分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(共10頁)

1、期中論文課程：中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究題目：分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用姓名：沙瑞珠學(xué)號：20111021226班級：2011級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2班分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用摘要：分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，它在人的思維發(fā)展中有著重要的作用，它貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)它能揭示數(shù)學(xué)對象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于總結(jié)歸納數(shù)學(xué)知識，使所學(xué)知識條理化本文依次闡述分類討論思想的含義，分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)和分類討論的原則并重點(diǎn)舉例說明分類討論思想在三角形，一元二次方程，集合，絕對值問題，不等式，函數(shù)，數(shù)列和排列組合中的應(yīng)用等關(guān)鍵詞：分類討論

2、數(shù)學(xué)思想 解題策略 中學(xué)數(shù)學(xué) 1 引言數(shù)學(xué)思想史對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性思考有位著名的教育家曾經(jīng)說過：真正的教育旨趣在于即使學(xué)生把教給他的所有知識都忘記了，但還有能使得他受用終生的東西，那種教育才是最高最好的教育這里“受用終生的東西”在數(shù)學(xué)里就是指數(shù)學(xué)的基本思想方法從而在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透是極其重要的分類討論思想是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它又稱“邏輯化分思想”，它是把所要研究的數(shù)學(xué)對象劃分為若干不同的情形，然后再分別進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)思想.有關(guān)分類討論的題目具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性的特點(diǎn).難度有易，有中，也有難.題型可涉及任何一種題型，知識領(lǐng)域

3、方面，可以“無孔不入”地滲透到每個數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域.所以探討分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是具有實際意義的2 簡述分類討論思想每個數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想通過對復(fù)雜多變的

4、事物按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?，有助于更為?zhǔn)確完整地認(rèn)識事物，恰當(dāng)?shù)姆诸悜?yīng)該是既不重復(fù)又不遺漏3 分類討論思想的標(biāo)準(zhǔn)一般地，在集合A上討論某一數(shù)學(xué)問題時，可根據(jù)某個標(biāo)準(zhǔn)P，把A劃分為子類，這時，在上實施對問題的討論等價于在A上實施對問題的討論，把P就叫做分類討論的標(biāo)準(zhǔn)例如，對方程及來說，判斷方程實根的情況其分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是還是還是，這時我們可以簡單的說按分類又如，討論函數(shù)的單調(diào)性，其分類討論標(biāo)準(zhǔn)是還是，可以理解為按分類又如的值，其分類討論標(biāo)準(zhǔn)可確定為是奇數(shù)還是偶數(shù)，并可簡單的認(rèn)為按分類4 分類討論的原則為了解決數(shù)學(xué)問題中的矛盾，分類旨在化大為小，化小為了，操作程序是各個擊破一般地，在集合A上

5、討論某一數(shù)學(xué)問題有困難時，可按某一分類標(biāo)準(zhǔn)P把A劃分為的并集，而后，分別在上討論這個數(shù)學(xué)問題與在A上討論這個數(shù)學(xué)問題相比較，其效果是一樣的分類時，要遵循以下三條原則： ；下面闡述這三條原則各自的作用.“”可以保證問題不是在空集上討論的，否則的話也就沒有什么意義了；“”可以保證問題不會重復(fù)，也就是說，在上討論問題，肯定不含中的元素；在上討論問題，肯定不含中的元素；“”可以保證問題不會遺漏，也就是說，分別在上討論問題，其總和等于在A上討論同一問題5 分類討論思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用5.1分類討論思想在三角形中的應(yīng)用5.1.1 三角形的邊長不明確時需分類討論例1 如果三角形的兩邊長分別是 23 cm

6、和 10 cm , 第三邊與其中的一邊長相等，那邊第三邊的長是多少？分析：由于題中所求的第三邊與其中一邊相等, 不明確具體,因此需分兩種情況討論解 當(dāng)?shù)谌叺拈L為 23cm 時, 其三邊長分別為 23cm 、23 cm 、10 cm ,它們滿足三角形三邊關(guān)系:兩邊之和大于第三邊.因此, 這三邊構(gòu)成三角形.所以第三邊的長為 23 cm ； 當(dāng)?shù)谌叺拈L為 10 cm 時, 其三邊長分別為 10cm 、10 cm 、23 cm , 因為，所以它不能構(gòu)成三角形,故第三邊長不能為 10cm綜上所述,第三邊的長為 23cm 例2:已知直角三角形兩條邊長為3和4，則第三邊長為_.分析：分類討論：當(dāng)4為直角

