層次分析法的基本原理和步驟

1、3-1 層次分析法的基本層次分析法的基本 原理和步驟原理和步驟3-2 模糊層次分析方法模糊層次分析方法AHP model and its application2/56一、遞階層次結(jié)構(gòu)建立一、遞階層次結(jié)構(gòu)建立1.1、遞階層次結(jié)構(gòu)及組成、遞階層次結(jié)構(gòu)及組成二、構(gòu)造比較判斷矩陣二、構(gòu)造比較判斷矩陣四、層次總排序四、層次總排序前言前言1、背景知識(shí)、背景知識(shí)2、基本思想與建模步驟、基本思想與建模步驟1.2、四個(gè)注意點(diǎn)、四個(gè)注意點(diǎn)2.1、兩兩比較法、兩兩比較法2.2、比較判斷矩陣、比較判斷矩陣 的四個(gè)說(shuō)明的四個(gè)說(shuō)明3.1、單準(zhǔn)則下的排序、單準(zhǔn)則下的排序三、單準(zhǔn)則下的排序三、單準(zhǔn)則下的排序 及一致性檢驗(yàn)及

2、一致性檢驗(yàn)3.2、一致性的檢驗(yàn)、一致性的檢驗(yàn)4.1、層次總排序的步驟、層次總排序的步驟4.2、總排序一致性檢驗(yàn)、總排序一致性檢驗(yàn)五、判斷矩陣的調(diào)整五、判斷矩陣的調(diào)整六、群組決策六、群組決策6.1、比較判斷矩陣綜合法、比較判斷矩陣綜合法6.2、權(quán)重向量綜合排序法、權(quán)重向量綜合排序法3/56 人們?cè)诟黜?xiàng)日?；顒?dòng)中，常常會(huì)面對(duì)一些決策問(wèn)人們?cè)诟黜?xiàng)日?；顒?dòng)中，常常會(huì)面對(duì)一些決策問(wèn)題。比如，大學(xué)畢業(yè)生對(duì)職業(yè)的選擇，他們會(huì)從專業(yè)題。比如，大學(xué)畢業(yè)生對(duì)職業(yè)的選擇，他們會(huì)從專業(yè)對(duì)口、發(fā)展?jié)摿?、單位的名氣、地點(diǎn)、收入等各方面對(duì)口、發(fā)展?jié)摿?、單位的名氣、地點(diǎn)、收入等各方面加以考慮，比較，判斷，然后進(jìn)行決策。假如有

3、加以考慮，比較，判斷，然后進(jìn)行決策。假如有m個(gè)個(gè)單位可供選擇，你會(huì)選擇哪一個(gè)？單位可供選擇，你會(huì)選擇哪一個(gè)？ 隨著人們面對(duì)的決策問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，例如，科隨著人們面對(duì)的決策問(wèn)題越來(lái)越復(fù)雜，例如，科研成果的評(píng)價(jià)、綜合國(guó)力（地區(qū)綜合實(shí)力）比較、各研成果的評(píng)價(jià)、綜合國(guó)力（地區(qū)綜合實(shí)力）比較、各工業(yè)部門(mén)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)的比較、企業(yè)評(píng)估、人才選工業(yè)部門(mén)對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)的比較、企業(yè)評(píng)估、人才選拔等問(wèn)題。項(xiàng)目決策者與決策的模型及方法之間的交拔等問(wèn)題。項(xiàng)目決策者與決策的模型及方法之間的交互作用變得越來(lái)越強(qiáng)烈和越來(lái)越重要。許多問(wèn)題由于互作用變得越來(lái)越強(qiáng)烈和越來(lái)越重要。許多問(wèn)題由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)，很難用數(shù)學(xué)模

4、型來(lái)解決。結(jié)構(gòu)復(fù)雜且缺乏必要的數(shù)據(jù)，很難用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。 1、背景知識(shí)、背景知識(shí)4/56 由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家由美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.saaty教授在教授在70年代中期提出年代中期提出的的層次分析法層次分析法（Analytic Hierarchy Process）簡(jiǎn)稱）簡(jiǎn)稱AHP ，是指將決策問(wèn)題的有關(guān)元素分解成，是指將決策問(wèn)題的有關(guān)元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案則、方案等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性分析和定量等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性分析和定量分析的一種決策方法分析的一種決策方法. 這一方法的特點(diǎn)，是在對(duì)復(fù)雜這一方法的特點(diǎn)，是在對(duì)復(fù)雜決策問(wèn)題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深決策問(wèn)題的本質(zhì)、影響

5、因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后，構(gòu)建一個(gè)入分析之后，構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過(guò)程數(shù)學(xué)化，從而為少的定量信息，把決策的思維過(guò)程數(shù)學(xué)化，從而為求解多準(zhǔn)則或無(wú)結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問(wèn)題提供一種求解多準(zhǔn)則或無(wú)結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問(wèn)題提供一種簡(jiǎn)便的決策方法。簡(jiǎn)便的決策方法。5/56層次分析法的發(fā)展過(guò)程可追溯到上個(gè)世紀(jì)的層次分析法的發(fā)展過(guò)程可追溯到上個(gè)世紀(jì)的70年代初年代初期，期，1971年，美國(guó)匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授在為美國(guó)國(guó)防年，美國(guó)匹茲堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授在為美國(guó)國(guó)防部研究部研究“應(yīng)急計(jì)劃應(yīng)急計(jì)劃”中，充分注意到了當(dāng)前社會(huì)的特中，充分注意到了當(dāng)前社會(huì)的特

6、點(diǎn)及很多決策科學(xué)方法的弱點(diǎn)。他開(kāi)始尋求一種能綜點(diǎn)及很多決策科學(xué)方法的弱點(diǎn)。他開(kāi)始尋求一種能綜合進(jìn)行定量與定性的決策方法，這種方法不僅能夠保合進(jìn)行定量與定性的決策方法，這種方法不僅能夠保證模型的系統(tǒng)性、合理性，又能讓決策人員充分運(yùn)用證模型的系統(tǒng)性、合理性，又能讓決策人員充分運(yùn)用其有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)與判斷能力。其有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)與判斷能力。Saaty教授在教授在1972年發(fā)表年發(fā)表用其有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)與判斷能力。用其有價(jià)值的經(jīng)驗(yàn)與判斷能力。Saaty教授在教授在1972年發(fā)年發(fā)表了表了“用于排序和計(jì)劃的特征根分配模型用于排序和計(jì)劃的特征根分配模型”。之后，。之后，Saaty教授又發(fā)表了一系列關(guān)于教授又發(fā)表了一系

7、列關(guān)于AHP應(yīng)用方面的文章。應(yīng)用方面的文章。1977年獲得了美國(guó)管理研究院的最佳應(yīng)用研究成果獎(jiǎng)。年獲得了美國(guó)管理研究院的最佳應(yīng)用研究成果獎(jiǎng)。同年，同年，Saaty教授在第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)建模會(huì)議上發(fā)表了教授在第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)建模會(huì)議上發(fā)表了“無(wú)結(jié)構(gòu)決策問(wèn)題的建模無(wú)結(jié)構(gòu)決策問(wèn)題的建模層次分析理論層次分析理論”,從從此此,AHP方法開(kāi)始受到人們的關(guān)注，得到深入的研究和方法開(kāi)始受到人們的關(guān)注，得到深入的研究和應(yīng)用。應(yīng)用。6/56 AHP的應(yīng)用范圍十分廣泛，涉及面主要有以下的應(yīng)用范圍十分廣泛，涉及面主要有以下幾個(gè)方面：幾個(gè)方面：經(jīng)濟(jì)與計(jì)劃經(jīng)濟(jì)與計(jì)劃;能源政策與資源分配能源政策與資源分配;政治問(wèn)題及沖突政治問(wèn)

