離散型隨機(jī)變量及其分布規(guī)律PPT課件

1、2. 2. 分布列的性質(zhì) 1.01,2, kP Xxk 12.1 nkkP （非負(fù)性）（非負(fù)性）（歸一性）（歸一性）給定了給定了 ,1,2,. kkxPkn 我們就能很好的描述我們就能很好的描述X X. .即可以知道即可以知道 X X 取什么值，以及以多大的概率取這些值。取什么值，以及以多大的概率取這些值。第1頁(yè)/共33頁(yè)解: : 依據(jù)分布律的性質(zhì): :kkXP1)(P(P(X X = =k k)0, )0, 1!0aekakk解得解得 ea0kkke! 這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式設(shè)隨機(jī)變量X X的概率函數(shù)為：,!)(kakXPkk k =0,1,2, =0,1,2, , ,試確定常數(shù)0.

2、a0a例例1.1.第2頁(yè)/共33頁(yè)例題例題2 2設(shè)設(shè)X X 為離散型隨機(jī)變量，其分布律為：為離散型隨機(jī)變量，其分布律為：x xp p-1-10 01 11/21/21-2q1-2q q q2 22112 )12qq（ 解解: :1 q=1 2解方程得21 q=1+ 1 21 q=1-2q 若則矛盾第3頁(yè)/共33頁(yè)某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，解: : 顯然，X X 可能取的值是1,2,1,2, ， P P( (X X =1)=1)=P P( (A A1 1)=)=p p, , 為計(jì)算 P P( (X X = =k k ) )， k k = 1,2,

3、 = 1,2, ，A Ak k = = 第k k 次命中 ，k k =1, 2, =1, 2, ，設(shè)于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (已知他每發(fā)命中的概率是已知他每發(fā)命中的概率是p p，求求射擊次數(shù)射擊次數(shù)X X 的分布列的分布列. .例例5.5.第4頁(yè)/共33頁(yè), 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可見(jiàn)這就是所求射擊次數(shù) X X 的分布列. .若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X X的分布律如上式，的分布律如上式，不難驗(yàn)證: :1)1 (11kkpp幾何分布幾何分布. .則稱則稱X X 服從服從第5頁(yè)/共33頁(yè)例例3 3 一門大炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轟擊一

4、門大炮對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轟擊, ,假定此目標(biāo)假定此目標(biāo)必須被擊中必須被擊中r r 次才能被摧毀次才能被摧毀. . 若每次擊中目若每次擊中目標(biāo)的概率為標(biāo)的概率為p p (0 (0 p p 1), 1), 且各次轟擊相互獨(dú)且各次轟擊相互獨(dú)立立, ,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止. .求所需求所需轟擊次數(shù)轟擊次數(shù) X X 的概率分布的概率分布. .解解P P( (X X = = k k) = ) = P P( (前前 k k 1 1次擊中次擊中 r r 1 1次，次， 第第 k k 次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo)) )pppCrkrrk)1 (111rkrrkppC)1 (11, 1, rr

5、k帕斯卡帕斯卡分分 布布第6頁(yè)/共33頁(yè)幾個(gè)重要的離散性隨機(jī)變量模型幾個(gè)重要的離散性隨機(jī)變量模型(0,1)(0,1)分布分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布波松分布波松分布第7頁(yè)/共33頁(yè)一、 (0-1)(0-1)分布 （二點(diǎn)分布）隨機(jī)變量X X 只取0 0與1 1兩個(gè)值1()(1),0,1 kkP Xkppk 01 1Xpp 或或10 p它的分布列是它的分布列是XP0 11-P P或者表示為：或者表示為：第8頁(yè)/共33頁(yè)將一枚均勻硬幣拋擲1 1次，111() (),0,1 22kkP Xkk 則X X 的分布列是：反面正面X = 0X = 0X = 1X = 1“正面正面”的次數(shù)的次數(shù)令令X X 表示表示1

6、 1次中出現(xiàn)次中出現(xiàn)例例6 6例例3 3 100 100件相同的產(chǎn)品中有件相同的產(chǎn)品中有4 4件次品和件次品和9696件正品，件正品，現(xiàn)從中任取一件，現(xiàn)從中任取一件，96. 004. 010X解解求取得正品數(shù)求取得正品數(shù) X X 的分布列。的分布列。0 1XP1/2 1/2第9頁(yè)/共33頁(yè)伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布第10頁(yè)/共33頁(yè)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布事件事件A A 發(fā)生的概率均為發(fā)生的概率均為P P，定義定義 設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n n 次，次，n n 重貝努里試驗(yàn)重貝努里試驗(yàn). .若以若以X X 表示表示n n 重重貝努里試驗(yàn)事件貝努里試驗(yàn)事件A A 發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，記作

7、記作pnBX,則稱這則稱這n n 次試驗(yàn)為次試驗(yàn)為每次試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)中，第11頁(yè)/共33頁(yè) 用X X 表示n n 重貝努里試驗(yàn)中事件A A（成功）出現(xiàn)nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(1)(0nkkXP（2 2）不難驗(yàn)證：0)( kXP（1 1）的次數(shù)，則的次數(shù)，則第12頁(yè)/共33頁(yè))., 1, 0( ,)1 (nkppkXPknkknc若若其分布列為：其分布列為： , XB n pknkknppC )1 (正好是二項(xiàng)式正好是二項(xiàng)式nqp)( 的展開(kāi)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)，中的通項(xiàng)，因此該分布為二項(xiàng)分布。因此該分布為二項(xiàng)分布。顯然，顯然，n n = 1 = 1 時(shí)，時(shí)，二項(xiàng)分