7、邊時，則另外一直角邊為3。則第三邊長為5。當(dāng)4為斜邊時，則另一直角邊為3，那么第三邊長為7.評注 題中的條件：“第三邊與已知兩邊的其中一邊相等”，存在兩種情況,這就是我們需進(jìn)行分類討論的依據(jù).若不作兩種情況的分類討論就是思維不慎密, 將會出現(xiàn)漏解或錯解5.1.2 三角形的高不明確時需分類討論例1 在三角形 A BC中,AB= 8， A C= 5，則 B C等于多少？分析 根據(jù)題意可知，A BC不是邊AB和邊AC的夾角，所以三角形A BC 的形狀不確定，因此需進(jìn)行分類討論，才能正確、圓滿地解決問題解 i）當(dāng)AD落在的內(nèi)部時，如圖（1）所示，在中，因為，所以 ，同理，在中，所以 圖（1）ii）當(dāng)A

8、D落在外部時，如圖（2）所示，此時為鈍角三角形，同上，在中，在，所以， 圖（2）綜上所述，邊BC的長為5.2分類討論思想在集合中的應(yīng)用例1 同時滿足：（1）；（2）若的非空集合M有多少個？并寫出這寫出這些集合來解: 按集合M中元素個數(shù)分類討論：i）M中只有1個元素時，若，所以；ii）M中有2個元素時，滿足條件的M有2個：；iii）M中有3個元素時，滿足條件的M有2個：；iv）M中有4個元素時，滿足條件的M只有1個：；v）M中有5個元素時，滿足條件的M也只有1個：；所以適合條件的集合M共有7個例2 設(shè)求集合A中所有元素之和解: 當(dāng)時，此時集合A中所有元素之和為-1；當(dāng)時，集合A中含兩個元素，此時

9、，由韋達(dá)定理知，集合A中所有元素之和為 例3 設(shè)，其中，如果，求實數(shù)的取值范圍 解: ，因為 i) ii)即 此時方程化為即所以滿足條件 iii）由韋達(dá)定理知，得 綜上所述，實數(shù)的取值范圍為5.3分類討論思想在絕對值問題中的應(yīng)用絕對值的代數(shù)定義：例1 若，求的值解: 因為所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，例2 有理數(shù)到有理數(shù)-1的距離是3，有理數(shù)到3的距離是5，且，求的值分析: 在數(shù)軸上，到有理數(shù)-1的距離是3的有理數(shù)有兩個，一個是-4，另一個是2，即；到3的距離是5的數(shù)也有兩個，一個是-2，另一個是8，即解: 依題意得，解得因為，所以所以的值為-5或1，的值為1或7例3 解不等式分析: 解這

10、個不等式的關(guān)鍵在于確定的符號，由于的不同取值，可能為正，可能為負(fù)數(shù)，也可能為零，所以這個時候要分類討論，常運(yùn)用零點(diǎn)分類討論解: 令，得；令，得；所以在實數(shù)集內(nèi)應(yīng)以為分類標(biāo)準(zhǔn)，分成三個區(qū)間來討論：i）當(dāng)時，原不等式可化為，解得；ii）當(dāng)時，原不等式可化為，解得（舍去）；iii）當(dāng)時，原不等式可化為，解得；綜上，原不等式的解集合為評注 可見分類討論思想關(guān)鍵在于怎么分類，要由題意確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，要周密考慮，做到不重不漏5.4分類討論思想在不等式中的應(yīng)用例1 解關(guān)于的不等式分析: 因為，所以此不等式可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式因大小不能確定，故需分類討論解: 由題意得等價于 （1）若，則，不等式變?yōu)椋瑹o解