8、題及沖突;人力資源管理人力資源管理;預(yù)測(cè)預(yù)測(cè);項(xiàng)目評(píng)價(jià)項(xiàng)目評(píng)價(jià);教育發(fā)展教育發(fā)展;環(huán)境工程環(huán)境工程;醫(yī)療衛(wèi)生醫(yī)療衛(wèi)生;企業(yè)管理與生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)決策企業(yè)管理與生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)決策;會(huì)計(jì)會(huì)計(jì);軍事指揮，武器評(píng)價(jià)軍事指揮，武器評(píng)價(jià).以上種種只是給出一些總體范圍，在每個(gè)范疇內(nèi)，以上種種只是給出一些總體范圍，在每個(gè)范疇內(nèi)，又有許多不同的應(yīng)用。又有許多不同的應(yīng)用。7/562、基本思想與建模步驟、基本思想與建模步驟 層次分析法的基本思路與人們對(duì)復(fù)雜的決策問(wèn)題的層次分析法的基本思路與人們對(duì)復(fù)雜的決策問(wèn)題的思維判斷過(guò)程大體一樣的。當(dāng)一個(gè)決策者在對(duì)問(wèn)題進(jìn)思維判斷過(guò)程大體一樣的。當(dāng)一個(gè)決策者在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，首先要將分析對(duì)象的

9、因素建立起彼此相關(guān)行分析時(shí)，首先要將分析對(duì)象的因素建立起彼此相關(guān)因素的層次遞階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，這種層次遞階結(jié)構(gòu)可以清因素的層次遞階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，這種層次遞階結(jié)構(gòu)可以清晰地反映出諸相關(guān)因素（目標(biāo)、準(zhǔn)則、對(duì)象）的彼此晰地反映出諸相關(guān)因素（目標(biāo)、準(zhǔn)則、對(duì)象）的彼此關(guān)系，使得決策者能夠把復(fù)雜的問(wèn)題順理成章。然后關(guān)系，使得決策者能夠把復(fù)雜的問(wèn)題順理成章。然后進(jìn)行逐一比較、判斷，從中選出最優(yōu)的方案。進(jìn)行逐一比較、判斷，從中選出最優(yōu)的方案。運(yùn)用層次分析法建模，大體上分成四個(gè)步驟運(yùn)用層次分析法建模，大體上分成四個(gè)步驟:建立遞階層次結(jié)構(gòu)；建立遞階層次結(jié)構(gòu)；構(gòu)造比較判別矩陣；構(gòu)造比較判別矩陣；在單準(zhǔn)則下的排序及一致性檢驗(yàn)；

10、在單準(zhǔn)則下的排序及一致性檢驗(yàn)；總的排序選優(yōu)?？偟呐判蜻x優(yōu)。8/56 層次分析法首先把決策問(wèn)題層次化。所謂層次層次分析法首先把決策問(wèn)題層次化。所謂層次化根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)以及要達(dá)到的目標(biāo)，把問(wèn)題分解化根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)以及要達(dá)到的目標(biāo)，把問(wèn)題分解為不同的組成因素，并按各因素之間的隸屬關(guān)系和為不同的組成因素，并按各因素之間的隸屬關(guān)系和關(guān)聯(lián)程度分組，形成一個(gè)不相交的層次。關(guān)聯(lián)程度分組，形成一個(gè)不相交的層次。引例引例 大學(xué)畢業(yè)生對(duì)職業(yè)的選擇。假設(shè)有四個(gè)單位大學(xué)畢業(yè)生對(duì)職業(yè)的選擇。假設(shè)有四個(gè)單位可供他們選擇，他們會(huì)從專業(yè)對(duì)口、發(fā)展?jié)摿Α慰晒┧麄冞x擇，他們會(huì)從專業(yè)對(duì)口、發(fā)展?jié)摿?、單位的名氣、地點(diǎn)、收入等多方面進(jìn)

11、行反復(fù)的考慮、位的名氣、地點(diǎn)、收入等多方面進(jìn)行反復(fù)的考慮、比較，從中選出自己最滿意的職業(yè)。按照這種思路，比較，從中選出自己最滿意的職業(yè)。按照這種思路，我們可以得到這樣的分析圖（見(jiàn)圖我們可以得到這樣的分析圖（見(jiàn)圖3-1）。）。 1.1、遞階層次結(jié)構(gòu)及組成、遞階層次結(jié)構(gòu)及組成9/56滿意的職業(yè)滿意的職業(yè)專專業(yè)業(yè)對(duì)對(duì)口口發(fā)發(fā)展展?jié)摑摿α螁挝晃幻麣鈿獾氐攸c(diǎn)點(diǎn)收收入入單位單位1 1單位單位2 2單位單位3 3單位單位4 4圖圖3-1 最佳職業(yè)的遞階層次結(jié)構(gòu)最佳職業(yè)的遞階層次結(jié)構(gòu)10/56在在AHP方法中，首先要建立決策問(wèn)題的遞階層次方法中，首先要建立決策問(wèn)題的遞階層次結(jié)構(gòu)的模型，通過(guò)調(diào)查分析弄清決策

12、問(wèn)題的范圍結(jié)構(gòu)的模型，通過(guò)調(diào)查分析弄清決策問(wèn)題的范圍和目標(biāo)，問(wèn)題包含的因素，各因素之間的相互關(guān)和目標(biāo)，問(wèn)題包含的因素，各因素之間的相互關(guān)系。然后將各個(gè)因素按照他們的性質(zhì)聚集成組，系。然后將各個(gè)因素按照他們的性質(zhì)聚集成組，并把它們的共同特征看成是系統(tǒng)中高一層次的一并把它們的共同特征看成是系統(tǒng)中高一層次的一些因素。如此構(gòu)成一個(gè)以目標(biāo)、若干準(zhǔn)則層及方些因素。如此構(gòu)成一個(gè)以目標(biāo)、若干準(zhǔn)則層及方案層所組成的遞階層次結(jié)構(gòu)。案層所組成的遞階層次結(jié)構(gòu)。在圖在圖3-1中上一層次的元素對(duì)相鄰的下一層次的全中上一層次的元素對(duì)相鄰的下一層次的全部或部分元素起支配作用，從而形成一個(gè)自上而部或部分元素起支配作用，從而形成

13、一個(gè)自上而下的逐層支配關(guān)系。具有這種性質(zhì)的結(jié)構(gòu)稱為下的逐層支配關(guān)系。具有這種性質(zhì)的結(jié)構(gòu)稱為遞遞階層次結(jié)構(gòu)階層次結(jié)構(gòu)。典型的。典型的遞階層次結(jié)構(gòu)遞階層次結(jié)構(gòu)見(jiàn)下面圖見(jiàn)下面圖3-2。11/56 層次分析法先將層次分為若干層次。最高一層稱層次分析法先將層次分為若干層次。最高一層稱為為目標(biāo)層目標(biāo)層，這一層中只有一個(gè)元素，就是該問(wèn)題要達(dá)，這一層中只有一個(gè)元素，就是該問(wèn)題要達(dá)到目標(biāo)或理想的結(jié)果；中間層為到目標(biāo)或理想的結(jié)果；中間層為準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層，層中的元素，層中的元素為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所采用的措施、政策、準(zhǔn)則等。準(zhǔn)則層中為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)所采用的措施、政策、準(zhǔn)則等。準(zhǔn)則層中可以不止一層，可以根據(jù)問(wèn)題規(guī)模的大小和復(fù)雜程度，可

