如何對幾何習題拓展變式

1、；如何對幾何習題拓展變式 “變式”原為心理學上的名詞，其含義是變換材料的出現(xiàn)形式。在教學中的所謂變式，即是指對數(shù)學概念、定義、定理、公式，以及問題背景不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變化，使其面目不一，而本質(zhì)特征不變。在數(shù)學教學中，可以充分利用變式，有意識地把教學過程施行為數(shù)學思維活動的過程，充分調(diào)動和展示學生的思維過程，讓學生積極、主動地參與教學的全過程，培養(yǎng)學生獨立分析和解決問題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學生能力的培養(yǎng)落到實處。通過變式練習，可以使學生在全面、深刻的理解和掌握知識的同時，思維品質(zhì)也獲得良好的發(fā)展。通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮

2、感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產(chǎn)生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情。通過變式訓練，可以幫助學生提出問題、分析問題、解決問題，搞清問題的內(nèi)涵和外延，提高數(shù)學能力?！白兪接柧殹钡膶嵸|(zhì)是根據(jù)學生的心理特點在設(shè)計問題的過程中，創(chuàng)設(shè)認知和技能的最近發(fā)展區(qū)，誘發(fā)學生通過探索、求異的思維活動，發(fā)展能力。對習題的變式可以從以下幾種不同的角度進行：一、一題多解、一題多變、一題多思、多題一法1、一題多解，培養(yǎng)思維的發(fā)散性 一題多解實際上是解題或證明定理、公式的變式，因為它的實質(zhì)是以不同的論證方式反映條件和結(jié)論問的同一必然的本質(zhì)聯(lián)系，運用這種變式教學，可以引導學生對同一材料，從不同角度、從不同

3、方位、用各種途徑、多種方法思考問題，探求不同的解答方案，這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能夠拓廣學生思路，使學生熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，使思維向多方向發(fā)展，培養(yǎng)思維的發(fā)散性。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。例如：A 已知：點O是等邊ABC內(nèi)一點, OA=4，OB=5，OC=3O 求AOC的度數(shù)。BC 練習：把此題適當變式: 變式1：A 在ABC中，AB=AC，BAC=90°O OA=4，OB=6，OC=2 CB 求AOC的度數(shù)。變式2：如圖,點O是等邊ABC內(nèi)一點,AOB=110°, BOC=135°試問:(1)以O(shè)A、OB、OC為邊能否構(gòu)

4、成一個三角形?若能,請求出三角形各內(nèi)角的度數(shù);若不能,請說明理由.(2)如果AOB的大小保持不變,那么當BOC等于多少度時, 以O(shè)A、OB、OC為邊的三角形是一個直角三角形?AOCB2、一題多變，培養(yǎng)思維的靈活性 一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，是指變換題目的條件或結(jié)論，或者變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，以便從不同角度，不同方面揭示題目的本質(zhì)，用這種方式進行教學，能使學生隨時根據(jù)變化了的情況積極思索，設(shè)法想出解決的辦法，從而防止和消除呆板和僵化，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件，保留結(jié)論；也可以保留條件，改變結(jié)論；或者同時改變條件和結(jié)論；也可以將某項條件與結(jié)論對換等等。例如：已知：C為AB

5、上一點，ACM和CBN為等邊三角形（如圖所示）求證：AN=BM NMQPRBCA（分析：如對此題多做一些引申，既可以培養(yǎng)學生的探索能力，又可培養(yǎng)學生的創(chuàng)新素質(zhì)） 探索一：設(shè)CM、CN分別交AN、BM于P、Q，AN、BM交于點R。問此題中還有其他的邊相等以及特殊角、特殊圖形嗎？給予證明。 探索二：ACM和BCN如在AB兩旁，其它條件不變，AN=BM成立嗎？ 探索三：ACM和BCN分別為以AC、BC為底且頂角相等的等腰三角形，其它條件不變，AN=BM成立嗎？探索四：A、B、C三點不在一條直線上時，其它條件不變，AN=BM成立嗎？ 探索五：A、B、C三點不在一條直線上時，ACM和BCN分別變?yōu)檎叫?/p>

