計(jì)算方法試題集及答案(新)

1、* *1.X 為精確值X的近似值；y* /f x 為一元函數(shù)y1f x的近似值；y f x*, y*為二元函數(shù) y2 f x,y* x* xex*的近似值，請(qǐng)寫出下面的公式：e* x* x :*y1f X*Y *xr y1*y2f x*, y*X*fXX* f X*r X*f X*x*, y *y*y舍入誤差。6位和 74、設(shè) x-i*r y2f x*, y*e x*f x*, y*e y*X*y2y*y22、 計(jì)算方法實(shí)際計(jì)算時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)只能取有限位表示，這時(shí)所產(chǎn)生的誤差叫3、分別用2.718281，2.718282作數(shù)e的近似值，那么其有效數(shù)字分別有位；又取 事 1.73 三位有效數(shù)字，那么

2、V3 1.731 10-221.216恥3.654均具有3位有效數(shù)字，那么 X1X2的相對(duì)誤差限為0.00555、 設(shè)x,1.216X3.654均具有3位有效數(shù)字，那么 為 x的誤差限為0.01。6、近似值Xa2.4560是由真值Xt經(jīng)四舍五入得到，那么相對(duì)誤差限為0.0000204 .7、 遞推公式 y。二旋，,如果取y0 近 1.41作計(jì)算，那么計(jì)算到y(tǒng)10時(shí)，誤差為yn = 10yn-1 -1,n = 1,2,L '1 108 ;這個(gè)計(jì)算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定 .28、精確值 3.14159265 ，那么近似值1*3.141和2*3.1415分別有位和4 位有效數(shù)字。-59、

3、假設(shè)x e 2.71828 x ,那么x有_6位有效數(shù)字，其絕對(duì)誤差限為1/2*10。10、 設(shè)x*的相對(duì)誤差為2%,求x* n的相對(duì)誤差0.02n11、 近似值x*0.231關(guān)于真值x 0.229有2 位有效數(shù)字；12、計(jì)算方法主要研究 截?cái)嗾`差和 舍入誤差；346了使計(jì)算 y 10J 一6亍的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改X 1 X 1 X 1寫為y 10 (3 (4 6t)t)t,t匚，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式.2001, 1999改寫為22001 J99914、改變函數(shù)f(X)(X 1 )的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確15、設(shè)= 2.3149541.，取5位有效數(shù)字，那么所得的近似值

4、x=_2.3150_16、數(shù)e=2.718281828，取近似值x=2.7182,那麼x具有的有效數(shù)字是 4二、單項(xiàng)選擇題：1、舍入誤差是(A ) 產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù) B.模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測(cè)量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值2、 3.141580是n的有(B )位有效數(shù)字的近似值。A . 6 B. 5 C . 4 D. 73、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是(C ) 誤差。A.模型 B .觀測(cè) C .截?cái)?D .舍入x4、用1+ 3近似表示31 X所產(chǎn)生的誤差是(D ) 誤差。A .舍入 B .觀測(cè) C .模型 D .截?cái)?、 -324 . 7500是舍入得到

5、的近似值，它有 (C ) 位有效數(shù)字。A .5 B . 6 C . 7 D . 86、( D )的3位有效數(shù)字是 0.236 X 102。(A) 0.0023549 X 103 (B) 2354.82X 10 2 (C) 235.418(D) 235.54 X 10- 17、取31-732計(jì)算x (J 1f，以下方法中哪種最好？ ( C )16 16(A) 28 16、3 ；(B) (4 2 3 ；( C (4 厶3)? ；(D)(-3 1)4。三、計(jì)算題1. 有一個(gè)長方形水池，由測(cè)量知長為(50 ± 0.01)米，寬為(25 ± 0.01)米，深為(20 ± 0

