波形與頻譜分析(第一章)

1、2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析現(xiàn)代測(cè)試系統(tǒng)現(xiàn)代測(cè)試系統(tǒng)分析、建模與仿真分析、建模與仿真自動(dòng)化學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院測(cè)控技術(shù)技術(shù)系測(cè)控技術(shù)技術(shù)系2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析第一章第一章 波形、頻譜與隨機(jī)過(guò)程分析波形、頻譜與隨機(jī)過(guò)程分析信息產(chǎn)業(yè)的三大支柱：信息產(chǎn)業(yè)的三大支柱：1. 1. 信息獲?。▊鞲衅鳌x器：量值信息）信息獲?。▊鞲衅?、儀器：量值信息）2. 2. 信息傳遞（通訊設(shè)備）信息傳遞（通訊設(shè)備）3. 3. 信息處理（計(jì)算機(jī)）信息處理（計(jì)算機(jī)）本課程主要是研究本課程主要是研究 “信息處理信息處理” 問(wèn)題。問(wèn)題。波形波形、頻譜頻譜與與隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)處理是現(xiàn)代信息處理處理是

2、現(xiàn)代信息處理技術(shù)的主要內(nèi)容之一技術(shù)的主要內(nèi)容之一2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.1.1 1.1.1 觀測(cè)數(shù)據(jù)的波形與頻譜觀測(cè)數(shù)據(jù)的波形與頻譜 1.1.波形：波形：時(shí)間時(shí)間 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)、物理觀測(cè)量（、物理觀測(cè)量（幅值幅值） 縱坐縱坐標(biāo)標(biāo)，得到一種變化的圖形，稱之為，得到一種變化的圖形，稱之為時(shí)域波形時(shí)域波形；電、磁、光電、磁、光力、位移、速度、力、位移、速度、加速度加速度（機(jī)械量）（機(jī)械量）觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)間時(shí)間幅幅值值O1.1 1.1 波形與頻譜的基本概念波形與頻譜的基本概念2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 2.2.頻譜：頻譜：頻率頻率 橫坐標(biāo)橫坐標(biāo)、經(jīng)數(shù)學(xué)變換后的物理觀測(cè)

3、量、經(jīng)數(shù)學(xué)變換后的物理觀測(cè)量（如：（如：幅值幅值、相位相位、功率功率） 縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)，得到一種變化的圖，得到一種變化的圖形或譜線，稱之為頻譜。形或譜線，稱之為頻譜。 3.3.波形分析：波形分析：一般是指對(duì)觀測(cè)信號(hào)在一般是指對(duì)觀測(cè)信號(hào)在時(shí)間域時(shí)間域和和幅值域幅值域里里進(jìn)行分析進(jìn)行分析 ，以得到描述觀測(cè)信號(hào)的各種特征或關(guān)系以得到描述觀測(cè)信號(hào)的各種特征或關(guān)系 。 例如：例如： 波形的起始時(shí)間與持續(xù)時(shí)間波形的起始時(shí)間與持續(xù)時(shí)間 波形的時(shí)間滯后波形的時(shí)間滯后 波形的畸變波形的畸變 波形與波形之間的相似程度波形與波形之間的相似程度 4.4.頻譜分析：頻譜分析：是對(duì)觀測(cè)信號(hào)在是對(duì)觀測(cè)信號(hào)在頻率域頻率域內(nèi)進(jìn)行

4、分析，得內(nèi)進(jìn)行分析，得到到 ： 幅值譜幅值譜/ /相位譜相位譜， 功率譜功率譜 ， 互譜密度互譜密度等等分析分析結(jié)果。結(jié)果。2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 5.5.波形與頻譜的關(guān)系波形與頻譜的關(guān)系：波形分析波形分析 頻譜分析，即頻譜分析，即式中，式中，X( () )是是 x( (t) )的的傅立葉變換傅立葉變換， x( (t) )是是 X( () )的的傅立葉傅立葉逆變換逆變換。 圖圖1-11-1直觀地表示了直觀地表示了時(shí)間域時(shí)間域和在和在頻率域頻率域觀測(cè)信號(hào)之間的觀測(cè)信號(hào)之間的有機(jī)聯(lián)系。有機(jī)聯(lián)系。譜分析譜分析的的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉積分傅立葉積分FTFTt

5、tXtxtttxXd)exp(j)(21)(d)jexp()()( 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析t譜線譜線2f圖圖1-1 1-1 波形與頻譜波形與頻譜 （a a）時(shí)域波形）時(shí)域波形； （b b）時(shí)頻關(guān)系）時(shí)頻關(guān)系； （c c）頻域譜線）頻域譜線(b)(b)(a)(a)幅幅值值幅幅值值時(shí)域觀測(cè)時(shí)域觀測(cè)頻域觀測(cè)頻域觀測(cè)(c)(c)2f幅幅值值2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 絕大多數(shù)觀測(cè)中是絕大多數(shù)觀測(cè)中是看不到真實(shí)波形看不到真實(shí)波形的；的； 實(shí)際觀測(cè)到的波形實(shí)際觀測(cè)到的波形無(wú)法與真實(shí)波形進(jìn)行比較無(wú)法與真實(shí)波形進(jìn)行比較。 這樣就可能把已這樣就可能把已 “扭曲扭曲”的測(cè)試數(shù)據(jù)

6、當(dāng)作結(jié)果加以應(yīng)用！的測(cè)試數(shù)據(jù)當(dāng)作結(jié)果加以應(yīng)用！ 因此，因此，未經(jīng)分析處理、修正反演未經(jīng)分析處理、修正反演而簡(jiǎn)單地根據(jù)而簡(jiǎn)單地根據(jù)測(cè)試波形測(cè)試波形直接直接求得的求得的結(jié)果，結(jié)果，往往會(huì)產(chǎn)生很大的往往會(huì)產(chǎn)生很大的誤差，誤差，有時(shí)甚至?xí)贸鲇袝r(shí)甚至?xí)贸鲥e(cuò)誤錯(cuò)誤的結(jié)果的結(jié)果。 波形的分析與處理波形的分析與處理的目的之一的目的之一就是要避免出現(xiàn)這種情就是要避免出現(xiàn)這種情況。況。觀測(cè)波形失真失真畸變畸變哈哈鏡哈哈鏡2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析.2 觀測(cè)數(shù)據(jù)的類型與描述觀測(cè)數(shù)據(jù)的類型與描述觀測(cè)波形在在容差容差內(nèi)內(nèi)可重復(fù)可重復(fù)在在容差容差內(nèi)內(nèi)不可重復(fù)不可重復(fù)確定性確定性數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)

