振動力學(xué)與結(jié)構(gòu)動力學(xué)第二章21

1、第二章第二章 單自由度系統(tǒng)的振動單自由度系統(tǒng)的振動第一節(jié)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動第一節(jié)單自由度系統(tǒng)的無阻尼自由振動一、自由振動的解一、自由振動的解0)()(tkytym )sin()(tAty)/(,)/(00220yyarctgyyA自由振動自由振動-由初位移、初速由初位移、初速度引起的度引起的, ,在振動中無動荷載在振動中無動荷載作用的振動。作用的振動。lEI)(ty)(tym 一一. .運(yùn)動方程及其解運(yùn)動方程及其解EIl)(ty)(tym )()(11tymty )()(11tymtyk 0)()(2tyty 111121mmk其通解為其通解為tctctysincos)(21由初始條

2、件由初始條件0)0(yy0)0(yy可得可得01yc /02yctytytysincos)(00vAysin0vAycos/0)sin()(vtAty22020yyA00tanyy yt0Av/2T22020yyA00tanyy 無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以 為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止。初始條件的說明：初始條件的說明： 初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動能勢能，有初始速度即轉(zhuǎn)入

3、了動能二、單自由度系統(tǒng)的動力特性二、單自由度系統(tǒng)的動力特性周期：周期：園頻率：園頻率：工程頻率：工程頻率：2Tmk2fstyggmgmmk1與外界無關(guān)與外界無關(guān), ,體系本身固有的特性體系本身固有的特性與系統(tǒng)是否正在振動著以及如與系統(tǒng)是否正在振動著以及如何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系何進(jìn)行振動的方式都毫無關(guān)系A(chǔ) A、v v不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過去所受到過字特征，與系統(tǒng)過去所受到過的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所的激勵和考察開始時刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)處的狀態(tài)有關(guān) 例例: :圖示剛架其橫梁的剛度為無限大，柱子的抗彎圖示剛架其橫梁的剛度為無限大，柱子的抗彎剛度剛度 ，梁的

4、質(zhì)量，梁的質(zhì)量m m=5000kg=5000kg，不計(jì)柱，不計(jì)柱子的軸向變形和阻尼，試計(jì)算此剛架的自振頻率。子的軸向變形和阻尼，試計(jì)算此剛架的自振頻率。26105 . 4NmEI思考題：剛架如何振動？關(guān)鍵是求側(cè)移勁度。HzfsradmkhEIkk502. 4500010421,/284.28,126321求圖示系統(tǒng)的固有頻率求圖示系統(tǒng)的固有頻率（a a）彈簧串聯(lián)情況；）彈簧串聯(lián)情況；（b b）彈簧并聯(lián)情況。）彈簧并聯(lián)情況。(a)(a)(,),(,21212121212121212211kkmkkkkkkymgkkkkkmgkmgkmgyyymgykykstststststst思考題：串聯(lián)后系統(tǒng)

5、頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？(b) (b) 并聯(lián)情況并聯(lián)情況mkkkkkkkmgymgykykyyystststststst212121221121,思考題：并聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個彈簧系統(tǒng)相比有何變化？ 例：簡支梁例：簡支梁ABAB，重量不計(jì)。在梁的中點(diǎn)位置放一重為重量不計(jì)。在梁的中點(diǎn)位置放一重為W W的物體的物體M M時，其靜撓度為時，其靜撓度為y ystst?，F(xiàn)將物體現(xiàn)將物體M M從高度從高度h h處自由處自由釋放，落到梁的中點(diǎn)處，求該系統(tǒng)振動的規(guī)律。釋放，落到梁的中點(diǎn)處，求該系統(tǒng)振動的規(guī)律。當(dāng)物體落到梁上后，梁、物體系統(tǒng)作簡諧振動，只要定出簡諧振動的三個參數(shù)：圓頻率、振幅和初相角即可。

6、ghyyyyyarctgyyyAygststst2,00002020).14. 05 .49sin(86. 2,14. 0,86. 2,/5 .49,10,4 . 0tyradcmAsradygcmhcmystst).25 .49sin(4 . 0,2,4 . 0, 0tycmyAhst2.2.算例算例例一例一. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期. .3117121mlEIm)221213221(111lllllllllEIEImlT127223EIlEIl=111=1ll/2l解解: :EIl3127例二例二. .求圖示體系的自振頻率和周期求圖示體系的自振頻率和周期.

7、.3332231mlEIEIlmEIl31132EImlT32=1解解: :23lEIEIllm/2EIEIll例三例三. .質(zhì)點(diǎn)重質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期求體系的頻率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk33lEIgWm/gWlEIk33例三：例三： 提升機(jī)系統(tǒng)提升機(jī)系統(tǒng)重物重重物重 量量NW51047. 1 鋼絲繩的彈簧剛度鋼絲繩的彈簧剛度 cmNk/1078. 54重物以重物以 的速度均勻下降的速度均勻下降 min/15mv 求：繩的上端突然被卡住時，求：繩的上端突然被卡住時， （1）重物的振動頻率，（）重物的振動頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力）鋼絲繩中的最

8、大張力 Wv解：解：sradWgk/6 .19振動頻率振動頻率重物勻速下降時處于靜平衡位重物勻速下降時處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時重物所在位置住瞬時重物所在位置 則則 t=0 時，有：時，有： 00 xvx 0)()6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx)sin()cos()(00txtxtx振動解：振動解： W靜平衡位置靜平衡位置kxWv)( )6 .19sin(28. 1)sin()(cmttvtx振動解：振動解： 繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起繩中的最大張力等于靜張力與因振動引起的動張力之和的動張力之和 ：)(1021.

