信息與計算科學專業(yè)計算方法習題參考解答教師用

1、2008信息與計算科學專業(yè)計算方法習題 付敏編第一章 緒論姓名 學號 班級 習題主要考察點：有效數(shù)字的計算、計算方法的比較選擇、誤差和誤差限的計算。1. 若誤差限為0.5×105，那么近似數(shù)0.003400有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）2. ，具有4，5位有效數(shù)字的近似值分別是多少？（有效數(shù)字的計算）3. 已知是經過四舍五入后得到的近似值，問有幾位有效數(shù)字？（有效數(shù)字的計算）4. 設，的相對誤差為，求的誤差和相對誤差？（誤差的計算）5測得某圓柱體高度的值為，底面半徑的值為，已知，求圓柱體體積的絕對誤差限與相對誤差限。（誤差限的計算）5. 設，求的相對誤差與的相對誤差的關系。設的相

2、對誤差為,求的相對誤差.（函數(shù)誤差的計算）6. 計算球的體積，為了使體積的相對誤差限為1%，問度量半徑時允許的相對誤差限為多大何？（函數(shù)誤差的計算）7. 設求證：（1）（2）利用（1）中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小。（計算方法的比較選擇）第二章 插值法姓名 學號 班級 習題主要考察點：拉格朗日插值法的構造，均差的計算，牛頓插值和埃爾米特插值構造，插值余項的計算和應用。1. 求一個次數(shù)小于等于三次多項式，滿足如下插值條件：， （插值多項式的構造）2. 已知：，求的lagrange插值多項式。（拉格朗日插值）3. 已知y=，=4，=9，用線性插值求的近似值。（拉格朗

3、日線性插值）4. 若為互異節(jié)點，且有5. 證明 （拉格朗日插值基函數(shù)的性質）6. 已知sin0.32=0.314567，sin0.34=0.333487，sin0.36=0.352274，用拋物線插值計算sin0.3367的值并估計截斷誤差。（拉格朗日二次插值）7. 用余弦函數(shù)在三個節(jié)點處的值寫出二次lagrange插值多項式函數(shù), 并近似計算及其絕對誤差與相對誤差，且與誤差余項估計值比較。（拉格朗日二次插值）8. 已知函數(shù)值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函數(shù)的四階均差f0,1,3,4,6和二階均差f4，1，3。（均差的計算）9. 設：求之值

4、，.這里互異。（均差的計算）10. 依據如下函數(shù)值表012419233建立不超過三次的牛頓插值多項式。（牛頓插值多項式的構造）11. 作一個三次多項式使?jié)M足（埃爾米特插值）。12. 設(1)試求在上的三次hermite插值多項式h（x）使?jié)M足h（x）以升冪形式給出。(2)寫出余項的表達式。（埃爾米特插值及其余項的計算）。13. 證明若，f(a)=f(b)=0,則：（插值余項的應用）14. 給出函數(shù)表： xi0 12f(xi)121f(xi)  -115. 且已知f(x)在0，2上4階連續(xù)可導，求f(x)的3次hermite插值多項式。（埃爾米特插值）。16. 設，求 使 ；

5、又設 ，則估計余項 的大小 。（插值余項的計算）第三章 函數(shù)逼近姓名 學號 班級 習題主要考察點：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多項式的構造。1. 設，求于上的線性最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）2. 令，且設，求使得為于 上的最佳平方逼近多項式。（最佳平方逼近）3. 定義內積試在中尋求對于的最佳平方逼近多項式. （最佳平方逼近）4. 證明：切比雪夫多項式在區(qū)間上帶權正交。（正交多項式的證明）5. 求矛盾方程組：的最小二乘解。（最小二乘法）6. 已知一組試驗數(shù)據 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59試用直線擬合這組數(shù)據. (計算過程保留3位小數(shù))。（最小二乘線性逼近）7. 用