6、.01)米，試 按所給數(shù)據(jù)求出該水池的容積，并分析所得近似值的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差公式，并求出絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.解：設(shè)長方形水池的長為 L,寬為 W,深為H,那么該水池的面積為 V=LWH當(dāng) L=50,W=25,H=20 時(shí)，有 V=50*25*20=25000(米 3)此時(shí)，該近似值的絕對(duì)誤差可估計(jì)為、，VLVWV VHLWH=WHLHLWLW H相對(duì)誤差可估計(jì)為:而該水池的長、寬和高的數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差滿足L 0.01, W 0.01, H 0.01故求得該水池容積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限分別為V WH L HL W LW H25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127

7、.5027.50250001.1*102.測(cè)量某長方形場(chǎng)地的長a=110米，寬b=80米.假設(shè)a a*0.1米，b b*0.1米試求其面積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.解：設(shè)長方形的面積為s=ab2當(dāng) a=110,b=80 時(shí)，有 s=110*80=8800(米)此時(shí)，該近似值的絕對(duì)誤差可估計(jì)為ssas bab=b aab相對(duì)誤差可估計(jì)為r sss而長方形長、寬的數(shù)據(jù)的絕對(duì)誤差滿足a0.1,b0.1故求得該長方形的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限分別為80*0.1110*0.119.019.088000.002159絕對(duì)誤差限為19.0 ;相對(duì)誤差限為 0.002159。3、設(shè)x*的相對(duì)誤差為2%,求(x*

8、) “的相對(duì)誤差解：由于 f(x) xn,f'(x) nxn 1,故* nn* n 1*(x ) x n(x ) (x x )*故 r * n nx *xn r 0.02n(x ) x4、 計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差為1%問度量半徑R允許的相對(duì)誤差限是多少?解：令V f R 4 R3,根據(jù)一元函數(shù)相對(duì)誤差估計(jì)公式，得4R24_3R33RR 3 R R 1%從而得 R R 3005.正方形的邊長大約為100cm,問怎樣測(cè)量才能使面積的誤差不超過1cm22 2解：da=ds/(2a)=1cm /(2*100)cm=0.5*10- cm,即邊長a的誤差不超過 0.005cm時(shí)，才能保證其面積誤差

9、不超過1平方厘米。6 假設(shè)測(cè)得一個(gè)圓柱體容器的底面半徑和高分別為 試估計(jì)由此算得的容積的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。VVV50.00m和100.00m，且其測(cè)量誤差為0.005m。解：V*V *Vr 2h2 rh(r* r) =2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325r * r=2 =0.0002r第一章插值法一、填空題：1.設(shè) Xj (i=0,1,2,3,4)為互異節(jié)點(diǎn)，l i (X)為相應(yīng)的四次插值基函數(shù)，那么4Xi42lii 0(x4+2).2.設(shè) xi(i=0,1,2,3,4,5)為互異節(jié)點(diǎn)，l i (x)為相應(yīng)的五次插值基函數(shù)554Xi2Xii 01 li X

10、543=x 2x x 13.f (X)2x35,那么 f1,2,3,42, f1,2,3,4,54. f (X)3x2 1,那么 f1,2,3,f1, 2,3,45. 設(shè)3,6.設(shè) f 十訳十張？十1和節(jié)點(diǎn)耳二匕2朮= 612貝弘心=4.7. 設(shè) f 00,f 116, f 246,那么 f 0,116, f 0,1,27 , f x 的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)。8. 如有以下表函數(shù)：0.20.30.4Xif Xi0.040.090.16那么一次差商 f 0.2,0.4 = _06。29、 2、f(1)1，f2，f(3) 1，那么過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式

