高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修23

1、2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差知識點(diǎn)一方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為x和y，x和y的分布列如下：x012py012p思考1試求e(x)，e(y)答案e(x)0×1×2×，e(y)0×1×2×.思考2能否由e(x)與e(y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？答案不能，因?yàn)?/p>

2、e(x)e(y)思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩名工人技術(shù)水平的高低？答案方差梳理(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn方差：d(x)(xie(x)2pi；標(biāo)準(zhǔn)差：.(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小(3)方差的性質(zhì)：d(axb)a2d(x)知識點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差xx服從兩點(diǎn)分布xb(n，p)d(x)p(1p)(其中p為成功概率)np(1p)1離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定(×)2若a是常數(shù)，則d(a)0.()

3、3離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度()類型一求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差例1已知x的分布列如下：x101pa(1)求x2的分布列；(2)計(jì)算x的方差；(3)若y4x3，求y的均值和方差考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由分布列的性質(zhì)，知a1，故a，從而x2的分布列為x201p(2)方法一由(1)知a，所以x的均值e(x)(1)×0×1×.故x的方差d(x)2×2×2×.方法二由(1)知a，所以x的均值e(x)(1)×0×1×，x2的均值e(x2)0×1

4、15;，所以x的方差d(x)e(x2)e(x)2.(3)因?yàn)閥4x3，所以e(y)4e(x)32，d(y)42d(x)11.反思與感悟方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量x2的均值比較好計(jì)算的情況下，運(yùn)用關(guān)系式d(x)e(x2)e(x)2不失為一種比較實(shí)用的方法另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如d(axb)a2d(x)跟蹤訓(xùn)練1已知的分布列為010205060p(1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)y2e()，求d(y)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)e()0×10×20×50×60×16，d()(016)2

5、15;(1016)2×(2016)2×(5016)2×(6016)2×384，8.(2)y2e()，d(y)d(2e()22d()4×3841 536.類型二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，均值e()為3，標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n和p的值，并寫出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差解由題意知，b(n，p)，p(k)cpk(1

6、p)nk，k0,1，n.(1)由e()np3，d()np(1p)，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456p(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件a，則p(a)p(3)，得p(a)，或p(a)1p(>3)1，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為.反思與感悟解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解若服從兩點(diǎn)分布，則d()p(1p)；若服從二項(xiàng)分布，即b(n，p)，則d()np(1p)跟蹤訓(xùn)練2某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二

7、項(xiàng)分布的方差解(1)用表示抽得的正品數(shù)，則0,1.服從兩點(diǎn)分布，且p(0)0.02，p(1)0.98，所以d()p(1p)0.98×(10.98)0.019 6.(2)用x表示抽得的正品數(shù)，則xb(10,0.98)，所以d(x)10×0.98×0.020.196，標(biāo)準(zhǔn)差為0.44.類型三方差的實(shí)際應(yīng)用例3為選拔奧運(yùn)會射擊選手，對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，

8、0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用解(1)依據(jù)題意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分別為10987p0.50.30.10.110987p0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中，的分布列，可得e()10×0.59×0.38×0.17×0.19.2，e()10×0.39×0.38×0.2

9、7×0.28.7，d()(109.2)2×0.5(99.2)2×0.3(89.2)2×0.1(79.2)2×0.10.96，d()(108.7)2×0.3(98.7)2×0.3(88.7)2×0.2(78.7)2×0.21.21.e()>e()，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高又d()<d()，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定甲的射擊技術(shù)好反思與感悟(1)解題時(shí)可采用比較分析法，通過比較兩個(gè)隨機(jī)變量的均值和方差得出結(jié)論(2)均值體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，在兩種產(chǎn)品相比較時(shí)，只比較均值往往是不恰

10、當(dāng)?shù)?，還需比較它們的取值偏離于均值的平均程度，即通過比較方差，才能準(zhǔn)確地得出更恰當(dāng)?shù)呐袛喔櫽?xùn)練3甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為0123p0.30.30.20.2012p0.10.50.4試評定兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用解甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為e()0×0.31×0.32×0.23×0.21.3；d()(01.3)2×0.3(11.3)2×0.3(21.3)2×

11、;0.2(31.3)2×0.21.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為e()0×0.11×0.52×0.41.3；d()(01.3)2×0.1(11.3)2×0.5(21.3)2×0.40.41.因?yàn)閑()e()，d()>d()，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定1已知隨機(jī)變量x的分布列為x101p則下列式子：e(x)；d(x)；p(x0).其中正確的個(gè)數(shù)是()a0 b1c2 d3考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念與

12、計(jì)算題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算答案c解析由分布列可知，e(x)(1)×0×1×，故正確；d(x)2×2×2×，故不正確，顯然正確2有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本均值e(x甲)e(x乙)，方差分別為d(x甲)11，d(x乙)3.4.由此可以估計(jì)()a甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊b乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊c甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同d甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用答案b3同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為，則

13、d()等于()a. b. c. d5考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案a解析拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣都出現(xiàn)反面的概率為p×，則易知滿足b，n10，p，則d()np(1p)10××.4已知離散型隨機(jī)變量x的分布列如下表所示，若e(x)0，d(x)1，則a_，b_.x1012pabc考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案解析由題意知解得5編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是，求e()和d()考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解的所有可能取值為0,1,3，

14、0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了，有2種情況，即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則p(0)；1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了，則p(1)；3表示三位同學(xué)全坐對了，即對號入座，則p(3).所以的分布列為013pe()0×1×3×1.d()×(01)2×(11)2×(31)21.1隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差d(x)或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度越?。环讲頳(x)或標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明偏離的平均程度越大，說明x的取值