6、最小二乘原理求一個形如的經驗公式,使與下列數(shù)據相擬合.19 25 31 38 44 19 32.3 49 73.3 97.8 （最小二乘二次逼近）第四章 數(shù)值積分姓名 學號 班級 習題主要考察點：代數(shù)精度的計算，構造插值型求積公式（梯形，simpson公式），復化求積的計算，高斯公式的構造。1. 求積公式，試確定系數(shù)及，使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度，并給出代數(shù)精確度的次數(shù)。（代數(shù)精度的應用和計算）2. 已知高斯求積公式 將區(qū)間0,1二等分，用復化高斯求積法求定積分的近似值。（高斯公式）3. 試確定常數(shù)a，b，c和，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多

7、少？它是否為gauss型的？（代數(shù)精度的應用和計算，高斯點的特征）4. 數(shù)值積分公式，是否為插值型求積公式，為什么？又該公式的代數(shù)精確度為多少？（插值型求積公式特征）5. 給定求積公式試確定使它的代數(shù)精度盡可能高。（代數(shù)精度的應用和計算）6. 如果，證明用梯形公式計算積分所得到的結果比準確值大，并說明其幾何意義。（梯形求積）7. 用的復化梯形公式計算積分，并估計誤差。（復化梯形求積）8. 設，則用復化simpson公式計算，若有常數(shù)使 ，則估計復化simpson公式的整體截斷誤差限。（復化simpson公式）9. 驗證當時，的牛頓-科茨公式是準確的。（牛頓-科茨公式）10. 1）設是0,1區(qū)間

8、上帶權的最高次項系數(shù)為1的正交多項式系，求 2）構造如下的gauss型求積公式（高斯求積）第五章 常微分方程數(shù)值解姓名 學號 班級 習題主要考察點：歐拉方法的構造，單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論，線性多步法中亞當姆斯方法的構造和討論。1. 對于初值問題，證明當時，歐拉法絕對穩(wěn)定。（歐拉法穩(wěn)定性的討論）2. 證明：隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定。（穩(wěn)定性討論）3. 用龍格庫塔方法對方程取在區(qū)間上計算。（龍格庫塔方法的應用）4. 用四階龍格庫塔法求解初值問題取h=0.2, 求x=0.2, 0.4時的數(shù)值解. 要求寫出由h,xk,yk直接計算yk+1的迭代公式，計算過程保留3位小數(shù)。（龍格庫塔方法的應用）5

9、. 設有常微分方程的初值問題試用taylor展開原理構造形如的方法，使具有二階精度，并推導其局部截斷誤差主項。（積分余項的計算）6. 已知試求出adams公式的局部截斷誤差的首項,并由此公式計算。（adams公式的應用）7. 用adams方法對方程取在區(qū)間上計算。（adams公式的應用）第六章 非線性方程求根姓名 學號 班級 習題主要考察點：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根，迭代法求根的收斂性和穩(wěn)定性討論。1 用二分法求方程的正根，要求誤差小于0.05。（二分法）2 說明方程 在區(qū)間1，2內有惟一根，并選用適當?shù)牡ㄇ螅ň_至3位有效數(shù)），并說明所用的迭代格式是收斂的。（迭代法）3 設方程

10、在 內有實根，試寫出迭代公式使 。（迭代法構造）4 設有解方程的迭代法(1)證明均有（為方程的根）；(2) 取用此迭代法求方程根的近似值，誤差不超過，列出各次迭代值；(3)此迭代的收斂階是多少，證明你的結論。（迭代法和收斂性討論）5 設證明 由 ，得到的序列收斂于 。 （收斂性證明）6 設有解方程在0,1內的根為，若采用如下迭代公式證明均有為方程的根)；取，要迭代多少次能保證誤差？此迭代的收斂階是多少，證明你的結論。（迭代法和收斂性討論）7 方程在附近有根，把方程寫成3種不同的等價形式：（1），對應迭代格式：（2），對應迭代格式：（3），對應迭代格式：判斷迭代格式在的收斂性，并估計收斂速度，選