7、隨機(jī)性隨機(jī)性數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)觀測(cè)波形周期性周期性數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)非周期性非周期性數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)簡(jiǎn)諧周期簡(jiǎn)諧周期數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)復(fù)雜周期復(fù)雜周期數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)瞬變瞬變數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 1. 1.簡(jiǎn)諧周期數(shù)據(jù)簡(jiǎn)諧周期數(shù)據(jù): : 可用下列形式的函數(shù)來(lái)描述：可用下列形式的函數(shù)來(lái)描述：（.1）式中：式中： A 振幅振幅； f0 =1/ T 頻率頻率，表示波在，表示波在單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)的的循環(huán)數(shù)循環(huán)數(shù)； T 周期周期，表示正弦波完成，表示正弦波完成一次循環(huán)一次循環(huán)所需的所需的時(shí)間時(shí)間； 0=2f0 角頻率角頻率； 相對(duì)時(shí)間原點(diǎn)相對(duì)時(shí)間原點(diǎn)的的初始相位初始相位（弧度）（

8、弧度）。 例如例如: :交流發(fā)電機(jī)的電壓輸出，偏心轉(zhuǎn)子的振動(dòng)交流發(fā)電機(jī)的電壓輸出，偏心轉(zhuǎn)子的振動(dòng) 從數(shù)據(jù)分析的角度出發(fā)，簡(jiǎn)諧數(shù)據(jù)是觀測(cè)數(shù)據(jù)中最簡(jiǎn)單從數(shù)據(jù)分析的角度出發(fā)，簡(jiǎn)諧數(shù)據(jù)是觀測(cè)數(shù)據(jù)中最簡(jiǎn)單的形式。的形式。 )cos()cos(2)()sin()sin(2)(0000tAtfAtxtAtfAtx或2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 2.2.復(fù)雜周期數(shù)據(jù)復(fù)雜周期數(shù)據(jù): : 可用周期時(shí)變函數(shù)表示：可用周期時(shí)變函數(shù)表示：（.2） 與簡(jiǎn)諧周期波形一樣，一個(gè)波經(jīng)歷的時(shí)間稱為與簡(jiǎn)諧周期波形一樣，一個(gè)波經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期周期 T，單位時(shí)間內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)的的循環(huán)數(shù)循環(huán)數(shù)稱為稱為基頻基

9、頻 f1 。顯然，簡(jiǎn)諧周期波是復(fù)雜。顯然，簡(jiǎn)諧周期波是復(fù)雜周期波的一個(gè)特例。周期波的一個(gè)特例。 復(fù)雜周期波可以展成復(fù)雜周期波可以展成傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)：（.3）1,2,),()( kkTtxtx)sin(2)cos(22)(1110tnfbtnfaatxnnn 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析式中：式中：復(fù)雜周期數(shù)據(jù)還可以用復(fù)雜周期數(shù)據(jù)還可以用傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)的的另一種表達(dá)形式另一種表達(dá)形式: （.4）其中其中1,2,/1d)sin(2)(2,d)cos(2)(20101 nfTttnftxTbttnftxTa1TnTn)2cos()(110nn

10、ntnfXXtx2,1,;tg,212200 nabbaXaXnnnnnn2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 如果只考慮復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的如果只考慮復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的幅值譜幅值譜，則可用圖，則可用圖1-21-2所示的所示的離散譜線離散譜線來(lái)表示式（來(lái)表示式（.4）的）的幅頻特性幅頻特性。 3.3.準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù): : 準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是一種準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)是一種非周期數(shù)據(jù)非周期數(shù)據(jù)，可用下，可用下式表示為式表示為圖圖1-2 1-2 復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的頻譜（幅值譜復(fù)雜周期數(shù)據(jù)的頻譜（幅值譜）X3X2X1X0幅幅值值ff0f1f2f32021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（1.1.51.

11、1.5）式中，式中，fn / fm（nm）在任何情況下都在任何情況下都不等于有理數(shù)不等于有理數(shù)。 當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)無(wú)關(guān)聯(lián)的周期性現(xiàn)象混合作用時(shí)，常常會(huì)當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)無(wú)關(guān)聯(lián)的周期性現(xiàn)象混合作用時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。出現(xiàn)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。 例如：多機(jī)組內(nèi)燃機(jī)車在發(fā)動(dòng)機(jī)不同步時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)就是準(zhǔn)周期數(shù)例如：多機(jī)組內(nèi)燃機(jī)車在發(fā)動(dòng)機(jī)不同步時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)就是準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)。據(jù)。準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)準(zhǔn)周期數(shù)據(jù)也可用圖也可用圖1-21-2所示的所示的離散譜線離散譜線來(lái)表示它的來(lái)表示它的幅值譜幅值譜，其差，其差別僅僅是別僅僅是各個(gè)分量的頻率不再是有理數(shù)的關(guān)系各個(gè)分量的頻率不再是有理數(shù)的關(guān)系。 4.4.瞬變非周期數(shù)據(jù)瞬變非周期數(shù)據(jù): :

12、除了準(zhǔn)周期以外的所有非周期信號(hào)除了準(zhǔn)周期以外的所有非周期信號(hào)都屬于瞬變數(shù)據(jù)。瞬變數(shù)據(jù)與周期數(shù)據(jù)不同的一個(gè)重要特都屬于瞬變數(shù)據(jù)。瞬變數(shù)據(jù)與周期數(shù)據(jù)不同的一個(gè)重要特征，就是它征，就是它不能用離散譜來(lái)表示不能用離散譜來(lái)表示（連續(xù)譜）（連續(xù)譜）。 )cos(2)(10 nnnntfXXtx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 在多數(shù)情況下，瞬變數(shù)據(jù)可用傅立葉積分表示在多數(shù)情況下，瞬變數(shù)據(jù)可用傅立葉積分表示 （.6）式中，式中，| X()| 幅頻特性，幅頻特性，() 相頻特性。相頻特性。 二者均為二者均為連續(xù)譜連續(xù)譜。1.2 1.2 隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)學(xué)特征隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)學(xué)特征)(jj

13、e | )(|)(de)()( XXttxXt或觀測(cè)數(shù)據(jù)單個(gè)時(shí)間歷程單個(gè)時(shí)間歷程樣本樣本函數(shù)函數(shù)某一時(shí)間區(qū)間某一時(shí)間區(qū)間樣本樣本記錄記錄全部時(shí)間歷程全部時(shí)間歷程隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)數(shù)據(jù)確定性變化規(guī)律2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.1 1.2.1 隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征 隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機(jī)過(guò)程的能完善地刻畫隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特統(tǒng)計(jì)特性性，但在實(shí)際觀測(cè)中，往往只能得到，但在實(shí)際觀測(cè)中，往往只能得到部分樣本部分樣本，用這些樣本，用這些樣本來(lái)確定分布函數(shù)是困難的，甚至是不可能的，因而有必要引來(lái)確定分布函數(shù)是困難的，甚至是不可能的