14、以不止一層，可以根據(jù)問(wèn)題規(guī)模的大小和復(fù)雜程度，分為分為準(zhǔn)則層、子準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層、子準(zhǔn)則層；最低一層為；最低一層為方案層方案層，這一層，這一層包括了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的方案。包括了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的方案。 在遞階層次結(jié)構(gòu)中，各層均由若干因素構(gòu)成。當(dāng)在遞階層次結(jié)構(gòu)中，各層均由若干因素構(gòu)成。當(dāng)某個(gè)層次包含因素較多時(shí)，可將該層次進(jìn)一步劃分成某個(gè)層次包含因素較多時(shí)，可將該層次進(jìn)一步劃分成若干子層次。通常應(yīng)使各層次中的各因素支配的元素若干子層次。通常應(yīng)使各層次中的各因素支配的元素一般不超過(guò)一般不超過(guò)9個(gè)，這是因?yàn)橹湓剡^(guò)多會(huì)給兩兩比個(gè)，這是因?yàn)橹湓剡^(guò)多會(huì)給兩兩比較帶來(lái)困難。較帶來(lái)困難。12/56決策目標(biāo)

15、決策目標(biāo) 準(zhǔn)則準(zhǔn)則1 1準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 2準(zhǔn)則準(zhǔn)則3 3準(zhǔn)則準(zhǔn)則m子準(zhǔn)則子準(zhǔn)則1 1子準(zhǔn)則子準(zhǔn)則2 2子準(zhǔn)則子準(zhǔn)則n方案方案1方案方案2方案方案3方案方案t圖圖3-2 典型遞階層次結(jié)構(gòu)典型遞階層次結(jié)構(gòu)目標(biāo)層目標(biāo)層 準(zhǔn)則層準(zhǔn)則層方案層方案層13/56整個(gè)結(jié)構(gòu)不受層次限制；整個(gè)結(jié)構(gòu)不受層次限制；一個(gè)好的遞階層次結(jié)構(gòu)對(duì)解決問(wèn)題極為重要，因一個(gè)好的遞階層次結(jié)構(gòu)對(duì)解決問(wèn)題極為重要，因此在建立遞階層次結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)注意到：此在建立遞階層次結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)注意到：從上到下順序地存在支配關(guān)系，用直線段表示從上到下順序地存在支配關(guān)系，用直線段表示上一層次因素與下一層次因素之間的關(guān)系，同一上一層次因素與下一層次因素之間的關(guān)系，

16、同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關(guān)系；層次及不相鄰元素之間不存在支配關(guān)系； 最高層只有一個(gè)元素，每個(gè)元素所支配元素一最高層只有一個(gè)元素，每個(gè)元素所支配元素一般不超過(guò)般不超過(guò)9 9個(gè)。元素過(guò)多可進(jìn)一步分層；個(gè)。元素過(guò)多可進(jìn)一步分層；對(duì)某些具有子層次結(jié)構(gòu)可引入虛元素，使之成對(duì)某些具有子層次結(jié)構(gòu)可引入虛元素，使之成為典型遞階層次結(jié)構(gòu)。為典型遞階層次結(jié)構(gòu)。1.2、四個(gè)注意點(diǎn)、四個(gè)注意點(diǎn)14/56遞階層次結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的層次結(jié)構(gòu)形式。在實(shí)際問(wèn)題遞階層次結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的層次結(jié)構(gòu)形式。在實(shí)際問(wèn)題中我們常常會(huì)遇到更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)。如層次內(nèi)部因中我們常常會(huì)遇到更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)。如層次內(nèi)部因素之間存在相互影響類(lèi)型的

17、內(nèi)部依存層次結(jié)構(gòu)（例如素之間存在相互影響類(lèi)型的內(nèi)部依存層次結(jié)構(gòu)（例如以行駛性能為目標(biāo)對(duì)各種型號(hào)汽車(chē)作評(píng)價(jià)時(shí)，準(zhǔn)則層以行駛性能為目標(biāo)對(duì)各種型號(hào)汽車(chē)作評(píng)價(jià)時(shí)，準(zhǔn)則層有剎車(chē)、轉(zhuǎn)向、加速、運(yùn)行等，這些準(zhǔn)則之間就是相有剎車(chē)、轉(zhuǎn)向、加速、運(yùn)行等，這些準(zhǔn)則之間就是相關(guān)的。）；下層反過(guò)來(lái)對(duì)上層有支配作用，形成循環(huán)，關(guān)的。）；下層反過(guò)來(lái)對(duì)上層有支配作用，形成循環(huán)，從而無(wú)法區(qū)分上下層類(lèi)型的反饋層次結(jié)構(gòu)（例如可以從而無(wú)法區(qū)分上下層類(lèi)型的反饋層次結(jié)構(gòu)（例如可以用教學(xué)、科研等多項(xiàng)指標(biāo)評(píng)價(jià)幾位教師，也可以反過(guò)用教學(xué)、科研等多項(xiàng)指標(biāo)評(píng)價(jià)幾位教師，也可以反過(guò)來(lái)對(duì)于每一個(gè)教師比較他的教學(xué)、科研等哪一方面表來(lái)對(duì)于每一個(gè)教師比較他

18、的教學(xué)、科研等哪一方面表現(xiàn)最為突出，從而在指標(biāo)層和對(duì)象層之間形成循環(huán)）。現(xiàn)最為突出，從而在指標(biāo)層和對(duì)象層之間形成循環(huán)）。在這里我們只討論遞階層次結(jié)構(gòu)，其余的模型讀者可在這里我們只討論遞階層次結(jié)構(gòu)，其余的模型讀者可參閱其他文獻(xiàn)。參閱其他文獻(xiàn)。15/56在建立遞階層次結(jié)構(gòu)后，上下層元素間的隸屬關(guān)系在建立遞階層次結(jié)構(gòu)后，上下層元素間的隸屬關(guān)系就被確定了。假設(shè)以上一層次元素就被確定了。假設(shè)以上一層次元素C為準(zhǔn)則，所支為準(zhǔn)則，所支配的下一層次的關(guān)系為配的下一層次的關(guān)系為u1,u2,un，我們的目的是要，我們的目的是要按它們對(duì)于準(zhǔn)則按它們對(duì)于準(zhǔn)則C相對(duì)重要性賦予相對(duì)重要性賦予u1,u2,un相應(yīng)的相應(yīng)的權(quán)

19、重。對(duì)于有些問(wèn)題可以直接給出權(quán)重，如學(xué)生的權(quán)重。對(duì)于有些問(wèn)題可以直接給出權(quán)重，如學(xué)生的考試成績(jī)、某工程的投資額考試成績(jī)、某工程的投資額。但在大多數(shù)社會(huì)。但在大多數(shù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中,尤其是較復(fù)雜的問(wèn)題中，元素的權(quán)重?zé)o尤其是較復(fù)雜的問(wèn)題中，元素的權(quán)重?zé)o法直接獲得，這就需要通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒▽?dǎo)出它們的法直接獲得，這就需要通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒▽?dǎo)出它們的權(quán)重。權(quán)重。AHP所用導(dǎo)出權(quán)重的方法就是兩兩比較方法。所用導(dǎo)出權(quán)重的方法就是兩兩比較方法。2.1、兩兩比較法、兩兩比較法16/56兩兩比較法具體方法是兩兩比較法具體方法是：當(dāng)以上一層次某個(gè)因素當(dāng)以上一層次某個(gè)因素C作作為比較準(zhǔn)則時(shí)，可用一個(gè)比較標(biāo)度為比較準(zhǔn)

20、則時(shí)，可用一個(gè)比較標(biāo)度aij來(lái)表達(dá)下一層來(lái)表達(dá)下一層次中第次中第i個(gè)因素與第個(gè)因素與第j個(gè)因素的相對(duì)重要性（或偏好優(yōu)個(gè)因素的相對(duì)重要性（或偏好優(yōu)劣）的認(rèn)識(shí)。劣）的認(rèn)識(shí)。aij的取值一般取正整數(shù)的取值一般取正整數(shù)19（稱為標(biāo)度）（稱為標(biāo)度）及其倒數(shù)。由及其倒數(shù)。由aij構(gòu)成的矩陣稱為比較判斷矩陣構(gòu)成的矩陣稱為比較判斷矩陣A=(aij)。關(guān)于關(guān)于aij取值的規(guī)則見(jiàn)表取值的規(guī)則見(jiàn)表3-1。表表3-1 元素元素aij取值的規(guī)則取值的規(guī)則元素元素標(biāo)度標(biāo)度規(guī)規(guī) 則則aij1 1以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素與因素j相比相比，具有同樣重要。具有同樣重要。3 3以