6、ACME和正方形BCNF，其它條件不變，AN=BM成立嗎？這樣教學，不僅提高了學生運用所學知識解決數(shù)學問題的能力，而且培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力，發(fā)展了學生的求異思維。 A練習：（1）如圖，在ABC中，AB=AC，點P是BC邊上任意一點，PEAB于E，PFAC于F，BDAC于D 求證：BD=PE+PFEDFPCB變式1：ABC A變?yōu)榈冗吶切蝖Dh2h1EFBCPA變式2：P在ABC內(nèi) 變式3：P在ABC外ADDGEFhPh3h2h1EFChh1h3h2PGBCB（2）軸對稱：已知直線l及同側(cè)兩點A、B，試在直線l上選一點C，使點C到點A、B的距離和最小。ABl變式1：如圖，請你設(shè)計出兩種方案的路

7、線和最短的行走路線（畫圖并說明理由）方案1：小華由家先去河邊，再去姥姥家；方案2：小華由家先去姥姥家，再去河邊；小華家姥姥家河流小華家姥姥家河流變式2：已知: AB、AC表示兩條交叉的小河, P點是河水化驗室, 現(xiàn)想從P點出發(fā), 先到AB河取點水樣, 然后再到AC河取點水樣, 最后回到P處化驗河水, 怎么走路程最短呢？實驗員小王說:“我從P點筆直向A走, 同時取好兩河水樣再原路返回, 這樣走, 路最近?！被瀱T小吳否定了小王的路線, 提出了自己的想法, 請同學們想一想, 小吳走怎樣的路線？APAPAAA變式3：1cm·PPDBOEBCCBADADCBEECBa變式4：如圖,在定直線X

8、Y外有一點P,試于XY上求兩點A、B,使PA+PB為最短,而AB等于定長a.·PYXPa·P/·XABYa·P/變式5：如圖，在河的兩側(cè)有A、B兩個村莊，現(xiàn)要在河上修一座橋，規(guī)定橋必須與河岸垂直，要使A村到B村的路程最短，問橋應修在何處？(河寬為定長為m)·BabA·解:(1)過B作BCa,且使BC = m;(2)連接AC交b于P; (3)過點P作PQa,垂足為點Q,那么PQ就是橋的位置.Q·BaCPbA·（3）如圖，公路MN和PQ在P點處交匯，且QPN=30°點A處有一所中學，AP=160米，假設(shè)拖拉機

9、行駛時，周圍100米內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪音的影響，請說明理由，若影響，求出影響時間。（拖拉機的速度是12米/秒）NPQAM變式1：如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方300千米處，以10千米/時的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心200千米的范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域。（1）問A城是否受到臺風影響？為什么？（2）若A城受到臺風影響，那么A城受到臺風影響的時間多長？FAB變式2：據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風中心，其中心最大風力為12級，每遠離臺風中心20千米，風力就會減弱一級，該臺風中心現(xiàn)

10、在以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風中心風力不變，若城市所受風力達到或超過四級，則稱為受臺風影響。（1）該城市是否會受到這次臺風影響？請說明理由。（2）若受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力有幾級？ACB3、一題多思，培養(yǎng)思維的獨創(chuàng)性 牛頓說過：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！敝袑W生的想象力豐富，因此，可以通過例題所提供的結(jié)構(gòu)特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維。例如：如圖, 過線段AB的兩個端點作射線AM、BN, 使AMBN, 請照圖思考下列問題, 并證明你的猜想。(1) 

11、8;MAB, ÐABC的平分線AE、BE交于點E, 則ÐAEB是什么角, 并證之。 (2)過E點任作一條直線交AM于D, 交BN于C, 請問線段DE, CE什么關(guān)系, 并證明。(3)請證明: 無論DC的兩個端點在AM、BN上如何移動, 只要DC過點E，AD + BC是個定值。 1、 題型有何特征，解法有何規(guī)律？ 2、 題目有哪些證法，其中哪些方法最簡便？ 3、 題目的幾種證法中，輔助線添置有何規(guī)律？4、 在題目的解決過程中，解題的關(guān)鍵何在？涉及哪些基礎(chǔ)知識？ 5、 在題目的解決過程中，有哪些地方容易發(fā)生錯誤？應注意什么問題？ 通過一題多思，不但能開闊學生的解題思路，而且啟發(fā)

