專訓(xùn)2求二次函數(shù)表達式的常見類型

1、專訓(xùn)2求二次函數(shù)表達式的常見類型名師點金：求二次函數(shù)的表達式是解決二次函數(shù)問題的重要保證，在求解二次函 數(shù)的表達式時一般選用待定系數(shù)法，但在具體題目中要根據(jù)不同條件，設(shè) 出恰當?shù)谋磉_式，往往可以使解題過程簡便.由函數(shù)的基本形式求表達式方法1利用一般式求二次函數(shù)表達式1 .【中考黔南州】二次函數(shù)y = x2+bx+c的圖像與y軸交于點C(0, 6),與x軸的一個交點坐標是 A( 2, 0).(1)求二次函數(shù)的表達式，并寫出頂點 D的坐標； 5/(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移5個單位長度，當y<0時，求x的 取值范圍.(第1題)方法2利用頂點式求二次函數(shù)表達式2 .二次函數(shù)y=ax2+

2、 bx+c,當x=1時，有最大值8,其圖像的形狀、 開口方向與拋物線y= 2x2相同，那么這個二次函數(shù)的表達式是()A、y=-2x2-x+3B、y = 2x2 + 4C、y=-2x2 + 4x+8 D、y=-2x2 + 4x + 63 .某個二次函數(shù)的最大值是 2,圖像頂點在直線y = x+1上，并且圖 像經(jīng)過點(3, -6).求這個二次函數(shù)的表達式.方法3利用交點式求二次函數(shù)表達式4 .拋物線與x軸交于A(1 , 0), B( 4, 0)兩點，與y軸交于點C,且 AB = BC,求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式.方法4利用平移法求二次函數(shù)表達式5 .【中考綏化】把二次函數(shù) y=2x2的圖像向左平移

3、1個單位長度， 再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式是 :6. y = x2+bx+c的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位 長度，得到的圖像的表達式為 y=x2-2x-3.(1)b =， c=；（2）求原函數(shù)圖像的頂點坐標；（3）求兩個圖像頂點之間的距離.方法5利用對稱軸法求二次函數(shù)表達式（第7題）7 .如圖，拋物線y= x2+bx + c的對稱軸為直線x=1,且與x軸的 一個交點為（3, 0）,那么它對應(yīng)的函數(shù)表達式是 8 .如圖，拋物線與x軸交于A, B兩點，與y軸交于C點，點A的坐1標為（2, 0）,點C的坐標為（0, 3）,拋物線的對稱軸是直線x= 2.（1）求拋物線

4、的表達式；（2）M是線段AB上的任意一點，當 MBC為等腰三角形時，求點 M 的坐標.（第8題）方法6靈活運用方法求二次函數(shù)的表達式9 .拋物線的頂點坐標為（一2, 4）,且與x軸的一個交點坐標為（1, 0）, 求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式.由函數(shù)圖像中的信息求表達式10 .如圖，是某個二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表 達式是（）（第10題）A、y = x2 x2B、y=-2x2-1x + 21C、y= 一x2 2x+1D、y= x2+x + 211 .【中考南京】某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設(shè)銷售量與產(chǎn)量相 等.如圖中的折線ABD ,線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本 y1（單位:

5、 元），銷售價y2（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：kg）之間的函數(shù)關(guān)系.（1）請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；（3）當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【導(dǎo) 學(xué)號：89274021】（第11題）由表格信息求表達式12 .假設(shè)y=ax2+ bx+c,那么由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關(guān) 系式是（）x101ax21ax2+bx+c83A.y =x2-4x + 3B、y=x2-3x+4C、y = x2-3x+3 D、y = x2-4x+813 .二次函數(shù)y = ax2+ bx+c(a#0)自變量x和函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:x3一211 一2012132y5一429一4-

6、25一4074那么該二次函數(shù)的表達式為幾何應(yīng)用中求二次函數(shù)的表達式14 .【中考安順】某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它 由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同.其 中的一個小正方形 ABCD如圖乙所示，DG = 1米，AE = AF=x米，在五邊 形EFBCG區(qū)域上種植花卉，那么大正方形花壇種植花卉的面積 y與x的函 數(shù)圖像大致是（）（第14題）實際問題中求二次函數(shù)表達式15 .在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如下圖的直角墻角 （兩墻 足夠長），用28 m長的籬笆圍成一個矩形花園 ABCD（籬笆只圍AB , BC兩 邊），設(shè)AB=x m,花園的面積為S m

7、2.（1）求S與x之間的函數(shù)表達式；(2)假設(shè)在P處有一棵樹與墻CD, AD的距離分別是15 m和6 m,要 將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積的最大值.(第15題)答案1 .解：()把C點坐標(0, 6)代入二次函數(shù)的表達式得c= 6,把 A 點坐標( 2, 0)代入 y = x2+bx6得 b=1,二次函數(shù)的表達式為即 y= x 1 2-25.2 一一4 1頂點D的坐標為萬,(2)將二次函數(shù)的圖像沿y = x2 x 6.25 25數(shù)表達式為y=(x + 2)2-.%5令 y = 0,得(x + 2)2 z=0, 19 4解得 x1=2, x2 = 2.; a>0

8、,*4八5八軸向左平移5個單位長度所得圖像對應(yīng)的函1 <x<2.，一，一一 I 9當y<0時，x的取值范圍是一22 . D3 .解：設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點坐標為(x, 2),那么2= x+1,所以x =1,所以圖像的頂點坐標為(1, 2).設(shè)二次函數(shù)的表達式為y = a(x- 1)2 + 2,將點(3, 6)的坐標代入上式，可得a= 2.所以該函數(shù)的表達式為y = 2(x1)2+2,即 y= 2x2 + 4x.4 .解：由 A(1, 0), B( 4, 0)可知 AB = 5, OB = 4.又. BC = AB, .BC=5.在 RtBCO 中，OC= 4BC2OB2 = ,