9、2 1074. 01047. 1 555maxNkAWkATTs 動張力幾乎是靜張力的一半動張力幾乎是靜張力的一半 由于由于 kmvvkkA為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度為了減少振動引起的動張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度 Wv例：圓盤轉(zhuǎn)動例：圓盤轉(zhuǎn)動圓盤轉(zhuǎn)動慣量圓盤轉(zhuǎn)動慣量 I在圓盤的靜平衡位置上任意選一根在圓盤的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置半徑作為角位移的起點(diǎn)位置0kI Ik /扭振固有頻率扭振固有頻率02 為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩)/(radmN kkI由牛頓第二定律：由牛頓第

10、二定律：由上例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，由上例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，角振動角振動與與直線振動直線振動的數(shù)學(xué)描述的數(shù)學(xué)描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將 m、k 稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動。以后不加特別聲明時，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的 。0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k從前面兩種形式的振動看到，單自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著從前面兩種形式的振動看到，單

11、自由度無阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件慣性元件和和彈彈性元件性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，量或轉(zhuǎn)動慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大 0 kxxm mk /0kI Ik /kI0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位

12、置彈簧原長位置k例：復(fù)擺例：復(fù)擺剛體質(zhì)量剛體質(zhì)量 m對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量對懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量 0I重心重心 C 求：求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率復(fù)擺在平衡位置附近做微振動時的微分方程和固有頻率 mg0Ia0C解：解：由牛頓定律由牛頓定律 ：0sin0mgaI 因?yàn)槲⒄駝樱阂驗(yàn)槲⒄駝樱簊in則有則有 ：00mgaI 0/ Imga固有頻率固有頻率 ：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量的一個方法 若已測出物體的固有頻率若已測出物體的固有頻率 ，則可求出，則可求出 ，再由移軸定理，可，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量：

13、 0I20maIIcmg0Ia0C例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動例：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動斜面傾角斜面傾角 300質(zhì)量質(zhì)量 m=1kg彈簧剛度彈簧剛度 k=49N/cm開始時彈簧無伸長，且速度為零開始時彈簧無伸長，且速度為零求：求： 系統(tǒng)的運(yùn)動方程系統(tǒng)的運(yùn)動方程m300k重力加速度取重力加速度取 9.8m/s2解：解：x0以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系振動固有頻率：振動固有頻率：)/(70 1/1049 /2sradmk振動初始條件：振動初始條件：0030sin mgkx)(1 . 00cmx 考慮方向考慮方向00 x 初始速度：初始速度：運(yùn)動

14、方程：運(yùn)動方程：)()70cos(1 . 0)(cmttx m300k)sin()cos()(00txtxtx 能量法（補(bǔ)充）對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以對于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用利用能量守恒原理能量守恒原理建立自由振動的微分方程，或直接求出系建立自由振動的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率統(tǒng)的固有頻率無阻尼系統(tǒng)為無阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)保守系統(tǒng)，其，其機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒，即動能，即動能 T 和勢能和勢能 V 之和保持不變之和保持不變 ，即：，即：constVT0VTdtd或：或：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 動能：動能：221xmT勢能：勢能：

15、mgx （重力勢能）（重力勢能）（彈性勢能）（彈性勢能）dxxkx0)(0VTdtd0)( xkxxm dxxkmgxVx0 不可能恒為不可能恒為 0 x 0 kxxm kmg 221kxxkmgx221kx0mx靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長位置彈簧原長位置k零勢能點(diǎn)零勢能點(diǎn)222121kxxmVT如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長時的位置位置，而是取在彈簧為自由長時的位置 動能：動能：221xmT 勢能：勢能：xkxdxmgxV00 xkxxmgxxm 0VTdtdmgkxxm 設(shè)新坐標(biāo)設(shè)新坐標(biāo) kmgxy0 kyym 221 kx

16、mgx x0mxk零勢能點(diǎn)零勢能點(diǎn)y靜平衡位置靜平衡位置彈簧原長彈簧原長考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量考慮兩個特殊位置上系統(tǒng)的能量 靜平衡位置上，系統(tǒng)勢靜平衡位置上，系統(tǒng)勢能為零，動能達(dá)到最大能為零，動能達(dá)到最大021max2maxmaxVxmT最大位移位置，系統(tǒng)動最大位移位置，系統(tǒng)動能為零，勢能達(dá)到最大能為零，勢能達(dá)到最大2maxmaxmax210kxVTconstVT)sin()(tAtxmk /maxmaxxxmaxmaxVTmaxmax對于轉(zhuǎn)動：對于轉(zhuǎn)動：x 是廣義的是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置k靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置最大位移位置xmax0mxk例：如圖所示是一個倒置的擺

