復(fù)變函數(shù)講解解析函數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)講解解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)講解解析函數(shù)第一頁，編輯于星期一：十三點 六分。1 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 解析函數(shù)第1頁/共90頁第二頁，編輯于星期一：十三點 六分。000( )() lim zzf zf zzz (1) 導(dǎo)數(shù)的定義 定義2.1設(shè) 是定義在區(qū)域D上的( )wf z 存在，則稱 在 點可導(dǎo), 并把這個極( )f z0zz 限值稱為 在 點的導(dǎo)數(shù)，記做 0().fz ( )f z0zz 復(fù)變函數(shù), z0是區(qū)域D內(nèi)的定點. 若極限 第2頁/共90頁第三頁，編輯于星期一：十三點 六分。 定義中的極限式可以寫為 000()() lim, zf zzf zz 即當(dāng) 在 點可導(dǎo)時, ( )f

2、 z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意0(0)zzz 的方式是任意的.000()()lim.zf zzf zz 第3頁/共90頁第四頁，編輯于星期一：十三點 六分。 此時，對D內(nèi)任意一點z, 有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用 dd ( ), ddwf zzz等表示 在z點的導(dǎo)數(shù). ( )f z若 在區(qū)域 D內(nèi)每一點都可導(dǎo), 則稱 ( )f z( )f z在區(qū)域 D內(nèi)可導(dǎo).第4頁/共90頁第五頁，編輯于星期一：十三點 六分。則 例2.1設(shè) 2( ),f zz ( )f z在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)，且 ( )2 .fzz 解因為zzfzzfzf

3、z )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以第5頁/共90頁第六頁，編輯于星期一：十三點 六分。例2.2證明 ( )2f zxyi 在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù)，但處處不可導(dǎo). 證明對復(fù)平面內(nèi)任意點z, 有 ()( )f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故 0lim ()( )0.zf zzf z 這說明 ( )2f zxyi 在復(fù)面內(nèi)處處連續(xù). 第6頁/共90頁第七頁，編輯于星期一：十三點 六分。()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是, 設(shè) 沿著平行于x 軸的z 方向

4、趨向于 0, 即0, 0.xy 第7頁/共90頁第八頁，編輯于星期一：十三點 六分。xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以( )2f zxyi的導(dǎo)數(shù)不存在.設(shè) 沿著平行于y 軸的方向趨向于 0, 即z 0, 0,xy 第8頁/共90頁第九頁，編輯于星期一：十三點 六分。(2) 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 函數(shù)f (z)在z0處可導(dǎo)，則在z0處一定連續(xù), 但函數(shù)f (z)在z0處連續(xù)不一定在z0處可導(dǎo). 第9頁/共90頁第十頁，編輯于星期一：十三點 六分。(3) 求導(dǎo)法則 復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義

5、在形式上完全一致，同時，復(fù)變函數(shù)中的極限運算法則也和實函數(shù)中一樣，因而實函數(shù)中的求導(dǎo)法則可推廣到復(fù)變函數(shù)中，且證明方法相同.求導(dǎo)公式與法則:(1)( )0, c 其中c為復(fù)常數(shù).(2)1(),nnznz 其中n為正整數(shù).第10頁/共90頁第十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) ( )( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中

6、其中( )wf z 與( )zw 是兩個互為反函數(shù)的單值函數(shù), 且( )0.w 第11頁/共90頁第十二頁，編輯于星期一：十三點 六分。定義2.2 設(shè) 在區(qū)域D有定義. f z(1) 設(shè) , 若存在 的一個鄰域，使得 0zD 0z在此鄰域內(nèi)處處可導(dǎo), 則稱 在 處解析,( )f z0z( )f z也稱 是 的解析點. 0z( )f z(2) 若 在區(qū)域D內(nèi)每一點都解析，則稱 ( )f z在區(qū)域D內(nèi)解析, 或者稱 是區(qū)域D內(nèi)的( )f z( )f z解析函數(shù). 第12頁/共90頁第十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。(3) 設(shè)G是一個區(qū)域，若閉區(qū)域 ,DG 且 在G內(nèi)解析，則稱 在閉區(qū)域 上 (