21、上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素與因素j相比相比，i比比j稍微重要。稍微重要。5 5以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則, ,本層次因素本層次因素i與因素與因素j相比相比，i比比j明顯重要。明顯重要。7 7以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則, ,本層次因素本層次因素i與因素與因素j相比相比，i比比j強(qiáng)烈重要。強(qiáng)烈重要。9 9以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素以上一層某個(gè)因素為準(zhǔn)則，本層次因素i與因素與因素j相比相比，i比比j極端重要。極端重要。17/56比較判斷矩陣的特點(diǎn)：比較判斷矩陣的特點(diǎn)：aij取值也可以取上述各數(shù)的中值取值也可以

22、取上述各數(shù)的中值2，4，6，8及其倒數(shù)，及其倒數(shù)，即若因素即若因素i與因素與因素j比較得比較得aij，則因素，則因素j與因素與因素i比較得比較得1/aij。; 0)1( ija;/1)2(jiijaa . 1)3( iia)., 2, 1,(nji .21212112為為比比較較判判斷斷矩矩陣陣即即 nnnnaaaaaaA具有上述三個(gè)特點(diǎn)的具有上述三個(gè)特點(diǎn)的n階矩陣稱為階矩陣稱為正互反矩陣。正互反矩陣。18/56 14/15/16/17/1412/13/135215/1363513/173/13/131A在引例的圖在引例的圖3-1中中, 以滿意以滿意的職業(yè)為準(zhǔn)則的職業(yè)為準(zhǔn)則(

23、C), 支配支配著著5個(gè)因素個(gè)因素: 對(duì)專業(yè)對(duì)口對(duì)專業(yè)對(duì)口(u1)、發(fā)展?jié)摿?、發(fā)展?jié)摿?u2)、單位、單位名氣名氣(u3)、地點(diǎn)、地點(diǎn)(u4)、收入、收入(u5)五個(gè)因素作出成對(duì)比五個(gè)因素作出成對(duì)比較，得到比較判斷矩陣較，得到比較判斷矩陣仔細(xì)分析比較判斷矩陣仔細(xì)分析比較判斷矩陣A可以發(fā)現(xiàn)，既然可以發(fā)現(xiàn)，既然u1與與u2之比為之比為1:(1/3), u1與與u3之比為之比為1:3, 那么那么u2與與u3之比應(yīng)該為之比應(yīng)該為1:9,而不是而不是1:5，這樣才能說(shuō)明問(wèn)題是合理的。也就是中這樣才能說(shuō)明問(wèn)題是合理的。也就是中的的所有的的元素所有的的元素aij必須具有傳遞性，即必須具有傳遞性，即aij滿足

24、等式滿足等式：aijajk= =aik，i,j,k=1,2,=1,2, ,n。19/56定義定義3.1.1 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A=(aij)為正互反矩陣為正互反矩陣, 若對(duì)于一若對(duì)于一切切i,j,k,都有都有aijajk=aik, i,j,k=1,2,n,稱稱A為為一致矩陣一致矩陣.由比較判斷矩陣由比較判斷矩陣A知，在對(duì)知，在對(duì)n個(gè)因素比較中，我們只個(gè)因素比較中，我們只要作要作n(n-1)/2次成對(duì)比較即可。但要求這次成對(duì)比較即可。但要求這n(n-1)/2次次斷矩陣斷矩陣A一定滿足一致性。比較全部一致，太苛刻一定滿足一致性。比較全部一致，太苛刻在實(shí)際工作中，我們并不要求比較判斷矩陣在實(shí)際工作中

25、，我們并不要求比較判斷矩陣A一定一定要滿足一致性要滿足一致性.關(guān)于比較判斷矩陣，有以下四個(gè)問(wèn)題需要我們進(jìn)一關(guān)于比較判斷矩陣，有以下四個(gè)問(wèn)題需要我們進(jìn)一步說(shuō)明：步說(shuō)明：2.2、比較判斷矩陣的四個(gè)說(shuō)明、比較判斷矩陣的四個(gè)說(shuō)明20/56為什么要用兩兩比較？為什么要用兩兩比較？ 涉及到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、人文等因素的決策問(wèn)題的涉及到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、人文等因素的決策問(wèn)題的主要困難在于，這些因素通常不易定量地測(cè)量。人主要困難在于，這些因素通常不易定量地測(cè)量。人們往往憑自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)進(jìn)行判斷。當(dāng)因素較多們往往憑自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)進(jìn)行判斷。當(dāng)因素較多時(shí)給出的結(jié)果是不全面和不準(zhǔn)確的。如果只是定性時(shí)給出的結(jié)果是不全面和不準(zhǔn)確

26、的。如果只是定性結(jié)果，又常常不被人們接受。如果采用把所有的因結(jié)果，又常常不被人們接受。如果采用把所有的因素放在一起兩兩比較，得到一種相對(duì)的標(biāo)度，既能素放在一起兩兩比較，得到一種相對(duì)的標(biāo)度，既能適應(yīng)各種屬性測(cè)度，又能充分利用專家經(jīng)驗(yàn)和判斷，適應(yīng)各種屬性測(cè)度，又能充分利用專家經(jīng)驗(yàn)和判斷，提高準(zhǔn)確度。提高準(zhǔn)確度。其二，在比較判斷矩陣建立上，教授采用了其二，在比較判斷矩陣建立上，教授采用了19比比例標(biāo)度，這是因?yàn)槿藗冊(cè)诠烙?jì)成對(duì)事物的差別時(shí)，例標(biāo)度，這是因?yàn)槿藗冊(cè)诠烙?jì)成對(duì)事物的差別時(shí)，用五種判斷級(jí)別就能很好地表示，即相等、較強(qiáng)、用五種判斷級(jí)別就能很好地表示，即相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、極強(qiáng)表示差別程度。如果

27、再細(xì)分，可在強(qiáng)、很強(qiáng)、極強(qiáng)表示差別程度。如果再細(xì)分，可在相鄰兩級(jí)中再插入一級(jí)，正好相鄰兩級(jí)中再插入一級(jí)，正好9級(jí)，用級(jí)，用9個(gè)數(shù)字來(lái)表個(gè)數(shù)字來(lái)表達(dá)就夠用了。達(dá)就夠用了。為什么要用為什么要用19比例標(biāo)度？比例標(biāo)度？ 21/56 一般地在一個(gè)準(zhǔn)則下被比較的對(duì)象不超過(guò)一般地在一個(gè)準(zhǔn)則下被比較的對(duì)象不超過(guò)9個(gè)個(gè), 是是因?yàn)樾睦韺W(xué)家認(rèn)為，進(jìn)行成對(duì)比較因素太多將超出人因?yàn)樾睦韺W(xué)家認(rèn)為，進(jìn)行成對(duì)比較因素太多將超出人的判斷能力。最多大致在的判斷能力。最多大致在72范圍，如果以范圍，如果以9個(gè)為限，個(gè)為限，用用19比例標(biāo)度表示它們之間的差別正合適。比例標(biāo)度表示它們之間的差別正合適。為什么要限制比較個(gè)數(shù)不超過(guò)為什

28、么要限制比較個(gè)數(shù)不超過(guò)9? 為什么要比較為什么要比較n(n-1)/2次次?最后，在把最后，在把n個(gè)因素與某個(gè)因素進(jìn)行比較時(shí)個(gè)因素與某個(gè)因素進(jìn)行比較時(shí),有人認(rèn)為有人認(rèn)為只需要進(jìn)行只需要進(jìn)行n-1次就可以了。這種做法的弊病在于，次就可以了。這種做法的弊病在于，任何一個(gè)判斷的失誤都可能導(dǎo)致不合理的排序，對(duì)于任何一個(gè)判斷的失誤都可能導(dǎo)致不合理的排序，對(duì)于難以定量的系統(tǒng)更應(yīng)該盡量避免判斷失誤。進(jìn)行難以定量的系統(tǒng)更應(yīng)該盡量避免判斷失誤。進(jìn)行n(n-1)/2次成對(duì)比較，可以提供更多的信息量，從不次成對(duì)比較，可以提供更多的信息量，從不同角度進(jìn)行比較，以得到一個(gè)合理的排序。同角度進(jìn)行比較，以得到一個(gè)合理的排序。

29、22/56例例1 某一個(gè)顧客選購(gòu)電視機(jī)時(shí)，對(duì)市場(chǎng)正在出售的四某一個(gè)顧客選購(gòu)電視機(jī)時(shí)，對(duì)市場(chǎng)正在出售的四種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù)，建立層次分種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù)，建立層次分析模型如圖析模型如圖3-3所示，對(duì)之構(gòu)造比較判斷矩陣。所示，對(duì)之構(gòu)造比較判斷矩陣。選購(gòu)電視機(jī)選購(gòu)電視機(jī)品品牌牌耗耗電電量量廠廠家家信信譽(yù)譽(yù)售售后后服服務(wù)務(wù)清清晰晰度度外外形形價(jià)價(jià)格格尺尺寸寸ABCD23/56解：解：構(gòu)造比較判別矩陣如表構(gòu)造比較判別矩陣如表3-2。表表3-2 滿意電視機(jī)的比較判別表滿意電視機(jī)的比較判別表滿意的滿意的電視機(jī)電視機(jī)品品牌牌外外形形價(jià)價(jià)格格尺尺寸寸耗電耗電量量 廠家廠家信譽(yù)信譽(yù)

30、清晰清晰度度售后售后服務(wù)服務(wù)品牌品牌1 15 53 35 51/31/31/51/51/31/31/41/4外形外形1/51/51 11/31/35 51/51/51 11/51/51/71/7價(jià)格價(jià)格1/31/31/31/31 16 63 34 46 65 5尺寸尺寸1/51/51/51/5 1/61/61 11/31/31/41/41/71/71/81/8耗電量耗電量3 35 51/31/33 31 12 23 32 2廠家信譽(yù)廠家信譽(yù)5 51 11/41/44 41/21/21 11/51/51 1清晰度清晰度3 35 51/61/67 71/31/35 51 12 2售后服務(wù)售后服務(wù)4

31、 47 71/51/58 81/21/21 11/21/21 124/56例例 2 設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過(guò)河運(yùn)輸條件，為設(shè)某港務(wù)局要改善一條河道的過(guò)河運(yùn)輸條件，為此需要確定是否建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有的輪渡。此需要確定是否建立橋梁或隧道以代替現(xiàn)有的輪渡。分析：分析：在此問(wèn)題中，過(guò)河的方式的決策取決于過(guò)河在此問(wèn)題中，過(guò)河的方式的決策取決于過(guò)河方式的效益與代價(jià)（即成本）的之比通常我們用費(fèi)方式的效益與代價(jià)（即成本）的之比通常我們用費(fèi)效比（即效益效比（即效益/ /代價(jià)）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此代價(jià)）作為選擇方案的標(biāo)準(zhǔn)。為此我們分別給出下面兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)，它們分別考慮了我們分別給出下面兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)，

32、它們分別考慮了影響過(guò)河的效益與代價(jià)的因素，這些因素可分為三影響過(guò)河的效益與代價(jià)的因素，這些因素可分為三類(lèi)：經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的和環(huán)境的。類(lèi)：經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的和環(huán)境的。25/56過(guò)河的效益過(guò)河的效益A經(jīng)濟(jì)效益經(jīng)濟(jì)效益B1社會(huì)效益社會(huì)效益B2環(huán)境效益環(huán)境效益B3節(jié)節(jié)省省時(shí)時(shí)間間C C1建建筑筑就就業(yè)業(yè)C C5民民間間商商業(yè)業(yè)C C3當(dāng)當(dāng)?shù)氐厣躺虡I(yè)業(yè)C C4收收入入C C2安安全全可可靠靠C C6交交往往溝溝通通C C7自自豪豪感感C C8舒舒適適C C9進(jìn)進(jìn)出出方方便便C C10美美化化C C11橋梁橋梁D1隧道隧道D2渡船渡船D326/56過(guò)河的代價(jià)過(guò)河的代價(jià)a經(jīng)濟(jì)代價(jià)經(jīng)濟(jì)代價(jià)b1社會(huì)代價(jià)社會(huì)代價(jià)b2環(huán)

33、境代價(jià)環(huán)境代價(jià)b3資資金金投投入入c c1 1沖沖擊擊渡渡船船業(yè)業(yè)c c3 3操操作作維維護(hù)護(hù)c c2 2沖擊沖擊地方地方生活生活方式方式c c4 4交交通通擁?yè)頂D擠c c5 5居居民民搬搬遷遷c c6 6汽汽車(chē)車(chē)排排放放物物c c7 7對(duì)對(duì)水水的的污污染染c c8 8對(duì)對(duì)生生態(tài)態(tài)破破壞壞c c9 9橋梁橋梁d1隧道隧道d2渡船渡船d327/56 注意，注意，上面兩個(gè)模型中的判斷依據(jù)都是由決策者上面兩個(gè)模型中的判斷依據(jù)都是由決策者自行設(shè)計(jì)的（這就需要用到設(shè)計(jì)者的專業(yè)知識(shí)）。自行設(shè)計(jì)的（這就需要用到設(shè)計(jì)者的專業(yè)知識(shí)）。決策的制定將取決于根據(jù)兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)確定的方案決策的制定將取決于根據(jù)兩個(gè)層次結(jié)構(gòu)

34、確定的方案的效益權(quán)重與代價(jià)權(quán)重之比。的效益權(quán)重與代價(jià)權(quán)重之比。例如例如: :我們構(gòu)造過(guò)河的效益比較判別矩陣如下：我們構(gòu)造過(guò)河的效益比較判別矩陣如下：1 7 5B3 1/71 1/5 B2 1/5 5 1B1 B3 B2 B1過(guò)河的效益過(guò)河的效益28/563.1、單準(zhǔn)則下的排序、單準(zhǔn)則下的排序 層次分析法的信息基礎(chǔ)是比較判斷矩陣。由于每層次分析法的信息基礎(chǔ)是比較判斷矩陣。由于每個(gè)準(zhǔn)則都支配下一層若干個(gè)因素，這樣對(duì)于每一個(gè)準(zhǔn)個(gè)準(zhǔn)則都支配下一層若干個(gè)因素，這樣對(duì)于每一個(gè)準(zhǔn)則及它所支配的因素都可以得到一個(gè)比較判斷矩陣。則及它所支配的因素都可以得到一個(gè)比較判斷矩陣。因此根據(jù)比較判斷矩陣如何求出各因素因此

35、根據(jù)比較判斷矩陣如何求出各因素u1,u2,un , 對(duì)對(duì)于準(zhǔn)則的相對(duì)排序權(quán)重的過(guò)程稱為于準(zhǔn)則的相對(duì)排序權(quán)重的過(guò)程稱為單準(zhǔn)則下的排序單準(zhǔn)則下的排序。 計(jì)算權(quán)重計(jì)算權(quán)重w1,w2,wn的方法有許多種，其中特征的方法有許多種，其中特征根方法是根方法是AHP中比較成熟并得到廣泛應(yīng)用的方法，它中比較成熟并得到廣泛應(yīng)用的方法，它對(duì)于對(duì)于AHP的發(fā)展在理論上和實(shí)踐上都有重要意義。的發(fā)展在理論上和實(shí)踐上都有重要意義。 特征根方法的理論依據(jù)是正矩陣的特征根方法的理論依據(jù)是正矩陣的Perron定理，定理，它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性。它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性。 特征根方法的理論依據(jù)特征