17、例：如圖所示是一個倒置的擺 擺球質(zhì)量擺球質(zhì)量 m剛桿質(zhì)量忽略剛桿質(zhì)量忽略 每個彈簧的剛度每個彈簧的剛度 2k求求:(1) 倒擺作微幅振動時的固有頻率倒擺作微幅振動時的固有頻率(2) 擺球擺球 時，測得頻率時，測得頻率 為為 ， 時，測得頻率為時，測得頻率為 ，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰，問擺球質(zhì)量為多少千克時恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ m0.9kgfZ1.5Hm1.8kgZ0.75Hlmak/2k/2（1）解法）解法1：廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo)動能動能2222121mlIT勢能勢能maxmaxUTmaxmax22mlmglka 零勢能位置零勢能位置1cos1212122mgl

18、akV零勢能位置零勢能位置1)(21 222mglka2221 kamgl 112sin2222)(21 mglka lmak/2k/2解法解法2：零勢能位置零勢能位置2動能動能2222121mlIT勢能勢能cos212122mglakV0)(2222 mglkaml 0 UTdtd0)(2222mglkaml 22mlmglka 零勢能位置零勢能位置22sin2121 222mglka2222121 mglmglkamglmglka22)(21 lmak/2k/2（2）平衡臨界位置的確定2 0kamgl利用：m0.9kg，測得頻率，測得頻率f 為為 Z1.5Hm1.8kg，測得頻率，測得頻率

19、f 為為 Z0.75H2 24.5gll22 212.6kal，2.8kgm 瑞利法 利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計(jì)算只利用能量法求解固有頻率時，對于系統(tǒng)的動能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具考慮了慣性元件的動能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限有的動能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限mkx0 這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程這種簡化方法在許多場合中都能滿足要求，但有些工程問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比問題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有

20、頻率明顯偏高例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動能設(shè)彈簧的動能: 221xmTtt 系統(tǒng)最大動能：系統(tǒng)最大動能： 2max2maxmax2121xmxmTt系統(tǒng)最大勢能：系統(tǒng)最大勢能： 2maxmax21kxVmaxmaxxxtmmk若忽略若忽略 ，則，則 增大增大 tm2max)(21xmmttm彈簧等效質(zhì)量彈簧等效質(zhì)量 mtmkx0因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限因此忽略彈簧動能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限 等效質(zhì)量和等效剛度方法方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢能寫成如下形式：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動能、勢

21、能寫成如下形式： 221xMTe 221xKVe 當(dāng)當(dāng) 、 分別取最大值時：分別取最大值時：x x則可得出：則可得出： maxTT maxVV eeMK /Ke：簡化系統(tǒng)的等效剛度：簡化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量：簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等等效的含義是指簡化前后的系統(tǒng)的動能和勢能分別相等 動能動能2221mlT 勢能勢能22mlmglka 22)(21mglkaV2mlMemglkaKe2零勢能位置零勢能位置1lmak/2k/2第二節(jié)第二節(jié) 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動一、一、有阻尼自由振動的解有阻尼自由振動的解

22、特征方程的根：特征方程的根：122, 1r1 1、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動的最小阻尼、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動的最小阻尼)1 ()(, 1002, 1tytyetyrt2 2、超阻尼情況、超阻尼情況mc2, 1或)(000tshyytchyetyDDDt 體系仍不作振動，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期體系仍不作振動，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，蠕動，上式也不含簡諧振動因子，由于大阻尼作用，受干擾后，偏離平衡位置體系不會產(chǎn)生振動，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振動。3 3、負(fù)阻尼情況、負(fù)阻尼情況 00或或c0c0 阻尼本來是耗散能量的，負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動過程中不阻尼本來是耗散能量的，

23、負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動過程中不僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運(yùn)動是僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運(yùn)動是不穩(wěn)定的，其振幅將會愈來愈大，直至系統(tǒng)破壞。不穩(wěn)定的，其振幅將會愈來愈大，直至系統(tǒng)破壞。4 4、低阻尼或小阻尼情況、低阻尼或小阻尼情況 11或或c2mc2m cossin)(000tytyyetydddt21d考慮阻尼使得結(jié)構(gòu)的自振頻率略有減小，亦即使系統(tǒng)的自振周期稍有增大。阻尼影響使振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。 結(jié)構(gòu)實(shí)際量測表明，對于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼結(jié)構(gòu)實(shí)際量測表明，對于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼比比 在在0.050.05左右，拱壩在左右，拱壩在0.0

24、3-0.050.03-0.05，重力壩包括大頭壩在，重力壩包括大頭壩在0.05-0.10,0.05-0.10,土壩、堆石壩在土壩、堆石壩在0.10-0.200.10-0.20之間。強(qiáng)震時，之間。強(qiáng)震時， 還會還會增加一些，但其值也是不大的。即使取增加一些，但其值也是不大的。即使取0.020.02代入求得的頻率與代入求得的頻率與不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動力計(jì)算時不不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動力計(jì)算時不計(jì)阻尼的影響。計(jì)阻尼的影響。 不同阻尼比對自由振動幅值的影響不同阻尼比對自由振動幅值的影響ty(t)2 . 014 . 1臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過