7、 )f z( )f zD解析. 函數(shù) 在 處解析和在 處可導(dǎo)意義( )f z0z0z不同，前者指的是在 的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo), 0z但后者只要求在 處可導(dǎo). 0z第13頁/共90頁第十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。 復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價的. 事實上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo). 反之, 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo), 則對( )f z任意 存在z的某一個鄰域U, 使得U D,zD 由 在D內(nèi)可導(dǎo), 可知 在U內(nèi)可導(dǎo), 即( )f z( )f z在z處解析.( )f z第14頁/共90頁第十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。若函數(shù) 在 處不解析，則稱 是 ( )f z

8、0z0z( )f z的奇點. 若 是 的奇點, 但在 的某鄰域內(nèi), 0z( )f z0z除 外, 沒有其他的奇點，則稱 是函數(shù) 0z0z( )f z的孤立奇點. 由例2.1和例2.2知, 函數(shù) 是全2( )f zz 平面內(nèi)的解析函數(shù)，但是函數(shù) ( )2f zxyi 是處處不解析的連續(xù)函數(shù). 第15頁/共90頁第十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。根據(jù)求導(dǎo)法則，易得到下面的結(jié)論.設(shè)函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)解析, 則 ( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在D內(nèi)解析. 當(dāng) 時, 是00, ()0zD g z0z f zg z的解析點. 特別地, 多項式P(

9、z)在全平面內(nèi)解析,有理分式在復(fù)平面內(nèi)除分母為零的點之外解析, 分母為零的點是有理分式的孤立奇點. 第16頁/共90頁第十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。例2.3證明 在 處可導(dǎo), 2( )f zz z 0z 但處處不解析. 證明根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因此 在 處可導(dǎo)，且 ( )f z0z (0)0.f 當(dāng) 時, 由 得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z第17頁/共90頁第十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。故2000000( )()().f

10、zf zzzzzzzzzzz 雖然020000lim()22,zzzz zz zz但是當(dāng) z分別從平行于x, y軸方向趨于z0時， 分別 00zzzz 以1和-1為極限，因此 不存在. 又因為 000limzzzzzz 00,z 所以 不存在，即 000( )()limzzf zf zzz ( )f z在 時不可導(dǎo), 從而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析. 0z 第18頁/共90頁第十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。2 函數(shù)可導(dǎo)的充要條件1 函數(shù)可微的概念第19頁/共90頁第二十頁，編輯于星期一：十三點 六分。 復(fù)變函數(shù)可微的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致. 復(fù)變函數(shù)可微與可導(dǎo)是否也具有一

11、元實變函數(shù)可微與可導(dǎo)的關(guān)系？00()(), f zzf zAzz 定義2.3設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義, ( )f z0z若存在復(fù)常數(shù)A, 使得 其中 則稱 在 點可微. 0lim0,z ( )f z0z第20頁/共90頁第二十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。000()() lim. zf zzf zAz 引理復(fù)變函數(shù) 在點 可導(dǎo)的充分必要( )f z0z條件是 在 點可微，且( )f z0z0().Afz 證明若 存在，設(shè) 則 0()fz 0()Afz ，令 則00()() ,f zzf zAz 00()(), f zzf zAzz 且 . 0lim 0 z第21頁/共90頁第二十二頁，

12、編輯于星期一：十三點 六分。反之，如果 00()(), f zzf zAzz 則 00()().f zzf zAz 令 則 存在. 0,z 0()fzA 這個引理表明, 函數(shù) 在 可導(dǎo)與在( )f z0z0z可微等價.第22頁/共90頁第二十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。與一元實函數(shù)類似, 記 000d ()()() d ,f zfzzfzz d ( )( ) d .f zfzz 稱之為 在 處的微分. ( )f z0z如果函數(shù) 在區(qū)域D內(nèi)處處可微, 則稱( )f z( )f z在區(qū)域D內(nèi)可微, 并記為第23頁/共90頁第二十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。定理2.1復(fù)變函數(shù) ( )(