9、52 42=3,.C點的坐標為(0, 3)或(0, 3).設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為 y=a(x-1)(x + 4),將點(0, 3)的坐標代3入得 3=a(0- 1)x(0+4),解得 a=4.將點(0, 3)的坐標代入得一3=a(0- 1)X(0+4),解得a= 4.二該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為 y=親x 1)(x + 4)或y=3(x- 1)(x +口口 39e39444),即 y= 一x2 ? + 3或 丫=?2 + ?3.點撥：假設(shè)給出拋物線與x軸的交點坐標或?qū)ΨQ軸及拋物線與 x軸的 兩交點間的距離，通?？稍O(shè)交點式求解.5 . y=2x2+4x6 .解：(1)2; 0(2)原函數(shù)的表

10、達式為 y=x2+2x = (x+1)21.其圖像的頂點坐標為(一1, -1).(3)原函數(shù)圖像的頂點為(一1, 1),新函數(shù)圖像的頂點為(1, -4).由 勾股定理易得兩個頂點之間的距離為巾3.7 . y= x2 + 2x+38 .解：(1)設(shè)拋物線的表達式為y=a把點(2, 0), (0, 3)的坐標代入，得1 1 2 , 25,y=-k 21 萬， 即 y = -gX2-gX+3.2 /口2 11 225 c(2)由 y = 0,得-2x + 2 +g = 0,25/2 I 號a 2 k-k.1. c4a+ k= 3.解得1 a= 2,25 k 8 .解得 x1 = 2, x2 = 3,

11、.Bl 3, 0).當CM = BM時，BO = CO = 3,即 BOC是等腰三角形，.當 M 點在原點O處時，zMBC是等腰三角形.M點坐標為(0, 0).當BC = BM時，在RtA BOC中，BO = CO=3,由勾股定理得 BC=、OC2 + OB2 = 3也.BM=3隹.M 點坐標為(3加 3, 0).綜上所述，點M坐標為(0,或(3也3, 0).2a= - . 一9.角2a方法工：設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為y = ax2+ bx+c,由題一 16意得4ac b2 = 4解得b,拋檄對應(yīng)而函數(shù)表達式20 y = 4x2 奉+ 20.方Q十函斜線對應(yīng)島百數(shù)表達式為y=a(x+2)2+

12、4,將點(1, 0)的4坐標代入得0=a(1 + 2)2+4,解得a= .9拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為 y= 4(x+ 2)2+ 4.目口 4 c 16209即 y = -9x2-x+.方法三：二拋物線的頂點坐標為(一2, 4),與x軸的一個交點坐標為(1,。)，拋物線的對稱軸為直線x =設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為代入得 4 = a(21)(2 + 5),4解得a= - 9.拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式為4 c 1620即 y=-9x2-9+-9.點撥：此題分別運用了一般式、2,與x軸的另一個交點坐標為(一5,0).y=a(x1)(x + 5),將點(2, 4)的坐標y=一T)(x+5),頂點式、交點

13、式求二次函數(shù)表達式,求二次函數(shù)的表達式時要根據(jù)題目條件靈活選擇方法，如此題中，第一種 方法列式較復(fù)雜，且計算量大，第【二】三種方法較簡便，計算量小.10 . D11 .解：(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產(chǎn)量為130 kg時,該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為 42元.(2)設(shè)線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式為y1=k1x + b1.因為y1 = k1x+b1的圖像過點(0, 60)與(90, 42), b1 = 60,90k1 + b1 m 420.2,解方程組得b1 = 60.這個一次函數(shù)的表達式為 y1 = - 0.2x + 60(0< x< 90).(3

14、)設(shè)y2與x之間的函數(shù)表達式為y2 = k2x+b2.因為 y2=k2x+b2 的圖像過點(0, 120)與(130, 42), b2=120,130k22£2=042.解方程得b2=120.這個一次函數(shù)的表達式為 y2=- 0.6x+ 120(0<x< 130).設(shè)產(chǎn)量為x kg時，獲得的利潤為W元.當 0WxW90 時，W= x(-0.6x+120)-(-0.2x+ 60)= 0.4(x 75)2 + 2 250.所以，當x = 75時，W的值最大，最大值為2 250.當 90<xW130 時，W=x(-0.6x+ 120) 42 = 0.6(x 65)2+2

15、535.當 x = 90 時，W= 0.6X(9065)2+2 535= 2 160.由一0.6< 0知，當x>65時，W隨x的增大而減小，所以90<x<130 時，W<2 160.因此，當該產(chǎn)品產(chǎn)量為75 kg時，獲得的利潤最大，最大利潤是 2 25 0元.12. A 13. y=x2 + x 214. A 點撥：先求出 AEF和ADEG的面積，然后可得到五邊形 EF BCG的面積，繼而可得y與x的函數(shù)表達式.11 一人一1一 一 1小 、SAAEF = -AE X AF = -x2, SADEG = 5DG 乂 DE = 5X 1 X (3-x) = 3-x2222S 五邊形 EFBCG = S 正方形 ABCD - SA AEF - SA DEG = 9 2x2 3-x 1 - . 1 , 1529 =-必 + 爐+ 9 ,2 2212115那么 y = 4X -2x2 + 2x + y =-2x2 + 2x + 30.0<AE<AD, /. 0<x<3,/.y=-2x2 +