單位1的使用與工程問題教(學(xué))案

1、單位“1”的使用與工程問題適用學(xué)科數(shù)學(xué)。適用年級小六教師姓名適用區(qū)域課時時長（分鐘）120學(xué)生姓名知識點(diǎn)1.解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，關(guān)鍵要通過分析數(shù)量關(guān)系，弄清每一道題把什么看作單位“1”找出解題的數(shù)量關(guān)系式， 再根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系或一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義列式解答。2工程應(yīng)用題的工作，一般不給出具體數(shù)量。解題時首先要將全部工作看作單位“ 1 ”，再求出一個單位時間的工作量占總工作量的幾分之幾，即工作效率，再根據(jù)關(guān)系式進(jìn) 行解答。教學(xué)目標(biāo)1.進(jìn)一步提高分析問題和解決問題的能力。把分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的不同單位“1 ”進(jìn)行轉(zhuǎn)化。2.掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系式。教學(xué)重點(diǎn)1.解答較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，會把題中不同的

2、單位”1 ”根據(jù)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一的單位“ 1 ”，再解答。2工程問題中，工作效率隱藏在條件中，及循環(huán)周期工程問題的解題方法。教學(xué)難點(diǎn)工程應(yīng)用題的工作，一般不給出具體數(shù)量。解題時首先要將全部工作看作單位“1 ” ,再求出一個單位時間的工作量占總工作量的幾分之幾，即工作效率，再根據(jù)關(guān)系式進(jìn) 行解答。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)今天我們主要講解分?jǐn)?shù)問題中轉(zhuǎn)化單位”1”的問題，通過學(xué)習(xí)懂得把不同的數(shù)量當(dāng)做單位”1”，得到的分率可以在一定的條件下轉(zhuǎn)化。另外我們還要學(xué)習(xí)工程問題中的一些解題方法。二、知識講解理論點(diǎn)1:如果甲是乙的a，乙是丙的-，則甲是丙的ac 。bdbd理論點(diǎn)2 :工作量=工作效率X工作時間，工作

3、時間=工作量十工作效率， 工作效率=工作量十工作時間。三、例題精析【例題1】單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需 100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干 50天后，剩下的工程乙隊(duì) 干還需多少天？【解析】 以全部工程量為單位 1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效率是滸 同理，乙隊(duì)的工作敷率是缶 兩隊(duì)合干的工作效率是+ 由任作量=工作效率壯工作時間咒天的工作量是剩下的工作量是由“工作時間=工作量亍工作效率J剩下的工作量由乙隊(duì)干還需【例題2】一項(xiàng)工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。 如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？1【答案】13丄天3【解析】分析

4、與解： 本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：從上圖可直觀地看出：甲 15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲 5天的工作量等于乙 4天的工作量。 于是可用“乙工作 4天”等量替換題中“甲工作 5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨(dú)做這一工程需用20+4=24（天）気成,即乙的工倍效率為占亠又因?yàn)橐夜ぷ?天的工作量和甲工作庁天的工作 量相竽 所廈甲的工作效率是乙的*,A.甲、乙合做這一工程，需用的時間為1 1【例題3】小明看一本故事書，第一天看了全書的 12還少5頁，第二天看了全書的 15還多3頁，還剩206頁。這 本故事書一共有多少頁？【解析】分析：因?yàn)榈谝惶?/p>

5、、第二天都是與全書比較，所以應(yīng)以全書的頁數(shù)為單位如杲第一天多看5兀那么正好看了全書的如杲第二天少看3乩那么正好看了全書的* °此時應(yīng)當(dāng)剩鄧+叭 其對應(yīng)的分率為（需令L F1 l£_I 1 F,由此可求出全書的瓦數(shù)。解.（20643）7冷卡= 204+存240 （瓦）°1 1 1【例題4】一本文藝書，小明第一天看來全書的 2，第二天看了余下的 3，第三天看了再余下的 5，還剩下80頁。 這本書共有多少頁？【解析】本題條件中單位“ 1”的量在變化，依次是“全書的頁數(shù)”、“第一天看后余下的頁數(shù)”、“第二天看后 余下的頁數(shù)”，出現(xiàn)了 3個不同的單位“ 1 ”。按照常規(guī)思路

6、，需要統(tǒng)一單位“ 1 ”，轉(zhuǎn)化分率。但在本題中，不統(tǒng) 一單位“ 1”反而更方便。我們先把全書看成“ 1 ”，耶誦-彌顧硼-蒲諒下螂附r 糊二天聶紆糊樹的（1（4 關(guān)鬃二天瞬7W看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全書的也就是說，剩下的80瓦財(cái)應(yīng)的分率是所以全書有四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需 36天完成，乙單獨(dú)做需 45天完成。如果開工時甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退 出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問：甲隊(duì)干了多少天？【解析】 將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？ ”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊(duì)干了 12天。2