36、根方法的理論依據(jù)29/56定理定理3.1.1 (Perron定理定理):設(shè)設(shè)n階方陣階方陣AO, l lmax為為A的模最大特征根，則的模最大特征根，則 l lmax必為正特征根必為正特征根,且對(duì)應(yīng)特征向量為正向量；且對(duì)應(yīng)特征向量為正向量；對(duì)于對(duì)于A的任何其它特征值，恒有的任何其它特征值，恒有|l l|l lmax ； l lmax為為A的單特征根，因而它所對(duì)應(yīng)的特征向量除的單特征根，因而它所對(duì)應(yīng)的特征向量除相差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的。相差一個(gè)常數(shù)因子外是唯一的。定理定理3.1.2 對(duì)于任何一個(gè)正互反矩陣均有對(duì)于任何一個(gè)正互反矩陣均有l(wèi) lmax n， 其中其中l(wèi) lmax為為A的模最大特征根

37、的模最大特征根。證明證明證明證明(略略),212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA設(shè)設(shè) nwwwW21，是其最大特是其最大特征值所對(duì)應(yīng)征值所對(duì)應(yīng)的特征向量的特征向量, 30/56,max21max21212222111211WwwwwwwaaaaaaaaaAWnnnnnnnnl ll l )., 2 , 1(max1niwwainkkik l l即即兩邊同除以兩邊同除以wi，得，得)., 2 , 1(max1niwwankikik l l兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì)i求和求和,得得 niniinkkikwwa11max1/l l, 1 iia,/1ijjiaa ., 2 , 1,nj

38、i ，. )1()1(1max njijiijijijnwwawwal l31/56,ijijijwwab 記記. )1()1(1max njiijijnbbl l則則有有, 21 ijijbb njinjiijijnnbbn11max)1(2)1()1(l l),1()1(max nnnl l故故.maxn l l因因而而有有。32/56 nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA/212221212111定理定理3.1.3 n階正互反矩陣階正互反矩陣A=(aij)為一致矩陣的充為一致矩陣的充分必要條件是分必要條件是A的最大特征根為的最大特征根為n.證明證明(必要性必要性)因?yàn)橐驗(yàn)閚

39、階矩陣階矩陣A為一致矩陣，設(shè)為一致矩陣，設(shè)1 ijjiijijijwwwwwwab, )1(2)1()1(11max njinjiijijnnbbnl l.maxn l l從從而而33/56(充分性充分性). 1,1 ijijijijijwwabbb即即則則必必有有個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)的的和和是是由由于于,)1()1(1 nnbbnjiijij則則若若,maxn l l.)1()1(21maxnnnbbnjiijij l l)()(), 2 , 1,(jiijjiijwwaAnjiwwa 即即因而因而是一個(gè)正互反矩陣。是一個(gè)正互反矩陣。34/56 那么如何求一般正互反矩陣那么如何求一般正互反矩陣A的最

40、大特征根呢的最大特征根呢?這這實(shí)際上有一定的困難，特別是當(dāng)實(shí)際上有一定的困難，特別是當(dāng)A的階數(shù)很高時(shí)。由的階數(shù)很高時(shí)。由于在做比較判斷矩陣時(shí)我們基本上是定性比較量化于在做比較判斷矩陣時(shí)我們基本上是定性比較量化的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。所以我們的結(jié)果，對(duì)它的精確計(jì)算是沒(méi)有必要的。所以我們可用一些簡(jiǎn)便的方法計(jì)算判斷矩陣的最大特征值及可用一些簡(jiǎn)便的方法計(jì)算判斷矩陣的最大特征值及所對(duì)應(yīng)的特征向量。下面介紹一些求正互反矩陣排所對(duì)應(yīng)的特征向量。下面介紹一些求正互反矩陣排序向量的方法。序向量的方法。 在實(shí)際應(yīng)用中，比較判斷矩陣在實(shí)際應(yīng)用中，比較判斷矩陣A并不一定是一并不一定是一致矩陣，由定理致矩陣

41、，由定理3.1.2知比較判斷矩陣知比較判斷矩陣A的階數(shù)的階數(shù)n不超不超過(guò)過(guò)A的最大特征值的最大特征值l lmax .35/56求正互反矩陣排序向量的方法求正互反矩陣排序向量的方法特征根方法特征根方法(EVM) 對(duì)于正矩陣，有一種求特征向量的簡(jiǎn)易算法對(duì)于正矩陣，有一種求特征向量的簡(jiǎn)易算法（冪法）。下面的定理為冪法提供了理論依據(jù)。（冪法）。下面的定理為冪法提供了理論依據(jù)。定理定理3.1.4 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣,nRxOA ,limcVxAxxAkTkk .limWeAeeAkTkk 其中其中V為與為與A的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量, c是常數(shù)。是常數(shù)。 如果令如果令x=e(

42、e為單位向量為單位向量)，則有，則有 其中其中W為與為與A的最大特征值對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征向量，的最大特征值對(duì)應(yīng)的規(guī)范化特征向量，下面稱權(quán)重向量或排序向量。下面稱權(quán)重向量或排序向量。36/56第一步：第一步：將判斷矩陣的列向量歸一化將判斷矩陣的列向量歸一化 );(1 niijijijaaA按按行行得得：將將第第二二步步ijA:TnjnjnjniijnjniijjniijjaaaaaaW).,(11111211 ；歸歸一一化化后后得得，將將第第三三步步TnwwwWW),(:21 .)(1:1的的最最大大特特征征值值為為第第四四步步AwAWnniii l l和法和法37/56解：解： 15/ 17/

43、1513/ 1731A 222. 0849. 0929. 1行行和和.074. 0283. 0643. 0權(quán)權(quán)重重向向量量即即為為所所求求的的 W例例3求判斷矩陣求判斷矩陣 15/ 17/ 1513/ 1731A的最大特征值和權(quán)重向量。的最大特征值和權(quán)重向量。 223. 0867. 0010. 2074. 0283. 0643. 015/ 17/ 1513/ 1731AW076. 3074. 0223. 0283. 0867. 0643. 001. 231 l l 077. 0048. 0097. 0385. 0238. 0226. 0538. 0714. 0677. 0列歸一列歸一 074.

44、 0283. 0643. 0歸歸一一化化38/56第一步：第一步：將判斷矩陣的列向量歸一化將判斷矩陣的列向量歸一化 );(1 niijijijaaA按按行行得得：將將第第二二步步ijA:根法根法TnjnniijnjnjnniijjnjnniijjaaaaaaW)( ,)( ,)(1/111/1121/111 ；歸歸一一化化后后得得，將將第第三三步步TnwwwWW),(:21 .)(1:1的的最最大大特特征征值值為為第第四四步步AwAWnniii l l39/56解解 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 014/16/1412/16

45、21列列歸歸一一A 0890. 03236. 05873. 00888. 03228. 05859. 0歸一化歸一化行根行根 0890. 03236. 05873. 0W 2678. 09735. 07688. 10890. 03236. 05873. 014/16/1412/1621AW0097. 30890. 02678. 03236. 09735. 05873. 07688. 131 l l例例4 求判斷矩陣求判斷矩陣 14/ 16/ 1412/ 1621A的最大特征值和權(quán)重向量。的最大特征值和權(quán)重向量。40/563.2、一致性的檢驗(yàn)、一致性的檢驗(yàn)由于客觀事物的復(fù)雜性，會(huì)使我們的判斷帶有

