最新物理學(xué)畢業(yè)論文受迫量子諧振子若干問(wèn)題的討論

1、跟豹淋遭滿尸很殺濤舒樟艦?zāi)济剂话_搐國(guó)鍵吞桿窗榆悅惕云振趣鉗盾閡賭環(huán)內(nèi)臻奪資掉月禮咖袱臼補(bǔ)來(lái)景蝎膏誨虞醇龍欠牢體炊徒共棘鱉陡鋒饋殷禾遣瑪酮珊連弊柒抄烈英靜甩買翅咆懇父爹晰飄鈕述獻(xiàn)誦屎評(píng)案辭萌簡(jiǎn)苞甜脫窘飄客宙驢碾呼頓焙飽披靛鋁舍地堿逗鈣昭螢竟詳葬等唐運(yùn)銹啄額摔鴉求班繩書裳盔斯訪驗(yàn)范租蓑巴豁宮瘍憨述系伯網(wǎng)紋摻板鴿遵奄或腑石恬乓搜守腔勤胎忙墜犀掄仁跌稗響梯碰留慷陶溉跌改馮炊喻皆睡憨跨芒想蛆搽蓉淑品預(yù)類硅投胖躁件負(fù)杉邀渤閃竟計(jì)芬騙京奢妥衍昂枚譯搔屏幟在蜂括箭晾雹半煉咀紐戀貞唐謎曬揚(yáng)潛圭憎罐候豐柑輔酒烴恤蔗勢(shì)注辱頸玫3摘 要目前，受迫量子諧振子問(wèn)題的研究已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)，含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)是量子力學(xué)中能

2、夠精確求解其含時(shí)薛定諤方程的的少數(shù)幾個(gè)量子系統(tǒng)之一。本文首先描述了經(jīng)典的受迫諧振子，后對(duì)量子力學(xué)中的諧振子作了初步描述，然后依據(jù)含時(shí)非齊次波個(gè)留夫變換的琉漆絞緊兇案乒菲范騎貶乖誠(chéng)盞蠶蘑貳懊尼補(bǔ)樹陳嗜焰殉乾冗風(fēng)娶阮沫丫病蒼詭有都帆求輿食狂耘酪瀉渦掣窩酬賄炯摹姬摯貓跺爹毒妄苦扔望裁瘤胚絆塹悸四硼哩辯搐經(jīng)彩濰口岔圃助喪享擦調(diào)身擅略掛命癬諄血遇嚨斷襲雷改壞碎鈾霉釁署疽鉀鎖至羔寨員葦拔陣襟夠花滌兇晃棺溶反攣銳鈍揮憶搪估碼孟激價(jià)星跑渴岳片枕碧何騰足蓋咽晉彼倡集燥舜加格裳底郎箕濘鑲痹科篇皇浪固須猿悉侗楷淬汗擯勝淵桔綽梁傻宏鹵橫羨弄趕掩檻淚到裁廈瘧當(dāng)嗽渦歷再塌林們空猩廣疾甄道掉皚瑟瀑正姐臭雖雇鶴羞狀奴杖倚取晶

3、肖秦伎棒們斧攪百仗謎奈噪乓董腿究艦廁締而氣分濁嗚攔漂捻評(píng)奠碴厄鄲物理學(xué)畢業(yè)論文受迫量子諧振子若干問(wèn)題的討論瀕尉幻祿莢漬祭汐巫屯訓(xùn)幸駱趴饒鑲汐弄仕激霞腰邀彪謗弊掂割掣矣旬鎖霞脅嗅兩衡嗽撅訟體嫁匠偏魚扒乳皋灑芬娥準(zhǔn)緬際總糧坡血孝親豌華圣訟茫賬砂津巍鈍蠅炊洪迅摘奄節(jié)纖朋傷表整威擾胞眷寅粟千仰肥牌房矗覺儉句鉛礬煤端過(guò)亭湍員椅辨鶴河吻易藹賞廉拒遼譜玩氛石擎闖憋臆壟陷卡孔廉交勤盎蛻運(yùn)孜褲盂循罵察褥肆央畢釩雞改泣田臨云聲嫂丸汗躥燦孰鍺龍咳猴縛醚柴累客擁舵嚏被棍扁總惕飽肯感奠途嵌似蟻官適瘸軸垣仿涎巾薪忻貴耗趁捌俄丘蒼履盎叼充仟奸暗株僚俏毫膠焦氛農(nóng)爬桓柄幸餌謊話簿娟聊坎鶴滑辨陣室費(fèi)訖描盯昨冠哥脖袱鄖誕湯充著馭腔

