第三章離散時間信號的變換域分析

1、主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：l 傅立葉變換 離散時間傅立葉變換（discrete-time fourier transform，dtft)（定義、收斂條件、性質(zhì)） 離散傅立葉變換（discrete fourier transform，dft)（定義、性質(zhì)）l z變換（定義、收斂條件、逆變換、性質(zhì)）3.1 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換l 3.1.1 定義定義 () () ()()()()arg()()()jjnnjjjjjjreimjjjx ex n ex ex exexex eex ex efourier spectrumx emagnitude functionmagnitude spect

2、rumph 為復數(shù)，可以表示為:其中：傅立葉頻譜（）：幅度函數(shù)（）或幅度譜（）：相位函數(shù)（ase functionphase spectrum）或相位譜（）001.12.111jj nnnnjnj nnj njjnnnndtften ex nu nx eu n eeee 例：的，傅立葉頻譜的性質(zhì)：傅立葉頻譜的性質(zhì)： 1. jrejimjimjrejjjimjjreexexexexexexexexextansincos222 的奇函數(shù)為，的偶函數(shù)為，對實序列，有jimjrejexexex 2.32jx e、為 的連續(xù)函數(shù)，且為周期函數(shù)，周期為12jkx e證明： 12jk nnx n e 12j

3、njknnx n ee 1jnnx n e1jx e 12jj nx nx eed x n證明： 121212sin1sin0j lj nnjn lnjn ljn lnnnx l eedx ledeex lj nlj nlnlx lx lnlx nnlnlnlnlnlnl 其中，傅立葉反變換傅立葉反變換（inverse discrete-time fouriertransform,idtft）：l 3.1.2 收斂條件（收斂條件（convergence) 如果xn的dtft在種意義上收斂，則稱xn的傅立葉變換存在 nnnjjjknjkjkkknnjjknxenxexdtftnxexnxexex

4、enxexeconvergencuniform存在的一致收斂，即，則如果，一致收斂的定義為令）、一致收斂（0lim1 ）（，但不絕對可加能量為例：理想低通濾波器列不一定絕對可加）限能量，但有限能量序（絕對可加序列具有有）、均方收斂（cjlpnlpclpcnjnjnjlpccjlpjkjkccccccddehnhnhnnjnejnedenhehdexexeconvergencsquaremean2121sin21210010lim2222 nanxnanxnnnudtft指數(shù)序列：正弦序列：階躍序列：加信號的、非絕對可加或均方可0cos00013 jdtftnkdtftnjkjdtftkdtft

5、dtftenukekenukndtft11122211221100，對常用l 3.1.3 帶限信號帶限信號（bandlimited signals)）（帶寬為帶通信號）為（帶寬（例：低通信號中一部分的信號頻譜只占lhhlppwidthband000l 3.1.4 dtft的性質(zhì)的性質(zhì)1. 一般性質(zhì)2. 復序列的對稱性3. 實序列的對稱性 table 3.2 序列的離散時間傅立葉變換的基本性質(zhì)序列的離散時間傅立葉變換的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 序列序列 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 線性線性 時移時移 頻移頻移 頻率微分頻率微分 卷積卷積 相乘相乘 帕斯瓦爾公式帕斯瓦爾公式 g n()jg e

6、 h n()jh e g nh n0g nn0 jng nen gn g nh n g n h njjg eh e0()j njeg e0()()jg e ()jd gejd()()jjg eh e()1() ()2jjg eh ed *1 ()()2jjg n h ng eh ed table 3.3 復序列的離散時間傅立葉變換的對稱關(guān)系復序列的離散時間傅立葉變換的對稱關(guān)系 序列序列 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 ()jx e x nxn*xn()jx e*()jxe re x n*1() ()()2jjjcsxex ex eim jx n*1() ()()2jjjcax ex ex

7、 e csxn()jrexe caxn()jimjxetable 3.4 實序列的離散時間傅立葉變換的對稱關(guān)系實序列的離散時間傅立葉變換的對稱關(guān)系 序列序列 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 對稱關(guān)系對稱關(guān)系 x n()()()jjjreimx exejxe evxn()jrexe odxn()jimjxe*()()jjx exe()()jjrerexexe()()jjimimxexe ()| |()|jjx ex earg()arg()jjx ex e 注注: : 和和 分別代表著分別代表著 的偶部和奇部的偶部和奇部 evxn odxn x nl 3.1.5 能量密度譜能量密度譜 deg

