自適應(yīng)控制大作業(yè)剖析

1、華蛀電力*事自適應(yīng)控制結(jié)課作業(yè)班級:組員:2016年1月1 遺忘因子遞推最小乘法 11.1最小二乘理論 11.2帶遺忘因子的遞推最小二乘法 11.2.1白噪聲與白噪聲序列 11.2.2遺忘因子遞推最小二乘法 22.2仿真實例32廣義最小方差自校正控制 52.1廣義最小方差自校正控制 52.2仿真實例63參考模型自適應(yīng)控制 93.1參考模型自適應(yīng)控制 93.2仿真實例123.2.1數(shù)值積分123.2.2仿真結(jié)果12參考文獻 161遺忘因子遞推最小二乘法1.1最小二乘理論最小二乘最早的想法是高斯在 1795年預(yù)測行星和彗星運動軌道時提出來 的，“未知量的最大可能的值是這樣一個數(shù)值，它使各次實際觀測

2、和計算值之間 的差值的平方乘以度量其精確度的數(shù)值以后的和為最小”。這一估計方法原理簡 單，不需要隨機變量的任何統(tǒng)計特性，目前已經(jīng)成為動態(tài)系統(tǒng)辨識的主要手段。 最小二乘辨識方法使其能得到一個在最小方差意義上與實驗數(shù)據(jù)最好擬合的數(shù) 學(xué)模型。由最小二乘法獲得的估計在一定條件下有最佳的統(tǒng)計特性，即統(tǒng)計結(jié)果是無偏的、一致的和有效的。1.2帶遺忘因子的遞推最小二乘法1.2.1白噪聲與白噪聲序列系統(tǒng)辨識中所用到的數(shù)據(jù)通常含有噪聲。 從工程實際出發(fā)，這種噪聲往往可 以視為具有理想譜密度的平穩(wěn)隨機過程。 白噪聲是一種最簡單的隨機過程，是由 一系列不相關(guān)的隨機變量組成的理想化隨機過程。 白噪聲的數(shù)學(xué)描述如下：如果

3、 隨機過程(t)均值為0，自相關(guān)函數(shù)為二2()，即2R ( )= ：；、()式中，()為單位脈沖函數(shù)(亦稱為Dirac函數(shù))，即卩T = 0口 迂、()，且 I. ：； ( )d =1式 0-O0則稱該隨機過程為白噪聲，其離散形式是白噪聲序列。如果隨機序列V(k)1均值為零，且兩兩互不相關(guān)，即對應(yīng)的相關(guān)函數(shù)為：、2, n = 0Rz(n)二 Ev(k)v(k n)二o n = 0則這種隨機序列稱為白噪聲序列。其譜密度函數(shù)為常數(shù)匚2(2二)。白噪聲序列的功率在-二到二的全頻段內(nèi)均勻分布。建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時，如果模型結(jié)構(gòu)正確，則模型參數(shù)辨識的精度將直接 依賴于輸入信號，因此合理選用辨識輸入信號是

4、保證能否獲得理想的辨識結(jié)果的關(guān)鍵之一。理論分析表明，白噪聲作為被辨識系統(tǒng)的輸入時，可以激發(fā)系統(tǒng) 的所有模態(tài)，可對系統(tǒng)充分激勵，可防止數(shù)據(jù)病態(tài)，保證辨識精度，可以保證獲 得較好的辨識效果。白噪聲序列4321值幅 0聲噪-1-2-3-450100150200250300350400450500仿真長度圖1-1白噪聲序列1.2.2遺忘因子遞推最小二乘法假設(shè)被辨識的系統(tǒng)為一單入單出的離散時間系統(tǒng)，且已知為CAR模型(帶u(k)z"B(z)A(zJ控制量的自回歸模型)，如圖2所示：圖1-2辨識系統(tǒng)模型即A(z)y(k)二 B(z')u(k -d) (k)式中，u(k)為輸入變量，y(k

5、)為輸出變量，(k)為白噪聲，且fA(zJ =1 +彰4 + a2zm + anaz 叫B(z')=b。b1Z az' lll gz 噸則上式可轉(zhuǎn)化為如下最小二乘格式：y(k) =a°(k 1) a2y(k 2)川a. y(k na)+b°u(k d)+川+bnbu(k d 壓)+ "k)y(k) =F：T(k尸-(k)式中，(k)為數(shù)據(jù)向量，二待估參數(shù)向量，且仆)二_y(k -1),川,-y(k -na),u(k -d),川,u(k -d - nb)r R(na nb 1 1 Jai, ,3na,bo,R""1)1取算法的性能

