等差數(shù)列及其前n項和新題培優(yōu)練

1、A . an= 2n 5C. Sn= 2n2 8n解析：選A.法一:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,基礎(chǔ)題組練1 . （2019高考全國卷I ）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知9= 0, a5= 5，則（）B . an = 3n 101D . Sn =刃2 2nS4= 0 ,因為所以a5= 5,a1 + 4d= 5,法二：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,4x 34a1 + d = 0,a1= 3,2 解得所以 an= a1+ (n 1)d = 3 + 2(n d = 2,n (n 1)1) = 2n 一 5， Sn= nai +因為&= 0，所以a5= 5,4X 34a1 + d = 0,解得

2、選項A ,選項B ,選項C,選項D ,ai+ 4d= 5,a1= 3,d = 2.a1= 2X 1 5= 3;ai= 3X 1 10= 7,排除S1 = 2 8= 6,排除 C;13S1 = 2 = 2 排除 D.故選 A.2 .（一題多解）（2019沈陽質(zhì)量監(jiān)測）在等差數(shù)列則01的值是（）an中，若Sn為前n項和，2a7= a8+ 5,A. 55B . 11C. 50D. 60解析：選A.通解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由題意可得2（a1 + 6d）= a1+ 7d + 5,得11X 10,a1 + 5d = 5,貝U Sn= 11a1+d= 11(a1+ 5d) = 11 x 5= 55,

3、故選 A.優(yōu)解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由2a7= a8+ 5, 所以 Sn= 11a6= 55,故選 A.得 2(a6 + d) = a6 + 2d+ 5，得 a6= 5,3.（一題多解）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4 + a5= 24, S6= 48,則an的公差解析：選C.法一：等差數(shù)列an中，S6=（a1 + a6）x 62= 48,貝U a1+ a6= 16= a2+ a5,又 a4 + a5= 24,所以 a4 a2= 2d= 24 16= 8,得 d = 4,故選 C.d = n24n.故選 A.2ai+ 7d = 24,6X 56ai + 2d= 48,法二：由已知條

4、件和等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式可列方程組，得故選C.2ai+ 7d= 24,ai = 2,即解得2ai + 5d= 16,d= 4,Sn,若 am= 4, Sm= 0, Sm+ 2 =4. （2019廣東廣州聯(lián)考）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為14(m>2,且 m N )，貝U a2 017 的值為()B . 4 028A. 2 018C. 5 037D . 3 019解析：選B.由題意得am = a1+( m 1) d= 4,m (m 1)Sm = ma1 +d = 0,Sm+2 Sm = am+1+ am+2= 2a1+( m + m+ 1) d= 14,a1= 4, 解得 m=

5、5,所以 an= 一 4 + （n 一 1） x 2 = 2n 6,d= 2,所以 a2 017= 2X2 017 6= 4 028.故選 B.5. （2019長春質(zhì)量檢測（一）等差數(shù)列an中，已知舊6|=師|，且公差d>0，則其前n項 和取最小值時n的值為（）C. 8D. 9解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|=|a11|,所以一a6= an，即一a1 5d = a1+ 10d,所以a1 = £買，則a&= 1<0, a9 =學(xué)>0,所以前8項和為前n項和的最小 值，故選C.6. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a6= 2a3

6、,則詈=.解析:S11S511 (a1 + an)I (a1 + a5)11a6 = 225a35答案：煮51 、7. 在等差數(shù)列an中，公差d = 2，前100項的和S100= 45,則a1+ a3 + a5 + a99=解析：、10092因為 S100= -(a1 + a100)= 45, 所以 a1+ a100=石，a1 + a99 = a1 + a100 d = §，貝卩5050 2_ai + a3 + a5+ + a99= 2(ai+ a99)= x 5=o.答案：103 &在單調(diào)遞增的等差數(shù)列 an中，若a3= 1, a2a4= 4，貝卩ai =.31解析：由題知

7、，a2 + a4= 2a3= 2,又因為a2a4= 4，數(shù)列 an單調(diào)遞增，所以 a2=2，a43a4 a2 1=2.所以公差 d=2 = 2所以 a1 = a2-d= 0.答案：09. (2019武漢調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前三項的和為一9，前三項的積為一15.(1) 求等差數(shù)列an的通項公式；(2) 若an為遞增數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和Sn.解：(1)設(shè)公差為d，則依題意得a2=- 3，貝V a1=- 3-d, a3=- 3 + d,所以(一3 d)( 3)( 3+ d) = - 15,得 d2= 4，d= ±2，所以 an=- 2n + 1 或 an= 2n- 7.7 2

