高等數(shù)學課件：D6_8 直角坐標系下二重積分的計算

1、高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 二重積分的計算 第六章第六章 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期第八節(jié)第八節(jié)直角坐標下二重積分的計算 第六章第六章 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期二二重重積積分分殊殊的的劃劃分分方方法法計計算算方方法法無無關(guān)關(guān)！故故可可以以取取特特則則積積分分值值與與劃劃分分的的上上可可積積在在設設,),(Dyxfxyoxdxx ydyy dxdyd 一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直

2、角坐標系計算二重積分高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期xyoab)(1xy )(2xy 先討論積分區(qū)域為：先討論積分區(qū)域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(2x ,ba)(1x 一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分X型型xyoab)(1xy )(2xy X型區(qū)域的特點：型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期 dbax 設曲頂柱的底為設曲頂柱的底為12

3、( , )( )( )axbDx yxyx 任取任取平面平面故曲頂柱體體積為故曲頂柱體體積為( , )dDVf x y 截面積為截面積為21( )( )( , )dxxf x yy ( )dbaA xx 截柱體的截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD- 先對先對 y 積分，后對積分，后對 x 積分的積分的二次積分二次積分 ( , )0f x y 假假定定( , )zf x y 以以曲曲面面為曲頂為曲頂0 , ,xa b 0 xx 2010()00()()(, )dxxA xf xyy 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例1 計算計算, Dxyd 其中其中 是

4、由直線是由直線D2, 1 xy及及xy 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.解解如圖如圖, 將積分區(qū)域視為將積分區(qū)域視為 型型, XdxxydyxydxD 211 dxyxx12122 .81148222124213 xxdxxxxyo121y =x:D 1yx12x高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期21( )( )( , ) ( , )dycyDf x y df x y dxdy 如果積分區(qū)域為：如果積分區(qū)域為：,dyc ).()(21yxy Y型型xyocd)(1yx )(2yx xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( Y型區(qū)域的特點

5、：型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.- 先對先對 x 積分，后對積分，后對 y 積分的積分的二次積分二次積分高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例1 計算計算, Dxyd 其中其中 是由直線是由直線D2, 1 xy及及xy 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.另解另解 如圖如圖, 將積分區(qū)域視為將積分區(qū)域視為 型型, Y Dxyd 2142213822 yydyyy221yxydx dy .811 22212yxydy xyo21x = y2:D 2yx12y高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學14

6、1、142 第二學期第二學期oxy(1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域( , )d dDf x yxy 為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyy21( )( )( , )dxxf x yy dbax 21( )( )( , )dyyf x yx ddcy (2) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成可將它分成1D2D3D若干若干X-型域或型域或Y-型域型域 , 123DDDD則則 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第

7、二學期例例2 將將dxdyyxf ),(D 化為二次積分化為二次積分其中其中 D 由直線由直線4 , 2 , 2 , yyxyxy圍成圍成xyo24624xy 2 xy解解1：先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 D D 是是 Y型型將將 D 向向 y 軸投影軸投影2424: 2yDyxy 于是，于是， dxdyyxf ),(Ddxyxfyy ),(2 42 dy高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期xyo24624xy 2 xy解解 2：D1 、 D2是是 X型型將將 D 向向 x 軸投影軸投影26.21DDD 于是于是dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),(

8、),(21DDD dyyxfx ),(2 42 dx41D2D124: 2xDyx 246: 24xDxy dyyxfx ),(42 64 dx高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例3. 計算計算dDxy 其中其中D 是拋物線是拋物線所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:D dxyx dDxy 21dy 2222121dyyx yy 22511 (2) d2y yyy Dxy22 xy214oyxy22yxy12y 2y2y 及直線及直線則則 2yx 2yx 43262141224361yyyy 458

9、高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例4.計算計算解解2.:11, 01.Dyx dDxy 其其中中1D2D3D先去掉絕對值符號，如圖先去掉絕對值符號，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例5 計算積分計算積分 ，其中，其中D是由不等是由不等式：式： 所確定的長方形區(qū)域所確定的長方形區(qū)域.2cos()d dDxyxyx y 0,022xy解解 這題可以不必畫積區(qū)域這題可以不必畫積區(qū)域.分析被積函數(shù)可知分析被積函數(shù)可知2cos

10、()d dDxyxyx y 222001sin()d2xyx 201sin4 d2x x 如先對如先對x積分，需用分部積分法積分，需用分部積分法. 如先對如先對y積積分則不必，計算會簡單些分則不必，計算會簡單些.因此，我們選擇因此，我們選擇先對先對y積分，即積分，即22200dcos()dxxyxyy0 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期.1, 2所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域及及雙雙曲曲線線 xyxyx是是由由直直線線其其中中計計算算例例DdyxD ,122 選選擇擇兩兩種種積積分分次次序序計計算算畫畫出出積積分分區(qū)區(qū)域域,Dxxo12xy 2 x1 xyDyxy 后后對對

11、先先對對 ,)1( xyxDx121: xxDdyyxdxdyx1222122 49)(213 dxxx例例5. 解解 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期yx 后后對對先先對對 ,)2(2 x1D2D221yy1xy 1 xyxoy2須須分分段段表表達達！的的左左邊邊界界注注意意：)(1yxxD 即即21DDD 21121:1xyyD 221:2xyyD高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期 Ddyx 22dyyydyyy)31138()131138(21251212 212221212122yydxyxdydxyxdy49 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化