11、中X的系數(shù)為_-2,1 1拉格朗日插值多項(xiàng)式為L2 xx 2 x 32x1x3 x 1 x 2 ,或2 22x2 9x 810、 對(duì) f(x) x3 x 1,差商 f 0，1,2,3 ( 1 ),f 0，1,2,3,4 ( 0 )；211、 f(1) = 2, f(2) = 3, f(4) = 5.9，那么二次 Newt on 插值多項(xiàng)式中 x 系數(shù)為(0.15 );12、設(shè)f(°) Qf(1)16, f(2)46,那么l1(x) x x 2 , f(x)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為N2(x)16x 7x(x 1)。13、l0(X),l1(X),ln(x)是以整數(shù)點(diǎn) Xo,x1,n'

12、;Xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，貝U |k x =k 0n1，XjjXkk 0n=Xj,，當(dāng) n 2時(shí) k0(x4x'3)lk(x)42(x x 3 )。14、設(shè)一階差商6-142那么二階差商/(帀衛(wèi)勺)二_也一工4 -1615、通過四個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式p(x),只要滿足三階均差為 0,那么p(x)是不超過二次的多項(xiàng)式416、假設(shè) f(x) 3x 2x 1 ,那么差商 f 2,4,8,16,323。二、單項(xiàng)選擇題：1、 設(shè)f (-1)=1, f (0)=3, f (2)=4,那么拋物插值多項(xiàng)式中X2的系數(shù)為(A )A - 0. 5 B . 0 . 5 C . 2 D .

13、-22、 拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(B ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是(C )(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn 1)(x xn),尺(X) f(X)Pn(X)(B)(n 1)(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2.,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn_ 1)(x xn),f(n 1(X00.511.5252.f(X)-2-1.75-10.252254.RnX fxD3、有以下數(shù)表Pn(x)(n 1)!n 1X所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是A oXi11.522.533.5f (Xi)-10.52.55.08.011.5A二次；B三次；

14、C四次；D五次4、由以下數(shù)表進(jìn)行 Newt on插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是D (A) 5 ；(B)4 ；(C)3 ；( D) 2。9、c、kli(k)5、 設(shè)lix是以Xk kk °丄，9為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，那么k 0 A x ； B k ； C i ； D 1o6、由以下數(shù)據(jù)X01234f (x)1243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為A A 4 ；B2；C1；D3三、問答題1什么是Lagrange插值基函數(shù)？它們有什么特性?答：插值基函數(shù)是滿足插值條件有以下性質(zhì)2. 給定插值點(diǎn) 可分別構(gòu)造 Lagrange 插值多項(xiàng)式 和 Newton 插值多項(xiàng)式，它們

15、是否相同？為什么 ? 它們各有何優(yōu)點(diǎn)？答：給定插值點(diǎn)后構(gòu)造的 Lagrange 多項(xiàng)式為Newton 插值多項(xiàng)式為它們形式不同但都滿足條件它 表 明 n 次多項(xiàng)式有 n+1 個(gè)零點(diǎn)， 這與 n 次多項(xiàng)式只有n 個(gè)零點(diǎn)矛盾，與是 相 同 的是用基函數(shù)表達(dá)的，便于研究方法的穩(wěn)定性和收斂性等理論研究和應(yīng)用，但不便于計(jì)算，而 每增加一 個(gè)插值點(diǎn)就增加一項(xiàng)前面計(jì)算都有效，因此較適合于計(jì)算。3. Hermite 插值與 Lagrange 插值公式的構(gòu)造與余項(xiàng)表達(dá)式有何異同？答： Hermite 插值的插值點(diǎn)除滿足函數(shù)值條件外還有導(dǎo)數(shù)值條件比Lagrange 插值復(fù)什一些，但它們 都用 基函數(shù) 方 法 構(gòu)造