11、； （2）若，則，不等式變?yōu)?，無解； （3）若，則，所以； （4）若，則，所以 綜上所述，當(dāng)或時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為； 當(dāng)時，原不等式的解集為例2：解方程 x+2+3-x=5解：對于絕對值問題，往往要對絕對值符號內(nèi)的對象區(qū)分為正數(shù)、負(fù)數(shù)、零三種，在此方程中出現(xiàn)兩個數(shù)的絕對值；即x+2和3-x，對于x+2應(yīng)分為x=-2，x-2,x-2；對3-x應(yīng)分為x=3，x3，x3，把上述范圍畫在數(shù)軸上，可見對這一問題應(yīng)劃分為三種情形：x-2，-2x3，x3，得解如下：當(dāng)x-2時，化簡-（x+2）+3-x=5 得x=-2，這與 x-2矛盾，故x-2時方程無解。當(dāng)-2x3時，原方程x+3

12、+3-x=5恒成立，故滿足-2x3的一切實數(shù)x都是方程的解。當(dāng)x3時，化為x+2-（3-x）=5，得x=3，這與x3矛盾，故x3時無解。綜上所述，原方程的解為滿足-2x3范圍內(nèi)的任意實數(shù)評注 此題是含參型不等式題，屬于一級分類討論問題,通過正確的分類 ，可以使復(fù)雜的問題得到清晰、完整 、嚴(yán)密的解答應(yīng)注意最后要將結(jié)果歸納總結(jié)5.6分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用例1 已知關(guān)于的函數(shù)的圖像與軸總有交點(diǎn)，求的取值范圍解: （1）當(dāng)，即時，函數(shù)為一次函數(shù)，圖像與軸有一個交點(diǎn)； （2）當(dāng)時，此時函數(shù)為二次函數(shù)，解得，所以當(dāng)且時，函數(shù)圖像與軸有交點(diǎn)綜合（1）（2），當(dāng)時，圖像與軸總有交點(diǎn)評注 函數(shù)中最高項的系數(shù)

13、是含字母的不確定代數(shù)式，決定了它的取值的多種可能性 ，這時就需要分類討論本題是函數(shù)圖象與軸總有交點(diǎn) ，并沒有說明有幾個交點(diǎn)，所以未知數(shù)最高項的系數(shù)要分類討論6 避免分類討論的一般方法1、消去問題中的參數(shù)，則有的討論可避免分類討論.2、運(yùn)用反面求解法是避免分類討論的重要途徑。3、反客為主，變更主元的求解方法，往往能避免分類討論。4、若用合理選擇公式法求解，則可以有效地避免分類討論。5、運(yùn)用幾何法求解，就可避開討論。6、運(yùn)用判別式法求解，常常可以避免分類討論。7、若運(yùn)用變量代換法求解，則可避開分類討論。8、若用命題等價轉(zhuǎn)換法求解，則可回避分類討論。9、利用二次方程實根的分布法求解，就可以回避分類討

14、論。10、若運(yùn)動函數(shù)奇偶性求解，則可以避免分類討論。11、若用構(gòu)造實系數(shù)二次方程求解，則可避開分類討論。12、若從化簡已知條件入手求解，則可簡化討論甚至避開分類討論。13、利用整體討論法求解，就可簡化分類討論。14、若用化參數(shù)為函數(shù)的方法求解，則可簡化討論。15、若能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解，則可使問題討論簡化，乃至避免分類討論。通過以上的例子我們可以發(fā)現(xiàn)分類法，在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是相當(dāng)多的，它能使許多看似非常復(fù)雜的問題簡單化因此在用分類討論解決數(shù)學(xué)問題時要遵循一定的規(guī)則，注意合理的分類，對全體對象的分類必須做到不重不漏，每次分類必須保持在同一標(biāo)準(zhǔn)但要注意的是，在運(yùn)用時，不要盲目或機(jī)械地進(jìn)行分類討論有的題目雖然含有分類因素,但不要急于分類討論，要首先對問題作深人研究，充分挖掘題目的已知量與未知量之間的關(guān)系