12、學141、142 第二學期第二學期例例5. 計算計算sind d ,Dxx yx 其中其中D 是直線是直線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X 型域型域 :0:0 xDyx sind dDxx yx 0dxy 0sindxx 2 0sindxxx 先對先對 x 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.,0yx yx cos0 x 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期交換積分次序的步驟：交換積分次序的步驟：1.對給定的積分限畫

13、出積分區(qū)域；對給定的積分限畫出積分區(qū)域；說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.2. 根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序重新確定根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序重新確定積分區(qū)域；積分區(qū)域；3. 寫出結(jié)果寫出結(jié)果高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例6. xyo11xy 1 xdyyxfdx1010 ),( . ),( 1010 ydxyxfdy于是于是高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例7. 交換下列積分順序交換下列積分順序2222 2820020d( , )dd(

14、 , )dxxIxf x yyxf x yy 解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:1202:,0/ 2xDyx 228xy 2D2 2yxo21D221xy 22222 2:08xDyx 12DDD:D 視為視為Y型區(qū)域型區(qū)域 , 則則228yxy02y( , )ddDIf x yxy 282( , )dyyf x yx 20dy 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例 8 證明證明,)()()()(000)(dxxfexadxxfedyaxbaayaxb 其中其中 均為常數(shù)均為常數(shù),ba、且且. 0 a證證等式左端二次積分的積分限等式左端二次積分的積分限:0

15、0yaxy 可改寫為可改寫為0 xaxya ，所以，所以()0( )aab xaxdxef x dy dxxfedyayaxb 00)()()0( )aab xaxef xdy dx .)()(0)(dxxfexaaaxb 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例9. 求兩個底圓半徑為求兩個底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積xyzRRo解解: 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為222,xyR利用對稱性利用對稱性, 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為220dRxy 2208()dRRxx 316

16、3R 222xzR22zRx220( , ):0 xRx yDyRx 2208dRRxx D222xyR222xzR228ddDVRxxy 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期xyoDD 位于位于 x 軸上方的部分為軸上方的部分為D1 , (1)( ,)( , )f xyf x y(2)( ,)( , )f xyf x y ( , )dDf x y ( , )d0Df x y 1D在在 D 上上12( , )dDf x y D 關(guān)于關(guān)于x 軸對稱軸對稱則則則則利用對稱性化簡二重積分計算利用對稱性化簡二重積分計算高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期若若

17、D關(guān)于關(guān)于 y 軸對稱軸對稱(1)(, )( , )fx yf x y(2)(, )( , )fx yf x y ( , )dDf x y ( , )d0Df x y 12( , )dDf x y 則則則則xyoD1DD 位于位于 y 軸右方的部分為軸右方的部分為D1 , 在在 D 上上高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期在第一象限部分在第一象限部分, ()Dxy dxdy 1224()Dxydxdy 0 如如D1為為則有則有簡述為簡述為“你你對稱，對稱，我我奇偶奇偶”22:1D xy22()Dxydxdy 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例1

18、0 計算計算 DdxdyyxxfyI,)(122其中積其中積分區(qū)域分區(qū)域 由曲線由曲線 與與 所圍成所圍成.D2xy 1 y解解令令),(),(22yxxyfyxg 因為因為 關(guān)于關(guān)于 軸軸Dy且且),(),(yxgyxg 故故 Ddxdyyxxyf0)(22 DxydydxydxdyI1112.54)1(21114 dxx對稱對稱,oyx1y=x21 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例11求求,22dxdyyxID 其中其中. 1|:| yxD解解 因為因為 關(guān)于關(guān)于 軸和軸和 軸對稱軸對稱,Dxy且且,),(22yxyxf 于于 為偶函數(shù)為偶函數(shù)ydxdyyxI

19、D 1224 1010224xdyyxdx.451)1(341032 dxxx注注: :則要繁瑣很多則要繁瑣很多.D若直接在若直接在 上求二重積分上求二重積分,x關(guān)于關(guān)于 或關(guān)或關(guān)Oxy1 1 11D1高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期例例12. 計算計算其中其中D 由由24,yx3 ,1yx x 所圍成所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令2( , )ln(1)f x yxyy12DDD (如圖所示如圖所示)1,D在在上上(, )( , )fx yf x y 2,D在在上上( ,)( , )f xyf x y 12ln(1)d dDIxyyx y 0

20、22ln(1)d dDxyyx y 4(-1,3)(1,3)2ln(1)d dDIxyyx y 高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）小小 結(jié)結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期計算計算解解: cos()xy20 20 d y20sincos dyyy cossinyy2 20 練習練習12200si

21、n()d dIxyx y 2200dsin()dIyxyx高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期解解),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx ., 10 :2xyxxD練習練習2高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期交換二次積分交換二次積分 的積分次序的積分次序. 102),(xxdyyxfdx解解 題設二次積分的積分限題設二次積分的積分限:, 102xyxx 可改寫為可改寫為:, 10yxyy 所以所以 yyxxdxyxfdydyyxfdx.),(),(10102練習練習3高等數(shù)學高等數(shù)學 化學化學141、142 第二學期第二學期解解 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2設設 21DD),(),( dyxfdyxf .20, 10 :21xxyxD .20,