初三相似三角形知識(shí)點(diǎn)以及經(jīng)典例題(共8頁(yè))

1、相似三角形知識(shí)點(diǎn)以及典例知識(shí)點(diǎn)1 有關(guān)相似形的概念(1)形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形. (2)如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比(相似系數(shù))知識(shí)點(diǎn)2 比例線段的相關(guān)概念（1）在四條線段中，如果a和b的比等于c和d的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段注：比例線段是有順序的，如果說(shuō)是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：在比例式中，a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng), a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng),如果b=c，即 那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)， 此時(shí)有。知識(shí)點(diǎn)3 比例的性質(zhì)（注

2、意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1） 基本性質(zhì)：；注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為等。（2） 更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：（3）反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)： （4）合、分比性質(zhì)：典型例題：例題1：已知線段a6 cm，b2 cm，則a、b、ab的第四比例項(xiàng)是_cm，ab與ab的比例中項(xiàng)是_cm例題2：若m2，則m_知識(shí)點(diǎn)4 比例線段的有關(guān)定理1.三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三

3、邊對(duì)應(yīng)成比例.(相似) 2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 知識(shí)點(diǎn)5 相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號(hào)“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例注：對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫(xiě)比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 順序性：相似三角形的相似比是有順序的知識(shí)點(diǎn)6 三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1)相似三角形的等價(jià)關(guān)系：反身性：對(duì)于任一有 對(duì)稱性：若，則 傳遞性：若，且，則(2) 三角

4、形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形： 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：， 知識(shí)點(diǎn)7 三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似4、判定定理2：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似5、判定定理3：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各種判定均適用(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一

5、條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似（射影定理：在中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。）如圖，RtABC中，BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。經(jīng)典例題：例題1：判斷對(duì)錯(cuò)： (1)兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？(3)兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？(5)兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？例題2：下列能夠相似的一組三角形為( )

6、A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一邊和這邊上的高相等的三角形例題3：如圖所示，已知 中，E為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE與BC相交于F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例題4：已知在RtABC中，C=90°，AB=10，BC=6.在RtEDF中，F(xiàn)=90°，DF=3，EF=4，則ABC和EDF相似嗎？為什么？例題5：如圖所示，點(diǎn)D在ABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時(shí)，ACD與ABC相似？試分別加以列舉.例題6：已知：如圖正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)求證：ADQQCP例

7、題7：已知：如圖，AD是ABC的高，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)求證：DFEABC例題8：如圖，ABC中，CDAB于D，E為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AC、DE相交于點(diǎn)F，求證例題9：如圖，在ABC中，ABAC，延長(zhǎng)BC至D，使得CDBC，CEBD交AD于E，連結(jié)BE交AC于F，求證AFFC例題10： 如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過(guò)D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H，求證：（1）DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GH例題11：如圖，ABCCDB90°，ACa，BCb（1）當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，ABCCDB？（2）過(guò)點(diǎn)

8、A作BD的垂線，與DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若ABCCDB求證四邊形AEDC為矩形（自己完成圖形）知識(shí)點(diǎn)8 相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方注：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)9 相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1)線段成比例的定義 (2)三角形相似的預(yù)備定理 (3)利用相似三角形的性質(zhì)(4)利用中間比等量代換 (5)利用面積關(guān)系2、證明題常用方

9、法歸納：（1）總體思路:“等積”變“比例”，“比例”找“相似”(2)找相似：通過(guò)“橫找”“豎看”尋找三角形，即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共各有三個(gè)不同的字母，并且這幾個(gè)字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相似的，則可證明這兩個(gè)三角形相似，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論.(3)找中間比：若沒(méi)有三角形(即橫向看或縱向?qū)ふ业臅r(shí)候一共有四個(gè)字母或者三個(gè)字母，但這幾個(gè)字母在同一條直線上)，則需要進(jìn)行“轉(zhuǎn)移”(或“替換”)，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、等積代換.即：找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來(lái)。 (4) 添加輔助線：若上述方

10、法還不能奏效的話，可以考慮添加輔助線(通常是添加平行線)構(gòu)成比例.以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注：添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相似三角形或比例線段。（5）比例問(wèn)題：常用處理方法是將“一份”看著k;對(duì)于等比問(wèn)題，常用處理辦法是設(shè)“公比”為k。（6）對(duì)于復(fù)雜的幾何圖形，通常采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“分離”出來(lái)的辦法處理。典型例題：例題1：ABCDEF，若ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.例題2：如圖所示，已知AB

11、C中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積. 例題3：ABC中，DEBC，M為DE中點(diǎn)，CM交AB于N，若，求例題4：已知：如圖，在ABC與CAD中，DABC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AEEB=12，EFBC交AC于F點(diǎn)，ADE的面積為1，求BCE和AEF的面積例題5：如圖，已知：ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ/AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上(1)當(dāng)PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；(2)當(dāng)PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP

12、的長(zhǎng)；例題6：如圖，ABCD，A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PEBP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E， (1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；(2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.知識(shí)點(diǎn)10 位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形. 2. 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比. 注： 注：（1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的

13、連線相交于一點(diǎn). （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.3.位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. 注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4. 畫(huà)位似圖形的一般步驟： （1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)） （2） 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截?。? （3） 根據(jù)已知的位似比，確定所畫(huà)位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置. （4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形. 注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上

14、）。 外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形） 內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5） 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為k（k>0）,原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),【解答題】 1.如圖：是O的直徑，是弦，延長(zhǎng)到點(diǎn)， 使得(1)求證：是O的切線；(2)若，求的長(zhǎng)2.已知：如圖，AB為O的直徑，AD為弦，DBC =A. （1）求證： BC是O的切線；（2）若OCAD，OC交BD于E，BD=6，

15、CE=4，求AD的長(zhǎng).3.在ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DEAB，將CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到（使180°），連接、，設(shè)直線與AC交于點(diǎn)O.（1）如圖，當(dāng)AC=BC時(shí)，:的值為 ；（2）如圖，當(dāng)AC=5，BC=4時(shí)，求:的值； （3）在（2）的條件下，若ACB=60°，且E為BC的中點(diǎn)，求OAB面積的最小值. 圖 圖【填空題】1.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，若以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)的位似圖形，使與的相似比等于，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 2.如圖，ABC與ABC 是位似圖形，點(diǎn)O是位似中心，若OA=2A A,SABC=8，則SABC =_3.如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），把沿軸向右平移得到如果那么的長(zhǎng)為 4.如圖，與中，交于給出下列結(jié)論：；其中正確的結(jié)論是 （填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）5.如圖11，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），則這兩個(gè)正方形位似中