46、主觀性由于客觀事物的復(fù)雜性，會(huì)使我們的判斷帶有主觀性和片面性，完全要求每次比較判斷的思維標(biāo)準(zhǔn)一致是和片面性，完全要求每次比較判斷的思維標(biāo)準(zhǔn)一致是不大可能的。因此在我們構(gòu)造比較判斷矩陣時(shí)，我們不大可能的。因此在我們構(gòu)造比較判斷矩陣時(shí)，我們并不要求并不要求n(n+1)/2次比較全部一致。但這可能出現(xiàn)甲次比較全部一致。但這可能出現(xiàn)甲與乙相對(duì)重要，乙與丙相比極端重要，丙與甲相比相與乙相對(duì)重要，乙與丙相比極端重要，丙與甲相比相對(duì)重要，這種比較判斷嚴(yán)重不一致這種情況。事實(shí)上，對(duì)重要，這種比較判斷嚴(yán)重不一致這種情況。事實(shí)上，在作比較判斷矩陣時(shí)，我們雖然不要求判斷具有一致在作比較判斷矩陣時(shí)，我們雖然不要求判斷

47、具有一致性。但一個(gè)混亂的，經(jīng)不起推敲的比較判斷矩陣有可性。但一個(gè)混亂的，經(jīng)不起推敲的比較判斷矩陣有可能導(dǎo)致決策的失誤，所以我們希望在判斷時(shí)應(yīng)大體上能導(dǎo)致決策的失誤，所以我們希望在判斷時(shí)應(yīng)大體上的一致。而上述計(jì)算權(quán)重方法，當(dāng)判斷矩陣過(guò)于偏離的一致。而上述計(jì)算權(quán)重方法，當(dāng)判斷矩陣過(guò)于偏離一致性時(shí)，其可靠程度也就值得懷疑了。故對(duì)于每一一致性時(shí)，其可靠程度也就值得懷疑了。故對(duì)于每一層次作單準(zhǔn)則排序時(shí)，均需要作一致性的檢驗(yàn)。層次作單準(zhǔn)則排序時(shí)，均需要作一致性的檢驗(yàn)。41/56設(shè)設(shè)A為為n階正互反矩陣，由定理階正互反矩陣，由定理3.1.2知，知，且且,maxWAWl l .maxn l l.max的的不不

48、一一致致程程度度越越嚴(yán)嚴(yán)重重大大得得多多，則則比比若若Anl l1max nnCIl l令令CIA,max的的最最大大特特征征值值為為其其中中l(wèi) l 可作為衡量不一致程可作為衡量不一致程度的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，稱度的數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)，稱CI為一致性指標(biāo)為一致性指標(biāo)( (Consistency Index).).當(dāng)判斷矩陣當(dāng)判斷矩陣A的最大特征值稍大于的最大特征值稍大于n, 稱稱A具有滿意的具有滿意的一致性。然而一致性。然而“滿意的一致性滿意的一致性”說(shuō)法不夠準(zhǔn)確，說(shuō)法不夠準(zhǔn)確，A的的最大特征值最大特征值l lmax與與n是怎樣的接近為滿意？這必須有一是怎樣的接近為滿意？這必須有一個(gè)量化。個(gè)量化。42/56Saa

49、ty教授采用的方法：教授采用的方法：固定固定n，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣A=(aij)n, 其中其中aij是從是從1,2,3, ,9,1/2,1/3, ,1/9共共17個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)中隨即抽取。中隨即抽取。這樣的正互反矩陣這樣的正互反矩陣A是最不一致的。計(jì)是最不一致的。計(jì)算算1000次上述隨機(jī)判斷矩陣的最大特征次上述隨機(jī)判斷矩陣的最大特征l lmax , Saaty教教授給出了授給出了RI值值(稱為平均隨即一致性指標(biāo)，見(jiàn)表稱為平均隨即一致性指標(biāo)，見(jiàn)表3-3)。表表3-3 平均隨機(jī)一致性指標(biāo)平均隨機(jī)一致性指標(biāo)n123456789RI000.580.921.411.

50、45表表3-3中中n=1,2時(shí)時(shí)RI=0，因，因1，2階判斷矩陣總是一致的。階判斷矩陣總是一致的。 當(dāng)當(dāng)n3時(shí)，令時(shí)，令CR=CI/RI，稱，稱CR為一致性比例。當(dāng)為一致性比例。當(dāng)CR0.1, CR2=0.2130.1, CR3=0.1170.1, CR6=0.1700.1, 因此第因此第1，2，3，6個(gè)比較判斷矩陣個(gè)比較判斷矩陣的一致性沒(méi)有通過(guò)，需要對(duì)比較判斷矩陣進(jìn)行修改。的一致性沒(méi)有通過(guò)，需要對(duì)比較判斷矩陣進(jìn)行修改。而第而第4，5，7，8個(gè)比較判斷矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)。個(gè)比較判斷矩陣通過(guò)一致性檢驗(yàn)。46/56 計(jì)算同一層次中所有元素對(duì)于最高層計(jì)算同一層次中所有元素對(duì)于最高層(總目標(biāo)總目標(biāo))的

51、的相對(duì)重要性標(biāo)度相對(duì)重要性標(biāo)度(又稱排序權(quán)重向量又稱排序權(quán)重向量)稱為稱為層次總排序?qū)哟慰偱判?。為了把這個(gè)問(wèn)題搞清楚，來(lái)看一個(gè)事實(shí)。為了把這個(gè)問(wèn)題搞清楚，來(lái)看一個(gè)事實(shí)。 設(shè)有五塊石頭設(shè)有五塊石頭A1,A2,A3,A4,A5分成兩組。第一組由分成兩組。第一組由A1,A2組成，第二組由組成，第二組由A3 ,A4,A5組成。這兩組石頭可看組成。這兩組石頭可看成一塊石頭分裂成石塊成一塊石頭分裂成石塊A1,A2,A3,A4,A5 。把系統(tǒng)劃分把系統(tǒng)劃分成三個(gè)層次成三個(gè)層次,如圖如圖3-4所示所示重量重量第一組第一組第二組第二組25.075.0A3A4A5A1A252. 048. 0467. 0261.0

52、272.0圖圖3-4 分裂成石塊的巨礫分裂成石塊的巨礫 47/56 204. 0196. 0351. 0120. 0130. 075. 025. 0272. 00261. 00467. 00048. 0052. 0),()2()3(54321)3(wpwwwwwwT已知最高層對(duì)第二層的排序向量為已知最高層對(duì)第二層的排序向量為,)75. 0,25. 0()2(Tw 而第三層對(duì)第二層單準(zhǔn)則的排序?yàn)槎谌龑訉?duì)第二層單準(zhǔn)則的排序?yàn)?272. 00261. 00467. 00048. 0052. 0)3(p則第三層五個(gè)元素相對(duì)總重量的排則第三層五個(gè)元素相對(duì)總重量的排序權(quán)值向量為序權(quán)值向量為48/564.

