成考高等數(shù)學(xué)(二)考點(diǎn)精解第二章一元函數(shù)微分學(xué)

1、第二章一元函數(shù)微分學(xué)一、常見的考試知識(shí)點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)與微分(1)導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義，用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值(2)曲線上一點(diǎn)的切線方程和法線方程(3)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(4)隱函數(shù)的求導(dǎo)及對數(shù)求導(dǎo)法(5)高階導(dǎo)數(shù)的求法(6)微分法則2洛必達(dá)法則及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(1)用洛必達(dá)法則求各類不定式的極限(2)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(3)函數(shù)的極值、最值(4)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)及曲線的水平漸近線與鉛直漸近線(5)證明不等式3試卷內(nèi)容比例本章內(nèi)容約占試卷總分的30，共計(jì)45分左右二、常用的解題方法與技巧(一)導(dǎo)數(shù)與微分1導(dǎo)數(shù)的定義2導(dǎo)數(shù)的幾何意義3可導(dǎo)與可微的關(guān)系可微必定可導(dǎo)，反之也對，且如果求微

2、分dx可以先求出y，再代入上式即可4求導(dǎo)數(shù)的常見方法(1)利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則(2)利用復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t，為了不遺漏每一個(gè)復(fù)合層次，可以由外到里一次求得一個(gè)層次的導(dǎo)數(shù)(3)對隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，只需將所給式子兩端出現(xiàn)的y當(dāng)作中間變量，兩端分別關(guān)于x求導(dǎo)，整理并解出y(4)對數(shù)求導(dǎo)法，主要解決冪指函數(shù)求導(dǎo)與連乘除、乘冪形式的函數(shù)的求導(dǎo)問題(二)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù) (x)單調(diào)性的通常步驟(1)求出(x)的定義域(2)求出(x)，令 (x)=0，求出(x)的所有駐點(diǎn)，并求出(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)(3)判定上述兩相鄰點(diǎn)間 '(x)的符號(hào)，其中 (x)>0時(shí)名的取值

3、范圍即為 (x)單調(diào)遞增的范圍; (x)<0時(shí)x的取值范圍即為 (x)單調(diào)遞減的范圍2利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)f(x)極值的通常步驟(1)求出(x)的定義域(2)求出(x)，令(x)=0，求出八(x)的所有駐點(diǎn)，并求出定義域內(nèi)(x)不可導(dǎo)的點(diǎn)(3)若f(x)在上述點(diǎn)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，可以利用極值的第一充分條件判定上述點(diǎn)是否為極值點(diǎn)(4)若在(x)的駐點(diǎn)處(x)二階可導(dǎo)，且二階導(dǎo)數(shù)易求，則可以利用極值的第二充分條件判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)求連續(xù)函數(shù)(x)在區(qū)間a，b上的最大、最小值的通常步驟(1)求出(x)在(a，b)內(nèi)所有的駐點(diǎn)(即(x)=0的點(diǎn))及不可導(dǎo)的點(diǎn)：x1,xk4利用導(dǎo)數(shù)判定曲線y

4、= (x)的凹凸性與拐點(diǎn)的通常步驟(1)求出 (x)在(a，b)內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(2)判定(x)在上述點(diǎn)的兩側(cè)是否異號(hào)若在x0兩側(cè)(x)異號(hào)，則點(diǎn)x0， (x0)為曲線的拐點(diǎn)在(x)<0的x取值范圍內(nèi)，曲線y= (x)為凸的；在(x)>0的x取值范圍內(nèi)，曲線y= (x)為凹的三、常見的考試題型與評(píng)析(一)利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限或求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值本部分內(nèi)容1994-2013年共考了8次，考到的概率為401典型試題(1)(0222)(2)(0303)( )A0B1C2 D4(3)(0702)A一2B0C2 D4(4)(0802)A0B1C3D62解題方法與評(píng)析【

5、解析】函數(shù)y= (x)在點(diǎn)X0處導(dǎo)數(shù)的定義，其結(jié)構(gòu)式為x0處的導(dǎo)數(shù)如果不符合上式結(jié)構(gòu)，則應(yīng)通過變形或化簡后變成上式結(jié)構(gòu)才成立(1)(2)選D(3)選D方法同(1)(4)選C方法同(1)(二)利用四則運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)或求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值本部分內(nèi)容1994-2013年共考了20次，屬于必考題1典型試題(1)(0210)(2)(0310)(3)(0419)(4)(0522)(5)(0622)(6)(0705)ABCD(7)(0822)(8)(0903)A0B1Ce D2e(9)(1022)(10)(1122)(11)(1203)A-1B-1/2C0D1(12)(1302)ABC1/3D