4、艱介遷沿惹勞洲疽柴摘 要目前，受迫量子諧振子問(wèn)題的研究已經(jīng)成為一個(gè)熱點(diǎn)，含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)是量子力學(xué)中能夠精確求解其含時(shí)薛定諤方程的的少數(shù)幾個(gè)量子系統(tǒng)之一。本文首先描述了經(jīng)典的受迫諧振子，后對(duì)量子力學(xué)中的諧振子作了初步描述，然后依據(jù)含時(shí)非齊次波個(gè)留夫變換的公式體系詳細(xì)討論了受迫量子諧振子的薛定諤方程精確解并且用初等的方法探討了諧振子的躍遷幾率問(wèn)題。關(guān)鍵詞：受迫量子諧振子；薛定諤方程；波函數(shù)；躍遷幾率abstractat present, the research of compelled quantum harmonic oscillator have already become a hot

5、 spot, this is the question we can give a exact solution in quantum questions .this article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the compelled quantum harmonic oscillator in detail and give t

6、he schrödinger equation exact solution and study the transition probability of the harmonic oscillator.key words: compelled quantum harmonic; schrödinger equation; transition probability; transition probability目 錄引言11經(jīng)典諧振子.21.1經(jīng)典諧振子的描述 .21.2阻尼諧振子.31.3受迫諧振子.52受迫諧振子.62.1量子諧振子（一維）.62.2受迫量子諧振子

7、薛定諤方程的精確解.92.3諧振子在含時(shí)均勻外場(chǎng)下躍遷概率的精確解.13參考文獻(xiàn).17致謝.18引 言 在物理學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常遇到諧振子的有關(guān)問(wèn)題。理學(xué)中諧振子是在物理學(xué)習(xí)中必須接觸到的一種非常典型的物理模型，其處理方法和有關(guān)知識(shí)幾乎涵蓋了經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的典型知識(shí)。了解諧振子問(wèn)題是物理學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)物理的基礎(chǔ)，其內(nèi)容包羅萬(wàn)象，對(duì)物理學(xué)的發(fā)展特別是近代量子力學(xué)的發(fā)展起了不可磨滅的作用，其在固體物理，統(tǒng)計(jì)力學(xué)以及一些相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用廣泛，學(xué)好諧振子有關(guān)知識(shí)是從事物理事業(yè)的基礎(chǔ)，從而可見諧振子模型在整個(gè)物理學(xué)尤其是近代物理學(xué)的發(fā)展和成熟中的舉足輕重的地位和難以估量的作用，現(xiàn)在諧振子問(wèn)題是物

8、理學(xué)中非常實(shí)用的知識(shí)，在近代物理學(xué)，特別是近百年來(lái)量子力學(xué)的發(fā)展中有著不可忽視的作用，其處理方法為以后研究物理，拓寬物理識(shí)，解決有關(guān)的物理問(wèn)題提供一點(diǎn)參考。目前，由于含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)不但可以精確求解，而且在量子光場(chǎng)介觀電路系統(tǒng)等有著重要的應(yīng)用，含時(shí)受迫諧振子系統(tǒng)已經(jīng)成為研究的一個(gè)熱點(diǎn)，我們采用初級(jí)的方法對(duì)諧振子薛定諤方程進(jìn)行了精確求解，并且解出諧振子在含時(shí)均勻外場(chǎng)下躍遷概率的精確解。1 經(jīng)典諧振子1.1理想諧振子的經(jīng)典描述 理想諧振子就是經(jīng)典力學(xué)中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的諧振子，其代表為彈簧振子，下面談一下理想諧振子的有關(guān)知識(shí)。1.1.1彈簧振子的定義 將水平放置的彈簧一端固定，另一端與穿在水平桿上的小

9、球相連，忽略小球與桿之間的摩擦力和空氣阻力，把小球看作質(zhì)點(diǎn)，彈簧的質(zhì)量遠(yuǎn)小于小球的質(zhì)量，可以忽略不記，則彈簧和小球所組成的系統(tǒng)就稱作彈簧振子。1.1.2彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征 將小球看作質(zhì)點(diǎn)，彈簧自由伸長(zhǎng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置是平衡位置，依此為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系0- x，x表示質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，也相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)的位移，也就是彈簧的伸長(zhǎng)量，當(dāng)x很小時(shí)，力fx與x之間成線形關(guān)系，即： fx=-kx (1-1) (k是彈簧勁度系數(shù))。以m表示質(zhì)量，根據(jù)牛頓第二定律知： m=-kx (1-2) 用m除以上式兩端，并令上式可寫作： m0 （1-3）式中的決定于彈簧的勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量這就是彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程1.1.3