6、指標(biāo)為LJ 八y(k)_ T(k)：?2k 4式中，為遺忘因子(o :： 叮)。帶遺忘因子的遞推最小二乘估計的算法公式為：!?(k) =(k 1)+K(k)y(k)鏟(k)(?：k1)K(k)=嚴一1%)彳丸 + 護(k)P(k-1)砕(k)1P(k) I -K(k)，(k)P(k-1)L k公式表明，新的參數(shù)估計 勺k)是用新的實際測量值y(k)與基于老模型進行 預(yù)測得到的量T(k)玫k-1)之偏差，對前面的參數(shù)估計加以修正得到的，修正系 數(shù)陣為K(k)o P(k -1)的物理意義是參數(shù)估計誤差的方差，作為參數(shù)估計精度的 一種度量。遺忘因子的作用是削弱過去數(shù)據(jù)的作用，通常選擇0.95到0.9

7、98 之間的數(shù)。帶遺忘因子的遞推最小二乘估計算法屬于在線辨識所用方法的一種，它既能克服離線辨識的缺點，也能克服遞推最小二乘估計中的“數(shù)據(jù)飽和”現(xiàn)象， 同時 它充分重視了當(dāng)前數(shù)據(jù)的作用。遺忘因子最小二乘法的算法：已知A式階次na、B式階次nb以及延遲d。步驟1:設(shè)置初值0(0)和P(0)及遺忘因子，輸入初始數(shù)據(jù)；步驟2：采樣當(dāng)前輸出y(k)和輸入u(k)；步驟3:利用遞推公式，計算K (k)、0k)和P(k);步驟4: k > k 1，返回步驟2,繼續(xù)循環(huán)。2.2仿真實例系統(tǒng)模型如下：y(k) -1.1y(k -1)0.6y(k -2)0.1y(k -3) =u(k -4)0.7u(k -

8、5)(k)其中，輸入u(k)為方差為1的白噪聲，(k)為方差為0.1的白噪聲。由于P (0)和00)的選擇可按如下方法：式中，：為充分大的正實數(shù)(10 1010) , :為零向量或充分小的正的實向量。因 此，取初值 P(0) =1061、&0) = 0。仿真結(jié)果如下：21.510.50-0.5-1-1.5-20100 200300400500600700800900100021圖1-3參數(shù)估計結(jié)果圖1-4實際輸出與辨識輸出對比2廣義最小方差自校正控制2.1廣義最小方差自校正控制當(dāng)考慮干擾對系統(tǒng)的作用時，控制器的設(shè)計就是要最大限度的減小干擾對系 統(tǒng)的影響。鑒于一般被控對象或過程都存在不同

9、程度的純遲延，控制u(k)對系統(tǒng) 的作用要到(k d)時刻才有響應(yīng)。在這段純遲延的時間內(nèi)，干擾仍會作用于系統(tǒng)， 所以在k時刻預(yù)測(k d)時刻的輸出，并按照預(yù)測誤差的方差最小的原則，設(shè)計 現(xiàn)時控制u(k)，并加以實施。當(dāng)過程參數(shù)未知，或者時變時，用遞推最小二乘法 估計，或者直接估計控制器參數(shù)，然后算出控制量來，這就是最小方差自校正控 制的基本思想。但最小方差自校正控制器存在一些固有的問題，特別是其不適用于非最小相位系統(tǒng)且輸入控制量不受約束，因此考慮在性能指標(biāo)中加入控制量的 罰函數(shù)，限制過大的控制輸出，便形成了廣義最小方差自校正控制器。 控制算法 框圖如下：被控對象為：A(z')y(k)

10、二 z"B(z')u(k) C(z') (k) 其中：d為延遲因子，u(k)為輸入變量，y(k)為輸出變量，(k)為白噪聲。C(zJ 為 H u r w i多項式。選擇性能指標(biāo)函數(shù)為：J =ElP(z)y(k d)-R(z)yr(k d)2 Q(z')u(k)2?式中，yr(k)為期望輸出；y(k，d)為第(k d)拍的輸出；u(k)為第k拍的控制；P(z°)、R(z和Q(z')分別為輸出、期望輸出和控制的加權(quán)多項式，它們分別具有改善閉環(huán)系統(tǒng)性能，軟化輸入和約束控制量的作用。并且P(Z)=1 PjZ， P2Z，PnZPR(z')二r&