16、 ，余 項(xiàng)表 達(dá)式 也相似 ，對(duì) Lagrange 插值 余項(xiàng) 表達(dá) 式為而 Hermite 插 值 余 項(xiàng) 在 有 條 件 的 點(diǎn)后面相因子m+1 個(gè)條件，那么余項(xiàng)中前面因子為改為2 2=2 2x 1 x 23 2x 5 x 13、如有以下表函數(shù)：2x 1 x 22x 2 x 1Xi0 1234f Xi36111827y1試計(jì)算此列表函數(shù)的差分表，并給出它的牛頓插值多項(xiàng)式及余項(xiàng)公式0 x1 x1 xP3 xy° 0 x即可得到Hermite插值余項(xiàng)。四、計(jì)算題1、設(shè)f xx7 5x3 1,求差商f 20,21 , f 20,21,2,f 20,21 丄，28解：f 207, f21

17、169, f 2216705,f 20,21162, f21,228268,f20,21,222702根據(jù)差商的性質(zhì)，得0 J7f 2 ,2 ,L ,27!8f 20,21,L ,288!2、求滿足以下條件的埃爾米特插值多項(xiàng)式y(tǒng)iyi解:根據(jù)條件可求得2x 2x 1 x 2 , 1 x2x x 1 x 2 , 1 x0代入埃爾米特三次插值多項(xiàng)式公式2xy。y。解：查分表如下:Xififi2fi3fi4fi03163211513187104279100N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0 < x< 14、給出In X的函數(shù)表如下：X0.400.5

18、00.600.70ln x一一一一0.9162910.6931470.5108260.356675試用線性插值和拋物插值求In 0.54的近似值。解答線牲插值 ，取主a = 0.= a 6t JQIInO. 54 壬仝 ¥ 彳織(0- 593 147)十J- ?匕 DV0. 54 0-5f 6。 ( 0. 510 8263 = 0 62Q 219氏插值?取矢0. 5»工0- 6 »工$ = 67,得卜Q54°辭陽卜InO. 54 CO, 5 -0, 6X0.5 一 o. n0. 54 鼻 5)(6 51 -0*7),(0, 6 -O, 5)(0* 5 0

19、. 7)，(0. 54 -0- 5(0.54 一 0-鐘X (- G 510 825)十訂 _ 0 5)5十 _ Q. &T %356 675)"一 0*616 838 25.X-112F (x)31-1注1E 壟取 =也4,巧=(k5.藝二0.鶴嘲】nO* £4帀-氏&請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)求f(x)的2次Lagrange插值多項(xiàng)式。解：記Xo所以L2(x)f (Xi)1,Xi 1,X22,那么f (Xo)f (Xo)(X Xi)(X X2)(Xo Xi)(Xo X2)3,f(Xi) 1,f(X2)1(X Xo)(X X2)(Xi Xo)(Xo X2)f(X2)

20、(X Xo)(X Xi)(X2 Xo)(X2 Xi)(X i)(x 2) i (x i)(x 2)(i i)( i 2) (i i)(i 2)(i)(x i)(x i)(2 i)(2 i)1i)(x 2) -(x1i)(x 2) 3(x i)(x i)36.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項(xiàng)式 f(O)=i,f(i)=2,f(2)=9,f' (i)=3,并寫出插值余項(xiàng)。解：根據(jù)Lagra nge插值多項(xiàng)式和Newt on插值多項(xiàng)式得出L2 xN2 x 3x2 2x 1設(shè)待插值函數(shù)為:H3 x N2 x k x 0 x 1 x 2根據(jù)H3 1 f' 13,得參數(shù)k 1,

21、那么H3 xx3 1.插值余項(xiàng)為：4!& x f x H3 x7、Xi1345f (Xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(X)的三次插值多項(xiàng)式 P3(x),并求f (2)的近似值(保留四位小數(shù))。答案:L3(x)2(x 3)(x 4)(x 5)(1 3)(1 4)(1 5)6(x 1)(x 4)(x 5)(3 1)(3 4)(3 5)5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)(41)(43)(45)(51)(53)(54)差商表為Xiyi一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-1014P3(x)N3(x)2 2(x 1) (x 1)(x 3) (x

22、1)(x 3)(x 4)4f(2) P3(2)5.58、sinx區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表X-i0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sinO.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最小？并求該近似值。M 3|R2(X)| 說丨 3(x)|(x)|答案：解： 應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差3!盡量小，即應(yīng)使丨3(x)|盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.7最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果si no.63891 0.596274sino .638910.59627413!(0.638910.5)(0.