53、1、層次總排序的步驟、層次總排序的步驟計(jì)算同一層次所有因素對(duì)最高層相對(duì)重要性的排序計(jì)算同一層次所有因素對(duì)最高層相對(duì)重要性的排序權(quán)向量，這一過(guò)程是自上而下逐層進(jìn)行；權(quán)向量，這一過(guò)程是自上而下逐層進(jìn)行；層次總排序的步驟為：層次總排序的步驟為：;),()1()1(2)1(1)1(1Tknkkkkwwww ；設(shè)已計(jì)算出第設(shè)已計(jì)算出第k-1層上有層上有nk-1個(gè)元素相對(duì)總目標(biāo)的排個(gè)元素相對(duì)總目標(biāo)的排序權(quán)向量為：序權(quán)向量為： 第第k層有層有nk個(gè)元素個(gè)元素,它們對(duì)于上一層次它們對(duì)于上一層次(第第k-1層層)的某的某個(gè)因素個(gè)因素ui 的單準(zhǔn)則排序權(quán)向量為的單準(zhǔn)則排序權(quán)向量為T(mén)kinkikikikwwwp),

54、()()(2)(1)( (對(duì)于與對(duì)于與k-1層第層第i個(gè)元素?zé)o支配關(guān)系的對(duì)應(yīng)個(gè)元素?zé)o支配關(guān)系的對(duì)應(yīng)uij取值為取值為0);.),(),()1()(1)(2)(1)()(2)(1 kkkkkTknkkwpppwwwk第第k層層nk個(gè)元素相對(duì)總目標(biāo)的排序權(quán)向量為個(gè)元素相對(duì)總目標(biāo)的排序權(quán)向量為49/564.2、總排序一致性檢驗(yàn)、總排序一致性檢驗(yàn)人們?cè)趯?duì)各層元素作比較時(shí)，盡管每一層中所用的比人們?cè)趯?duì)各層元素作比較時(shí)，盡管每一層中所用的比較尺度基本一致，但各層之間仍可能有所差異，而這較尺度基本一致，但各層之間仍可能有所差異，而這種差異將隨著層次總排序的逐漸計(jì)算而累加起來(lái)，因種差異將隨著層次總排序的逐漸計(jì)

55、算而累加起來(lái)，因此需要從模型的總體上來(lái)檢驗(yàn)這種差異尺度的累積是此需要從模型的總體上來(lái)檢驗(yàn)這種差異尺度的累積是否顯著，檢驗(yàn)的過(guò)程稱為層次總排序的否顯著，檢驗(yàn)的過(guò)程稱為層次總排序的一致性檢驗(yàn)一致性檢驗(yàn)。假設(shè)第假設(shè)第k-1層第層第j個(gè)因素為比較準(zhǔn)則，第個(gè)因素為比較準(zhǔn)則，第k層的一致性層的一致性檢驗(yàn)指標(biāo)為檢驗(yàn)指標(biāo)為則第則第k層各因素兩兩比較的層次單排序一致性指標(biāo)為層各因素兩兩比較的層次單排序一致性指標(biāo)為,)1( kjRI平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為,)1( kjCI)1(1 kkkwCICI)1()1(量量層層對(duì)對(duì)總總目目標(biāo)標(biāo)的的總總排排序序向向表表示示第第 kwk).3(,1)1(1nk

56、RICICRCRwRIRIkkkkkkk 另另有有50/56，如如1 . 0 kCR可認(rèn)為評(píng)價(jià)模型在可認(rèn)為評(píng)價(jià)模型在k層水平上整個(gè)達(dá)層水平上整個(gè)達(dá)到局部滿意一致性到局部滿意一致性. .層次分析法的基本步驟為以下四步：層次分析法的基本步驟為以下四步：(總排序總排序)即計(jì)算各方案對(duì)總系統(tǒng)目標(biāo)排序權(quán)向量。即計(jì)算各方案對(duì)總系統(tǒng)目標(biāo)排序權(quán)向量。建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；計(jì)算下一個(gè)層次對(duì)上一層的某個(gè)準(zhǔn)則的排序權(quán)向量計(jì)算下一個(gè)層次對(duì)上一層的某個(gè)準(zhǔn)則的排序權(quán)向量;下面舉例來(lái)說(shuō)明層次分析法的基本步驟。下面舉例來(lái)說(shuō)明層次分析法的基本步驟。51/56

57、例例5 某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，有一筆留成利潤(rùn)，某工廠在擴(kuò)大企業(yè)自主權(quán)后，有一筆留成利潤(rùn)，要由廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)來(lái)決定如何使用，可供選擇的方要由廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)來(lái)決定如何使用，可供選擇的方案有：案有：P1發(fā)獎(jiǎng)金；發(fā)獎(jiǎng)金； P2擴(kuò)建集體福利事業(yè)；擴(kuò)建集體福利事業(yè)； P3辦職工業(yè)余技校；辦職工業(yè)余技校； P4建圖書(shū)館、俱樂(lè)部；建圖書(shū)館、俱樂(lè)部； P5引進(jìn)新設(shè)備。這些方案都各具有其合理的因素，引進(jìn)新設(shè)備。這些方案都各具有其合理的因素，因此如何對(duì)這些方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，并由此進(jìn)行方案因此如何對(duì)這些方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，并由此進(jìn)行方案排序及優(yōu)選是廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)面臨的實(shí)際問(wèn)題。排序及優(yōu)選是廠領(lǐng)導(dǎo)和職代會(huì)面臨的實(shí)際問(wèn)

58、題。分析：分析： 上述問(wèn)題屬于方案排序與優(yōu)選問(wèn)題，且各待選上述問(wèn)題屬于方案排序與優(yōu)選問(wèn)題，且各待選方案的具體內(nèi)容已經(jīng)確定，故可采用方案的具體內(nèi)容已經(jīng)確定，故可采用AHP法來(lái)解決。法來(lái)解決。解：解：建立方案評(píng)價(jià)的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。建立方案評(píng)價(jià)的遞階層次結(jié)構(gòu)模型。該模型最高一層為總目標(biāo)該模型最高一層為總目標(biāo)A：合理使用企業(yè)利潤(rùn)。：合理使用企業(yè)利潤(rùn)。52/56第二層設(shè)計(jì)為方案評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則層第二層設(shè)計(jì)為方案評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則層,它包含有三個(gè)準(zhǔn)則：它包含有三個(gè)準(zhǔn)則：最低層為方案層，它包含從最低層為方案層，它包含從P1P5五種方案五種方案.其遞階層次結(jié)其遞階層次結(jié)構(gòu)如圖構(gòu)如圖3-53-5：B1：進(jìn)一步調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積

59、極性；：進(jìn)一步調(diào)動(dòng)職工勞動(dòng)積極性；B2：提高企業(yè)技術(shù)水平；：提高企業(yè)技術(shù)水平；B3：改善職工物質(zhì)與文化生活。：改善職工物質(zhì)與文化生活。合理使用企業(yè)利潤(rùn)合理使用企業(yè)利潤(rùn)AB1B2B3P1P2P3P4P5圖圖3-5 合理分配利潤(rùn)的遞階層次結(jié)構(gòu)合理分配利潤(rùn)的遞階層次結(jié)構(gòu)53/56構(gòu)造比較判斷矩陣構(gòu)造比較判斷矩陣:矩矩陣陣第第一一層層的的兩兩兩兩比比較較判判別別層層對(duì)對(duì)經(jīng)經(jīng)征征求求意意見(jiàn)見(jiàn)后后給給出出第第二二 13/133153/15/11分別給出第三層對(duì)第二層的分別給出第三層對(duì)第二層的三個(gè)比較判別矩陣：三個(gè)比較判別矩陣： 13/12/15/17/13122/14/122/113/15/152313/

60、174531 133/153/115/1335175/13/17/11 113/13/1113/1356層次單排序及其一致性檢驗(yàn)層次單排序及其一致性檢驗(yàn)對(duì)于上述各比較判斷矩陣，用對(duì)于上述各比較判斷矩陣，用Matlab數(shù)學(xué)軟件求出其最數(shù)學(xué)軟件求出其最大的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，將特征向量經(jīng)歸一大的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量，將特征向量經(jīng)歸一化后，即可得到相應(yīng)的層次單排序的相對(duì)重要性權(quán)重化后，即可得到相應(yīng)的層次單排序的相對(duì)重要性權(quán)重向量，以及一致性指標(biāo)向量，以及一致性指標(biāo)CI和一致性比例和一致性比例CR，見(jiàn)表，見(jiàn)表3-5。表表3-5 合理使用企業(yè)利潤(rùn)的計(jì)算結(jié)果合理使用企業(yè)