2021屆上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期一模(期末)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2021屆上海市楊浦區(qū)高三上學(xué)期一模（期末）數(shù)學(xué)試題一、單選題1. 設(shè)CHO,則下列不等式中，恒成立的是（）1 133c CA. >B. ac >bcC ac >beD. < a ha b【答案】B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，.“>心0,所以，> >0,所以，丄丄>0, A選項(xiàng) ab abb a錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，.PHO,則c2>0>由不等式的基本性質(zhì)可得ac2>bc2 B選項(xiàng)正確;對(duì)于C選項(xiàng)，若evO,由不等式的基本性質(zhì)可得dCVbe, C選項(xiàng)錯(cuò)誤：1 1Q c對(duì)于D選項(xiàng)，若CVO,由A

2、選項(xiàng)可知，> >0,由不等式的基本性質(zhì)可得一>, b aa bD選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.2. 下列函數(shù)中，值域?yàn)椋?,+s）的是（）2A. v = x2B. y = -C y = 2XD. y = |log7 a*Ix-【答案】c【分析】由題意利用基本初等函數(shù)的值域，得岀結(jié)論.【詳解】解：函數(shù)y = x2的值域?yàn)?, +8）,故排除人；2函數(shù)y =的值域?yàn)閥i）vo,故排除函數(shù)y = 2r的值域?yàn)椋?,+8）,故C滿足條件：函數(shù)yTlog/Xl的值域?yàn)椤?, +00）,故排除D,故選：C.3. 從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到四面體的個(gè)數(shù)為（）A. C；-12B. C

3、： 一8C. C；_6D. C：-4【答案】A【分析】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)頂點(diǎn)有種，去掉四點(diǎn)共而的情況即可求解.【詳解】從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)頂點(diǎn)有C；種，正方體表面四點(diǎn)共面不能構(gòu)成四而體有6種，正方體的六個(gè)對(duì)角面四點(diǎn)共而不能構(gòu)成四而體有6種，所以可得到的四而體的個(gè)數(shù)為C：-6-6 = C：-12科-故選：A【點(diǎn)睹】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要采用間接法，如果直接討論，需要討論的情況比較多， 所以正難則反，這是解題的關(guān)鍵.4. 設(shè)集合 A = yy = ax>0(其中常數(shù)。>0,。工1), B = )，ly =十，xe A(其中常數(shù)k 已 Q),則“R<0”是= 的()

4、A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.既非充分又非必要條件【答案】A【分析】討論d的取值范用，求出集合人，進(jìn)而求出集合3,再根據(jù)充分條件、必要條 件即可求解.【詳解】當(dāng)“>1 時(shí)，A = yly = d>0 = (l,+oo),若 k<0,則 B = yy = xxeA=(OA),此時(shí) ACB = 0,當(dāng) 0 Vd< 1 時(shí)，A = y y = a x>0 = (0,1),若 k<0,則 B = yy = x *, xe A = (l,+oo),此時(shí) ACB = 0,故“R V0”是“ ACB = 0“的充分條件；當(dāng)“>1 時(shí)，若AC

5、B = 0,B = yly = x', xeA,可得<O»當(dāng)01 時(shí)，A = (0,l),若ApB = 0,B = yly = + , xeA,可得kSO,所以<0”不是“人門3 = 0“的必要條件，所以“R <0”是“ ACB = 0"的充分非必要條件.故選：A二.填空題5.已知全集U =集合4 = (y>,2),則集合=【答案】2，+ s)【分析】直接利用補(bǔ)集的圧義求解即可【詳解】解：因?yàn)槿疷 = R,集合A = (-oo,2),所以 jA=2, + s),故答案為：2, + s)【點(diǎn)睛】此題考査集合的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題6.設(shè)復(fù)數(shù)z

6、= l-2/仃是虛數(shù)單位)，貝Olzl=【答案】yf5【分析】由復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可求出.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z = l 2/, 所以 lzl= "+(_2)2 =逅.故答案為：$2x+y = 47若關(guān)于3的方程組仁°無解，則實(shí)數(shù)3【答案】一才2【分析】由題意可得直線2x+y-4 = 0和直線3a-8 = 0平行，再利用兩條直線平 行的性質(zhì)，求岀"的值.2x+y = 4【詳解】若關(guān)于 y的方程組仁 j無解，3x-ay = &則直線2x+y_4 = 0和直線3x_©_8 = 0平行,4J * 3 a 8如3故有,求得a = -92 1-423故答