13、, )( , )f zu x yiv x y 在點 處可微 ( 即可導(dǎo) ) 的充分必要 000zxiy條件是二元函數(shù) 在 處都 ( , ), ( , )u x y v x y00(,)xy可微，并且滿足Cauchy-Riemann方程, .uvuvxyyx 此時 000( )( , ).uvf zix yxx 第24頁/共90頁第二十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。證明必要性. 若 存在，設(shè) 0()fz 0()fzaib (a, b是實常數(shù)). 由 , 000()()()f zzf zfzzz 12()()()()aibxi yixi y 12()a xb yxy 21(,i b xa yx

14、y 其中 12Re , Im . 第25頁/共90頁第二十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。顯然, 當(dāng) 時，0z 120, 0. 0000(,)(,),uu xx yyu xy 0000(,)(,),vv xx yyv xy 則 于是有 00()().f zzf zui v 12()ui va xb yxy 21().i b xa yxy 由兩個復(fù)數(shù)相等的條件可得設(shè)第26頁/共90頁第二十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。21.vb xa yxy 12,ua xb yxy 因此， 在 處可微，且 ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy.vubxy ,uvaxy 充分性. 若

15、 在 處可微, ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy且滿足Cauchy-Riemann方程. 令 , ,uvvuabxyxy 第27頁/共90頁第二十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。則1,ua xb y 2,vb xa y 其中 且當(dāng) 時， 22,xyz 0 120,0. 于是 00()()f zzf zui v 12()a xb yi b xa y 12()()()axi yb i xyi 12()().abizi 第28頁/共90頁第二十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。由 可得 22,xyz 12() 0 .iozz 由 , 可知 在 處可微, 且 ( )f z0

16、z 000(),.uvfzaibixyxx 0( ).uvuuvvvuf ziiiixxxyyxyy 并有如下結(jié)論成立第29頁/共90頁第三十頁，編輯于星期一：十三點 六分。定理2.2復(fù)變函數(shù) ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是 ( , ), ( , )u x y v x y在區(qū)域 D 內(nèi)可微, 且在D內(nèi)滿足Cauchy-Riemann方程 , .uvvuxyxy 在區(qū)域 D內(nèi) ( ).uvuuvvyuf ziiiixxxyyxyy 第30頁/共90頁第三十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。解析函數(shù)的判定方法: (1) 如果能夠用求導(dǎo)公式或求

17、導(dǎo)法則驗證復(fù)變函數(shù)f (z)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在, 則可直接斷定f (z) 在區(qū)域D內(nèi)解析. (2) 如果復(fù)變函數(shù)f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函數(shù) u(x,y)和 v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各個一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) (因而u(x,y)和v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微), 并且滿足Cauchy-Riemann方程, 則由解析函數(shù)的充要條件可以斷定函數(shù)f (z)在區(qū)域D解析.第31頁/共90頁第三十二頁，編輯于星期一：十三點 六分。).sin(cos)( (3). ;|(2). ;Re.12yiyezfzwzwx）（第32頁/共90頁第三十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。，且，）因為解：（

18、01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,Re從而不解析導(dǎo)可在整個復(fù)平面內(nèi)處處不所以立，方程在整個復(fù)平面不成所以zwRC第33頁/共90頁第三十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整個復(fù)平面上不可導(dǎo)。，；可導(dǎo)，在方程成立，所以處只有在點)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR第34頁/共90頁第三十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。且，所以因為,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvx

19、xvxyuxxueeee在整個復(fù)平面內(nèi)解析；方程成立，所以四個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且)(R-Czf).()sin(cos)( zfyiyexvixuzfx事實上，第35頁/共90頁第三十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。為常數(shù)）、（常數(shù)；、；、| )(|3)(Re)2( 0)( ) 1 (zfzfzf第36頁/共90頁第三十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。得，、由證明：0)( ) 1 (yvyuxvxuiizf )(內(nèi)為常數(shù)；在均為常數(shù)，從而、由數(shù)學(xué)分析的結(jié)論知，Dzfvu，0yvxvyuxu第37頁/共90頁第三十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。方程知：，由常數(shù)，所以、因為RCuyuxu)2(