15、越分散2求離散型隨機(jī)變量x的均值、方差的步驟(1)理解x的意義，寫出x的所有可能的取值(2)求x取每一個(gè)值的概率(3)寫出隨機(jī)變量x的分布列(4)由均值、方差的定義求e(x)，d(x)特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算e(x)和d(x)一、選擇題1設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有a和，且p(a)m，令隨機(jī)變量則的方差d()等于()am b2m(1m)cm(m1) dm(1m)考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)兩點(diǎn)分布的方差答案d解析隨機(jī)變量的分布列為01p1mm所以e()0×(1m)1×mm.所以d()(0m)2×(1m)(1m)2×mm(1m)

16、2牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則d()等于()a0.2 b0.8 c0.196 d0.804考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案c3設(shè)隨機(jī)變量的分布列為p(k)ck·nk，k0,1,2，n，且e()24，則d()的值為()a. b8 c12 d16考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案b解析由題意可知b，所以ne()24.所以n36.所以d()n×××368.4若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)2x16,2x26，2xn6的平均數(shù)與方差分別為()

17、a6,8 b12,8 c6,16 d12,16考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案c5由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況為x1(甲得分)012p(x1xi)0.20.50.3x2(乙得分)012p(x2xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場比賽，派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好？()a甲 b乙c甲、乙均可 d無法確定考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用答案a解析e(x1)e(x2)1.1，d(x1)1.12×0.20.12×0.50.92×0.30.49，d(x2)1.12×0.30.12×0.30.92

18、15;0.40.69，d(x1)<d(x2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好6已知隨機(jī)變量的分布列如下：mnpa若e()2，則d()的最小值等于()a. b2 c1 d0考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案d解析由題意得a1，所以e()mn2，即m2n6.又d()×(m2)2×(n2)22(n2)2，所以當(dāng)n2時(shí)，d()取最小值為0.7某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，記x為遇到紅燈的次數(shù)，若y3x5，則y的標(biāo)準(zhǔn)差為()a. b3 c. d2考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案a解析因

19、為該同學(xué)經(jīng)過每個(gè)路口時(shí)，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即xb，則x的方差d(x)3××，所以y的方差d(y)32·d(x)9×6，所以y的標(biāo)準(zhǔn)差為.8已知隨機(jī)變量xy8，若xb(10,0.6)，則e(y)，d(y)分別是()a6和2.4 b2和2.4c2和5.6 d6和5.6考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案b解析因?yàn)閤y8，所以y8x.因此，求得e(y)8e(x)810×0.62，d(y)(1)2d(x)10×0.6×0.42.4.二、填空題9隨機(jī)變量的分布列如下：101pabc其中a，b，c

20、成等差數(shù)列，若e()，則d()_.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案解析由題意得解得a，b，c，故d().10設(shè)隨機(jī)變量b(2，p)，b(4，p)，若p(1)，則d()_.考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案解析由隨機(jī)變量b(2，p)，且p(1)，得p(1)1p(0)1c×(1p)2，易得p.由b(4，p)，得隨機(jī)變量的方差d()4××.11有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，若從中隨機(jī)抽出3張，設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為x，則d(x)_.考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案3.36解析由題意得，隨機(jī)變量x的可

21、能取值為6,9,12.p(x6)，p(x9)，p(x12)，則e(x)6×9×12×7.8，d(x)×(67.8)2×(97.8)2×(127.8)23.36.三、解答題12為了豐富學(xué)生的課余生活，促進(jìn)校園文化建設(shè)，某校高二年級通過預(yù)賽選出了6個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽決賽通過隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定出場順序求：(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場的概率；(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級數(shù)記為x，求x的均值和方差考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場”為事件a，則p(a).所以甲、乙

22、兩班恰好在前兩位出場的概率為.(2)隨機(jī)變量x的可能取值為0,1,2,3,4.p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4).隨機(jī)變量x的分布列為x01234p因此，e(x)0×1×2×3×4×.d(x)×2×2×2×2×2.13有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：a110120125130135p0.10.20.40.10.2b100115125130145p0.10.20.40.10.2其中，a，b分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不

23、低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好)考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解e(a)110×0.1120×0.2125×0.4130×0.1135×0.2125，e(b)100×0.1115×0.2125×0.4130×0.1145×0.2125，d(a)0.1×(110125)20.2×(120125)20.4×(125125)20.1×(130125)20.2×(135125)250，d(b)0.1

24、×(100125)20.2×(115125)20.4×(125125)20.1×(130125)20.2×(145125)2165，由此可見，e(a)e(b)，d(a)<d(b)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好四、探究與拓展14根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量x(單位：mm)對工期的影響如下表所示.降水量xx<300300x<700700x<900x900工期延誤天數(shù)y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量x小于300,700,900的概率分別為0.3,0

25、.7,0.9，則工期延誤天數(shù)y的方差為_考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案9.8解析由已知條件和概率的加法公式知，p(x<300)0.3，p(300x<700)p(x<700)p(x<300)0.70.30.4，p(700x<900)p(x<900)p(x<700)0.90.70.2，p(x900)1p(x<900)10.90.1.所以隨機(jī)變量y的分布列為y02610p0.30.40.20.1故e(y)0×0.32×0.46×0.210×0.13；d(y)(03)2×0.3(23)2×0.4(63)2×0.2(103)2&#