7、案為：-28.已知球的半徑是2,則球體積為【答案】32兀第17頁共16頁【分析】根據(jù)球的體積公式直接計(jì)算得結(jié)果.aQ C【詳解】由于球的半徑為2,故體積為x23= .3 3【點(diǎn)睹】本小題主要考查球的體積公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9.若直線/ :2x + my + l = 0與厶：y = 3% 1垂直，則實(shí)數(shù)加=.【答案】6【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件，即v, .V項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0,解方程求得加的值.【詳解】直線厶：2x +加y + 1 = 0與厶：y = 3x-1垂直，厶可化為3x-y 1 = 0 ,2x3 + ?x( 1) = 0,解得? = 6,故答案為：6.【點(diǎn)睛】

8、本題考查兩直線垂直的充要條件，考查方程思想和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.1().已知sin a =【答案】辻5【分析】利用冋角三角函數(shù)基本關(guān)系求COS6Z,再利用誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)閟ina =5所以-彳可得COS6Z>011. 已知X + -的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為256,則展開式中的常數(shù)V X)項(xiàng)為(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】1120的二項(xiàng)展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2 =256可求得的值,進(jìn)而可寫出該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令兀的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】由于x + -j的二項(xiàng)展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為2" =256,解得心&a

9、mp;2 ) X + X)的展開式通項(xiàng)為7；. =C：Y2"令82£=0,解得R=4(9、因此，牙+二 的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為7； =C；24 =70x16 = 1120 X)故答案為：1120.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：在求解有關(guān)二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和，可利用以下結(jié)論求解：(1) 各二項(xiàng)系數(shù)之和：(a + b)n的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2"，且二項(xiàng)展開 式中奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和相等，都為2-'；(2) 各項(xiàng)系數(shù)和：在二項(xiàng)展開式中令變量均為1，得到二項(xiàng)式的值為二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系 數(shù)之和.12. /U)是偶函數(shù)，當(dāng)xno時(shí)，/(x) =

10、2r-l,貝懷等式/U)>1的解集為【答案】($_12(1,+8)【分析】根據(jù)條件可得出，當(dāng)x>0時(shí),由fM> 1得出x>,然后根據(jù)/(X)是偶函數(shù) 即可得岀不等式/(X)> 1的解集.【詳解】解：當(dāng)xno時(shí)，由/(x)>l,得2" >2,解得X>.因?yàn)?(兀)為偶函數(shù)，所以/(力>1的解集為(yo, 12(1, + 8)故答案為：(yQ, l)u(l, + s)13. 方程l + log2X = log2(F3)的解為.【答案】x = 3【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)可得：F-3 = 2x,結(jié)合真數(shù)位置大于0即可求解.【詳解】由

11、1 + log, x = log, (x2 一3)可得 log2 (2x) = log, (x2 -3),所以x2 3 = 2x，即(x3)(x + l) = 0,解得：x = 3或x =l, 因?yàn)閤>0Kx2-3>0 ,所以x = 3,所以方程 1+log2x = log2（x2-3）的解為:x = 3故答案為：x = 314. 平面直角坐標(biāo)系中，滿足到許（70）的距離比到竹（1,0）的距離大1的點(diǎn)的軌跡為 曲線八 點(diǎn)丘（2”）（其中兒> 0,皿1<）是曲線廠上的點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線出耳的距 離為”，則.【答案】亜2【分析】由雙曲線泄義可知廠的軌跡方程，求得漸近線方程，得

12、到直線出件的方程， 再由點(diǎn)到直線的距離公式求解.【詳解】設(shè)曲線丁上的點(diǎn)為P,由題意，1卩片1-"場(chǎng)1=1<1尸；耳1,則曲線丁為雙曲線的右支，焦點(diǎn)坐標(biāo)為片（一1,0）,巧（1,0）,4雙曲線方程為4/-/ = 1（A > 0）.所以漸近線方程為y = ±>/3x,而點(diǎn)巳（",兒）（英中兒0, “gN"）是曲線T上的點(diǎn)， 當(dāng)"T乜時(shí)，直線代竹的斜率趨近于厲，即 則 PJ : y = V3（x-I）,即y/3x-y-y/3 = 0 .【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睹：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程常用的方法有：（1）圧義法（根據(jù)已知分析得到 動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某一種

13、圓錐曲線再求解）：（2）直接法；（3）相關(guān)點(diǎn)代入法.15. 如圖所示矩形ABCD中，AB = 2, AD = ,分別將邊BC與DC等分成8份， 并將等分點(diǎn)自下而上依次記作垃、乞、厲，自左到右依次記作片、耳、厲， 滿足A<AF；<2 （其中i、丿eM, 1GJS7 ）的有序數(shù)對(duì)（V）共有 【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB. 4D所在直線分別為兀、V軸建立平而直角坐標(biāo)系,易得 Erp,-l(/eyVl<z<7），巧彳,1(yel<<7),由<2 可得出i + 4j < 16 ,然后列舉出符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)（門）即可得解.【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB

14、. AD所在直線分別為兀、V軸建立如下圖所示的平易知點(diǎn)& 21j(/e2Vl</<7),巧彳可得 / + 4J <16,所以符合條件的有序數(shù)對(duì)（門）有：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,1）、（2,2）、（2,3）、（3,1）、 （3,2）、（3,3）、（4,1）、（4,2）、（4,3）、（5,1）、（5,2）、（6,1）、（6,2）、（7,1）、（7,2）, 共18對(duì).故答案為：18.【點(diǎn)睹】方法點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用泄義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算: 利用數(shù)量積的幾何意義.具體應(yīng)用時(shí)可根拯已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積 運(yùn)算律的應(yīng)用.16

15、. 已知函數(shù)y = f(x)在定義域R上是單調(diào)函數(shù)，值域?yàn)?Y>,0),滿足/(_) = _+， 且對(duì)于任意 X，)' e R,都有 /(x + y) = -f(x)f(y). y = /(x)的反函數(shù)為 y = f' (x),若將y = W)(X中常數(shù)R >0)的反函數(shù)的圖像向上平移1個(gè)單位，將得到函數(shù)y =廣U)的圖像，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】3【分析】由題意設(shè)fM=-根據(jù)/(-1) = -|,解得在求解y = 4fU)的反函數(shù), 向上平移1個(gè)單位，可得y =即可求解實(shí)數(shù)R的值：【詳解】解：由題意，設(shè)/(x) = y = -«S根據(jù)/(-1)=->

16、 解得d = 3，/(x) = y- -3',那么 x = log3 (->*) , (y V 0),無與互換,可得/-,(x) = log3(-x), (x<0),則),=kf(x) = -k - 3*,那么 x = /o&3(二7)，-Kx與y互換，可得円啖(-、,向上平移i個(gè)單位，可得-$)+i,KK即陀3(-X)= g(-翠),K故得k = 3,故答案為：3.三、解答題憶 如圖所示，在直三棱柱ABC-A/G中，底面是等腰直角三角形，ZACB = 90 ,CA = CB = CC=2.點(diǎn)D 0分別是棱AC, AG的中點(diǎn).（1）求證：D、B、% q四點(diǎn)共面；（2

17、）求直線與平面DBBD所成角的大小.【答案】（1）證明見解析：（2） arc sin10【分析】（1）由已知證明DDJIBB、可得答案；（2）作C/丄BQ,證明直線Cf丄平面DBBQ , ZCBF即為直線與平面DBBD所成的角，在宜角£BF中可求得答案.【詳解】（1）證明：點(diǎn)D。分別是棱AC,的中點(diǎn)，:.DDHCCCCJIBB, :. DDBB D、B、。四點(diǎn)共而.（2）作Cf丄BQ,垂足為FBBl 丄平而 MG , C,F c=平面,.一直線丄宜線Cf GF丄直線BE且BE與BD相交于Bl 二直線GF丄平而DBBQZCBF即為直線BG與平而DBBg所成的角.在直角 C»B

18、 中，C,D, = 1, C0=2,所以B» =書,由面積C» C.B, = D且 C.F可得c、F =迫,在直角 C.BF 中，BC、=2邁,C、F =罕,sinZCF = -510直線BG與平面DBB、D所成的角為arc sin晉.【點(diǎn)睛】對(duì)于線而角的求法的步驟作：作(或找)出斜線在平而上的射影，證：證明某 平面角就是斜線與平而所成的角：算：通常在垂線段、斜線段和射影所組成的直角三角 形中計(jì)算.18. 設(shè)常數(shù)keRt f(x) = kcos2x + >/3snxcosx, xeR.(1) 若/(X)是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)£的值；(2) 設(shè)A = l, A3 C

19、中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為若/(A) = l, ab = 3,求"IBC的面積S【答案】(1) =0： (2)空或婕4 2【分析】(1)由/(0) = 0,知R=o,再對(duì)R=0進(jìn)行檢驗(yàn)，即可：(2)結(jié)合二倍角公式、輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可推岀A = -9再由余3弦左理求岀c的值，最后根據(jù)5=l/?csinA,即可得解.2【詳解】(1)解：由題意f(0) = k=0檢驗(yàn)：/(x) = VTsinxcosA-對(duì)任意xgR都有/(-X)= >/3sin(-x)cos(-x)= ->/3sin xcosx= 一 f (x)/(x)是奇函數(shù):.k = 0.(2)解：

20、/(A) = cos2 A + >/3sinAcosA = 1 +cos" + sin2A = sin 2A + | + - = 1,226 J 2整理得sin 2A + j = |,TA是三角形的內(nèi)角所以2A + - = 6 6/. A = -3由余弦定理cosA = b +Cal ,即丄= 9 + c-72bc2 6c整理得c2-3c + 2 = 0,解得c = l或c = 2c 1 匚 a 3S= be sin A =, u攵24219. 某校運(yùn)會(huì)上無人機(jī)飛行表演，在水平距離xw10,24(單位：米)內(nèi)的飛行軌跡如圖 所示，)'表示飛行高度(單位：米)其中當(dāng)XW1