20、，0yvxvyuxu )(內(nèi)為常數(shù)；在均為常數(shù)，從而、由數(shù)學(xué)分析的結(jié)論知，Dzfvu第38頁/共90頁第三十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。，00yvyuxvxuvuvu導(dǎo)數(shù)得：求、常數(shù)，分別對、因為yxzf2| )(|)3(，方程得：解析，所以由因為00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf。，所以0)(0)(2222yuxuvuvu22()00( )0vuvfzxu當(dāng)時，故，x結(jié)論成立。第39頁/共90頁第四十頁，編輯于星期一：十三點 六分。 和 在全平面內(nèi)處處可微，但 ( , )u x y( , )v x y2 , 2 , 2 , 2 .uuvvxyyxxyxy只有在實軸 上滿足Cau

21、chy-Riemann方程, 0y 所以 在實軸上可微. 但在任何一點的鄰域( )f z內(nèi)都有不可微的點，因此， 處處不解析. ( )f z例2.6設(shè) 問 22( )2,f zxyxyi( )f z在何處可微? 是否解析? 解記 顯然, 函數(shù) 22,2.uxy vxy第40頁/共90頁第四十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。例2.7設(shè) 2222( )(),f zxaxybyi cxdxyy其中 a, b, c, d是常數(shù)，問它們?nèi)『沃禃r, 函數(shù) f (z) 在復(fù)平面上解析. 解顯然， 22,uxaxyby在全平面可微，且 22vcxdxyy第41頁/共90頁第四十二頁，編輯于星期一：十三點 六

22、分。2, 2 .vvcxdydxyxy2, 2,uuxayaxbyxy 容易看出, 當(dāng) 時, 函數(shù)2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y滿足Cauchy-Riemann方程, 這時 函數(shù) 在全平面解析. ( )f z第42頁/共90頁第四十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。 Cauchy-Riemann方程在解析函數(shù)論及力學(xué)、物理學(xué)等的應(yīng)用中具有根本性的意義, 特別是在流體力學(xué)和靜電場理論中，起到重要作用.第43頁/共90頁第四十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.2.3 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 第44頁/共

23、90頁第四十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實變函數(shù)如果二元實變函數(shù) , ),( Dyx 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場理論等實際問題中有很重要的應(yīng)用.2222xy 稱為Laplace算子注：. ),( 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域為區(qū)域那么稱那么稱Dyx 0, 2222 yx 第45頁/共90頁第四十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。1. 兩者的關(guān)系證 ,)( 內(nèi)的一個解析函數(shù)內(nèi)的一個解析函數(shù)為為設(shè)設(shè)Divuzfw . , xvyuyvxu 根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理（后面我們會提到）, . 數(shù)

24、數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與與vu則滿足CR方程 ( )( , )( , ), wf zu x yiv x yD 設(shè)為區(qū)域內(nèi)的一個函數(shù)理一解析定.D則它的實部和虛部都是區(qū)域 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)第46頁/共90頁第四十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu從而從而. 0 2222 yvxv同理同理 . 都是調(diào)和函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)與與因此因此vu證畢例如:設(shè) f(z)=x-iy,則u(x,y),v(x,y)都是z平面上的調(diào)和函數(shù),但f(z)=x-iy在z平面上處處不解析.注：定理反之不正確; , 222222yxvyuxyvxu 從而從而xvyu