23、638919 0.6)(0.638910.7)0.55032 109、取節(jié)點(diǎn)X。0,xi0.5, x2f(x)x在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式Bx并估計(jì)誤差。解:F2(x) e(x0.5)( x 1)0.5(0 0.5)(0 1)(X 0)( x 1)(0.5 0)(0.5 1)(x 0)(x 0.5)(1 0)(1 0.5)2(x0.5)( x 1) 4e0.5x(x 1)2e 1x(x0.5)又 f(x)e x, f (x)e x,M3max | fx 0,1(x)| 1故截?cái)嗾`差|R2(x)|ex P2(x)|1和x(x 0.5)(x 1)|3!o10、f (-1)=2，f (1)=3，

24、f (2)=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式L2(X)及f (1，5)的近似值,取五位小數(shù)。L2(x) 2 (X 1)(x 2)3 (X 1)(x 2) 4 (x 1)(x 1)解：2( 11)( 12)(11)(12)(21)(21)2 34-(x1)(x2)-(x1)(x2)-(x1)(x 1)3 231f(1.5) L2(1.5)0.041672411、12分以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算115的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。115用Newt on插值方法：差分表:10001112110.0476190114420.0434783-0.000094113610+0.047619

25、0(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.7227555100 115 121 115-3100 26814415 6 290.0016312、10分以下函數(shù)表:x0123f (x)139271寫出相應(yīng)的三次 Lagrange插值多項(xiàng)式;2作均差表，寫出相應(yīng)的三次Newt on插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f1.5的近似值。解: 1L3(x)(x 1)(x2)(x3)(0 1)(02x22)(0 3)8 -x31(x 0)(x2)(x3)(1 0)(1 2)(1 3)(x 0)(x 1)(x3)(2 0)(2 1)(2 3)(x 0)(x1)(x 2)(3

26、0)(3 1)(3 2)2 均差表：32718N3(x)1 2x2x(x1)4§x(x 1)(x 2)f(1.5)N3(1.5)5求二次插值多項(xiàng)式x023f x13213、y=fx的數(shù)據(jù)如下內(nèi) 5及 f2.5+|x2.5+1 = 2.6567(1 )試求在插值多項(xiàng)式H ( x )使?jié)M足恥J =恥=0.12 HOi)= f(®)H(x)以升幕形式給出。(2)寫出余項(xiàng)=H：.的表達(dá)式解 (1)1 Q _=11 Q站茍滸3衛(wèi)(-心-詁口(級(jí)(打第四章數(shù)值積分一、填空題x2dx，利用梯形公式的計(jì)算結(jié)果為2.5，利用辛卜生公式的計(jì)算結(jié)果為2.333。2. n次插值型求積公式至少具有_

27、n次代數(shù)精度，如果n為偶數(shù)，那么有 n+1次代數(shù)精度。3. 梯形公式具有1次代數(shù)精度，Simps on公式有 3 次代數(shù)精度。n4.插值型求積公式Ak f xkk 0bf x的求積系數(shù)之和b-aaj xdx5、 計(jì)算積分0.5 一 ,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計(jì)算求得的近似值為0.4268 ，用辛卜生公式計(jì)算求得的近似值為0.4309，梯形公式的代數(shù)精度為丄，辛卜生公式的代數(shù)精度為3。5f (x)dx6、f (1)=1, f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求 1'丿 (12 )。7、設(shè) f (1)=1 , f (2)=2 ,f (3)=0，用三點(diǎn)式求 f (1)(2.5