11、#176; 上烷射*rQ(z')二q° qjz' q2Z qnqZq上述多項式的階次及參數(shù)根據(jù)實際需要確定。由此，據(jù)文獻1知，廣義最小方差控制律為：u(k)= C(z)R(z)yr(k d)G(z)P(z)y(k) 告 C(z)Q(z) + F(z)P(z) tb在進行控制系統(tǒng)設(shè)計時，一般可以取加權(quán)多項式P(z)=1、R(z)=1和Q(z)=q°，而qo大小的選取需要在快速性和穩(wěn)定性方面進行權(quán)衡。而要穩(wěn)態(tài)誤 差為零，則需滿足條件：QA(1)B(1)廣義最小方差直接自校正控制的算法：已知：模型階次na、nb、nc以及延遲d。步驟1:設(shè)置初值9(0)和P(0)，

12、輸入初始數(shù)據(jù)，并設(shè)置加權(quán)多項式P(z)、Q(z')、R(z);步驟2:采樣當(dāng)前實際輸出y(k)和期望輸出yr(k - d);步驟3：構(gòu)造觀測數(shù)據(jù)向量？( k-d)并利用遞推增廣最小二乘法在線實時估計被 控對象參數(shù)9,即8、F和(?；步驟4:利用最小方差控制律計算并實施u(k);步驟5： k > k 1，返回步驟2,繼續(xù)循環(huán)。2.2仿真實例設(shè)系統(tǒng)模型如下：y(k) 0.9y(k -1)0.8y(k -2) 0.5y(k -3) =u(k -4) 2u(k -5)(k)0.6 (k -1)其中，(k)為方差為0.1的白噪聲，采用廣義最小方差控制。取初值P(0) =1061、 4=0

13、;設(shè)置加權(quán)多項式P(z)=1、R(Z，)=1.5、Q(z')=2。期望輸出采用幅 值為10的方波型號，其控制結(jié)果如下：實際輸出跟蹤模型輸出圖2015模型輸出yr(k)實際輸出y(k)-2001050-5-10-1550100150200250300350400450500k圖2-1期望輸出與實際輸出對比k圖2-2 控制量u(k)g0g1c估數(shù)參 二O8-1O50100150200250300350400450500k圖2-3估計參數(shù)O-21001502004 32 10 f數(shù)參識辨50250300350400450500k圖2-4辨識參數(shù)3參考模型自適應(yīng)控制3.1參考模型自適應(yīng)控制模型

14、參考自適應(yīng)控制器（MRAC, model referenee adaptive control），即為利 用可調(diào)系統(tǒng)（包含被控對象）的各種信息，度量或測出某種性能指標(biāo)，把它與參 考模型期望的性能指標(biāo)相比較；用性能指標(biāo)偏差（廣義誤差）通過非線性反饋的 自適應(yīng)律來調(diào)節(jié)可調(diào)系統(tǒng)，以削弱可調(diào)系統(tǒng)因不確定性”所造成的性能指標(biāo)的偏 差，最后達到使被控的可調(diào)系統(tǒng)獲得較好的性能指標(biāo)的目的。模型參考自適應(yīng)控制可以處理緩慢變化的不確定性對象的控制問題。它由于可以不必經(jīng)過系統(tǒng)辨識而度量性能指標(biāo)，因而有可能或得快速跟蹤控制。由于被控對象的全部狀態(tài)要準(zhǔn)確得到很困難，按被控對象輸入和輸出直接設(shè)計自適應(yīng)控制系統(tǒng)更有價值，一

15、般有直接法和間接法。所謂直接和間接，指的是對未知 的被控對象進行直接控制和間接控制。間接控制的基本思想是用未知的被控對象的輸入輸出數(shù)據(jù)來估計被控對象的參數(shù)，并用這些參數(shù)估計值產(chǎn)生一個反饋函數(shù)去調(diào)整調(diào)節(jié)器參數(shù)。直接控制和間接控制不同，在產(chǎn)生反饋控制信號之前沒 有明顯的被控對象的辨識。所以二者之間主要不同在于：在直接控制中要有一個 顯式的理想特性的參考模型，而間接控制則需要被控對象模型進行在線辨識并 用隱式方法去產(chǎn)生自適應(yīng)律?，F(xiàn)用一種分母分子相對階數(shù)為 2的直接法，即K.S.Narendra提出的穩(wěn)定性 自適應(yīng)控制方案。原理框圖如圖 3-1所示：圖3-1模型參考自適應(yīng)控制原理框圖1)設(shè)系統(tǒng)為單入單