14、，因而有必要引入基本入基本數(shù)字特征數(shù)字特征來(lái)來(lái)描述描述隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性統(tǒng)計(jì)特性。 1.1.一階矩或期望值一階矩或期望值 給定給定實(shí)實(shí)或或復(fù)復(fù)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )，固定，固定t，則，則 x( (t) )是一隨機(jī)變量，其一階矩一般與是一隨機(jī)變量，其一階矩一般與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為（.1） 稱稱 mx( (t) )為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程 x(t) 的的均值均值函數(shù)函數(shù)或或數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望。)(E)(txtmx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 2. 2.二階矩與相關(guān)函數(shù)二階矩與相關(guān)函數(shù) 將實(shí)或復(fù)隨機(jī)變量將實(shí)或復(fù)隨機(jī)變量x( (t) )的的二階原二

15、階原點(diǎn)矩點(diǎn)矩記作記作 （.2） 稱它為隨機(jī)過(guò)程稱它為隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )的的均方值均方值函數(shù)函數(shù)；而將隨機(jī)過(guò)程；而將隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )的的二階中心矩二階中心矩分別記作分別記作 （.3）稱它為隨機(jī)過(guò)程稱它為隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )的的方差方差函數(shù)函數(shù) ；其中，；其中，x 稱為稱為均方差均方差或或標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，它表示隨機(jī)變量，它表示隨機(jī)變量 x( (t) )在在 t 時(shí)刻時(shí)刻相對(duì)于相對(duì)于均值均值的的平均偏平均偏離程度離程度。)(E)(22txtx22)()(E)(var)(tmtxtxtxx 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 對(duì)于任意對(duì)于任

16、意t1，t2，定義隨機(jī)變量，定義隨機(jī)變量x(t1) 和和x(t2)的的二階原二階原點(diǎn)點(diǎn)混合矩混合矩（即（即自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)，或簡(jiǎn)稱，或簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)）為）為 （.4） 式中，式中，x*( (t2) )是是 x( (t2) )的復(fù)共軛。類似地，還可定義隨機(jī)變量的復(fù)共軛。類似地，還可定義隨機(jī)變量x( (t1) )和和 x( (t2) )的的二階中心二階中心混合矩混合矩： （.5）通常，稱它為隨機(jī)過(guò)程通常，稱它為隨機(jī)過(guò)程 x( (t) ) 的的自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱協(xié)方差協(xié)方差函數(shù)函數(shù)。 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是刻畫

17、刻畫隨機(jī)過(guò)程自身在隨機(jī)過(guò)程自身在兩個(gè)兩個(gè)不同時(shí)刻不同時(shí)刻的狀態(tài)變量的狀態(tài)變量之間的之間的統(tǒng)計(jì)依賴統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系關(guān)系。),()()(E),(212*121ttRtxtxttRxxx ),()()()()(E),(212*2*1121ttCtmtxtmtxttCxxxxx 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間具有如下關(guān)系：自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)之間具有如下關(guān)系：當(dāng)當(dāng) t1=t2=t 時(shí)，上式變?yōu)闀r(shí)，上式變?yōu)?類似地，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程類似地，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )和和 y( (t) )的的互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)定定義為義為（.6）而它們的而它們的互協(xié)方

18、差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)為為 （.7）)()(),(),(2*12121tmtmttRttCxxxx)()()(222tmttxxx )()(E),(2*121tytxttRxy )()()()(E),(2*2*1121tmtytmtxttCyxxy 方差方差均方值均方值均值的平方均值的平方2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析其中其中my( (t) )是隨機(jī)過(guò)程是隨機(jī)過(guò)程 y( (t) )的的均值函數(shù)均值函數(shù)。 若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )和和 y( (t) )分別是為分別是為n 1和和m 1的列向量，用上標(biāo)的列向量，用上標(biāo) H 表示表示共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置，則它

19、們的，則它們的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和和互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)可表示為可表示為式中，式中，Rx( (t1，t2) )為為n n矩陣，矩陣，Rxy( (t1，t2) )為為n m 矩陣。矩陣。 相應(yīng)的相應(yīng)的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)和和互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)也是也是矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)。 3.3.不相關(guān)，正交，獨(dú)立過(guò)程不相關(guān)，正交，獨(dú)立過(guò)程 考慮兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程考慮兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 x( (t) )和和y( (t) ) ： 如果如果x( (t) )和和y( (t) )是是不相關(guān)不相關(guān)的，則的，則互協(xié)方差互協(xié)方差函數(shù)函數(shù)為為0 0，即：，即：（.8）)()(E),();()(E),(2H1212H12

20、1tytxttRtxtxttRxyx 0)()(),(),(2*12121tmtmttRttCyxxyxy先乘后取均值與先乘后取均值與取均值后再相乘取均值后再相乘2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 如果如果 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 正交正交，則，則相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)為為0，即，即（.9） 如果兩個(gè)隨機(jī)變量如果兩個(gè)隨機(jī)變量 x(t) 和和 y(t) 獨(dú)立獨(dú)立，則有，則有（.10）其中，其中，p( (x) ), p( (y) )和和 p( (x，y) )分別表示隨機(jī)變量分別表示隨機(jī)變量 x( (t) )，y( (t) )的的概率密度函數(shù)概率

21、密度函數(shù)及二者的及二者的聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)。 對(duì)于對(duì)于零均值零均值隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程不相關(guān)不相關(guān)和和正交正交是是等價(jià)等價(jià)的的。上述關(guān)系上述關(guān)系很容易推廣到很容易推廣到 n 個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不贅述。個(gè)隨機(jī)過(guò)程，不贅述。0),(21ttRxy)()(),(ypxpyxp 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.2 1.2.2 平穩(wěn)過(guò)程的基本數(shù)字特征平穩(wěn)過(guò)程的基本數(shù)字特征 如果隨機(jī)過(guò)程的如果隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化。嚴(yán)格。嚴(yán)格地說(shuō)，對(duì)于某一實(shí)數(shù)域（通常是指時(shí)間域地說(shuō)，對(duì)于某一實(shí)數(shù)域（通常是指時(shí)間域 ），如果對(duì)任），如果對(duì)任意意的的t1，t2

22、，tn 和任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)h，當(dāng)，當(dāng) t1+h，t2+h，tn+h 時(shí)，時(shí)，n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量x(t1)，x(t2)，x(tn) 和和 x(t1+h)，x(t2+h)，x(tn+h) 具有具有相同相同的的分布函數(shù)分布函數(shù)，則稱隨機(jī)過(guò)程，則稱隨機(jī)過(guò)程 x(t)，t 具有平具有平穩(wěn)穩(wěn)性，并稱此過(guò)程為性，并稱此過(guò)程為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程。2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 由平穩(wěn)過(guò)程的定義，對(duì)于任意由平穩(wěn)過(guò)程的定義，對(duì)于任意 t，t +T，一維隨機(jī)變，一維隨機(jī)變量量 x( (t) )和和 x( (t+) )同分布。取同分布。取= -t，則有，則有（1.