25、yvxu , 第47頁/共90頁第四十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。.,:的共軛調(diào)和函數(shù)不一定是的共軛調(diào)和函數(shù)是即如果換性共軛調(diào)和函數(shù)不具有交注vuuv三、共軛調(diào)和函數(shù)的定義 , uvuvxyyx 設(shè)函數(shù)u(x,y)及v(x,y)均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足C-R方程則稱v是u的共軛調(diào)和函數(shù)。第48頁/共90頁第四十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。l顯然，解析函數(shù)的虛部是實部的共軛調(diào)和函數(shù)。l反過來，由具有共軛性質(zhì)的兩個調(diào)和函數(shù)構(gòu)造的一個復(fù)變函數(shù)一定是解析的嗎？二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2. 兩者的關(guān)系定理二 復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件

26、是在區(qū)域D內(nèi)，f(z)的虛部v(x,y)是實部u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)。第49頁/共90頁第五十頁，編輯于星期一：十三點 六分。四、解析函數(shù)的構(gòu)造l由上面定理可知，給定一個調(diào)和函數(shù)u(x,y) （或v(x,y)） ，我們可以利用C-R方程求出對應(yīng)的v(x,y) （或u(x,y)） ，從而可以構(gòu)造出一個以u(x,y)為實部，以v(x,y)為虛部的解析函數(shù)。第50頁/共90頁第五十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。例3 32( , )3, ( , )( ),(0).u x yxxyzu x yf zfi驗證是 平面上的調(diào)和函數(shù)并求以為實部的解析函數(shù)使2233,uxyx22 6 ,uxx 6,ux

27、yy 22 6 ,uxy 解,z因為在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故為z平面上的調(diào)和函數(shù)( , )vvdv x ydxdyxy由有( , )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y原函數(shù)法第51頁/共90頁第五十二頁，編輯于星期一：十三點 六分。( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f

28、zzi故第52頁/共90頁第五十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解(法二),z因為在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故為z平面上的調(diào)和函數(shù)yxCRvu由方程中一個得( , )v x y22(33)( )xydyx233( )x yyx偏積分法第53頁/共90頁第五十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。xyCRvu 再由方程中另一個得23( , )3( )v x yx yyx6( )xyx6,xy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(

29、3)xxy23(3)ix yy3,zic (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第54頁/共90頁第五十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。例4 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函數(shù)求一解析函數(shù)和函數(shù)和函數(shù)為調(diào)為調(diào)已知已知解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex 第55頁/共90頁第五十六頁，編輯于星期一：十三點 六分

30、。 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ( ),g yyC ,)sincos(Cyxyyyxeux 于是于是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函數(shù)為.)1()(zizezfz 第56頁/共90頁第五十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。1 指數(shù)函數(shù)2 對數(shù)函數(shù)3 冪函數(shù)4 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)第57頁/共90頁第五十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。由( )(cossin )xf zeyiy在z平面上解析，且 當(dāng)z為實數(shù),

31、即 ( )( ).fzf z 當(dāng) y=0時, 與通常實指數(shù)函數(shù)一致, 因此 ( )xf ze 給出下面定義. 定義2.4假設(shè) 則由 ,zxiy(cossin )xeyiy 可知, 函數(shù)第58頁/共90頁第五十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。定義復(fù)指數(shù)函數(shù)，記 exp( )(cossin ),xzeyiy或簡記為(cossin ).zxeeyiy顯然Re(exp( )cos , xzey Im(exp( )sin ,xzey exp( ),xze Arg(exp( )2 (0,1, 2,). zykk 第59頁/共90頁第六十頁，編輯于星期一：十三點 六分。定理2.3 設(shè) 為指數(shù)函數(shù)，則 在全

32、平面zeze解析， 且 ,zzee 從而 其中n正整數(shù);(1)1212,zzzzeee (),znnzee 0,ze (2)當(dāng) 時, 其中 Im( )0z ( ),xf ze Re( );xz (3)ze是周期函數(shù), 其周期是 n非零整數(shù), 2,Tn i (4)1ze 的充分必要條件是 n為整數(shù). 2,zn i 2;zn izee 即第60頁/共90頁第六十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。證明只證明(1) . 令 111,zxiy 222.zxiy 由指數(shù)函數(shù)定義 1211221212() ()()()zzxiyxiyxxi yyeee12.zzee121212cos()sin()xxeyy