28、 )。8、假設(shè)用復(fù)化梯形公式計(jì)算 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)。1exdx0,要求誤差不超過610 ，利用余項(xiàng)公式估計(jì),至少用4771 29、數(shù)值積分公式1f(x)dx 9f(1) 8f(0) f(1)的代數(shù)精度為10、 f(1)1.0, f(2)1.2, f(3)3 ,那么用辛普生(辛卜生)公式計(jì)算求得31 f(x)dx 用三點(diǎn)式求得f (1)答案：2.367 , 0.2510、數(shù)值微分中，等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值那么由三點(diǎn)的求導(dǎo)公式，有11、2h對(duì)于n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有n次代數(shù)精度.a上1、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式f (x1)(A )。f(X1) f (X0)(A)X1X0f (x1)(B)1；X0f(x&#

29、176;)(C) f(X0)X0f (X1)(D)f(X1)X1f(x°)X1X1X0、單項(xiàng)選擇題:b2、在牛頓-柯特斯求積公式:f(x)dxa(bna)Ci(n)f (Xi)(n)i 0中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時(shí)，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)(A)時(shí)的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(D) n 6，(A) n 8，( B)n 7，( c) n 10，三、問答題1.什么是求積公式的代數(shù)精確度？如何利用代數(shù)精確度的概念去確定求積公式中的待定參數(shù)?如果當(dāng)答：一個(gè)求積公式為次數(shù)大于m次多項(xiàng)式時(shí)，它不精確成立，那么稱此求積公式具有m次代數(shù)精確度。根據(jù)定義只要令代入求積公式兩端，公式成立，

30、得含待定參數(shù)的m+1個(gè)方程的方程組，這里 m+1為待定參數(shù)個(gè)數(shù)，解此方程組那么為所求。四、計(jì)算題1、確定以下求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精 確度解：此題直接利用求積公式精確度定義，那么可突出求積公式的參數(shù)。代入公式兩端并使其相等，得J3 + 3 + C=1解此方程組得= -M=-?5 = -?C = -2636,于是有再令畑*,得土吩故求積公式具有3次代數(shù)精確度。A/<J：dz a A -J- h十 WW -r Atfh>2 J *解答<D求積公式中含有三個(gè)待定參如即沖十將2、一 1",用分別代人求積公式井令其左右相等得 十

31、血=2K Aj = q%臚“T 4-討V解轉(zhuǎn) A_t =仏=寺k血=4g 所求公式至少具有悶脫代數(shù)精磁度又由于/<x)djr a力也= A)a + (A*)f *33J -A-3|/(-A) + y/(0) ' j/CA)具宥三歡代數(shù)稱3)解：令代入公式精確成立，得解得得求積公式對(duì) 故求積公式具有 2 次代數(shù)精確度。12. 求 積 公 式 f (x)dxA0f (0)A1 f (1)B0f '(0) ， 已 知 其 余 項(xiàng) 表 達(dá) 式 為IllR( f) kf '''( ), (0,1)，試確定系數(shù)A0 , A1, B0 ，使該求積公式具有盡可能高

32、的代數(shù)精度，并給出代數(shù)精度的次數(shù)及求積公式余項(xiàng)。解：此題雖然用到了f (0)的值，仍用代數(shù)精度定義確定參數(shù)A。，B。令 f (x)21, x, x ,分別代入求積公式，令公式兩端相f (x)1, A0 A1 1A。2T等，那么得f (x)x, A1B0；,求得A14,那么有f (x)x2, A11B0110 f (x)dx| f (0)4 f (1)1 f '(0)再令f(x) x3,此時(shí)130x dx4，而上式右端壬，兩端不相等，故它的代數(shù)精度為2次為求余項(xiàng)可將f (x)x 3代入求積公式10 f (x)dxIf (0)+ f (1)11 f (0)kf (),(0,1)當(dāng) f (x