25、阻尼衰減快些臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動，但比過阻尼衰減快些 三種阻尼情況比較：三種阻尼情況比較：111欠阻尼欠阻尼過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生過阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動，沒有振動發(fā)生 二、阻尼的量測二、阻尼的量測小阻尼解答經(jīng)過三角轉(zhuǎn)換可寫小阻尼解答經(jīng)過三角轉(zhuǎn)換可寫成成000120020,)()sin()(yyytgyyyAtAetydddt其中可以根據(jù)自由振動衰減曲線確定阻尼比?？紤]兩相鄰幅值，可以根據(jù)自由振動衰減曲線確定阻尼比。考慮兩相鄰幅值，在在t ti i時

26、刻，時刻，y yi i=Ae=Ae- -t ti i; ;在在t ti i+T+Td d時刻，時刻，y yi+1i+1=Ae=Ae- -(t(ti i+T+Td d),),定義自定義自然對數(shù)遞減率然對數(shù)遞減率 y y自由振動衰減曲線自由振動衰減曲線 2222221)()2(122ln,)2(122lnyyddmiiymiiyyddiiymmmmTyyyymTyy從而得阻尼比同樣有和個周期的幅值可以量測相隔因素產(chǎn)生的誤差，更高的精度和避免偶然為了獲得由此可得阻尼比 例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使M M產(chǎn)生側(cè)移產(chǎn)生側(cè)移25mm25mm，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自

27、由振動，振動，然后突然放開，剛架產(chǎn)生自由振動，振動5 5周周后測得的側(cè)移為后測得的側(cè)移為7.12mm7.12mm。試求。試求 ：（：（1 1）考慮阻尼時）考慮阻尼時的自振頻率；（的自振頻率；（2 2）阻尼比和阻尼系數(shù)；（）阻尼比和阻尼系數(shù)；（3 3）振動）振動1010周后的振幅。周后的振幅。解：由解：由y y0 0=25mm, y=25mm, y0+5TD0+5TD=7.12mm,=7.12mm,有：有：Hzffsradskgmcmddy498. 4)1 (/261.28)1 (/6 .113132,04. 012. 725ln101222mmyeyyeyymneyydddmnmn028. 2

28、,1050,1010201052052，有，取由kN4 .160276.012ln421)/(102 .802.0104 .165311mNk) s (5 .04/2DT) s (4998.012DTT)s/1 (57.122T)kg(5190/211km)kN(86.50 mgW)s/mN(36012mc)s/1 (89.1368005190102 .8252)s/1 (70.11)s (537.0/2T0257.02/mc 三、相軌跡與奇點(diǎn)三、相軌跡與奇點(diǎn) 1、相平面的相軌跡、相平面的相軌跡 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 相平面相平面 相軌跡相軌跡 相軌跡的幾何特征相軌跡的幾何特征2 2、相平面的奇點(diǎn)

29、、相平面的奇點(diǎn)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)：相平面內(nèi)平衡點(diǎn)：相平面內(nèi)平衡點(diǎn)：李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性: : 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為Axx 式中A為nn方陣。設(shè)系統(tǒng)原來的平衡狀態(tài)為xe=0,在擾動產(chǎn)生了初始狀態(tài)x0以后，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)將從x0開始按下列規(guī)律轉(zhuǎn)移：0)(xetxAt如果對于任意初始狀態(tài)x0,由它引起的系統(tǒng)運(yùn)動x(t)滿足0lim)(lim0 xetxAttt那么，線性定常系統(tǒng)就是穩(wěn)定的（李雅普諾夫穩(wěn)定性定義下的漸近穩(wěn)定）(a)(b)(c)習(xí)題：習(xí)題：2-1(a)2-1(a)、（、（b b）、）、(d)(d)、(e)(e)劉延柱編劉延柱編振動力學(xué)

30、振動力學(xué)P32P32頁，頁，E1.1E1.1、E1.3E1.3、E1.4E1.4第三節(jié)第三節(jié) 單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的單自由度系統(tǒng)簡諧荷載作用下的 受迫振動受迫振動一、無阻尼受迫振動一、無阻尼受迫振動 1 1、無阻尼受迫振動方程解、無阻尼受迫振動方程解tFtkytymsin)()( 運(yùn)動方程的解運(yùn)動方程的解tmFtmFtytytysin)(sin)(cossin)(222200上式中，前三項(xiàng)都是頻率為上式中，前三項(xiàng)都是頻率為 的自由振動。但第一、二項(xiàng)是的自由振動。但第一、二項(xiàng)是初始條件決定的自由振動，第三項(xiàng)與初始條件無關(guān)，是由初始條件決定的自由振動，第三項(xiàng)與初始條件無關(guān)，是由伴隨干擾力的作