6、2解題方法與評(píng)析【解析】這些題都可以利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來計(jì)算(1)(2)填1(3)(4)(5)(6)選C(7)(8)選C因?yàn)?9)因?yàn)樗?10)(11)選A(12)選A【評(píng)析】這些試題都是考試大綱要求熟練掌握的基本運(yùn)算，因此希望考生一定要牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算法則對其他求微分的試題，考生可自行練習(xí)(三)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)本部分內(nèi)容19942013年共考了18次，考到的概率為90。1典型試題(1)(0217)(2)(0318)(3)(0418)(4)(0503)A-2B-1C0D2(5)(0602)ABCD(6)(0722)(7)(0922)(8)(100

7、3)A.2sin2xB.-2sin2xC.sin2xD.-sin2x(9)(1222)(10)(1322)2解題方法與評(píng)析【解析】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是每年必考的試題之一，其計(jì)算的關(guān)鍵是分清復(fù)合的過程另外要(1)(2)(3)(4)(5)選B(6)(7)解法1因?yàn)閯t解法2直接求微分：(8)選B(9)(10)(四)隱函數(shù)求導(dǎo)本部分內(nèi)容1994-2013年共考了4次，考到的概率為201典型試題(1)(9420)(2)(9520)(3)(9820)(4)(9919) 2解題方法與評(píng)析【解析】隱函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是將題中的y看成x的復(fù)合函數(shù)，然后將等式兩邊分別對x求導(dǎo)數(shù)但是一定要注意：式中的y(x)是x的復(fù)合函數(shù)，

8、必須用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，最后再解出y(1)解法1等式兩邊對x求導(dǎo)，得解得 解法2等式兩邊求微分，得解得解法3用隱函數(shù)求導(dǎo)公式(多元函數(shù)內(nèi)容)用求導(dǎo)公式計(jì)算亦非常簡便，所以這部分試題考生不必花費(fèi)精力，此處僅僅是作為一種方法介紹給考生，以便提高水平(2)解法1將等式兩邊對x求導(dǎo)，得所以解法2等式兩邊求微分，得即解得所以(3)等式兩邊對x求導(dǎo)，得解得(4)等式兩邊對x求導(dǎo)，得解得用求微分法計(jì)算請考生自行練習(xí)【評(píng)析】(1)隱函數(shù)求導(dǎo)除了上述兩種方法外，還可以用第四章多元函數(shù)求偏導(dǎo)的計(jì)算公式，該公式的計(jì)算非常簡捷請考生根據(jù)自己對知識(shí)的掌握熟練程度確定選用何方法(2)從2001年以后就再?zèng)]有出現(xiàn)過一元

9、隱函數(shù)求導(dǎo)的題型(五)二階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)本部分內(nèi)容19942013年共考了19次，考到的概率為95，基本為必考題1典型試題(1)(0311)(2)(0421)(3)(0514)(4)(0615)(5)(0814)(6)(0915)(7)(1015)(8)(1114)(9)(1215)(10)(1314)2解題方法與評(píng)析【解析】這類試題主要考查二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)值的求法，因此應(yīng)先求y，再求y，最后再將x0代入y中即可(2)(3)(4)填一4sin 2x(5)(6)填2cos x-xsin x(7)(8)(9)(10)【評(píng)析】在計(jì)算階數(shù)較高的高階導(dǎo)數(shù)時(shí)，不要將每次計(jì)算后的系數(shù)都乘出來，保留原來的(

10、六)不定式極限的常用求法洛必達(dá)法則本部分內(nèi)容1994-2013年共考了12次，考到的概率為601典型試題(1)(0217)(2)(0317)(3)(0417)(4)(0721)(5)(0921)(6)(9818)(7)(1221)2解題方法與評(píng)析【解析】(1)(2)(3)(4)或或(5)(6)便考生全面了解考試的試題類型(7)【評(píng)析】(1)洛必達(dá)法則是求不定式極限的有效方法之一，但往往不是最簡捷的求極限的最佳方法是等價(jià)無窮小量代換與洛必達(dá)法則混合使用(2)再次提醒考生不要在加減運(yùn)算中使用等價(jià)無窮小量代換，只能在乘除運(yùn)算中使用，否則很可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤(3)如果極限式中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，建議考

11、生直接用洛必達(dá)法則求解(七)曲線在某點(diǎn)處的切線方程和法線方程本部分內(nèi)容19942013年共考了11次，考到的概率為551典型試題(1)(0320)(2)(0411)(3)(0515)(4)(0616)(5)(0914)(6)(1016)(7)(1113)(8)(1216)(9)(1316)2解題方法與評(píng)析【解析】這些試題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查利用點(diǎn)斜式求直線方程以及兩條直線互相平行的充要條件等知識(shí)點(diǎn)(1)(2)(3)(4) (5)填2/3因?yàn)?6)(7)(8)(9)填1因?yàn)閥(1)=2a+2=4，則=1(八)函數(shù)特性的研究I本部分內(nèi)容1994-2013年共考了24次，屬于必考題1典型試