8、n, nW 3 由題意得an= 2n 7,所以|an| =2n-7, n4 nW3 時，Sn= (a1 + a2+ + an)=" ?n= 6n n2; n4 時, Sn= a1 a2 a3 + a4 + an= 2(a1+ a2+ a3)+ (a1+ a2+ an)= 18 6n+ n2.綜上，數(shù)列|an|的前n項和S)=n2 + 6n, n w 3 n2 6n+ 18, n410. 已知等差數(shù)列an的公差d>0.設(shè)an的前n項和為Sn, a1 = 1, S2 S3= 36.(1)求 d 及 Sn；求 m, k(m, k N*)的值，使得 am + am+1 + am+ 2+

9、 am+k = 65.解：(1)由題意知(2a1 + d)(3a1 + 3d)= 36,將a1= 1代入上式解得d = 2或d = 5.因為d>0，所以d= 2.從而 an= 2n 1, Sn= n2(n N ).解得m= 5, k= 4.由(1)得 am + am+1 + am+2+ + am+ k= (2m + k 1)(k + 1),所以(2m + k 1)(k+ 1) = 65. 由 m, k N*知 2m+ k 1k+ 1>1 ,2m + k 1 = 13, 故k+ 1 = 5,即所求m的值為5, k的值為4.綜合題組練1 若an是等差數(shù)列，首項ai>0, a2 0

10、16+ a2 oi7>O, a2 016 a2 oi7< 0,則使前 n 項和 Sn>0成立的最大正整數(shù) n是（）2 017C. 4 0324 033解析：選C.因為a1>0, a2 016+ a2 017>0, a2 016 a2 017<0,所以 d<0, a2 016>0, a2 017<0 ,4 032 (a1 + a4 032)4 032 (a2 016 + a2 017)所以 S4 032 =>0 ,4 033 (a1+ a4 033)S4 033 =033a2 0i7<0 ,所以使前n項和Sn>0成立的最大正

11、整數(shù)n 是 4 032.2等差數(shù)列an中,a2n是一個與n無關(guān)的常數(shù),則該常數(shù)的可能值的集合為（A. 1B. 1 , 1D. 0, 1，1爭=2 若 a1 M0,a2n 2d= 0,解析：選 b 蟲=a1+( n 1)d = a1-d + nd，若 a1 = d 則 a2n a1+( 2n- 1) d a1-d + 2nd1 d'則則an = 1因為a1= dM 0，所以並豐0,所以該常數(shù)的可能值的集合為1, 2 .a2na2n23. 設(shè)數(shù)列an的通項公式為 an= 2n- 10(n N*)，貝U |a11+ |a2|+ + |a15| =.解析：由an= 2n- 10(n N*)知a

12、n是以一8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由 an= 2n 100 得 n>5,所以 nW 5 時，a*w 0，當(dāng) n>5 時，an>0，所以 |a1|+ |a2| + |a15=- + a2 + a3 + a4) + (a5 + a6 + + a15) = 20+ 110= 130.答案：1304. （2019四川廣元統(tǒng)考）若數(shù)列an是正項數(shù)列，且.a1+ a2+ + . an = n2+ n,貝V a1 +號+型等于2n解析：當(dāng) n= 1 時，a1 = 2? a1 = 4，又 l a1+ . a2+ an= n2+ n ，所以當(dāng) n>2時，-a1 + a2+ 寸an-

13、1 = （n 1）2+ （n- 1） = n2- n ，一得 a*= 2n，即卩 an = 4n2, 所以 an= 4n = 4n, 所以 a1 + a+ + 創(chuàng)=（4+：n）n = 牛？n.n n2n2答案：2n2+ 2n5. （創(chuàng)新型）等差數(shù)列an中，a3+ a4= 4, a5+ a7= 6.（1）求an的通項公式；設(shè)bn= an，求數(shù)列bn的前10項和，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.9 = 0,2.6 = 2.解：（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意有2ai+ 5d= 4, ai+ 5d = 3.2解得 ai= 1, d = .52n+ 3所以an的通項公式為an=.5丄 升2n+

14、3由(1)知，bn= .n = 1,2, 3 時，1 < V 2, bn = 1；5n = 4,5 時，2<2n+V3, bn= 2;5n = 6,7, 8 時，3仝V 4, bn = 3;n = 9,10 時，4<空護< 5, bn= 4.5所以數(shù)列bn的前 10 項和為 1 X 3+ 2 X 2+ 3X 3+ 4X 2 = 24.6. (應(yīng)用型)已知一次函數(shù)f(x) = x+ 8 2n.(1)設(shè)函數(shù)y= f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標構(gòu)成數(shù)列an，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；設(shè)函數(shù)y= f(x)的圖象與y軸的交點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn,求數(shù)列bn的前n項 和Sn.解：(1)證明：由題意得an= 8 2n,因為 an+1 an= 8 2(n+ 1) 8+ 2n = 2，且 a1= 8 2 = 6,所以數(shù)列an是首項為6,公差為一2的等差數(shù)列.由題意得bn=