23、1） 同樣，同樣， x( (t) )的的均方值函數(shù)均方值函數(shù)x2 和和方差函數(shù)方差函數(shù)x2 亦均為亦均為常常數(shù)數(shù)。在式（。在式（1.2.4）和（）和（1.2.5）中，令）中，令t2=t 和和 t1 t2=，就有，就有（.12） 這表明這表明平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)僅是僅是時(shí)間差時(shí)間差 = t1 t2 的函數(shù)的函數(shù)。當(dāng)。當(dāng)x( (t) )為為零均值零均值平穩(wěn)過(guò)程，就有平穩(wěn)過(guò)程，就有常數(shù) xxmxtxtm(0)E)(E)()()()(E),()()()(E),(*xxxxxxCmtxmtxttCRtxtxttR2)0()0()

24、()(xxxxxRCRC和2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 滿足式（滿足式（.11）和（）和（.12）的隨機(jī)過(guò)程稱為）的隨機(jī)過(guò)程稱為弱平穩(wěn)弱平穩(wěn)過(guò)程過(guò)程或或廣義平穩(wěn)過(guò)程廣義平穩(wěn)過(guò)程；反之，則為；反之，則為非平穩(wěn)過(guò)程非平穩(wěn)過(guò)程。相對(duì)地，按。相對(duì)地，按分布函數(shù)分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過(guò)程稱為定義的平穩(wěn)過(guò)程稱為嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程。 類似地，類似地， 如果如果 Rxy(t1，t2) 只是只是時(shí)間差時(shí)間差 t1 t2=的的單變量單變量函數(shù)函數(shù)，記為，記為Rxy( () )，則稱，則稱 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 是是平穩(wěn)相關(guān)平穩(wěn)相關(guān)的。的。 平

25、穩(wěn)相關(guān)過(guò)程平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程 x( (t) ) 和和 y( (t) ) 的的互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)可寫成可寫成 由上式可見，當(dāng)由上式可見，當(dāng) x( (t) ) 和和 y( (t) ) 中有一個(gè)是中有一個(gè)是零均值零均值的，則的，則互互相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和互協(xié)方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù)相等相等。 前面討論的平穩(wěn)和非平穩(wěn)性概念，是指隨機(jī)過(guò)程前面討論的平穩(wěn)和非平穩(wěn)性概念，是指隨機(jī)過(guò)程總體平總體平均均特性而言的。如果可用總體中的某個(gè)特性而言的。如果可用總體中的某個(gè)樣本函數(shù)樣本函數(shù)的的時(shí)間平均時(shí)間平均*)()(yxxyxymmRC 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析來(lái)代替來(lái)代替總體平均總體平均 ,即對(duì)于任意

26、即對(duì)于任意T，平穩(wěn)過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程 x( (t) ) 中的第中的第k個(gè)樣本函數(shù)個(gè)樣本函數(shù)xk( (t) )的的均值均值和和自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)可分別表示成可分別表示成 （.13）（.14）則稱此平穩(wěn)過(guò)程具有則稱此平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性或或遍歷性遍歷性（ergodicity）。）。 在大多數(shù)情況下，表示平穩(wěn)物理現(xiàn)象的隨機(jī)數(shù)據(jù)，一般在大多數(shù)情況下，表示平穩(wěn)物理現(xiàn)象的隨機(jī)數(shù)據(jù)，一般是是近似各態(tài)歷經(jīng)近似各態(tài)歷經(jīng)的。因此，如果能夠事先確定某隨機(jī)過(guò)程是的。因此，如果能夠事先確定某隨機(jī)過(guò)程是各態(tài)歷經(jīng)的，則各態(tài)歷經(jīng)的，則只要驗(yàn)證單個(gè)樣本記錄的平穩(wěn)性，就可有效只要驗(yàn)證

27、單個(gè)樣本記錄的平穩(wěn)性，就可有效地判定該記錄所屬的隨機(jī)過(guò)程能否滿足平穩(wěn)性和遍歷性。地判定該記錄所屬的隨機(jī)過(guò)程能否滿足平穩(wěn)性和遍歷性。xTkTxmttxTxkmd)(1lim)(0)(d)()(1lim),(0*xTkkTxRttxtxTkR2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.2.3 1.2.3 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) x(t) 和和 y(t) 是平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程，是平穩(wěn)相關(guān)過(guò)程， Rx()，Ry() 和和Rxy()分別是它們的分別是它們的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)和和互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)，則它們具有，則它們具有以下五個(gè)性質(zhì)以下五個(gè)性質(zhì): Rx(0) = Ex2(t) =x2 0，

28、表示平穩(wěn)過(guò)程，表示平穩(wěn)過(guò)程 x(t) 的的“平平均功率均功率”。 Rx*(-) = Rx()； Rxy*() = Ryx(-)。 這些關(guān)系這些關(guān)系可以從它們的定義直接得到?？梢詮乃鼈兊亩x直接得到。 關(guān)于關(guān)于相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)和和互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)有下列不等式：有下列不等式： 根據(jù)定義和根據(jù)定義和 Cauchy-Chwartz 不等式不等式|(0)|(0)| )(0)| )(|2yxxyxxRRRRR |和2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析可證得。可證得。 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)表示同一過(guò)程（或波形）表示同一過(guò)程（或波形）相差時(shí)刻相差時(shí)刻的的相似程相似程度度。在相關(guān)函數(shù)中還可以定義。在相關(guān)函

29、數(shù)中還可以定義自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)（或歸一化協(xié)方（或歸一化協(xié)方差），即波形差），即波形 x(t) 的的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)與與均方差均方差之比之比：（.15） 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)表示表示兩個(gè)過(guò)程兩個(gè)過(guò)程（或波形）（或波形）相差時(shí)刻相差時(shí)刻的的相似相似程度程度。定義。定義互相關(guān)系數(shù)互相關(guān)系數(shù)為為（.16）|)(E|)(E|)(*)(|E222tytxtytx 2*)()(E(0)()(xxxxxxmtxmtxCC yxyxxyyxxyxymmRCCC*)(0)(0)()( 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 顯然顯然, |x()| 1， |xy()|

30、1。注意，許多教科書將。注意，許多教科書將xy() 定義定義相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)。 如果如果 x(t) 和和 y(t) 不相關(guān)，根據(jù)定義式（不相關(guān)，根據(jù)定義式（1.2.8），則有），則有xy() = 0。這表明隨機(jī)變量。這表明隨機(jī)變量 x(t)-mx 和和 y(t)-my 是是正交正交的，于是的，于是即即（.17） Rx()是是半正定半正定的，即對(duì)于任意數(shù)組的，即對(duì)于任意數(shù)組 t1,tn 和和任任意實(shí)或復(fù)值函數(shù)意實(shí)或復(fù)值函數(shù) g(t) 都有都有)()E()()E(222yxyxmymxmymx 222yxyx 0)()()(1,* jjijixitgttRtg2021-11-4波