12、題(1)(0405)函數(shù)y=(x)在點(diǎn)x=0處的二階導(dǎo)數(shù)存在，且(0)=0，(0)>0，則下列結(jié)論正確的是( )Ax=0不是函數(shù)(x)的駐點(diǎn)Bx=0不是函數(shù)(x)的極值點(diǎn)cx=0是函數(shù)(x)的極小值點(diǎn)Dx=0是函數(shù)(x)的極大值點(diǎn)(2)(0504)曲線y=x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)是( )A(-1，-1)B(0，0)C(1，1)D.(2，8)(3)(0513)(4)(0614)(5)(0704)則( )A(0)是極小值B(0)是極大值C(0)不是極值D(0)既是極大值又是極小值(6)(0715)(7)(0804)是( )ABCD(8)(0815)(9)(0916)(10)(1014)(11)(111

13、5)(12)(1214)(13)(1313)2解題方法與評(píng)析【解析】選擇題和填空題主要考查考生對基本概念的掌握和理解利用y的符號(hào)判定y的單調(diào)區(qū)間，利用y的符號(hào)判定曲線的凹凸區(qū)間(1)選C根據(jù)極值的第二充分條件，可知C正確(2)(3)(4)(5)選A根據(jù)極值的第一充分條件可知A正確(6)(7)選B利用單調(diào)減函數(shù)的定義可知：當(dāng)(x)(1)時(shí)，必有x<1(8)(9)填(1，一1)方法同題(8)(10)填(一1，3)方法同題(8)(11)(12)(13)【評(píng)析】函數(shù)特性的研究I的試題主要是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的特性為便于考生復(fù)習(xí)，簡單歸納如下：(1)單調(diào)區(qū)間：(x)>0(或(x)<0)的

14、區(qū)間為(x)的單調(diào)增加(或單調(diào)減少)區(qū)間(2)駐點(diǎn)：(x)=0的點(diǎn)為(x)的駐點(diǎn)(3)極值：若，(x0)=0，且在x0兩側(cè)x)異號(hào)，則(x0)為極值(4)凹凸區(qū)間：(x)>O(或(x)<0)的區(qū)間為(x)的凹(或凸)區(qū)間(5)拐點(diǎn)：若，(x0)=0，且在x0兩側(cè)，(x)異號(hào)，則點(diǎn)(x0，yo)為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)(九)函數(shù)特性的研究本部分內(nèi)容1994-2013年共考了12次，考到的概率為601典型試題(1)(0526)(2)(0626)(3)(0828)求常數(shù)和b；求函數(shù)(x)的極小值(4)(0926)(5)(1126)(6)(1226)(7)(1326)2解題方法與評(píng)析【解析

15、】這些試題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確求出y和y，然后列表進(jìn)行解答(1)列表如下：(2)(4)列表如下：(5)列表如下：(6)列表如下：(7)列表如下：(十)證明不等式本部分內(nèi)容1994-2013年共考了3次，考到的概率為l51典型試題(1)(0026)(2)(0328)(3)(1027)證明：當(dāng)x>1時(shí)，x>1+Inx2解題方法與評(píng)析【解析】 利用函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的一種常用的有效方法，其關(guān)鍵是構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)，使其在某區(qū)間上單調(diào)增加或單調(diào)減少(1)(2)這是兩邊不等式，因此應(yīng)分別證明之(3)【評(píng)析】 構(gòu)造輔助函數(shù)證明不等式的關(guān)鍵除了證明輔助函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)單調(diào)以外

16、，另一個(gè)關(guān)鍵之處是一定要驗(yàn)證：當(dāng)x>x0時(shí)，(x)(x0)=0(單調(diào)增加)，如果不驗(yàn)證(x0)=0，即使(x)在x>x0時(shí)是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的，也不一定能保證(x)>0(十一)應(yīng)用題本部分內(nèi)容1994 2013年共考了5次，考到的概率為251典型試題(1)(0726) 上半部為等邊三角形，下半部為矩形的窗戶(如圖121所示)，其周長為12 m，為使窗戶的面積A達(dá)到最大，矩形的寬1應(yīng)為多少?(2)(0826) 設(shè)拋物線y=1-x2與x軸的交點(diǎn)為A，B，在它們所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖12-2所示)設(shè)梯形上底CD長為2X，面積為S(x) 寫出S(x)的表達(dá)式；求S(x)的最大值(3)(1026) 在半徑為R的半圓內(nèi)作一內(nèi)接矩形，其中的一邊在直徑上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上(如圖12-3所示