21、0,20時(shí)，軌跡為開口向上的拋物線的 一段(端點(diǎn)為M、Q)f當(dāng)xw20,24時(shí)，軌跡為線段QN ,經(jīng)測(cè)量，起點(diǎn)M(10,24), 終點(diǎn) N(24,24),最低點(diǎn) P(14,8).(2)在A(0,24)處有攝像機(jī)跟蹤拍攝，為確保始終拍到無人機(jī)，求拍攝視角0的最小 值(精確到0.1°)【答案】y屮“一+&"10,20；最小為94.4。.-5x+144,xe (20,24【分析】(1) xw10,20時(shí)，設(shè)解析式為y = 6/(x-14)2+8,代入可求，從而求出0(20,44),求出直線的斜率即可求解.（2）根拯題意，連接A、N ,仰角為俯角為0,求岀a、0的最小值即可

22、求解.【詳解】解：(1) xw10,20時(shí)設(shè)：y = “(x14)'+8, A/(10,24)代入可得24 = "(10-14+8 解得a = , :.y = (x-4)X( i on =28- x + <28-12>/5x丿俯角0最小為arctan(-12岳+ 28卜49.4。 V最小為94.4。 20. 設(shè)亀 人分別是橢圓門 二+y2=i(a>i)的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).CT+8xg20,24時(shí)，.0(20,44), AT(24,24),44-24所以心n= -5，.y = -5x + 144°20-24.v = J(-H)2+8,xe1

23、0,20-5x + 144,xw(20,24(2)如圖，設(shè)仰角為Q ,俯角為0.0(20,44),(0,24)仰角&最小為45。， 又xe10,20, tan0 = X24-(x2-28x + 204)（2）設(shè)a = 2,竹是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)。是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段心2 的中點(diǎn)M在軸上，求出。的面積.（3）設(shè)。=3,點(diǎn)P是宜線.v = 6±的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C和D是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn), 且C, D分別在直線和PA?上，求證：宜線CD恒過一定點(diǎn).【答案】（1）+ / = 1；（2） 1_遲：（3）證明見解析.5-4【分析】（1）計(jì)算得期= （“），© = （-

24、匕1），代入期.心=“解方程即可得故可得橢圓T的方程：（2）設(shè)另一焦點(diǎn)為耳,則耳Q丄x軸,計(jì)算出點(diǎn)0坐標(biāo)，計(jì)算陽“+S鐘 即可；2（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6, m）,直線PA1： y = -（x + 3）,與橢圓方程+ /=1聯(lián)立,99"由韋達(dá)立理訃算得出C< 一3屛 + 27 6m< 9 + m2 9 + m2，同理可得D-2m1 + m2)乞兩種情況表示岀直線CD方程，從而確左岀左點(diǎn).【詳解】（1）州（一為0），4（么0）, 5（0.1）幣=（匕1），心=（一仏1），期心 =一/+1 = -4，解得a2 =52即橢圓T的方程為+y2=l.5-（2）橢圓的方程為y+r =

25、1,由題意巧（1,0）,設(shè)另一焦點(diǎn)為£（i,o）,設(shè)0（®,九），由線段鬥0的中點(diǎn)在y軸上，得斤0丄X軸，所以S= S厶叭“ + S 厶 BQM = 2代入橢圓方程得廿亨, 2 = 1咅：(3)證明：由題意£(一3,0),%(3,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,m),直線 "評(píng)+ 3),與橢圓方程令+宀】聯(lián)立 i肖去）'得：（9 + 加'）x2 + 6m2x + 9m2-81=0由韋達(dá)定理得“薯存同理D一2加1 + m2 >、”EHi 27 3廣 3廣3 a 7,當(dāng)xc=ad>即=；即2-=3時(shí),9 +nrnr +13直線CD的方程為x=-；2當(dāng)X。f時(shí)，直線CD：-2m _ 4m 3m2 一 3'1 + m2 3（3 -m2）1 + m2 y化簡(jiǎn)得"為卜訴恒過點(diǎn)G°綜上所述，直線CD恒過點(diǎn)【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睹：解決第(3)的關(guān)鍵是能夠運(yùn)用韋達(dá)左理表示出CQ點(diǎn)的坐標(biāo)，從 而表示出直線CD,并能通過運(yùn)算整理成關(guān)于加的方程，從而確左出立點(diǎn)，考査學(xué)生 的運(yùn)算求解能力，有一左的難度.21. 設(shè)數(shù)列"”與仇滿足："”的各項(xiàng)均為正數(shù)，b”=cosa“，”eN(1