8、ngjng22212jjggegeslljggjggelreslljghjghelresk=input(頻率點數(shù)量=);num=input(分子系數(shù)=);den=input(分母系數(shù)=);w=0:pi/(k-1):pi;h=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h);grid;title(實部);xlabel(omega/pi);ylabel(振幅);subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h);grid;title(虛部);xlabel(omega/pi);ylabel(振幅);l 3.1.6 使用使用matlab計算計

9、算dtftsubplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h);grid;title(幅度譜);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);subplot(2,2,4)plot(w/pi,imag(h);grid;title(相位譜);xlabel(omega/pi);ylabel(相位，弧度);頻率點數(shù)量=256分子系數(shù)=0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008分母系數(shù)=1 2.37 2.7 1.6 0.413.2 離散傅立葉變換離散傅立葉變換l 3.2.1 定義定義 12/2/0102/1001101njjkn nk nnnknnnjnnnknnkd

10、ftx kx ex n ex nwknx knweidftx nx k wnnn：為 點有限長序列，： 11111000001100111nnnnnk l nlnknlnnnnnnnknknnk l nnknx nwx k wwx k wnnx kwx ln 證明： ）次復加（次復乘，的運算量：和：例：例102/2/2121211010/2cos2011001101121010/2/2/2210210 nnnidftdftotherwisernknrknwwkxwweenxnrnnnrnnxwkxotherwisemnnxkxotherwisennxotherwisernlkneeewnnnk

11、rnnnnkrnrnnrnnnrnjnrnjkmndftdftnlkjlkjnnnklnjnnnlknl 3.2.2 矩陣關(guān)系矩陣關(guān)系 *11121124212111111211242121111111111111111110110nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnttdnwwwwwwwwwdidftwwwwwwwwwdnxxxnxxxdft其中：其中，則，：令xdxxdxxxl 3.2.3 用用matlabmatlab計算計算dftdft例例3.11n=input(輸入序列的長度=);m=input(輸入離散傅立葉變換長度=);u=ones(1,n);u=

12、fft(u,m);t=0:1:n-1;stem(t,u);title(原始時域序列);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅);pause;subplot(2,1,1);k=0:1:m-1;stem(k,abs(u);title(dft抽樣點的幅度);xlabel(頻率序號k);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);stem(k,angle(u);title(dft抽樣點的相位);xlabel(頻率序號k);ylabel(相位);例例3.12k=input(輸入離散傅立葉變換長度=);n=input(輸入離散傅立葉逆變換長度=);k=1:k;u=(k-1)/k;u=iff

13、t(u,n);k=1:k;stem(k-1,u);title(原dft抽樣點);xlabel(頻率序號k);ylabel(振幅);pause;subplot(2,1,1);n=0:1:n-1;stem(n,real(u);title(時域抽樣點實部);xlabel(時間序號n);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);stem(n,imag(u);title(時域抽樣點虛部);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅);3.3 dtft與與dft的關(guān)系的關(guān)系 2/1/2102/1/2/2210/210/21010101022sin22sin122sin22sin11111 .

14、 3 . 3 nnkjnkjnnkjnkjknjnnnnkjnnnknjnjnknnnjnkknnnnnjjenknknkxnexenknkneeeeekxnewkxnenxexdtftdft插值 2/2111000103.3.211101110jjk nklknlnnnnk n lknklknnnnnkkllknnk n lnkdtftdfty kx ex ex l wy ny k wx l w wx lwnnnx nmnnnrnmmwotherwisenx n 采樣當長度小于或 01ny nx nnn等于 時， 0 12 3 4 52/444054 6 2 3 4 6jx nx ekidf

15、ty nx nx nx nny n例：， ， ， ， ，取在的頻域樣點做， ， ， ， ，l 3.3.3 dft用于用于dtft的數(shù)值計算的數(shù)值計算 kxenxexmnnnnnxxenxenxexnmmkmkexnnnxemnmknjejennmknjnnnjjkjkkk10/210/2101101010/210，則定義，在，需計算，3.4 dft的性質(zhì)的性質(zhì)table3.5 dft的基本性質(zhì)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 長度為長度為n的序列的序列 n點離散傅立葉變換點離散傅立葉變換 線性線性 循環(huán)時移循環(huán)時移 循環(huán)頻移循環(huán)頻移 二元性二元性 n n點循環(huán)卷積點循環(huán)卷積 相乘相乘 帕斯瓦爾公式帕斯瓦爾