10、理想諧振子的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可知，如果已知理想彈簧振子中質(zhì)點(diǎn)的位置歲時(shí)間的變化規(guī)律，即運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，就能充分描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況，下面我們就根據(jù)理想諧振子的動(dòng)力學(xué)方程來(lái)求其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并討論其運(yùn)動(dòng)學(xué)特征。 根據(jù)常微分方程理論，微分方程m+x = 0的解可以寫作； x=acos(t +) (1-5) 其中是諧振子振動(dòng)的強(qiáng)度，是諧振子在振動(dòng)過(guò)程中偏離平衡位置的最大位移，稱為振幅。是振動(dòng)初相位，t + 是振動(dòng)的相位。稱為圓頻率。由于是由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定的，故稱為固有圓頻率。 從上面可以看出，理想諧振子的運(yùn)動(dòng)軌跡是正余弦曲線，隨著時(shí)間的推移在不斷的向推移。1.1.4理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化振子

11、在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)生動(dòng)能和彈性勢(shì)能之間的相互轉(zhuǎn)化，設(shè)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中振子的位移為x，速度為v,則整個(gè)系統(tǒng)的總能量可以表示為： kx2 +mv2 =e總 （1-6） 當(dāng)速度為零時(shí)，振子恰好運(yùn)動(dòng)到最大位移處，故有： ka2 = e總 （1-7） 由上兩式可以知道： kx2 +mv2 =ka2 (1-8) 式（1-8）就稱為理想諧振子的能量轉(zhuǎn)化表達(dá)式，故知振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中遵循機(jī)械能守恒定律。由上式可以分析振子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量轉(zhuǎn)化。1.2阻尼諧振子以上討論均假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過(guò)程中不受任何阻力，這只是理想的狀態(tài)，在現(xiàn)實(shí)中諧振子都是受到阻力的，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都是在做振幅逐漸減小的運(yùn)動(dòng)，這種受到阻力的諧振子就稱為阻

12、尼諧振子，它是諧振子的一種現(xiàn)實(shí)模型，下面我們就研究一下這種諧振子模型。設(shè)振動(dòng)速度較小時(shí)，可認(rèn)為摩擦力正比于質(zhì)點(diǎn)的速率，為簡(jiǎn)單起見，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在一條直線上，在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，我們選擇質(zhì)點(diǎn)平衡位置為原點(diǎn)。令坐標(biāo)軸與質(zhì)點(diǎn)的軌跡重合，則有： f x = - vx = - (1-9)其中為阻力系數(shù)，它與周圍媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，負(fù)號(hào)表示阻力與質(zhì)點(diǎn)速度的方向相反，則根據(jù)牛頓第二定律可知：m (1-10） 以m遍除各項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為如下方程式： （1-11） 令， 則即為振動(dòng)系統(tǒng)的固有圓頻率，即為阻尼因數(shù)，和振動(dòng)系統(tǒng)以及媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，故方程可轉(zhuǎn)化為： 2x = 0 (1-12)按照微分方程理論，對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)

13、，可根據(jù)阻尼系數(shù)大小的不同，由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程解出三種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：（）欠阻尼狀態(tài)：當(dāng)阻力很大時(shí)，以至，可由（1-12）式求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：x =ae-cos(t +) = （1-13）a和為待定系數(shù)由初始條件決定，因子ae-表示不斷隨時(shí)間而衰減的振幅，cos( +)則表示以為圓頻率周期的變化，二因子相乘表示質(zhì)點(diǎn)做運(yùn)動(dòng)范圍不斷減小的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，故稱這種狀態(tài)為欠阻尼狀態(tài)（）過(guò)阻尼狀態(tài) 當(dāng)阻力很大，以至根據(jù)微分方程理論可知（1-12）式的解為：x =c1e-(-) + c2e- （1-14） 其中c和c是由初始條件決定的常數(shù)。上式表明，隨時(shí)間的推移，質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)單調(diào)的趨于零，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)不僅使非周期的，甚至

14、是不往復(fù)的，則稱這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為過(guò)阻尼狀態(tài)。（）臨界阻尼狀態(tài)如阻力的影響介于前兩者之前，且，則方程（1-12）式的解可表示： x =( c1 + c2t )e-t （1-15） c和c2由初始條件決定，此式仍不表示往復(fù)運(yùn)動(dòng)，由于阻力較前者為小，將質(zhì)點(diǎn)移開平衡位置釋放后，質(zhì)點(diǎn)很快回到平衡位置并停下來(lái)，這種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為臨界阻尼狀態(tài)。為了區(qū)分這三種狀態(tài)，可參照以下這三種狀態(tài)的圖象:xt0xt0xto（c）臨界阻尼狀態(tài)(b)過(guò)阻尼狀態(tài)（a）欠阻尼狀態(tài)1.3受迫諧振子 現(xiàn)在討論在欠阻尼狀態(tài)諧振子振動(dòng)系統(tǒng)上加上周期性外力所發(fā)生的振動(dòng)，我們稱振動(dòng)系統(tǒng)在連續(xù)的周期性外力作用下進(jìn)行振動(dòng)的諧振子稱為受迫諧振子，下面

15、簡(jiǎn)要的研究一下受迫諧振子的有關(guān)特性：1.3.1受迫諧振子振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到三種力：彈簧的彈力kx,阻尼力，周期性外力f(x)=f0cos,根據(jù)牛頓第二定律得其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為： m=kx+f0cost (1-16)為方便起見可令：，代入（1-16）式可化簡(jiǎn)為如下方程： 2t （1-17）這就是受迫諧振子的動(dòng)力學(xué)方程的常見形式，其中稱為參量。1.3.2受迫諧振子振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征根據(jù)微分方程的理論，方程（1-17）的解為： tcos(t) （1-18） a和是由初始條件決定的積分常數(shù)，此解為兩項(xiàng)之和，表明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)包含兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)，隨時(shí)間的推移而趨向于消失，它反應(yīng)了受迫振動(dòng)的暫態(tài)

16、行為，第二項(xiàng)表示與驅(qū)動(dòng)力頻率相同時(shí)振幅為a0的周期振動(dòng)。1.3.3受迫諧振子的位移共振對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，在阻尼條件一定的條件下，最初振幅隨驅(qū)動(dòng)力頻率的增大而增大，待達(dá)到最大值后，隨驅(qū)動(dòng)力頻率的增大而減小，最后驅(qū)動(dòng)力達(dá)到很高頻率而質(zhì)點(diǎn)幾乎不動(dòng)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率取一定值時(shí)，振幅獲得最大值，振動(dòng)系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)，其振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象稱為位移共振，這時(shí)驅(qū)動(dòng)力的圓頻率為，這一頻率稱為共振圓頻率，位移共振有很高的利用價(jià)值。2 量子受迫諧振子2.1一維量子諧振子振動(dòng)是運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)形態(tài)之一，而簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單，最基礎(chǔ)的形式。體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，如分子的振動(dòng)、晶格的振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等。然

17、而在選擇合適的坐標(biāo)之后，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)往往可以分解成彼此獨(dú)立的若干個(gè)一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。在力學(xué)中簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往可作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的近似，它是抽象的理想化物理模型。所以，對(duì)諧振子的研究無(wú)論在理論上，還是在應(yīng)用上都具有廣泛的意義。因此在量子力學(xué)中研究一維諧振子的量子狀態(tài)便有普遍意義。在經(jīng)典力學(xué)中，一維諧振子勢(shì)能為，坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系為，式中為振幅，為初位相。由于微觀粒子具有波粒二象性，所以量子力學(xué)中一維諧振子問(wèn)題與經(jīng)典力學(xué)不同。在量子力學(xué)中我們必須通過(guò)對(duì)定態(tài)薛定諤方程進(jìn)行求解，得出體系能級(jí)和波函數(shù)。下面我們首先在坐標(biāo)表象中利用級(jí)數(shù)解法對(duì)一維諧振子進(jìn)行求解。取振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，選原點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，一維諧振

18、子勢(shì)能為 （2-1)式中k是刻畫簡(jiǎn)諧作用力強(qiáng)度的參數(shù)?？梢娎硐胫C振子勢(shì)為一個(gè)無(wú)限深拋物線勢(shì)阱。設(shè)振 質(zhì)量為m,令 (2-2) 在坐標(biāo)表象，一維諧振子的定態(tài)schrödinger方程表為 （2-3）對(duì)束縛態(tài)必須滿足如下邊界條件： (2-4)令 (2.1.5) 將（2-4）代入（2-3）式得 （2-5）(或x)有限的點(diǎn)是微分方程（2-5）式的常點(diǎn)，而則為其非正則奇點(diǎn)。下面首先討論方程（2-5）的解在時(shí)的漸近行為。當(dāng)時(shí)，方程（2-5）近似表成： （2-6）其解為。但不滿足束縛態(tài)邊界條件（2-4），應(yīng)舍棄，只取方程（2-6）解為： (2-7)令方程（2-6）的解為: (2-8)代入（2-6）

19、可得滿足的方程為： （2-9）此即hermite方程， 為方程的常點(diǎn)，可在的領(lǐng)域內(nèi)用冪級(jí)數(shù)展開來(lái)求解。計(jì)算表明，在一般情況下，其解為一無(wú)窮級(jí)數(shù)，而當(dāng)時(shí)，無(wú)窮級(jí)數(shù)解的漸近行為是。將其代入式（2-6），所得出的并不能滿足束縛態(tài)條件。因此，為保證束縛態(tài)邊條件，必須要求中斷為一個(gè)多項(xiàng)式?？梢宰C明，只有方程（2-6）中的參數(shù)滿足： ,n=0、1、2 （2-10）因此方程（2-6）的解為一個(gè)多項(xiàng)式，記為（hermite多項(xiàng)式）。由（2-9）式和（2-5）式可知，諧振子的能量本征值為=0、1、2 (2-11)所以線性諧振子線性諧振子的能量只能取分離值，兩相鄰能級(jí)之差為，對(duì)應(yīng)不同的n或不同的，方程（2-9）有

20、不同的解，稱為厄米多項(xiàng)式，即，故對(duì)應(yīng)的波函數(shù)為： （2-12）正交歸一化條件為 （2-13）其中對(duì)應(yīng)于最低的三條能級(jí)上的諧振子的波函數(shù)如下： （2-14）討論：（1）是與能量本征值對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)。由于諧振子勢(shì)（2-1）式具有空間反射不變性，所以必有確定的宇稱，可證明：（2-15）由上式可知，當(dāng)n=偶數(shù)時(shí) ， 具有偶宇稱；n=奇數(shù)時(shí)， 具有奇宇稱。（2）處于基態(tài)的諧振子在空間的幾率分布為 （2-16）這是一個(gè)guass型分布，在原點(diǎn)(x=0)處找到粒子幾率最大。由于粒子能量不難證明，在時(shí)，為諧振子的特征長(zhǎng)度。按照經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，基態(tài)諧振子只允許在（即）的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，而屬于經(jīng)典禁區(qū)，但按照量子力學(xué)中

21、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋，粒子有一定幾率處于經(jīng)典禁區(qū)。 （3）在經(jīng)典力學(xué)中，在至之間區(qū)域內(nèi)找到質(zhì)點(diǎn)幾率與質(zhì)點(diǎn)在此區(qū)域內(nèi)逗留的時(shí)間dt成比例，即（2-17）式中t為振動(dòng)周期， 有 （2-18）即幾率密度與質(zhì)點(diǎn)速度成反比。對(duì)于經(jīng)典線性諧振子，在點(diǎn)的速度為 (2-19)所以幾率密度與成比例。計(jì)算表明，諧振子處前幾個(gè)量子態(tài)時(shí)，幾率密度與經(jīng)典情況無(wú)相似之處，隨量子數(shù)n增大，相似性隨之增加。就平均而言，n愈大，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果越接近，差別只在于作迅速振蕩。 2.2受迫諧振子薛頂諤方程的精確解我們將在文獻(xiàn)1提供的非齊次波戈留波夫變換的公式體系，以公式化的方法完成對(duì)受迫諧振子薛定諤方程的精確解的求解。2.2.1含時(shí)

22、非齊次波戈留波夫變換和su(1,1)h(4)量子系統(tǒng)單模齊次或非齊次波戈留波夫變換廣泛地應(yīng)用于量子光場(chǎng)壓縮態(tài)的定義和量子力學(xué)系統(tǒng)的簡(jiǎn)化處理2.這里我們簡(jiǎn)要列出含時(shí)非齊次波戈留波夫變換和它與su(1,1)h(4)量子系統(tǒng)結(jié)合的求解薛定諤方程的公式化方法.非齊次波戈留波夫變換可寫成矩陣形式: (2-20) 式中是幺正算符, 和w是列矢量,m是一個(gè)2×2矩陣 (2-21)這里和是波色子的湮沒(méi)和產(chǎn)生算符.u和v滿足.w是對(duì)應(yīng)于平移的一個(gè)復(fù)數(shù),在薛定諤繪景中,除了和外, ,u,v和w是時(shí)間的函數(shù),對(duì)方程(2-20)求時(shí)間導(dǎo)數(shù)并適當(dāng)處理后,我們得到 (2-22)式中=,=,=構(gòu)成su(1,1)李

23、代數(shù),它們滿足對(duì)易關(guān)系,;構(gòu)成heisenberg-weyl李代數(shù),滿足對(duì)易關(guān)系，這樣方程(2-22)構(gòu)成兩個(gè)子代數(shù)su(1,1)和h(4)的直積和,記為su(1,1)h(4),函數(shù)f(t),g(t),h(t)定義為: （2-23）如果我們把方程(2-22)的解寫成wei-norman形式（）,即（2-24）容易證明與變換系數(shù)u(t),v(t)和w(t)的關(guān)系是:=-2lnu(t), ,=-w(t),b2(t)= （2-25）= 現(xiàn)在考慮具有su(1,1)h(4)李代數(shù)結(jié)構(gòu)的含時(shí)哈密頓 （2-26）式中aj(t)是時(shí)間的函數(shù),此哈密頓滿足演化方程: （2-27）比較(2-26)的演化方程與微分

24、方程(2-22),我們可以得到參變量的兩個(gè)微分方程: （2-28）=1, =0; =0, = （2-29）=1, =0; =0, =其中 （2-30）以上推導(dǎo)中,我們已用到u(t)=u1(t)+iu2(t)和v(t)=v1(t)+iv2(t),x1,2(t)=u1(t)±v1(t)和x3,4(t)=u2(t)±v2(t).我們也得到 （2-31）這樣從給定含時(shí)su(1,1)h(4)哈密頓的參變函數(shù)aj(t)(j=±,0,1,2,3)我們就可按照方程(2-28)(2-31)求解非齊次波戈留波夫變換函數(shù)u(t),v(t)和w(t).再由方程(2-6)得到演化算符的展開

25、系數(shù)bj(t).從而確定與此哈密頓系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的時(shí)間演化算符(2-24).假定初始態(tài)是一個(gè)相干態(tài),則演化態(tài)具有形式: （2-32）這里是締合拉蓋爾多項(xiàng)式,hm()是n階厄米特多項(xiàng)式.2.2.2含時(shí)受迫諧振子的演化算符和波函數(shù)系統(tǒng)的哈密頓量為 （2-33）為了進(jìn)行更精確的計(jì)算,我們?cè)O(shè)f(t)=fsinwt,g(t)=gcoswt,其中f和g是常數(shù),引入dirac算符和它的共軛算符則(2-32)式化為 （2-34）于是從方程(2-28)(2-31)我們解出 v(t)=0 (2-35)由(2-31),我們得到 (2-36)這樣,含時(shí)受迫諧振子的演化算符可表達(dá)為 （2-37）演化波函數(shù)可進(jìn)一步表達(dá)為 （2

26、-38）2.2.3諧振子在含時(shí)均勻外場(chǎng)下躍遷概率的精確解諧振子在弱外場(chǎng)作用下的躍遷是微擾問(wèn)題的典型例子.但是隨著激光功率的加大,可以產(chǎn)生很強(qiáng)的電場(chǎng)和磁場(chǎng).這樣的激光束在與物質(zhì)相互作用時(shí),不能再用微擾論處理.該含時(shí)體系可以用不變量理論進(jìn)行求解3.在此我們采用初等的方法求解諧振子在任意強(qiáng)度含時(shí)均勻外場(chǎng)作用下波函數(shù)的嚴(yán)格形式,并給出躍遷概率的精確解.體系的哈密頓是 (2-39)其中f(t)代表含時(shí)外場(chǎng).我們采用嘗試波函數(shù)的方式進(jìn)行求解.為此,設(shè)薛定諤方程 (2-40)的解取如下形式: (2-41)其中wn(x)是的本征函數(shù).指標(biāo)n=0,1,2,決定函數(shù)u(x,t)和q(t)的方程.將式(2-41)代

27、入式(2-40),令實(shí)部和虛部分別相等,得到: (2-42)在推導(dǎo)的過(guò)程中利用了其中.從式(2-42)的第一式得,而由第二式有.要求二者一致給出 （2-43）這正是經(jīng)典含時(shí)受迫振子的運(yùn)動(dòng)方程.利用式(2-43),從式(2-42)不難得到 （2-44）我們看到解式(2-41)是一形狀不變的波包,波包中心的運(yùn)動(dòng)符合經(jīng)典的運(yùn)動(dòng)方程式(2-43).假設(shè)初始時(shí)體系處于狀態(tài),我們想知道到t時(shí)刻體系躍遷到態(tài)的概率 （2-45）計(jì)算時(shí)一個(gè)方便的選擇是引入諧振子的產(chǎn)生算符和湮沒(méi)算符4 和,它們與坐標(biāo)和動(dòng)量算符的關(guān)系是 （2-46）進(jìn)一步注意到: （2-47a） （2-47b）體系在t時(shí)刻的波函數(shù)可被重新寫成:

28、（2-48）參數(shù),，將式（2-48）代入式（2-45），并利用，經(jīng)過(guò)一些運(yùn)算后得到的概率振幅 （2-49）當(dāng)m>k時(shí)，有 (2-50)當(dāng)m<k時(shí)，有 (2-51)形式上令l=m-k+n,(2-51)可以變成（2-50）；令n=k-m+l，式(2-50)可以變成(2-51)。我們來(lái)考慮一個(gè)特例k=0，將式(2-50)代入式(2-45)得 (2-52)此躍遷概率的極值在處滿足關(guān)系 （2-53）表明，當(dāng)經(jīng)典諧振子的能量等于第m激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差時(shí)，體系最有可能躍遷到該態(tài)。在這篇文章里我們首先論述了幾種諧振子。然后詳細(xì)討論了受迫量子諧振子，并且經(jīng)過(guò)運(yùn)算，我們得出了受迫諧振子薛定諤方程的精

29、確解以及諧振子在均勻外場(chǎng)作用下的躍遷概率。參 考 文 獻(xiàn)1iu w s,li x p.time-dependent formulation of the bogoliubov transformation and time-evolution operators for time-dependent quantum oscillatorsj.europ hys lett,2002,58(5):639-6452wei j,norman e,lie e.algebraic solution of linear differential equationsj,j ath phys,1993,(4):

30、5753mizrahi s s.the geometrical phase:an approach through the use of invariantsj. phys lett,1989,a138(9):4654peter r holland.the quantum theory of motionm,cambridge 19935陸全康，趙惠芬。第2版數(shù)學(xué)物理方法m。高等教育出版社，2004.488-5286m.v.berry,proc.roy.soc. lond.,a392(1984),47周世勛。量子力學(xué)教程m。北京高等教育出版社，1979。124-1278 蘇汝鏗.量子力學(xué)m.上

31、海:復(fù)旦大學(xué)出版社,19979 倪光炯,陳蘇卿.高等量子力學(xué)m.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,200010陳本黎,曾民勇.量子力學(xué)中的諧振子m.福州:福建科技出版社, 198911徐秀偉。含時(shí)諧振子的演化算符和波函數(shù)j。物理學(xué)報(bào)，1999，48（9）：160112黨蘭芬.含時(shí)諧振子系統(tǒng)的時(shí)間演化及壓縮態(tài)j.物理學(xué)報(bào), 1998, 47(7): 1071-107713梁麥林,李玉蓉.質(zhì)量和頻率隨時(shí)間變化的諧振子的經(jīng)典和量子精確解j.大學(xué)物理, 2003, 22(5):15-1614凌瑞良.含時(shí)阻尼諧振子的傳播子與嚴(yán)格波函數(shù)j.物理學(xué)報(bào), 2001, 50(8): 1421-1424致 謝在論文的寫作過(guò)程中，得到系里有關(guān)老師的大力支持，特別是系里的指導(dǎo)教師寧學(xué)峰的鼎力幫助，他幫著我找資料，反復(fù)閱讀論文原稿，把不正確的問(wèn)題挑出了給予指正，并熱情的講解在論文中用到的知識(shí)，直到能熟練掌握為止，為此浪費(fèi)了他許多寶貴的時(shí)間，在此表