31、用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動。第四項(xiàng)伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動。第四項(xiàng)則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動，稱為純受迫振動。則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動，稱為純受迫振動。2 2、動力系數(shù)、動力系數(shù) 22222max221( )sinsin()(1)sin1/1 ()stFstFFFy tttmmytyy動力系數(shù)變化曲線動力系數(shù)變化曲線例例: :圖示無重簡支梁，在跨中圖示無重簡支梁，在跨中W20kN的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)生的離心力生的離心力F(t)，若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n=500rad/min，梁的，梁的EI=1.00810000kN.m2。在

32、不計(jì)阻尼的情況下，試求梁的最大。在不計(jì)阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。位移和彎矩。解：（解：（1 1）梁的自振頻率）梁的自振頻率mEIWlyst00265. 010008.radygst/812.60（2 2）系統(tǒng)的動力系數(shù)）系統(tǒng)的動力系數(shù)866. 3)(11/36.52605001416. 3260222sradn想想看還有沒有其他方法求自振頻率？想想看還有沒有其他方法求自振頻率？（3 3）梁跨中截面的最大位移和彎矩）梁跨中截面的最大位移和彎矩mkNFlWlMMMmyyystFststFst.66.584400776. 0maxmax思考題：第二個式子怎么來的

33、？思考題：第二個式子怎么來的？22222( )( ( )()()sin441(1)sin()sinsin444stlWlM tF tyFy mtgFlFlFlttt 思考題：如何求某一截面的思考題：如何求某一截面的Qmax?3231482 . 1,488 . 0sin)(mlEImlEItFtF例例: : 圖示跨中帶有一質(zhì)體的無重簡支梁，受動力荷載圖示跨中帶有一質(zhì)體的無重簡支梁，受動力荷載作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大動力位移。動力位移。解：按疊加原理解：按疊加原理 tmFymtFmtFyytFymtFtFyisin)(11)687

34、5. 0()(6875. 0)()()()()(221112212111211 （1 1）慣性力前為何加負(fù)號？）慣性力前為何加負(fù)號？（2 2）運(yùn)動方程式與直接作用在質(zhì)體時有什么差別？）運(yùn)動方程式與直接作用在質(zhì)體時有什么差別？（3 3）如果梁上還有一個動荷載，運(yùn)動方程式形式有何變）如果梁上還有一個動荷載，運(yùn)動方程式形式有何變化？化？例例1 1 求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知求圖示體系振幅和動彎矩幅值圖，已知 5 . 0動位移、動內(nèi)力幅值計(jì)算動位移、動內(nèi)力幅值計(jì)算tAty sin)(st FAy22/11 sinPt1EIEIEIPPl/4解解. . 31124lEIk31124st FPPl

35、ykEI34/1122 3118st FPlAyEIPl/3動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖例例2 2 求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移 已知已知: :./500,10,35,210,108.8,445分轉(zhuǎn)nkNFkNQGPaEmIml解解. . S/13 .62/111Qgmm10722.0311Fyst4 .3/1122 m1045.23styAtFsinQ/2/2重力引起的彎矩重力引起的彎矩kN3541QlMQ重力引起的位移重力引起的位移m1053. 2311QQ111/4m/N10722.0487311EIlkN.m1041FlMstS/13 .5260/2

36、n 振幅振幅動彎矩幅值動彎矩幅值kN.m34stDMM跨中最大彎矩跨中最大彎矩kN.m69maxDQMMM跨中最大位移跨中最大位移3max4.98 10 mQyA 動荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時的計(jì)算動荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時的計(jì)算 FF1112*tFsin)(ty)(sin)(1112ymtFty )(tym tFsin12=111=1tFtytymsin)(1)(111211 令令tFtytymsin)(1)(*11 tmFtysin)(2*11*2*FmFA111112FF12stFystyP仍是位移動力系數(shù)仍是位移動力系數(shù)是內(nèi)力動力系數(shù)嗎是內(nèi)力動力系數(shù)嗎? ?運(yùn)動方程運(yùn)動方程穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)態(tài)解振幅振幅 列幅

37、值方程求內(nèi)力幅值列幅值方程求內(nèi)力幅值 tAtysin)(31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知tAtysin)(2 tmAtIsin)(2tFtFsin)(同頻同步變化同頻同步變化tFsinEIl/2l/2)(tyAm2A34/11223536stFFlAyEIstFy=1112/Fll重要！1122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖31 155222648stFFllFlylEIEI解解: :5 .0例例: :求圖示體系振幅、動彎矩幅

38、值圖求圖示體系振幅、動彎矩幅值圖. .已知已知tFsinEIl/2l/2)(tyAm2AstFy=11134/11223536stFFlAyEI2/Fll解解: :例例: :求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅 0oMkmFA410321122441AmAmAIF485FF485Fl965Fl4829動彎矩幅值圖動彎矩幅值圖tFsinlkEIllAF2mA231mAAk32o二、有阻尼受迫振動二、有阻尼受迫振動1 1、解的形式、解的形式)sin(sin)sincos(cossinsin)(cos)(sin)()()(000tAtAetAetyyetyetytFtkytyctymdd