31、形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 如果如果Ru是半正定矩陣函數(shù)，那么，對(duì)于是半正定矩陣函數(shù)，那么，對(duì)于 t1,tk 和和C1,Ck Cn,有有（.19） （5）如果平穩(wěn)過(guò)程）如果平穩(wěn)過(guò)程 x(t) 的概率分布函數(shù)滿足的概率分布函數(shù)滿足Px(t+T0)=x(t)=1則稱它是則稱它是周期周期為為T0的的平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程。周期平穩(wěn)過(guò)程周期平穩(wěn)過(guò)程的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)必必是是周期周期為為T0的的函數(shù)函數(shù)。.4 功率譜及其性質(zhì)功率譜及其性質(zhì) 首先給出首先給出傅立葉變換對(duì)重要定理傅立葉變換對(duì)重要定理，然后將，然后將確定性函數(shù)確定性函數(shù)的的功率譜密度功率譜密度的定義推廣到的定義推廣到

32、隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程，建立起，建立起相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)與與功率功率譜密度譜密度之間的之間的關(guān)系關(guān)系。0)(1,H jjijiuiCttRC2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 （1 1）帕塞瓦爾）帕塞瓦爾（Parseval）定理定理 假設(shè)確定性函數(shù)假設(shè)確定性函數(shù) x(t)的傅立葉變換存在，即的傅立葉變換存在，即（.20）式中，式中，X() 稱為稱為 x(t) 的的頻譜頻譜，它一般是角頻率的復(fù)函數(shù)。，它一般是角頻率的復(fù)函數(shù)。 當(dāng)當(dāng) x(t) 為實(shí)函數(shù)時(shí)，有為實(shí)函數(shù)時(shí)，有 其中，其中，X*() 表示表示 X() 的共軛函數(shù)。的共軛函數(shù)。 在在 x(t) 和和 X() 之間存在如下

33、關(guān)系，即（之間存在如下關(guān)系，即（Parseval）定）定理：理：（.21）teXtxtetxXttd)(21)(,d)()(jj )()(),()(* XXXXd| )(|21d)(22 Xttx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析等式左邊表示等式左邊表示 x(t) 在時(shí)域上的總能量，而右邊的被積函數(shù)在時(shí)域上的總能量，而右邊的被積函數(shù) |X()|2 稱為稱為 x(t) 的能譜密度。這樣，的能譜密度。這樣，Parseval定理又可理解定理又可理解為總能量的譜表達(dá)式。為總能量的譜表達(dá)式。（2 2）功率譜密度）功率譜密度 很多確定性函數(shù)的總能量是無(wú)限的，很多確定性函數(shù)的總能量

34、是無(wú)限的，所以式（所以式（1.2.21）是無(wú)意義的。為此，選有限時(shí)間）是無(wú)意義的。為此，選有限時(shí)間T，對(duì)，對(duì)x(t) 構(gòu)造限時(shí)（截尾）函數(shù)：構(gòu)造限時(shí)（截尾）函數(shù)： （.22） 令令T，則由式（，則由式（1.2.21）可以寫出限時(shí)函數(shù)）可以寫出限時(shí)函數(shù) xT(t) 在區(qū)間在區(qū)間-T，T 上的總平均功率：上的總平均功率： TtTttxtxT|0|),()( d| )(|T21lim21d)(T21lim22TTTTTXttx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析式中，式中，XT() 是是 XT (t) 在在區(qū)間區(qū)間 -T，T 上的傅立葉變換。上的傅立葉變換。 定義定義如果如果

35、 （.23）則稱則稱x()為為x(t) 的的功率譜密度函數(shù)功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱譜密度譜密度；而；而x()d稱為稱為譜分布函數(shù)譜分布函數(shù)。 （3 3）平穩(wěn)過(guò)程的譜密度）平穩(wěn)過(guò)程的譜密度 考慮隨機(jī)過(guò)程考慮隨機(jī)過(guò)程 x(t)，當(dāng)然，當(dāng)然x2(t) 也是隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程直接使用上式是不方便也是隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于隨機(jī)過(guò)程直接使用上式是不方便的，但只要對(duì)式的，但只要對(duì)式（.23）兩邊取兩邊取均值均值，就可得到適合于平，就可得到適合于平穩(wěn)過(guò)程的平均功率表達(dá)式：穩(wěn)過(guò)程的平均功率表達(dá)式：),(lim)(,| )(|T21),(2TXTxTxTx d)(21d)(T21

36、limlim2xTTTTTttxP2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（.24）其中，將隨機(jī)變量其中，將隨機(jī)變量 x(t) 的譜密度定義為的譜密度定義為（.25） 對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程x(t)，均方值函數(shù)，均方值函數(shù)EEx2( (t t)與時(shí)間無(wú)與時(shí)間無(wú)關(guān)，由式關(guān)，由式（.24）可知可知即即平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程的的平均功率平均功率等于該過(guò)程的等于該過(guò)程的均方值均方值或或Rx(0)。d)(21d),(lim21d| )(|ET21lim21d)(ET21lim22 xxTTTTTTTXttx| )(E|T21lim),(lim)

37、(2TTxTxXT 222d)(21d)(T21lim)(ExxTTTttxtx p.472021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 (4(4）維納）維納- -辛欽（辛欽（Wiener-KhintchineWiener-Khintchine）公式）公式 譜密度的譜密度的一個(gè)重要性質(zhì)表現(xiàn)在它與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系上。具體地說(shuō)，對(duì)一個(gè)重要性質(zhì)表現(xiàn)在它與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系上。具體地說(shuō)，對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)據(jù)，這兩者可由傅立葉變換聯(lián)系起來(lái)，即于平穩(wěn)隨機(jī)數(shù)據(jù)，這兩者可由傅立葉變換聯(lián)系起來(lái)，即 （1.2.261.2.26）（1.2.271.2.27） 證明證明 考慮式（考慮式（1.2.25），將），將x(,T )中的平方

38、項(xiàng)寫成二中的平方項(xiàng)寫成二重積分，得到重積分，得到 d)()(j eRxxd)(21)(jeRxx TTttTTtTTtTTxtttxtxttxtetxT21)(j2*1*2j21j1dde )()(ET21de)(d)(ET21),(21212021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義，Ex(t1) x*(t2)=Rx(t1 t2)。故有。故有 令令 t1-t2=， t1= t，并將它們代入上式進(jìn)行變量置換，則，并將它們代入上式進(jìn)行變量置換，則在在圖圖1-31-3的的陰影區(qū)域陰影區(qū)域，有，有Rx()=常數(shù)。容易看出，該區(qū)域的常數(shù)。容易看出，該區(qū)域的面積面積等