8、布化為二點(diǎn)分布。二項(xiàng)分布化為二點(diǎn)分布。(0-1) (0-1) 分布記為pBX, 1二項(xiàng)分布的分布列二項(xiàng)分布的分布列第13頁(yè)/共33頁(yè)007125. 0)95. 0()05. 0() 2(223CXP 已知100100個(gè)產(chǎn)品中有5 5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回解: : 因?yàn)檫@是有放回地取3 3次，因此這3 3 次試驗(yàn)的依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.0.05.設(shè) X X 為所取的3 3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X X B B(3, 0.05)(3, 0.05)，例例1010地取地取3 3次，每次任取次，每次任取1 1個(gè)，求在所取的個(gè)，求在所取的3 3個(gè)中恰有個(gè)中恰有2 2個(gè)個(gè)次品的概

9、率次品的概率. .條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn)條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn). .第14頁(yè)/共33頁(yè)注： 若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”，那么各00618. 0) 2(310025195CCCXP次試驗(yàn)條件就不同了，次試驗(yàn)條件就不同了，古典概型求解古典概型求解. .不是貝努里概型，不是貝努里概型， 此時(shí)只能用此時(shí)只能用第15頁(yè)/共33頁(yè)二項(xiàng)分布的取值情況設(shè)), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk0.2

10、73由圖表可見(jiàn) , 當(dāng) 時(shí)，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此時(shí)的 稱為最可能成功次數(shù)kxP012345678第16頁(yè)/共33頁(yè)設(shè))2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 0 0 是常數(shù), , 且概率分布為：且概率分布為：泊松分布泊松分布, , 記作記作則稱則稱 X X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的 ( )Xp 或者x泊松分布泊松分布第20頁(yè)/共33頁(yè) 設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)設(shè)某國(guó)每對(duì)夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊的泊2 ( ),1013 XP XP XP Xe 且31012 P XP

11、XP XP X 122222221150.323 1!2!eeee解解: : 由題意由題意, ,232 eee 求任選一對(duì)夫婦求任選一對(duì)夫婦, ,至少有至少有3 3個(gè)孩子的概率。個(gè)孩子的概率。松分布松分布, ,且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)且知一對(duì)夫婦有不超過(guò)1 1個(gè)孩子的概率為個(gè)孩子的概率為3e3e-2-2. .例例1212第21頁(yè)/共33頁(yè))(PX. . .n n=10,=10,p p=0.7=0.7k kP Pk k0X X B(n,p)B(n,p)第22頁(yè)/共33頁(yè)當(dāng) n n 很大，p p 很小時(shí)，下面圖形顯示下面圖形顯示：泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，參數(shù)參數(shù) =

12、n p= n p 的的泊松分布泊松分布二項(xiàng)分布就可近似看成是二項(xiàng)分布就可近似看成是第23頁(yè)/共33頁(yè)在實(shí)際計(jì)算中,當(dāng) n 20, p 0.05時(shí), 可用上述公式近似計(jì)算; 而當(dāng) n 100, np 10 時(shí), 精度更好 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 按二項(xiàng)分布 按Possion 公式 k n=10 p=0.1

13、n=20 p=0.05n=40 p=0.025n=100 p=0.01=np=1 第24頁(yè)/共33頁(yè), 則對(duì)固定的 k, 2 , 1 , 0!)1 (limkkeppCkknnknknn0nnp設(shè)Possion定理定理Poisson定理說(shuō)明若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大，p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn第25頁(yè)/共33頁(yè)例13有產(chǎn)品15000件，其中次品 150件，今抽取100件，求有2件是次品的概率。解法一解法一 超幾何分布10015000981485021502CCCXP10015015000nMN解法二解法二

14、二項(xiàng)二項(xiàng)分布01. 0NMp為次品率982210099. 001. 02CXP1839. 03678. 021! 21212eXP解法三解法三 泊松泊松分布1pn第26頁(yè)/共33頁(yè)歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于18371837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的. . 近數(shù)十年來(lái)，近數(shù)十年來(lái)，泊松分布泊松分布日益顯示其日益顯示其重要性重要性, , 成成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一. . 在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布. . 泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位 . .第27頁(yè)/共33頁(yè)都可以看作服從泊松分布. .每天119119收到的火災(zāi)報(bào)警次數(shù)；一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù); ;一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù); ; 一放射性源放射出的 粒子數(shù)；例如第28頁(yè)/共33頁(yè)例例6 6 設(shè)一只昆蟲(chóng)所生蟲(chóng)卵數(shù)為隨機(jī)變量 X , 設(shè)各個(gè)蟲(chóng)卵是否能發(fā)育成幼蟲(chóng)是相互獨(dú)立的. 已知X P()，且每個(gè)蟲(chóng)卵發(fā)育成幼蟲(chóng)的概率為 p. 求一昆蟲(chóng)所生的蟲(chóng)卵發(fā)育成幼蟲(chóng)數(shù) Y 的概率分布.第29頁(yè)/共33頁(yè)解解 昆蟲(chóng)X 個(gè)蟲(chóng)卵Y 個(gè)幼蟲(chóng)已知, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPkkmppCkXmYPmkmmk, 2