反常積分習(xí)題課高教課堂

1、反常積分習(xí)題課第十一章第十一章 mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析基本問題：反常積分的斂散性判別及其計(jì)算u 無(wú)窮積分與暇積分的概念及其斂散性，無(wú)窮積分與暇積分的概念及其斂散性，絕對(duì)收斂性絕對(duì)收斂性u(píng) 斂散性判別：斂散性判別：cauchycauchy準(zhǔn)則，比較判準(zhǔn)則，比較判據(jù)（據(jù)（cauchycauchy），），dirichletdirichlet判據(jù)，判據(jù)，ableable判據(jù)判據(jù)u 無(wú)窮積分與暇積分的計(jì)算（極限）無(wú)窮積分

2、與暇積分的計(jì)算（極限）3教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析統(tǒng)一思想：轉(zhuǎn)化思想，極端原理u 由熟悉（有界閉區(qū)間有界函數(shù)的性由熟悉（有界閉區(qū)間有界函數(shù)的性質(zhì)）認(rèn)識(shí)（極限性質(zhì)）陌生；極端質(zhì)）認(rèn)識(shí)（極限性質(zhì)）陌生；極端原理（抓主要矛盾、控制思想）。原理（抓主要矛盾、控制思想）。u 同號(hào)函數(shù)，越小越好。同號(hào)函數(shù)，越小越好。u 變號(hào)函數(shù)，分解為二，一單調(diào)，變號(hào)函數(shù)，分解為二，一單調(diào)，二震蕩，二者相輔相成。二震蕩，二者相輔相成

3、。4教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析基本要求：理解思想，牢記法則u 理解理解cauchycauchy收斂準(zhǔn)則的科學(xué)依據(jù)；收斂準(zhǔn)則的科學(xué)依據(jù)；u 理解比較判別法、理解比較判別法、dirichletdirichlet及及ableable判判別法的科學(xué)依據(jù)；別法的科學(xué)依據(jù)；u 牢記兩個(gè)特殊函數(shù)類的積分?jǐn)可⑿?；牢記兩個(gè)特殊函數(shù)類的積分?jǐn)可⑿?；u 牢 記 三 種 判 別 法 ： 比 較 判 別 法 、牢 記 三 種 判

4、別 法 ： 比 較 判 別 法 、dirichletdirichlet及及ableable判別法。判別法。5教育教學(xué)6教教育育教學(xué)教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析一、反常積分及其斂散性概念一、反常積分及其斂散性概念7教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis

5、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析無(wú)窮積分 = 無(wú)界區(qū)間上（有界函數(shù)）的積分三種情況： a, )； ( , b； ( , )暇積分 = （有界區(qū)間上）無(wú)界函數(shù)的積分三種情況：(a,b;a,b);a,c)(c,b8教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析在任何有限區(qū)間在任何有限區(qū)間a, u上可積，且存在極限上可積，且存在極限1. 無(wú)窮積分的收斂性lim( )duauf xx歸結(jié)為變上限積分函數(shù)的極限問題歸結(jié)為變上限積分函數(shù)的極限問題計(jì)算無(wú)

6、窮積分的依據(jù)計(jì)算無(wú)窮積分的依據(jù)9教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析在任何內(nèi)閉區(qū)間在任何內(nèi)閉區(qū)間u, b (a, b上可積且存在極限上可積且存在極限2. 暇積分的收斂性lim( )d,buuaf xxj歸結(jié)為變下限積分函數(shù)的極限問題歸結(jié)為變下限積分函數(shù)的極限問題計(jì)算暇積分的依據(jù)計(jì)算暇積分的依據(jù)10教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 ma

7、thematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析3. 兩類重要的反常積分1d pxx10d (0)qxqx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)p 1時(shí)收斂。時(shí)收斂。當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)q a 使得使得非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) 大的收斂大的收斂 小的收斂小的收斂 小的發(fā)散小的發(fā)散 大的發(fā)散大的發(fā)散0( )( ),f xg xxm 16教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析比較判別法的極限形式比較判別法

8、的極限形式若若 f 和和 g 都在都在a, u上可積上可積, g(x) 0, 且且 則有則有 :也發(fā)散也發(fā)散.( )lim,( )xf xcg x17教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析cauchy判別法判別法設(shè)設(shè) f 定義于定義于a, )(a 0), 且在且在任何有限區(qū)間任何有限區(qū)間a, u上可積上可積, 則則(i) 當(dāng)當(dāng)(ii) 當(dāng)當(dāng)其中m是某正實(shí)數(shù)。( ),pmf xx( ),pmf xx18教育教學(xué) mat

9、hematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析cauchy判別法極限形式判別法極限形式 設(shè)設(shè) f 定義于定義于a, ), 在任何在任何有限區(qū)間有限區(qū)間a, u上可積上可積, 且且則有則有l(wèi)im( ),pxxf x( )( )1ppf xxf xx1( )pf xx19教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathemati

10、cal analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析dirichlet判別法判別法 若若原理：cauchy判別準(zhǔn)則，積分第二中值定理。(2) g(x)在在a, )當(dāng)當(dāng)x時(shí)時(shí)單調(diào)趨于單調(diào)趨于0.上有界上有界, (1)3. 3. 非負(fù)函數(shù)比較法則非負(fù)函數(shù)比較法則f (x)的原函數(shù)是有界函數(shù)的原函數(shù)是有界函數(shù)20教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析abel判別法判別法 若若原理：cauchy判別準(zhǔn)則，積分第二中值定理。(1) (2

11、) g(x)在在a, )上上單調(diào)有界單調(diào)有界.( )af x dx收斂收斂, ,21教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析重要例子重要例子與與在在p 0時(shí)時(shí)收斂收斂.1sindpxxx1cosdpxxx21sind ,xx21cosd ,xx41sind ,xxx收斂收斂( (絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂) )的無(wú)窮積分的被積函數(shù)的無(wú)窮積分的被積函數(shù)( (即使連續(xù)即使連續(xù)) )未必趨于未必趨于0 0，甚至可能是無(wú)界的。，甚至可能

12、是無(wú)界的。若無(wú)窮積分收斂且被積函數(shù)若無(wú)窮積分收斂且被積函數(shù)f(x)收斂收斂或或一致連一致連續(xù)續(xù)或或單調(diào)單調(diào)，則被積函數(shù)，則被積函數(shù) f(x) 趨于趨于0 0。22教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析三、瑕積分的性質(zhì)與收斂判別三、瑕積分的性質(zhì)與收斂判別23教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismat

13、hematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析1. 1. cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則任給任給 0, 存在存在 0, 只要只要u1, u2 (a, a ), 總有總有2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx瑕積分瑕積分 (瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn)為a) 收斂的充要條件是收斂的充要條件是:( )baf x dx24教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析線性可加性線性可加性2. 基本性質(zhì)1 122

14、1122( )( ) d( )d( )d .bbbaaak f xk fxxkf xxkfxx區(qū)間可加性區(qū)間可加性( )d( )d( )d ,bcbaacf xxf xxf xx終點(diǎn)無(wú)關(guān)性終點(diǎn)無(wú)關(guān)性(a為瑕點(diǎn)為瑕點(diǎn))( )dcaf xx( )dbaf xx與同斂散.25教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析絕對(duì)收斂性絕對(duì)收斂性設(shè)設(shè) f 的瑕點(diǎn)為的瑕點(diǎn)為a, f 在在(a, b的任一內(nèi)閉區(qū)間的任一內(nèi)閉區(qū)間u, b上可上

15、可( )d|( )|d .bbaaf xxf xx積積. 則當(dāng)則當(dāng) 收斂時(shí)收斂時(shí), 也必收斂也必收斂, 并并有有|( )|d .baf xx( )dbaf xx絕對(duì)收斂者一定收斂，反之未必絕對(duì)收斂者一定收斂，反之未必. . 當(dāng)當(dāng) 收斂時(shí)收斂時(shí), 稱稱 絕對(duì)收斂；收斂絕對(duì)收斂；收斂而非絕對(duì)收斂者稱條件收斂而非絕對(duì)收斂者稱條件收斂|( ) |d .baf xx( )dbaf xx26教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析

16、比較法則比較法則 設(shè)定義在設(shè)定義在(a, b上的兩個(gè)函數(shù)上的兩個(gè)函數(shù) f 和和g, 瑕點(diǎn)同為瑕點(diǎn)同為x a, 在任何在任何u, b (a, b上都可積上都可積, 且滿足且滿足( )dbaf xx3. 3. 非負(fù)函數(shù)比較判別法非負(fù)函數(shù)比較判別法0( )( ), ( , ,f xg xxa b27教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析比較判別法漸近性態(tài)比較判別法漸近性態(tài)若若g(x) 0, 且且 則有則有:( )lim,(

17、 )xaf xcg x28教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析cauchy判別法判別法上可積上可積, 則則(i) 當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) f 定義于定義于(a, b, a為其瑕點(diǎn)為其瑕點(diǎn),且在任何且在任何u, b (a, b(ii) 當(dāng)當(dāng)|( )|, ()pmf xxa|( )|, ()pmf xxa29教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathe

18、matical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析cauchy判別法漸近性態(tài)判別法漸近性態(tài)則有則有:上可積上可積. 如果如果設(shè)設(shè) f 定義于定義于(a, b, a為其瑕點(diǎn)為其瑕點(diǎn),且在任何且在任何u, b (a, blim()( ),pxaxaf x1( )()pf xxa30教育教學(xué) mathematical analysis mathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 mathematical analysismathematical analysis 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析dirichlet判別法判別法(2) g(x)在在(a, b當(dāng)當(dāng)x a+時(shí)時(shí)單調(diào)趨于單調(diào)趨于0.原理：cauchy判