7、.單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需 10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開始三個隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤 走了，結(jié)果一共用了 6天完成這一工程。問：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？【解析】 乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了 6天，去掉乙、丙兩隊(duì) 6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作 了【鞏固】1.蓄水池有甲、乙、丙三個進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨(dú)灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點(diǎn)三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點(diǎn)水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？【解析】上午9時。提示：甲管開了卩-（存肖呦訃"（吋2.甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出

8、發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？【解析】 這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關(guān)系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤 10分鐘，再加上取東西的 5分鐘，等于比乙晚出發(fā) 15分鐘。我們將題目改述一 下：完成一件工作，甲需 60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道 題應(yīng)該用工程問題的解法來解答。釋（1-存®+ （和護(hù)討土 = 15（分）.答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇?！景胃摺?. 一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單

9、開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內(nèi)將積有半池水？【解析】分析與解臥滿池水為單位1。1時放水管可使水増加占，排水管可使水 減少同時開吋 可使水増加放水管打幵I時后，池內(nèi)己經(jīng)有舟 的水，與半池水還差所以要達(dá)到半池水，還需2.甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用1天；若按丙、甲、乙的順序輪流去做，則比原計(jì)劃多用123【解析】 把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順 序前面若干輪完

10、成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。由最后一輪完成的工作量相同，得到甲+乙=乙+丙+ £甲乙+丙+呂甲=丙+甲+首乙d1 2由式影I:麗押i由式翻：乙二拜甲、乙丙三人合 做-天等于旳1£+昇天）,推知三詒1蠕用4 i 4課堂小結(jié)這一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了分析單位“ 1 ”和工程問題，解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)”量“與“率”對立關(guān)系。對于題中的單位“ 1”是變化的，我們可通過題中的不變量看作單位“1” ,通過把化統(tǒng)一單位” 1 “然后尋找量與率關(guān)系解題。工程問題常常把工作量看作單位”1 ” ,再根據(jù)基本關(guān)系解題。課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1、某工

11、程由一、二、三小隊(duì)合干，需要 8天完成；由二、三、四小隊(duì)合干，需要10天完成；由一、四小隊(duì)合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的順序，每個小隊(duì)干一天地輪流干，那么 工程由哪個隊(duì)最后完成？【解析】 與例4類似，可求出一、二、三、四小隊(duì)的工作效率之和是1 117（- + + =四個小隊(duì)各干了6天即24天后，還剩下工程量囪o 1 U 1 H-O1 鳥X6=： 又因?yàn)橐?二 三出久合干需呂天.即一.二 三小臥各干4oo1天完成工程量的二 所以工程由三小隊(duì)最后完曲O2. 一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需 6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做 7天，然后甲隊(duì)腳天，共完成這項(xiàng)工程的唇如杲把其余的工程交給乙

12、隊(duì)單獨(dú)做，那么還要幾天才能完成？【解析】 題中沒有告訴甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)的工作效率，只知道他們合作睥乙釀一超賄合幗為了轍這館恿擾們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做 4天，乙再單獨(dú)做3天匕 這樣，就可以把合作的工作效率;用上了。010甲、乙兩隊(duì)合作4天完咸的工程量是=乙再做3天就可完成工o5程量的存 由此求岀乙的工作效率為剩下的工程乙隊(duì)還需干天.【鞏固】3、單獨(dú)完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨(dú)做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？【解析】乙單獨(dú)做要超過3天，甲、乙合做2天后

13、乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的聊鵝,乙朋繃+2訪（天）,硼諛脅）=（天），乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要4、放滿一個水池的水，若同時打開1， 2， 3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開 2， 3， 4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開 1，3，4號閥門，貝U 28分鐘可以完成；若同時打開 1，2，4號閥門，則30分鐘可 以完成。問：如果同時打開 1 , 2 , 3 , 4號閥門，那么多少分鐘可以完成？【解析】同時打開1 , 2 , 3號閥門1分鐘，再同時打開 2 , 3 , 4號閥門1分鐘，再同時打開1 , 3 , 4號

14、閥門1分 鐘，再同時打開1 , 2 , 4號閥門1分鐘，這時，1 , 2 , 3 , 4號閥門各打開了 3分鐘，放水量等于一池水的加加加二 所以同時打開1, 2,咒4號閥口放滿一池水需【拔高】5、 一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨(dú)干 需要幾天？【解析】解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙叩/八一二/;八一1 ：|：現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。6、某高速公路收費(fèi)站對于過往車輛收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：大客車 30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費(fèi)站 的大客車和小客車數(shù)量之比是5 : 6，小客車與小轎車之比是 4 ： 11，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元。求這天這三種車輛通過的數(shù)量【解析】 大客車、小轎車通過的數(shù)量都是與小客車相比，如果能將5 : 6中的6與4 ： 11中的4統(tǒng)一成4 , 6=1