39、dtdtdddtdt 式中，第一、二項(xiàng)由初始條件決定的自由振動，第三、四式中，第一、二項(xiàng)由初始條件決定的自由振動，第三、四是荷載作用而伴生的自由振動，第五項(xiàng)為純受迫振動。前是荷載作用而伴生的自由振動，第五項(xiàng)為純受迫振動。前四項(xiàng)自由振動由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終四項(xiàng)自由振動由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動。只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動。2/1222)2()1()sin()sin()(stddstyAtytAty 2 2、幅頻曲線、幅頻曲線2221( )(1)(2)d簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：簡諧激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性： 以以 為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出 曲線曲線 ( )

40、d激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低 結(jié)論：響應(yīng)的振幅結(jié)論：響應(yīng)的振幅 A 與靜位移與靜位移 B 相當(dāng)相當(dāng) sinFytk0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 01（1）當(dāng)）當(dāng) 1（ ） 幅頻曲線幅頻曲線結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的結(jié)論：系統(tǒng)即使按無阻尼情況考慮也是可以的 對應(yīng)于不同對應(yīng)于不同 值值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（3）在以上兩個領(lǐng)域）在以上兩個領(lǐng)域 1， 1幅頻曲線幅

41、頻曲線結(jié)論：共振時振幅無窮大結(jié)論：共振時振幅無窮大（4）當(dāng)）當(dāng)1對應(yīng)于較小對應(yīng)于較小 值，值， 迅速增大迅速增大 ( )d當(dāng)當(dāng)0( )d 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在 =1 附近的區(qū)域內(nèi)附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降，增加阻尼使振幅明顯下降 .幅頻曲線幅頻曲線max2121d0ddd2120123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d（5）對于有阻尼系統(tǒng)，）對于有阻尼系統(tǒng)， 并不出并不出現(xiàn)在現(xiàn)

42、在 =1處，而且稍偏左處，而且稍偏左. maxd幅頻曲線幅頻曲線（6）當(dāng)）當(dāng)2/11d振幅無極值振幅無極值 0123012345( )d01 . 025. 0375. 05 . 012221( )(1)(2)d幅頻曲線幅頻曲線112dsQ記：記：品質(zhì)因子品質(zhì)因子 在共振峰的兩側(cè)取與在共振峰的兩側(cè)取與 對應(yīng)的兩點(diǎn)對應(yīng)的兩點(diǎn) ， /2dQ1221帶寬帶寬Q與與 有關(guān)系有關(guān)系 ：Q阻尼越弱，阻尼越弱，Q越大，帶越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭寬越窄，共振峰越陡峭 d2Q2/Q122221( )(1)(2)dP33-34有證明 3 3、相頻曲線、相頻曲線相頻特性曲線相頻特性曲線 1221tg相位差相位差

43、0位移與激振力在相位上幾乎相同位移與激振力在相位上幾乎相同 位移與激振力反相位移與激振力反相 （3）當(dāng)）當(dāng)1共振時的相位差為共振時的相位差為 ，與阻尼無關(guān)，與阻尼無關(guān) 2( )d0123090180以以 為橫坐標(biāo)畫出為橫坐標(biāo)畫出 曲線曲線 ( )d（1）當(dāng)）當(dāng) 1（ ） 4 4、系統(tǒng)上各個力的平衡、系統(tǒng)上各個力的平衡由已知的荷載 , 以及求得的位移)sin()(tFtF)sin()sin()sin()(tkFtytAtydstd)cos(2)()(),sin()()(),sin()sin()()(22tFtyctFtFtkytFtFtmkFtymtFdddsddi 有， 當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自

44、振頻率時，當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自振頻率時，0, 0, 慣性力慣性力F Fi i(t)(t)和阻尼力和阻尼力F Fd d(t)(t)都很小，荷載主要由彈簧力平衡；都很小，荷載主要由彈簧力平衡；想想：此時相當(dāng)于什么情況?n當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時，當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時，, , 荷載主要荷載主要由慣性力平衡；由慣性力平衡；當(dāng)荷載頻率接近系統(tǒng)自振頻率時，1, 此時阻尼力)sin()2(12)21()(tFCOSFtFd此時荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。此時荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。共振區(qū)內(nèi)（共振區(qū)內(nèi)（0.75-1.25)0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。阻尼

45、力不可以忽略。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中四個力的平衡5 5、半功率法確定阻尼比、半功率法確定阻尼比styyy22121max簡諧荷載受迫振動的幅頻曲簡諧荷載受迫振動的幅頻曲線可以用來確定系統(tǒng)的阻尼線可以用來確定系統(tǒng)的阻尼比比。取曲線上取曲線上a a、b b兩點(diǎn)，令縱兩點(diǎn)，令縱坐標(biāo)坐標(biāo)代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后有有)(21)(211212例例. .圖示為塊式基礎(chǔ)圖示為塊式基礎(chǔ). .機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為 ; ;地基豎向地基豎向 剛度為剛度為 ; ;豎向振動時的阻尼比為豎向振動時的阻尼比為 機(jī)器轉(zhuǎn)速為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min, ,其偏心質(zhì)量引起的離心力為其偏心質(zhì)量引起