16、公式 g n h n g k h k g nh n0ngn-n 0 knnwg n g n10 nnmg m h nm g n h n1122001| | |nnnkx nxkn kg kh0( )knnwg k0 ng kk nn gk( ) ( )g k h k101 nnmg m hkmntable3.6 復序列的離散傅立葉變換的對稱關(guān)系復序列的離散傅立葉變換的對稱關(guān)系 序列序列 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 x n * x n* nxk* nxn* xk re x n*1 2pcsnnxkxkxkim jx n*1 2pcannxkxkxk pcsxnre x k pcaxni

17、m jx k x k注注: : 和和 分別代表著分別代表著xnxn 信號的周期共軛性對稱及周期共軛性反對稱部分信號的周期共軛性對稱及周期共軛性反對稱部分. .同同 時時, ,xpcskxpcsk 和和xpcakxpcak 分別代表著分別代表著xkxk 的周期共軛性對稱及周期共軛性反對稱部分的周期共軛性對稱及周期共軛性反對稱部分 pcsxn pcaxntable 3.7 實序列的離散傅立葉變換的對稱關(guān)系實序列的離散傅立葉變換的對稱關(guān)系 序列序列 離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換 x n re im x kx kjx k pexnre x k poxnim jx k* nx kxkre re

18、nx kxkim im nx kxk | | | |nx kxkarg arg nx kxk 對稱關(guān)系對稱關(guān)系 l 3.4.1 序列的循環(huán)移位序列的循環(huán)移位（circular shift）（定義：nmmnnnnnxnnnnnxnnxnnmod0100000l 3.4.2 循環(huán)卷積循環(huán)卷積（circular convolution） 11220000120220110nhngnyhgnynnhngnnmnhmgnyonconverlutilinearnnnhngllnml值為最后一個非值為點，第一個非至假設補、其中）點序列的線性卷積（、點長的序列為、設例（3.15、3.16、3.17） ）（循環(huán)

19、矩陣，矩陣形式表示為）、循環(huán)卷積（matrixcirculantngggghnhnhnhhhhhhnhhhhnhnhhyyyynhngnymnhmgnynconvolutiocircularcccccnnmc121003213012210112100000n210l 3.5.1 兩個實序列兩個實序列dft的計算的計算3.5 實序列實序列dft的計算的計算 nnnnknxkxkxkxjkhkxkxkgnjhngnxnhng*2121其中，則為實序列，令、設 120122101222210210102101012210221202nkkhwkgwnhwwngwwnhwngwnvwnvwnvnvnn

20、nvnhnvngnnvnknnnnnknknnnnknnnknnknnnnknnnknnnnnknnnnkn，點實序列，為設l 3.5.2 2n點實序列點實序列dft的計算的計算3.6 使用使用dft計算線性卷積計算線性卷積l 3.6.1 兩個有限長序列的線性卷積兩個有限長序列的線性卷積 nhlngnynhngnylnmmnnhnhlnnnnngngnmlmnnhngeeclee則，定義，令和長為、設101010101例例3.20 x=input(輸入第一個序列=);h=input(輸入第二個序列=);l=length(x)+length(h)-1;xe=fft(x,l);he=fft(h,l

21、);y1=ifft(xe.*he);k=0:1:l-1;subplot(2,1,1);stem(k,y1);title(基于dft的線性卷積結(jié)果);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅);y2=conv(x,h);error=y1-y2;subplot(2,1,2);stem(k,error);title(誤差序列);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅);l 3.6.2 有限長序列與無限長序列的線性卷積有限長序列與無限長序列的線性卷積 點）均為和點重疊（處有在與注：其中，則其中點序列為因果序列，切分為設）、重疊相加（為無限長序列點有限長序列，為設1120101111010

22、010mnnynymmrnnrnnxnhnynxnhnylnxnhnymnnylnxlhnyotherwisennmnnxnxmnnxnxnxnnxmethodaddoverlapnxnhlnxlhnynxmlhrrrrrrmmmmlmmmmml例例3.21r=64;d=rand(r,1)-0.5;for m=1:1:r; s(m)=2*(m-1)*(0.9)(m-1); x(m)=s(m)+d(m);endk=0:1:r-1;m=input(滑動平均濾波器長度=);h=ones(1,m)/m;y=fftfilt(h,x,4);plot(k,s,r-,k,y,b*);legend(r-,sn,