11、一種收斂格式計算出附近的根到4位有效數(shù)字，從出發(fā)，計算時保留5位有效數(shù)字。（收斂速度的計算和比較）8 設 （1） 寫出解 的newton迭代格式；（2） 證明此迭代格式是線性收斂的。 （牛頓迭代的構造）9 試述解非線性方程的newton迭代法的計算格式，并設計一個計算的newton迭代法，且不用除法（其中）。（牛頓迭代法）10 用牛頓法求的近似值，取x=10或11為初始值，計算過程保留4位小數(shù)。（牛頓迭代的構造）11 設是非線性方程的m重根，證明：用迭代法具有2階收斂速度。（收斂速度證明）12 設在附近有直到階的連續(xù)導數(shù)，且，試證迭代法在附近是階收斂的。  （收斂速度證明）

12、13 設是非線性方程的m重根，證明：用牛頓迭代法求只是線性收斂。（收斂速度證明）14 用弦截法求方程xsinx0.5=0在1.4，1.6之間的一個近似根，滿足，計算過程保留4位小數(shù)。（弦截法）第七章 線性方程組的直接解法姓名 學號 班級 習題主要考察點：高斯消去法，lu分解法，平方根法和追趕法解線性方程組。1. 用高斯消去法解方程組。 （高斯消去法的應用）2. 證明：（1）兩個下三角矩陣的乘積仍為下三角矩陣。（2）下三角矩陣的逆仍為下三角矩陣。（l,u矩陣的性質）3. 用lu分解法求解線性方程組: 。（lu分解法的應用）4. 設，求a的lu分解。（lu分解法的應用）5. 用平方根法求解線性方程

13、組。（平方根法的應用）6. 試用“追趕法”解方程組，其中：， （追趕法的應用）7. 設，求（條件數(shù)的計算）8. 求證：（范數(shù)的性質）9. 求證：（范數(shù)的性質）10. 對矩陣 求，和。（范數(shù)，條件數(shù)的計算）11. 方程組，其中，a是對稱的且非奇異。設a有誤差，則原方程組變化為，其中為解的誤差向量，試證明其中和分別為a的按模最大和最小的特征值。（范數(shù)的性質，誤差的分析）12. 證明：如果是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則為非奇異陣。（嚴格對角占優(yōu)矩陣的性質）13. 設是任意階矩陣，由的各次冪所組成的矩陣序列收斂于零矩陣，即的充分必要條件是 （譜半徑的性質）第八章 線性方程組的迭代解法姓名 學號 班級 習題主要

14、考察點：jacobi,gauss-seidel迭代法解線性方程組，及其收斂性討論。1. 用jacobi,gauss-seidel迭代法解下列方程組是否收斂?為什么?若將方程組變?yōu)樵儆蒙鲜鰞煞N迭代法求解是否收斂?為什么?（jacobi,gauss-seidel迭代法的計算和比較）2. 證明：迭代格式收斂，其中。（迭代法收斂性判斷）3. 證明解線性方程組ax=b的jacobi迭代收斂，其中 a=。（jacobi迭代收斂判斷）4. 已知方程組，其中(1)試討論用jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法求解此方程組的收斂性。(2) 若有迭代公式，試確定一個的取值范圍，在這個范圍內任取一個值均

15、能使該迭代公式收斂。（jacobi,gauss-seidel迭代法的計算和比較）5. 給出矩陣，（為實數(shù)）.試分別求出的取值范圍：1）   使得用jacobi迭代法解方程組時收斂；2）   使得用gauss-seidel迭代法解方程組時收斂。（jacobi,gauss-seidel迭代法的計算和比較）6. 設求1） 設是由 jacobi 迭代求解方程組ax=b所產生的迭代向量，寫出的精確表達式。2） 設是ax=b的精確解，寫出誤差的精確表達式。3） 如構造如下的迭代公式解方程組ax=b，試 確定的范圍，使迭代收斂。（jacobi迭代及其收斂判斷）7. 設給定線性方程組：（1）討論jacobi迭代法與gauss-seidel迭代法