46、的離心力為F F=30kN. .求豎向求豎向 振動時的振幅。振動時的振幅。N101563mN/m105 .13146K2.0解：解：33300.022810m1314.510stFFyK)s/1 (79.9110156105 .131436mK( )sinF tFt283.78(1/ s)60N22221/(1/)(2/)2.490.0568(mm)stFAy例：例：汽車的拖車在波形道汽車的拖車在波形道路上行駛路上行駛已知拖車的質(zhì)量滿載已知拖車的質(zhì)量滿載時為時為 m1=1000 kg空載時為空載時為 m2=250 kg懸掛彈簧的剛度為懸掛彈簧的剛度為 k =350 kN/m阻尼比在滿載時為阻尼

47、比在滿載時為5 . 01車速為車速為 v =100 km/h路面呈正弦波形，可表示為路面呈正弦波形，可表示為lzaxf2sin求：求： 拖車在滿載和空載時的振幅比拖車在滿載和空載時的振幅比l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz解：解：汽車行駛的路程可表示為：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵頻率：路面的激勵頻率：tlvaxf2sinvtz srad /9 .34kmccr202mc得：得：kmcccr2c、k 為常數(shù)，因此為常數(shù)，因此 與與 成反比成反比m因此得到空載時的阻尼比為：因此得到空載時的阻尼比為：2112mm滿載和空載時的頻率比：滿載和空載時的頻率比：101220

48、20.93mk因?yàn)橛校阂驗(yàn)橛校簂 =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載滿載: m1=1000 kg空載空載: m2=250 kg5 . 01車速車速 : v =100 km/hlzaxf2sin2 vl0 . 1k =350 kN/m1mk87. 1滿載時頻率比滿載時頻率比記：滿載時振幅記：滿載時振幅 B1，空載時振幅，空載時振幅 B2有：有：滿載時阻尼比滿載時阻尼比空載時阻尼比空載時阻尼比0 . 1211.87空載時頻率比空載時頻率比20.9321112221111 (2)0.68(1)(2)Ba 22222222221 (2)1.13(1)(2)Ba 因此滿載和空載時的振幅比：因

49、此滿載和空載時的振幅比：60. 021BB5 . 01l =5 ml =5 mmk/2cx0k/2xfalxfz 簡諧慣性力激勵的受迫振動小結(jié)簡諧慣性力激勵的受迫振動小結(jié)背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動背景：地基振動，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例 ( )i tfxtDe坐標(biāo)：坐標(biāo)：動力學(xué)方程：動力學(xué)方程： 0)(1111kxxcxxmf 基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：x1 相對基座位移相對基座位移)(1fxxm 1kx1xcmm)(1fxxm 1xc1kx受力分析受力分析xfkc1xmx0mkxxfc1xD：基座

50、位移振幅：基座位移振幅21 111i tm xcxkxmDe21 111i tm xcxkxmDe0i tmxcxkxF e()itdstFxxe0stFFxk2221(1)(2)d122( )1tg 依據(jù)：依據(jù)：令：令：20mDF1()1itdstFxxe1()0itdFek12() itdmDek12()222 (1)(2)itDe1()1itdDe有：有：21222( )(1)(2)d1122( )1tg 其中：其中：xfkc1xmx02km0i tmxcxkxF e補(bǔ)：振動微分方程解補(bǔ)：振動微分方程解顯含時間顯含時間 t非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程非齊次微分方程通解通解齊

51、次微分方程齊次微分方程通解通解非齊次微分方程非齊次微分方程特解特解阻尼自由振動阻尼自由振動逐漸衰減逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動持續(xù)等幅振動穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)0i tmxcxkxF e振動微分方程：振動微分方程：設(shè)：設(shè)：i txxe0( )xHF代入，有：代入，有：21( )Hkmic復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 振動微分方程：振動微分方程：222i tstFxxxxekm2ckm0stFFxk引入：引入：2222112( )(1)(2)iHk2221( )(1)(2)d122( )1tg 振幅放大因子振幅放大因子相位差相位差則：則：1idek ：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅 x靜變形靜

52、變形0i tmxcxkxF ei txxe22221121( )(1)(2)idiHekk0( )xHF()0itdFxekdAB穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅 2221( )(1)(2)d0stFFxk()itAe122( )1tg 21 111i tm xcxkxmDe1()11itdxDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 0.25 0.5 0.75 1.0 2.0 1 0 1( )d1 0 01901801( ) 幅頻曲線幅頻曲線相頻曲線相頻曲線若以絕對位移若以絕對位移 x 為坐標(biāo)為坐標(biāo)fxxx11()1iti tdxDeDe1()11itdxDe( )i tfxtD

53、e其中：其中：則有：則有：11()1()iitdeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x12111222(cossin)(1)(2)idei222221 (2)(1)(2)d12(2)tg11()1()iitdxeDe21222( )(1)(2)d1122( )1tg 2222222222212(1)(2)(1)(2)(1)(2)i22212(1)(2)i222221 (2)(1)(2)ie22ide2222211 (2)(1)(2)ie11()1()iitdxeDe1212iiddee222221 (2)(1)(2)d12(2)tg12()