23、b*,yn);xlabel(時間序號n);ylabel(振幅); 111112001012nnmnymnmnynnmnwmnnynxnnhnwmnmnmnxnxmnxnxmnhmethodsaveoverlapmlmmmmmmm，則，令部分的第為點序列，為設）、重疊保留法（通常情況下，當nm時，長度為m的序列hn與長度為n的序列xn的n點循環(huán)卷積的前m-1個樣本與hn和xn的線性卷積不同，而后n-m+1個樣本則相同例（略）3.7 z變換變換l3.7.1 定義定義 為復數(shù)）（zzngngzzgnn與dtft的關(guān)系： 的連續(xù)函數(shù)變換在收斂域中為變換收斂域為環(huán)狀通常變換收斂），變換的收斂域（相等變換

24、與）時，（，當?shù)臑?，則令zzrrrzrzzrngroceconvergencofregionzdtftzzrdtftrngerngegrezggggnnnnnjnjj011z變換需在指定其收斂域才能唯一對應一個序列 0111111nnnnnnnx nu nx zu n zzzx zx zzz例：當時，收斂，收斂域為 11101111211111nnnmmmmnmnx nunx zzzzzzzx zzzz 例 ：當時，收斂域為 rzzrzrzrnunrrzzrzrzrnunrzznuzznuznzznznznzz2210100221010011cos21cossincos21cos1cos111

25、111變換變換變換變換變換所有變換對常用與傅立葉變換收斂的關(guān)系：1、序列g(shù)n的傅立葉變換當且僅當其z變換的收斂域包含單位圓時一致收斂2、傅立葉變換存在不能推出z變換存在例：hlpn傅立葉變換存在，但z變換不存在，因為hlpnr-n對所有的r不絕對可加l 3.7.2 有理有理z變換變換本書lti離散時間系統(tǒng)所涉及的z變換都為z的有理函數(shù)，可以表示為 nnnnmmmmmnnnmmdzdzdzdpzpzpzpzzdzdzddzpzpzppzdzpzg22110221102211022110或 nllmllmnnllmllzzdpzzzdpzg110011110011個極點時，額外個零點，處有額外時，

26、上式在當）稱為極點（），稱為零點（nmmnmnzmnpolezzerozll03.8 有理有理z變換的收斂域變換的收斂域 znznzznxznxzxotherwisennnnxnxnnnnnnnn0000, 00111212121時，當時，當有界，收斂域為則有限和只要級數(shù)每一項收斂，、有限長序列 cnnnrzznxzxnnnx收斂域為、右邊序列1102 xxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrznnxrzrzznxrzrnxznxznxrzrznnznznxznxznxzxrzrrnxrzzx時才有值，收斂域為在，如因此右邊序列收斂域為所以，則，因此，項，由于平面上收斂，對

27、于第二上式第一項在有限必然收斂上，圓外，即可以證明在上收斂，即在證明：若000122222111111221 xnnnrzznxzxnnnx收斂域為、左邊序列2203 xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrznnxrzznxrzrnxznxznxrzrznnznznxznxznxrzrnxrzzx時才有值，收斂域為在如所以，則因此，項，由于平面上收斂，對于第二上式第一項在有限上也必然收斂，則在上收斂，即在證明：若00000211112121111111 收斂時，當，第二項收斂域為第一項收斂域為、雙邊序列zxrrrzrzznxznxznxzxxxxxnnnnnn104 變換不

28、存在的因此，第二項收斂域為第一項收斂域為例：znuzzzzzununnnnnnn10例例3.29num=input(輸入分子系數(shù)=);den=input(輸入分母系數(shù)=);z,p,k=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp(零點在);disp(z);disp(極點在);disp(p);disp(增益常數(shù));disp(k);disp(極點半徑);disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp(二階部分);disp(real(sos);zplane(num,den);3.9 逆逆z變換變換l 3.9.1 定義定義 中極點的留數(shù)在留數(shù)定理來求圍線。該積分通?？捎梅较颦h(huán)

29、繞原點一周的單收斂域內(nèi)的反時針是一條在為圍線積分，積分路徑czzgngzxcdzzzgdzzzgjngncncn11121l 3.9.2 部分分式展開法（部分分式展開法（partial-fraction expansion） nlnllllnlnllzlnllllznmlllnungzzrocnungzzgzzzgpolessimplezlnfractionproperzdzpzdzpzzdzpzgl111111101minmax111，則如：，變換為則其逆其中）的情況、單極點（），為真分式（變換例：11212111211111112113135( ), 438( )11,(1)(3)(1)(3)8587,. (1)2(3)2571 1 223zznnzzh zx nzzaazh zzzzzzzaazzx nnu nu n lizgvzzddvilzvzzzglnlvzpolesmultiplevzlililililiiiilmlllnmlll1