注：此題為一道錯題.事實(shí)上，若取，則冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與，冪級數(shù)的收斂半徑為5.若取，則冪級數(shù)收斂半徑為；取，（若n為奇數(shù)），（若n為偶數(shù)），則由級數(shù)的收斂半徑為，級數(shù)的收斂半徑為，可知冪級

19、數(shù)的收斂半徑為.但是冪級數(shù)的收斂半徑為，冪級數(shù)的收斂半徑為5，可知冪級數(shù)的收斂半徑為.還可以適當(dāng)選取和滿足題中條件，使冪級數(shù)的收斂半徑為或或其他值.本題的參考答案為（A），原因就在于利用了“由的收斂半徑為R得出”這個錯誤的結(jié)論.例11.2.7(1990,I)求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù).解：由于，則冪級數(shù)的收斂半徑為，而當(dāng)時，原級數(shù)顯然發(fā)散，故原函數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1 ）. ，（）.例11.2.8(2005,I)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).解：由于所以冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（1,1），且 例11.2.9（1987年，1月）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù).解：由于,則冪級數(shù)的收斂半徑為R=2，在

20、（2,2）內(nèi)收斂。當(dāng)時，收斂.當(dāng)時，發(fā)散。故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)?2,2).設(shè) 則當(dāng)時，；當(dāng)時，顯然；故， 例 11.2.11（2002,1，）已知滿足 （n為正整數(shù)）且求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和. 解：由已知條件可見兩邊從1積分到得從而，例 11.2.11(2002,1,)(1)檢驗(yàn)函數(shù)滿足微分方程（2） 利用（1）的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù). 解：(1)因?yàn)?所以 （2）與相應(yīng)的其次微分方程為 其特征方程為，特征根為。因此其次微分方程的通解為 設(shè)非齊次微分方程的特解為 將帶入方程得A=。于是方程得通解為 .當(dāng)時，由此可得于是冪級數(shù)的和函數(shù)為： 例 11.2.12（1994，）將函數(shù)展為的冪級數(shù)。分析：冪級

21、數(shù)展開常用的有兩種方法：一種是直接法，另一種是間接法。比較多的情況下都是用間接法，即利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)及可逐項(xiàng)求積分的性質(zhì)、冪級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算和幾個基本展開式，講函數(shù)展開為冪級數(shù).解：由于則 兩邊積分得 例11.2.13（2001,I）設(shè)，試將展開為的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和解：因?yàn)?，所?，于是 ，因此例11.2.14（2007，I）設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足，證明：，求的表達(dá)式解：由于 ，所以 故知，對，有 由可知.再由可得 ，于是 11.3 數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和2. 基本方法數(shù)項(xiàng)級數(shù)求和的方法主要有三種：利用拆項(xiàng)消去中間或其它初等方法求出部分和，由定義求級數(shù)的和利用已知和的級數(shù)（如等

22、比級數(shù)等）及級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求級數(shù)的和借助求冪級數(shù)的和函數(shù)求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和注：只有特別簡單的情況才能直接計(jì)算部分和，利用第一種方法；利用第二種方法求和，要熟悉一些常用結(jié)果： ， ， 當(dāng)級數(shù)通項(xiàng)中含有某個數(shù)次冪作為因子時用第三種方法3. 解題方法、技巧與例題分析例11.3.1（1991，I，II）選擇題：已知，則級數(shù)等于（A）3 （B）7 （C）8 （D）9 【】解：由于，所以 故應(yīng)選（C）例11.3.2填空題：（ ）解：由于，所以原式=例11.3.3（1999，III）填空題：（ ）解：令，則當(dāng)時，收斂，且有 ，故解：令，則 ，兩式相減得，故例 11.3.4（1996，I，II）求級數(shù)的和.解

23、利用基本公式 ln(1-)=-,(|<1)可得原式= 例 11.3.5 （1993，I，II）求級數(shù)的和.解：其中 由 可得 所以 例 11.3.6 （1999，I）設(shè) （1）求的值. （2）試證：對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂. 分析：（1）是求級數(shù)的和，首先應(yīng)計(jì)算積分得到通項(xiàng)；對（2）只需證明（M>0為常數(shù)）即可. 解：（1）因?yàn)樗?故 . （2）由（1）可知,則.又由知收斂，從而級數(shù)收斂. 評注：可以直接證明如下： .例 11.3.7 （2000年，III）設(shè)，求.解：由，有 .評注：在本題求解過程使用了基本公式.例11.3.8（1998，III）設(shè)有兩條拋物線與，記它們交點(diǎn)的橫坐

24、標(biāo)的絕對值為.（C） 求這兩條拋物線圍成平面圖形的面積；（D） 求級數(shù)的和.解：由與得.因圖形關(guān)于軸對稱，所以 .因此，從而 . 復(fù) 習(xí) 題4. 填空題：（C） （1992，IV）級數(shù)的收斂域?yàn)開。（D） （2009，III）冪級數(shù)的收斂半徑為_。（E） （2008，I）已知冪級數(shù)在x=0出收斂，在x=-4出發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)開。 （2） 選擇題：（在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是符合題目要求的，把所選的選項(xiàng)的字母填在題后的括號內(nèi).） （1）設(shè)級數(shù)收斂，且，則級數(shù)（ ） （A）絕對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性無法確定（B） 若級數(shù)在處收斂，則級數(shù) （ ） （A）絕

25、對收斂 （B）條件收斂 （C）發(fā)散 （D）收斂性與有關(guān)（C） （2009，I）設(shè)有兩個數(shù)列，若，則 （ ） (A)當(dāng)收斂時，收斂 (B)當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散 (C)當(dāng)收斂時，收斂 (D)當(dāng)發(fā)散時，發(fā)散（D） （2004，I）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù).下列結(jié)論正確的是 （ ） （A）若，則級數(shù)收斂 （B）若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散 （C）若級數(shù)收斂，則 （D）若級數(shù)發(fā)散，則存在非零常數(shù)，使得（E） （2003，III）設(shè)則下列明天正確的是（ ）. （A）若條件收斂，則與都收斂 （B）若絕對收斂，則與都收斂 （C）若條件收斂，則與的收斂性不定 （D）若絕對收斂，則與的收斂性不定（F） （1989，I，II）設(shè)函數(shù)，而 ，其中則為 ( ) （A） （B） （C） （D）（G） （2005，III）設(shè)若發(fā)