33、iyy 121212(coscossinsin)xxe eyyyy1212(sincoscossin)iyyyy121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy第61頁/共90頁第六十二頁，編輯于星期一：十三點 六分。例2.8求 的實部與虛部. exp()ze解令 因為 ,zxiycossinzxxeeyiey，所以cosexp()cos(sin )sin(sin ).xzeyxxeeeyiey從而有cosReexp()cos(sin ),xzeyxeeey cosImexp()sin(sin ).xzeyxeeey 第62頁/共90頁第六十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。

34、定義2.5指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù),即把滿足方程 的函數(shù) 稱 (0)wez z( )wf z 為z的對數(shù)函數(shù)，記作 Ln .wz 令 則由 , ,iwuiv zre (0),wez z可得 從而由復(fù)數(shù)的相等的定義知, ,u iviere , 2,uer vk即 其ln , 2,ur vk 中k為整數(shù), 或 ln, Arg .uzvz 第63頁/共90頁第六十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。所以LnlnArgln(arg2)wzzizzizk 0, 1, 2,.k 由于 是多值的，所以 是多值函數(shù). ArgzLnz如果記 則對數(shù)函數(shù)可寫為 lnlnarg ,zziz Lnln2 0, 1,

35、 2,.zzikk 對應(yīng)某個確定的k, 稱為對數(shù)函數(shù)的第k個 個分支, 對應(yīng) k=0 的分支，稱為對數(shù)函數(shù)主支.第64頁/共90頁第六十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。于是 即是對數(shù)主支, 稱lnlnargzziz lnz為對數(shù)函數(shù)的主值. 對數(shù)函數(shù)各分支之間，其虛部僅差 的 2 倍數(shù)，因此，當(dāng)給定特殊分支 (即給定 k的值)時, 的值就被確定. Argz例如, 如果給定分支的虛部落在區(qū)間 (, ) 中，那么 即取 k=0 的那Ln(1)ln2,4ii 個對數(shù)分支. 第65頁/共90頁第六十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。如果給定分支的虛部落在區(qū)間 中, ( ,3 ) 那么 即取 k=1

36、的那個9Ln(1)ln2,4ii 對數(shù)分支. 這可在 ln22 (0, 1, 2)4ikk Ln(1)ln 1Arg(1)iiiiln 2arg(1)2iii k 中取 k=1 得到. 第66頁/共90頁第六十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。函數(shù)單值與多值xlnzLnzln單值多值單值定義域所有正實數(shù)所有非零復(fù)數(shù)所有非零復(fù)數(shù)注解一個單值時，0 xzxln為zln分支為第67頁/共90頁第六十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。 利用復(fù)數(shù)的乘積與商的輻角公式易證，復(fù)變函數(shù)的對數(shù)函數(shù)保持了實對數(shù)函數(shù)的乘積與商的相應(yīng)公式 1 212Ln()LnLn ,z zzz 121212Ln( )LnLn (,

37、0).zzzzz z 在實函數(shù)對數(shù)中，負(fù)數(shù)不存在對數(shù)；但在復(fù)變數(shù)對數(shù)中，負(fù)數(shù)的對數(shù)是有意義的. 例如 (21) (0, 1, 2,).ki k Ln( 1)ln1arg( 1)2ii k 第68頁/共90頁第六十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。對數(shù)函數(shù)的解析性:對于對數(shù)主支 lnlnarg ,zziz 其實部 ln z在除原點外的復(fù)平面上處處連續(xù); 但其虛部 arg(, ,z 在原點與負(fù)實軸上都不連續(xù), 因為對于負(fù)實軸上的點 (0),zx x 有 00limarg, limarg.yyzz 所以, 在0,0,Cxiy yx 即在除去原點與負(fù)實軸的復(fù)平面上, lnz處處連續(xù). 第69頁/共90