12、學生建立了課本例題，習題之間的聯(lián)系，使學生在做題時做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”。從而培養(yǎng)了學生的應變能力和創(chuàng)造性思維能力。 4、多題一法，培養(yǎng)思維的深刻性初中數(shù)學有很多問題，表面上看相互各異，但實質(zhì)上結(jié)構(gòu)卻是相同的，因而它們可用同一種方法去解答，讓學生演作這樣的題組并作比較，可使學生透表求里，自覺地從本質(zhì)上看問題，從而培養(yǎng)思維的深刻性。例如：（1）一個多邊形除一個內(nèi)角外，其余所有內(nèi)角和等于2200°，則這個多邊形的邊數(shù)為_。（2）一個多邊形所有內(nèi)角與一個外角的和是2380°，則這個多邊形的邊數(shù)為_。 以上兩題表面上看不同，實際是同一道題，應注意引導

13、學生進行對比、消化，促使學生對相通的知識歸納成體系。避免“只見樹木不見森林”的現(xiàn)象。練習： （1）如圖,正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1,任意連接這些小正方形的頂點,可得到一些線段. (1)請在左圖中分別畫出長度為、2、3的線段.(2)已知ABC的三邊長分別為AB=cm、BC=2 cm、AC=3 cm,求ABC的面積.(可以利用右圖,也可以用其它方法)變式：比較大?。号c+（2）勾股定理：1、如圖，一架梯子長2.5米,頂端A靠在墻AC上,梯子下端B與墻角C相距1.5米.(1) 這架梯子的頂端距地面多高?(2)如果這架梯子滑動后停留在DE位置(如圖所示),測得BD長為0.5米,這時梯子頂端下落

14、多少米?AAEBDCBC圖 圖變式：梯子靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離2米，梯子的頂端B到地面的距離為7米，現(xiàn)將梯子的底端向外移動到C，使梯子底端C到墻根O的距離等于3米，同時梯子的頂端B下降至D，那么BD（ ）A、等于1米；B、大于1米；C、小于1米；D、以上結(jié)果都不對。注：把問句略做一下變化，就綜合了二次根式的比較大小的知識點。2、小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為30cm、40cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：_（填“能”、或“不能”）3、有一個長、寬各2米，高3米且封閉的長方形紙盒，一只昆蟲從頂點A要爬到與A點相對的頂點B，那么這只昆蟲爬行的最短路程為（

15、）米。A、3；B、4；C、5；D、6。變式1：一個圓柱的高為36，底面圓的半徑為5，一只螞蟻從上底面的點A處爬到與點A相對應的下底面點B處的最端路程是多少？值取3。變式2：如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是_.變式3：如圖，沿OA將圓錐側(cè)面剪開，展開成平面圖形是扇形OAB.(1) 扇形的弧AB的長與圓錐底面圓周的長是怎樣的關(guān)系？點A和點B在圓錐的側(cè)面上是怎樣的位置關(guān)系？(2) 若角AOB=90°,則圓錐底面圓半徑r與扇形OAB的半徑R之間有怎

16、樣的關(guān)系？(3) 若點A在圓錐側(cè)面上運動一圈后又回到原位，則點A運動的最短路程應該怎樣設(shè)計？若,且AOB=90°,求點A運動的最短路程。5、設(shè)計猜想，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性衡量學生思維水平的最終要素是思維的創(chuàng)造性，即善于探索、突破、創(chuàng)新，能夠發(fā)現(xiàn)和解決自己或別人所未發(fā)現(xiàn)或未解決的問題，要培養(yǎng)這種可貴的品質(zhì)，學生必須占有可供發(fā)現(xiàn)的有價值的材料，但教材在這方面往往存在著缺欠，因為在闡述數(shù)學原理和規(guī)律時，一般都把數(shù)學家們當初的真實發(fā)現(xiàn)過程給抽掉了，這就需要教師彌補這個不足。為此，我們可以利用研究對象的變式，設(shè)計出現(xiàn)隱藏著規(guī)律的材料，去引導學生發(fā)現(xiàn)。例如：昨天在10中聽張老師教學矩形的判定定理1和判定定理2一節(jié)，深有感觸，現(xiàn)時很“流行”的做法是把性質(zhì)定理和判定定理的互逆關(guān)系作為重點和切入點，往往都是先復習性質(zhì)定理，