39、于等于(2T-|)d，而，而的變化范圍為的變化范圍為（-2T, 2T）。因。因此此于是，由式（于是，由式（.25），可得），可得顯然，上式成立的條件是顯然，上式成立的條件是 TTttTTxxttettRT21)(j21dd)(T21),(21de)(|)|(2dde)(22j21j TTxTTTTxRTttR de)(de)()2|(1lim)(j22jxTTxTxRRT2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析對(duì)所考慮的平穩(wěn)過(guò)程，這個(gè)條件必須加以檢驗(yàn)對(duì)所考慮的平穩(wěn)過(guò)程，這個(gè)條件必須加以檢驗(yàn), 證畢證畢。 d|)(|xR圖圖1-3 1-3 x x( () )的二重積分示意圖的

40、二重積分示意圖02T-|t2 t1 t1 t2=+dt1 t2=ddT-T-TT2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析在式（在式（1.2.27）中，令）中，令=0，則有，則有 因而，對(duì)于所有的因而，對(duì)于所有的，有，有x() 0。 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 x(t)是實(shí)的，則是實(shí)的，則Rx()是實(shí)的是實(shí)的偶函數(shù)偶函數(shù)，因此，因此x()也是也是偶函數(shù)偶函數(shù)，即，即x()= x(-)。在這種情況下，基。在這種情況下，基本關(guān)系式（本關(guān)系式（1.2.261.2.26）和（）和（1.2.271.2.27）變成）變成 （1.2.281.2.28）（1.2.291.2.29） 按以上定義的譜密度按以上定義

41、的譜密度x()對(duì)對(duì)的的正負(fù)值正負(fù)值都是有定義都是有定義的，故稱為的，故稱為“雙邊譜密度雙邊譜密度”。0d)(21(0)2 xxxRd)cos()()(xxRd)cos()(21)(xxR2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 為了適應(yīng)實(shí)際測(cè)量，考慮定義在為了適應(yīng)實(shí)際測(cè)量，考慮定義在 0， 上的平穩(wěn)過(guò)程上的平穩(wěn)過(guò)程 x(t) ，定義，定義“單邊譜密度單邊譜密度”如下：如下： （1.2.301.2.30）在此，在此，XT() 是是 x(t) 的單邊傅立葉變換。的單邊傅立葉變換。 功率譜密度功率譜密度x()是在頻域上描述隨機(jī)過(guò)程是在頻域上描述隨機(jī)過(guò)程x(t)的統(tǒng)計(jì)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最重要數(shù)字特征，它的

42、物理意義表示規(guī)律的最重要數(shù)字特征，它的物理意義表示隨機(jī)變量隨機(jī)變量x(t)的的平平均功率均功率在在頻域頻域上的上的分布分布。 （5 5）平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度）平穩(wěn)過(guò)程的互譜密度 互譜密度函數(shù)是在頻域上描互譜密度函數(shù)是在頻域上描述兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的相關(guān)性的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常利用述兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程之間的相關(guān)性的。在實(shí)際應(yīng)用中，常常利用測(cè)控系統(tǒng)測(cè)控系統(tǒng)輸入輸出的互譜密度輸入輸出的互譜密度來(lái)確定來(lái)確定系統(tǒng)的傳遞特性系統(tǒng)的傳遞特性。 00,0),(2| )(E|1lim2)(2xTTxXTG2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析考慮兩個(gè)平穩(wěn)數(shù)據(jù)考慮兩個(gè)平穩(wěn)數(shù)據(jù)x(t) 和和y(t)，它們的互譜密度定義為

43、，它們的互譜密度定義為 （1.2.311.2.31）式中，式中，XT()和和YT()分別是分別是 xT(t) 和和 yT(t) 的傅立葉變換。容的傅立葉變換。容易證明，易證明，互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)與與互譜密度互譜密度是一是一傅立葉變換對(duì)傅立葉變換對(duì)，即，即（1.2.321.2.32）（1.2.331.2.33）令令= 0，就有，就有 若若x(t)是通過(guò)一個(gè)雙端網(wǎng)絡(luò)的是通過(guò)一個(gè)雙端網(wǎng)絡(luò)的電壓電壓，y(t)是產(chǎn)生的輸入是產(chǎn)生的輸入電電流流，則，則Rxy(0)就等于輸送到該網(wǎng)絡(luò)的就等于輸送到該網(wǎng)絡(luò)的功率期望值功率期望值。)()()(ET21lim)(*yxTTTxyYX de)(21)(de)()(

44、jjxyxyxyxyRR)()(Ed)(21(0)*tytxRxyxy 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析如果如果 x(t) 和和 y(t) 正交，則有正交，則有 （1.2.341.2.34）這時(shí)就有這時(shí)就有（1.2.351.2.35） 例例1-11-1 如果隨機(jī)過(guò)程如果隨機(jī)過(guò)程x(t)的均值為零，且的均值為零，且功率譜密度功率譜密度等于等于正常數(shù)正常數(shù)，即，即則稱此過(guò)程為則稱此過(guò)程為白噪聲過(guò)程白噪聲過(guò)程，它的功率（或能量）與頻率無(wú)，它的功率（或能量）與頻率無(wú)關(guān)，具有與關(guān)，具有與白色光白色光相同的能量分布性質(zhì)。反之，相同的能量分布性質(zhì)。反之，功率譜不等功率譜不等于常數(shù)的噪聲稱為于常數(shù)的

45、噪聲稱為有色噪聲有色噪聲。0)(0,)( xyxyR)()()(),()()(yxyxyxyxRRR 0)(,)(00 NNx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 白噪聲的相關(guān)函數(shù)為白噪聲的相關(guān)函數(shù)為 圖圖1-41-4表示白噪聲的相關(guān)函數(shù)和譜密度?？梢?，表示白噪聲的相關(guān)函數(shù)和譜密度?？梢?，白噪聲白噪聲可可定義為定義為均值為零均值為零，且且相關(guān)函數(shù)為相關(guān)函數(shù)為函數(shù)函數(shù)的隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)過(guò)程x(t)。這個(gè)過(guò)程在這個(gè)過(guò)程在t1 t2時(shí)，時(shí)，x(t1) 和和 x(t2) 是不相關(guān)的。是不相關(guān)的。 )(de2de)(21)(0j0jNNRxx圖圖1-4 1-4 白噪聲白噪聲: (a) : (a) 相