38、頁第七十頁，編輯于星期一：十三點 六分。定理2.4對數(shù)主支 lnlnargzziz 在 區(qū)域 0,0DCxiy yx 上解析(如圖), 并且 1ln.zz 證明記 ( )ln , ( )(),f zz w hf zh 則 0lim( )( ).hw hf z 由 ( ),f zez 對任意的 0,h 有xyoD第70頁/共90頁第七十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。()( )00()( )()( )limlimf z hf zhhf zhf zf zhf zhee ()( )( )( )( )( )( )111lim.w hfzf zeew hf zw hf zez 對于其他各給定的對數(shù)分支

39、，因為 Lnln2zzik (k確定),所以也有 1Ln (ln2).zzikz 因此，對于確定的 k, 稱 Lnz為一個單值解析分支. 第71頁/共90頁第七十二頁，編輯于星期一：十三點 六分。例2.9求 ln( 1)(1)ii 的值. 解因為 3ln( 1)ln2,4ii ln(1)ln 2,4ii 所以Ln( 1)(1)ii 3ln 2ln 22,44iik i 第72頁/共90頁第七十三頁，編輯于星期一：十三點 六分。Ln( 1)(1)2ln 22iiik i ln2(21).ki 于是ln( 1)(1)ln2.iii 事實上，以上結(jié)果還可以由ln( 1)(1)ln( 2)ln2iii

40、 直接得到第73頁/共90頁第七十四頁，編輯于星期一：十三點 六分。az)0(Lnzezwzaa第74頁/共90頁第七十五頁，編輯于星期一：十三點 六分。,2時是正整數(shù)、當(dāng)n性，冪函數(shù)一般是、由于對數(shù)函數(shù)的多值1. 0|arg)2(arg|lnLnzinnkziznznnezeezw是一個單值函數(shù)；第75頁/共90頁第七十六頁，編輯于星期一：十三點 六分。,)(31時是正整數(shù)、當(dāng)nn)2(arg|lnLn111kzizznnneezw值函數(shù)；是一個n).1, 2 , 1 , 0( |2arg1nkeznkzni第76頁/共90頁第七十七頁，編輯于星期一：十三點 六分。,04時是、當(dāng); 10Ln

41、z00eez）：的整數(shù)，為互素與是有理數(shù)時，即、當(dāng)0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)2(arg|lnLnz1取，當(dāng)為互素，所以不難看到與由于kqp個不同的值，即這時，得到，qq 1,210值的函數(shù)；時冪函數(shù)是一個q第77頁/共90頁第七十八頁，編輯于星期一：十三點 六分。多值函數(shù)；函數(shù)是無窮是無理數(shù)或復(fù)數(shù)時，冪、當(dāng)6是無理數(shù)時，有事實上，當(dāng)kizkzizeeez2ln)2(arg|lnLnz時，有當(dāng))0( bbia)2(arg|)ln()2(arg|lnLnzkzizbiakzizeeez)2(arg|ln)2(arg|)ln(kzazbikzzbae例如),

42、2, 1, 0(2)2(arg1lnLni2keeeikkiiiii第78頁/共90頁第七十九頁，編輯于星期一：十三點 六分。ikkieee222ln2)22(arg2ln2Ln2222) ,2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2iek)22)ln1()22(arg2)ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22ln kikkiikee), 2, 1, 0( 2 222keik上解析，、冪函數(shù)在0Re, 0Im7zzC第79頁/共90頁第八十頁，編輯于星期一：十三點 六分。因為cossin ,iyeyiy,sincos yiyeiy 將兩式相加與相減, 得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 定義2.7定義三角函數(shù)與雙曲函數(shù)如下: 正弦函數(shù) sin;2izizeezi 余弦函數(shù) cos;2izizeez 第80頁/共90頁第八十一頁，編輯于星期一：十三點 六分。雙曲正弦函數(shù) sh;2zzeez 雙曲余弦函數(shù)ch.2zzeez 當(dāng)z是實變數(shù)時，它們與實的正弦、余弦、雙曲正弦、雙曲余弦函數(shù)是一致的. 由于 , zizee在復(fù)平面上是解