54、()22ititddxDeDe12代入：代入：211i txDe無阻尼情況：無阻尼情況：21222( )(1)(2)d1122( )1tg xfkc1xmx0mkxxfc1x222221 (2)(1)(2)d12()()22ititddxDeDe幅頻曲線幅頻曲線01010 0.1 0.25 0.35 0.5 1.0 2( )d2可看出：可看出：當(dāng)當(dāng) 時，時，221d振幅恒為支撐運(yùn)動振幅振幅恒為支撐運(yùn)動振幅D當(dāng)當(dāng) 時，時，221d振幅恒小于振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大增加阻尼反而使振幅增大xfkc1xmx0mkxxfc1x 機(jī)械阻抗與導(dǎo)納機(jī)械阻抗與導(dǎo)納*工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特

55、性工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動力特性 機(jī)械阻抗定義為簡諧激振時復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比機(jī)械阻抗定義為簡諧激振時復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比 0i tmxcxkxF e0i tF ei txxe0( )xHF21( )Hkmic0( )i txi tF eZxe動力學(xué)方程：動力學(xué)方程：輸入：輸入：輸出：輸出i txxe代入，得：代入，得：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)根據(jù)定義，位移阻抗：根據(jù)定義，位移阻抗：2kmicxF0 1( )H2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH21( )Hkmic位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)，位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)， 也稱為也稱為導(dǎo)納導(dǎo)納 (

56、 )H輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻速度阻抗抗和和加速度阻抗加速度阻抗 001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21( )( )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng)，相應(yīng) 、 、 分分別有別有位移導(dǎo)納位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納速度導(dǎo)納和和加速度導(dǎo)納加速度導(dǎo)納( )xZ( )xZ( )xZ2001( )( )i txi tF eFZkmicxexH位移阻抗位移阻抗001( )( )i ti txxi tF eF eZZxi xei21(

57、 )( )xxZZ 速度阻抗速度阻抗加速度阻抗加速度阻抗 機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性（機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù)），它們都是復(fù)數(shù) 現(xiàn)已有多種專門測試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械現(xiàn)已有多種專門測試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對阻尼系數(shù)等參數(shù)阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動力特征及其它動力特征 復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫為：21( )Hkmic22211( )(1)(2)Hk模及幅角：模及幅角： 12222arg( )(1)(2)Htg同

58、時反映了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性同時反映了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性( )H211(1)(2)ki0dstFxFdk0/dstFFx 222211Re()(1)(2)Hk22212Im()(1)(2)Hk 22111( )(1)(2)Hkmicki記記 實(shí)部和虛部為：實(shí)部和虛部為：實(shí)頻特性曲線和虛頻特性曲線實(shí)頻特性曲線和虛頻特性曲線 發(fā)生共振時發(fā)生共振時0)Re(H)Im(H近似取最大值近似取最大值 101010)Re(H0)Im( H粘性阻尼系數(shù)的粘性阻尼系數(shù)的 Nyquict 圖是一個近似的園，并且圖是一個近似的園，并且在共振點(diǎn)附近，曲線弧長在共振點(diǎn)附近，曲線弧長隨隨 的變化率是最大

59、的的變化率是最大的Nyquict圖在結(jié)構(gòu)動力分圖在結(jié)構(gòu)動力分析上有很多用處析上有很多用處 -6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)0.10.05110.96 21.040.981.020.961.04還可以用頻率比還可以用頻率比 或相對阻尼系數(shù)或相對阻尼系數(shù) 作參變量，把作參變量，把 畫畫在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為乃奎斯特圖乃奎斯特圖（Nyquict plot） ( )H 質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為 K的彈簧一端，另一端B沿鉛直按 作簡諧運(yùn)動，考慮粘滯阻尼力作用，求物體運(yùn)動規(guī)律。sindt解：取0時物體的平衡位置o為坐標(biāo)原點(diǎn)，物

60、體的運(yùn)動微分方程為0,()0,sincisstWFFFWcymyk yymycykykdt右端等價于一個干擾力 參照標(biāo)準(zhǔn)形式，可得物體運(yùn)動規(guī)律：22212222sin(),(1)(2),(1)(2) stdyAtFAkFkdydkkAd由上式可知，當(dāng)物體較重，且彈簧常數(shù)k很小，而懸掛點(diǎn)A振動的頻率 很高，導(dǎo)致很大，物體的振幅A0,物體靜止。 在精密儀器與其支座之間裝以彈簧系數(shù)很低的柔軟彈簧，當(dāng)支座振動強(qiáng)烈時，彈簧的一端將隨同支座一起振動。若支座的頻率比儀器彈簧系統(tǒng)的固有頻率高得多，儀器將近乎靜止而不致?lián)p壞。思考題：試解釋一下地震儀工作原理。低固有頻率測量儀用于測量振動的位移幅值，稱為低固有頻率