46、關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) (b) (b) 譜密度譜密度N0N0( () )x( () )Rx( () )0 00 0( (a) )( (b) )2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 白噪聲是一種白噪聲是一種理想化理想化的數(shù)學(xué)模型，它的的數(shù)學(xué)模型，它的平均功率平均功率Rx(0)是是無(wú)限無(wú)限的。實(shí)用上，如果的。實(shí)用上，如果噪聲噪聲的的頻譜頻譜在一個(gè)在一個(gè)比比實(shí)際系統(tǒng)頻帶實(shí)際系統(tǒng)頻帶寬寬得多得多的的范圍內(nèi)范圍內(nèi)具有具有比較比較“平坦平坦”的的曲線曲線，就可，就可近似近似地當(dāng)成地當(dāng)成白白噪噪聲聲來(lái)處理。來(lái)處理。通常，把這種噪聲稱為通常，把這種噪聲稱為限帶白噪聲限帶白噪聲，它的譜密度，它的譜密度滿足滿足 對(duì)

47、上式求傅立葉逆變換，可得對(duì)上式求傅立葉逆變換，可得 例例1-21-2 二進(jìn)制偽隨機(jī)（二進(jìn)制偽隨機(jī)（Pseudo-noise）序列或）序列或 PN序列序列是是由由 1 和和 0 組成的序列，它的相關(guān)函數(shù)與白噪聲很相似，它近組成的序列，它的相關(guān)函數(shù)與白噪聲很相似，它近似為一個(gè)脈沖，但有一個(gè)似為一個(gè)脈沖，但有一個(gè)重復(fù)周期重復(fù)周期T。 |0,|,)(CxCCRxsinde21)(j 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 最常用的最常用的PNPN序列序列就是就是 M 序列，可用圖序列，可用圖1-5帶有線性反饋帶有線性反饋的的 M 階線性移位寄存器產(chǎn)生，其長(zhǎng)度為階線性移位寄存器產(chǎn)生，其長(zhǎng)度為N =

48、2M-1比特，周比特，周期期 T =15t（M=4），其中），其中 t 為為時(shí)鐘脈沖時(shí)鐘脈沖的的周期周期。在每個(gè)。在每個(gè)周期周期 T 產(chǎn)生產(chǎn)生 2M-1 個(gè)個(gè) 1，2M-1 個(gè)個(gè) 0，具有良好的平衡性。，具有良好的平衡性。 將由將由0，1組成的二進(jìn)制序列變換為一個(gè)由組成的二進(jìn)制序列變換為一個(gè)由-1，1組成組成的二進(jìn)制序列。這個(gè)由的二進(jìn)制序列。這個(gè)由-1，1組成的組成的等價(jià)序列等價(jià)序列 cn 稱之為稱之為雙雙極性序列極性序列。圖圖1-5 1-5 用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的用于產(chǎn)生偽隨機(jī)序列的4 4階移位寄存器階移位寄存器時(shí)鐘時(shí)鐘（移位脈沖）（移位脈沖）t輸出偽隨機(jī)碼輸出偽隨機(jī)碼0，1，0，0，0 1T

49、20 1T30 1T40 1T12021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析周期周期T=Nt，幅度，幅度A= 1的的M序列的自相關(guān)函數(shù)可用下式序列的自相關(guān)函數(shù)可用下式表示：表示： 因?yàn)橐驗(yàn)樾蛄行蛄衏n是是周期性周期性函數(shù)，故其函數(shù)，故其自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)RM()也也具有具有周期性周期性，如圖，如圖1-6所示。參數(shù)所示。參數(shù) N 和和 t 決定了決定了M序列的特序列的特性。顯然，性。顯然，當(dāng)當(dāng)N ，RM() ()。由于由于RM()是是實(shí)的實(shí)的偶函數(shù)偶函數(shù)，故可根據(jù)式（，故可根據(jù)式（1.2.29）來(lái)計(jì)算它的譜密度，即）來(lái)計(jì)算它的譜密度，即可見，可見，M序列的功率譜密度函數(shù)是離散譜，且有一個(gè)序列的功

50、率譜密度函數(shù)是離散譜，且有一個(gè)sinc 形形包絡(luò)曲線，如圖包絡(luò)曲線，如圖1-71-7所示。所示。 tNtNtttNNRM1)(1)|1(1)(22/2)/sin(d)cos()|(1)(ttttttM 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析Lt( (N-1) )t1/N0ttRM()1圖圖1-6 M1-6 M序列的自相關(guān)函數(shù)序列的自相關(guān)函數(shù)2/t2/（3t）OM( ()t3dB圖圖1-7 M1-7 M序列的功率譜密度函數(shù)序列的功率譜密度函數(shù)3dB3dB帶寬帶寬截止頻率截止頻率2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 （6 6）限時(shí)限帶函數(shù)及采樣定理）限時(shí)限帶函數(shù)及采樣定理 考慮實(shí)的周期函

51、數(shù)或限考慮實(shí)的周期函數(shù)或限時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) x(t)。若時(shí)間函數(shù)若時(shí)間函數(shù) x(t) 僅在一段有限時(shí)間（僅在一段有限時(shí)間（0，T）內(nèi)）內(nèi)有非零值有非零值，則稱為，則稱為限時(shí)函數(shù)限時(shí)函數(shù)。限時(shí)函數(shù)。限時(shí)函數(shù) x(t) 經(jīng)周期延拓之經(jīng)周期延拓之后，可化為周期函數(shù)，因此可表示為傅立葉級(jí)數(shù)：后，可化為周期函數(shù)，因此可表示為傅立葉級(jí)數(shù)：（1.2.361.2.36）其中其中 X(n) 稱為稱為 x(t) 在頻率為在頻率為n=2n / T 處的傅立葉系數(shù)，處的傅立葉系數(shù)，且滿足且滿足X(-n)= X*(n)。如果。如果 X(n)僅僅在以下頻率范圍僅僅在以下頻率范圍內(nèi)才有非零值，則稱內(nèi)才有非零值，則稱 x(t)

52、為為限時(shí)限帶函數(shù)限時(shí)限帶函數(shù)。這里，。這里，W表示頻表示頻帶寬度（譜寬），帶寬度（譜寬），TW表示不超過(guò)表示不超過(guò)TW的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。tetxTnXenXtxTtntnnd)(1)(,)()(0jj ,22TWnTWWWn 即2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 為方便起見，下面用為方便起見，下面用TW代替代替 TW 。將式（。將式（1.2.361.2.36）中）中的第一式可寫成的第一式可寫成 （1.2.371.2.37）式中，式中，X(n)=a(n)+jb(n)，通常，通常X(0)=0。 式（式（1.2.371.2.37）表明：完整地描述一個(gè)持續(xù)時(shí)間為）表明：完整地描述一個(gè)持續(xù)