16、出(SISO的系統(tǒng)，被控對象的狀態(tài)方程和輸出方程為：Xp = ApXpbpUyp = CpXp D pU式中Xp為n維狀態(tài)向量，u為控制向量；yp為輸出量，Ap為n n的矩陣，bp 為n 1的輸入向量；被控對象傳遞函數(shù)如下：N p (s)Wp(s) = kp D pD p(s)2)選取的參考模型為：Xm 二 AmXmbm yym 二 CmXmD m yrym為參考模型輸出,式中Xm為n維狀態(tài)向量，y為分段連續(xù)一致有界輸入; Am量n n的矩陣，bm為n 1的輸入向量； 參考模型傳遞函數(shù)為：Wm(s):-kNm®k mDm(s)式中Wm(S)嚴格正實，Nm(S)和Dm(S)都是首一的H

17、urwitz多項式，其階數(shù)分別為m和n , km為模型增益。3)設(shè)廣義輸出誤差為：e(t) = ym(t) - yp(t)控制系統(tǒng)的設(shè)計目標(biāo)便是利用 Lyapu nov穩(wěn)定性理論設(shè)計一個不含誤差導(dǎo)數(shù)的自適應(yīng)控制率，并由它產(chǎn)生一個有界控制量輸入，是廣義誤差e(t)滿足:lim e(t) = 0t_ .4)被控對象與參考模型的傳遞函數(shù)的選取需滿足分子分母多項式為穩(wěn)定多項 式，同時參考模型必須為嚴正實函數(shù)，嚴正實即傳遞函數(shù) W(s)的極點都在s 的左半平面(虛軸上只容許有一階極點，且其留數(shù)為正)且對于任意,都有ReW(j )0，則W(s)為嚴正實函數(shù)。輔助信號發(fā)生器傳遞函數(shù)的分母多項式應(yīng)當(dāng)?shù)扔趨⒖紝?/p>

18、象的分子乘上一個一階穩(wěn)定多項式，具體設(shè)計過程如下，兩個輔助信號發(fā)生器狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為：V1 二 A f v1 b f uF1 :W1N c(S)D f (S)V2A f V2 b f y pW2N d (S)D f (S)選擇L(s) = s a(a 0),使L(s)Wm(s)為 嚴格正 實函數(shù)選擇Df(s)=L (s)JNs)構(gòu)建可調(diào)參數(shù)自適應(yīng)律如下：(t) - (t)e(t) f(t)=a"t)+®(t)TT pT2n：1TT2n：1式中，廿kc Cf d。 df = R ， ©=yr w y V2 = R ， r R2n2n為正定矩陣。自適應(yīng)控制律為

19、：u(t) - JT(t)'(t) e(t) T(t)】(t)參考模型自適應(yīng)控制的算法：已知：被控對象 Wp(s)的階數(shù)n、m。步驟1:選擇參考模型Wm(s)為穩(wěn)定最小相位系統(tǒng)，與 Wp(s)階數(shù)及相對階相同， 并具有理想的動態(tài)性能；步驟2：選擇L(ss a(a 0),使L(s)Wm(s)為嚴格正實函數(shù)；并利用L(S)Nm(S)構(gòu) 造輔助信號發(fā)生器狀態(tài)矩陣A f ;步驟3:設(shè)置初值9(0),選擇自適應(yīng)增益矩陣r和輸入信號yr(t),并初始化數(shù)據(jù);步驟4:采樣當(dāng)前參考模型輸出ym(t)和系統(tǒng)實際輸出yp(t)，并計算e(t)；步驟5:利用輔助信號狀態(tài)方程計算vi和V2 ；步驟6:利用可調(diào)

20、參數(shù)自適應(yīng)律狀態(tài)方程計算-(t)和(t);步驟7:組建機t)，并有自適應(yīng)控制律計算u(t);步驟8 t > t h，返回步驟4,繼續(xù)循環(huán)。3.2仿真實例3.2.1數(shù)值積分連續(xù)函數(shù)的動態(tài)特性一般可由一個微分方程或一組微分方程加以描述，因此對連續(xù)系統(tǒng)進行編程或計算機仿真時，就需要對連續(xù)系統(tǒng)微分方程運用數(shù)值積分 的方法來求數(shù)值解，針對如下一階微分方程：dx(t)dtIx(t0 ) = x在離散系統(tǒng)中可采用歐拉法求解，其遞推公式如下x(tk J ： x(tk) hf(tk,x(tk)式中，h稱為計算步長或者步距。該方法簡單、計算量小，由前一點即可推出后一點的值，屬于單步法。適當(dāng)減小計算步長h有助于提高計算精度。3.2.2仿真結(jié)果采用的對象模型為2Wp(S)Wp(S)s +3