53、時(shí)間為T，譜寬，譜寬為為W的的限時(shí)限帶實(shí)值函數(shù)限時(shí)限帶實(shí)值函數(shù)，需要也僅需要，需要也僅需要2TW個(gè)實(shí)數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)a(n)和和b(n) 或或TW個(gè)復(fù)數(shù)個(gè)復(fù)數(shù)X(n)。這個(gè)結(jié)論實(shí)際上是。這個(gè)結(jié)論實(shí)際上是采樣定理的另一采樣定理的另一種敘述方式種敘述方式。在工程上，采樣頻率一般取為信號(hào)。在工程上，采樣頻率一般取為信號(hào)上限頻率上限頻率的的3 3 5 5倍倍。)sin()()cos()(2(0)()(0)()(1j*1jjtnbtnaXenXenXXenXtxnTWnntTWntTWTWntnnn 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 （7 7）周期函數(shù)的帕塞瓦爾公式）周期函數(shù)的帕塞瓦爾公式 周期函數(shù)或

54、限時(shí)限帶函周期函數(shù)或限時(shí)限帶函數(shù)的帕塞瓦爾公式可表示為數(shù)的帕塞瓦爾公式可表示為（1.2.381.2.38） 證明證明 由式（由式（1.2.361.2.36），并利用），并利用零均值零均值條件、實(shí)函數(shù)傅立條件、實(shí)函數(shù)傅立葉變換的葉變換的共軛對(duì)稱性共軛對(duì)稱性和和三角函數(shù)的三角函數(shù)的正交性正交性，可得，可得 式中，式中，Re表示取實(shí)部。如果表示取實(shí)部。如果x(t)是在是在（t-T，t）內(nèi)被觀測(cè)，內(nèi)被觀測(cè)，則式（則式（.24）中的積分區(qū)間（）中的積分區(qū)間（0，T）可改為（）可改為（t-T，t）。）。2102| )(|2d)( TWnTnXTttx21*1002| )(|2)()(Re

55、2)()(d)expj()()(d)( TWnTWnTWTWnTmnTWTWnTWTWmTnXTnXnXTnXnXTttmXnXttx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析1.3 1.3 線性系統(tǒng)的時(shí)頻分析線性系統(tǒng)的時(shí)頻分析 假設(shè)施加于圖假設(shè)施加于圖1-81-8所示系統(tǒng)所示系統(tǒng)的輸入信號(hào)為的輸入信號(hào)為 x(t)，則系統(tǒng)產(chǎn)生，則系統(tǒng)產(chǎn)生的輸出的輸出 y(t) 為為（1.3.1)1.3.1)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)物理可實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的穩(wěn)定的頻率響應(yīng)函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù) H(j)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)函數(shù)函數(shù) h(t)傅立葉變換傅立葉變換傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) H(s)s = + j |=0拉普拉斯變換拉普拉斯變

56、換y( (t) )x( (t) )h( (t) )H( (j) )圖圖1-8 1-8 線性系統(tǒng)的輸入線性系統(tǒng)的輸入- -輸出輸出 d)()(d)()()(thxhtxty2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 對(duì)于物理對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)，其，其脈沖響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù) h(t) 是實(shí)是實(shí)數(shù)，且對(duì)于數(shù)，且對(duì)于負(fù)的負(fù)的 t 取取零值零值。但在下面的討論中不一定要作這。但在下面的討論中不一定要作這樣的假設(shè)。樣的假設(shè)。1.3.1 1.3.1 線性系統(tǒng)的相關(guān)分析線性系統(tǒng)的相關(guān)分析 相關(guān)分析相關(guān)分析和和最小二乘法最小二乘法是系統(tǒng)分析和參數(shù)估計(jì)最常用的是系統(tǒng)分析和參數(shù)估計(jì)最常用的兩

57、種方法。這此僅介紹相關(guān)分析法。兩種方法。這此僅介紹相關(guān)分析法。 （1 1）均值）均值 假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入信號(hào)x(t)是一平穩(wěn)過(guò)是一平穩(wěn)過(guò)程，對(duì)式（程，對(duì)式（1. 3.1）的兩邊取均值，則有）的兩邊取均值，則有顯然，顯然，y(t)的期望值是常數(shù)，由下式給出的期望值是常數(shù)，由下式給出 d)()(E)(Ehtxty2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 （1.3.2)1.3.2) （2 2）相關(guān)分析）相關(guān)分析 在式（在式（1.3.1）的兩邊同乘以）的兩邊同乘以 x*(t -)，得到得到（1.3.3)1.3.3)由于由于所以，在式所以，在式（.3）兩邊取期望值

58、，就有兩邊取期望值，就有 xxymHhmm(0)d)( d)()()()()(*htxtxtxty)()()(E* xRtxtx d)()()()(E*hRtxtyx2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析 上式右邊積分顯然與上式右邊積分顯然與 t 無(wú)關(guān)，且等于無(wú)關(guān)，且等于 Rx() 與與 h()的卷的卷積。因而上式左邊也與積。因而上式左邊也與 t 無(wú)關(guān)。于是，根據(jù)互相關(guān)的定義，無(wú)關(guān)。于是，根據(jù)互相關(guān)的定義，得到得到（.4）將式（將式（.1）兩邊的復(fù)共軛兩邊的復(fù)共軛乘以乘以 y(t+)，有，有再取期望值再取期望值，又有，又有（.5）上式是令上式

59、是令 = - 的結(jié)果。同樣的推理，可類似地證明的結(jié)果。同樣的推理，可類似地證明（.6）)(*)()(hRRxyx d)()()()()(*htxtytyty)(*)(d)()()(* hRhRRyxyxy)(*)()(),(*)()(*hRRhRRxyyxxy 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析合并以上二式，可得合并以上二式，可得 （.7） （3 3）功率譜）功率譜 利用卷積定理，式（利用卷積定理，式（.6）可寫成）可寫成 （.8）其中其中H*(j) 是是 h*(-) 的傅立葉變換。于是有的傅立葉變換。于是有（1.3.91

60、.3.9）上述關(guān)系可用圖上述關(guān)系可用圖1-91-9來(lái)表示。來(lái)表示。 （4 4）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) H (j)在平穩(wěn)輸入信號(hào)在平穩(wěn)輸入信號(hào) x(t) 作用下，產(chǎn)作用下，產(chǎn)生的輸出生的輸出 y(t)。當(dāng)用功率譜表示時(shí)，由式（。當(dāng)用功率譜表示時(shí)，由式（.9）可得到增）可得到增益因子的估計(jì)：益因子的估計(jì)：)(*)(*)()(*hhRRxy)(j)()(),(j)()(*HHxyyxxy 2| )(j| )()()(j*)()(HjHHxxy 2021-11-4波形、頻譜與隨機(jī)信號(hào)分析（.10）上式只含有系統(tǒng)的上式只含有系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性。 為了求出系統(tǒng)的為了求出系