33、)x3， f '(x)3x2,ninf (x)6x, f (x)6,7代入上式得11 34x dx40壬6k ,即k幺，所以余項(xiàng)R( f )7； f (), (0,1)Xk0.0000.1250.2500.3750.500f10.9970.98960.9760.95885(x k)39784158472675108Xk0.6250.7500.8751.000f0.9360.9080.87710.841(x k)1556385168925747098計(jì)算Ix1解 用復(fù)合梯形公式,這里n=8, h0.125 ,83、根據(jù)下面給出的函數(shù)sin xf (x)的數(shù)據(jù)表，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛

34、甫生公式xi0sin x , dx1 sin x0.1250 dxf(0)2f (0.125) f (0.25)0x2f (0.375)f(0.5) f (0.625) f (0.75) f (0.875) f 1 0.94569086用復(fù)合辛甫生公式：這里n=4, h 10.25.可得41 sin x dx0 x0.25f (0)4f (0.125) f (0.375)f (0.625) f (0.875) 2f (0.25)f (0.5) f (0.75) f (1)0.9460833051 14、求 AB 使求積公式1f(x)dxAf( 1)f(1) Bf( Rf2 的代數(shù)精度盡量高，I

35、 21dx并求其代數(shù)精度；利用此公式求1 x 保存四位小數(shù)。答案:f (X)1, X, X2是精確成立，即2A2B2A1b1A 9，b求積公式為11 f(x)dx11f(1)811f(1) 9f( 2) f(2)當(dāng)fx x時(shí)，公式顯然精確成立;1當(dāng)fx x"時(shí)，左=5，右=3。所以代數(shù)精度為3。21dxt1 x2x 3 111dt 11t 39十九刖11/231 23970.692861405、n=3,用復(fù)合梯形公式求1exdx0的近似值取四位小數(shù)，并求誤差估計(jì)。解:1 x0e dx T31 0Fe2( e132 31e ) e 1.7342f(x) ex, f (x)ex1時(shí),(x

36、) | e|R|ex T3' 12 32e1080.0250.05至少有兩位有效數(shù)字。6、 15分用n 8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化 其誤差。用n 8的復(fù)化梯形公式或復(fù)化1e xdx詈h2f ()112|RT【f解：T(8)-f(a)2172 f(xQ f(b)k 1Simpson公式計(jì)算 0Simpson公式計(jì)算出該積分的近似值。1 12 e00.00130282768時(shí)，試用余項(xiàng)估計(jì)1 2 (0.8824969 0.77880080.606530660.5352614 0.472366550.41686207) 0.367879470.63294347、(10分)數(shù)值積分公式為:f(x)

37、dx 尹°)伽h2f(0)f(h)，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代I8、(10分)用復(fù)化Simpson公式計(jì)算積分1 sin x0_x""dx的近似值，要求誤差限為0.5 10數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x) 1顯然精確成立；hh厶h2.f(x)xdx0h h11x時(shí)，022;h 2 .h3h皿2 22hh3_ .1f(x)2x dx-0h h 0hx時(shí)，032212 -f(x)3h 3x3dxh4-0h3h203h2x時(shí)，04212h 4 ,h5h s4 -1 2r4h3_,h5f(x)4x dx-0h h 0x時(shí)，05216 ;所以，其代

38、數(shù)精確度為30S11 f 0 4f 1 f 10.946145886 211f 0 4f -124S22f4ff 10.94608693或利用余項(xiàng)：f xsin x 1x24(4)1xxf x57 2!9 4!b5 a(4)10-5IS20.946086932468xxxx3!5!7!9!fx15IS2I 丄 IS2 S| 0.393152880n412880 5n40.510 5S29、( 9分)數(shù)值求積公式330f(x)dx -f(1)f(2)是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)x 2x 1p(x)廠f(計(jì)f(2)精度是多少?解：是。因?yàn)閒(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項(xiàng)式為33p(x)dx

39、 f(1) f (2)02。其代數(shù)精度為1。10、(10分)取5個(gè)等距節(jié)點(diǎn)，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計(jì)算積分2x2dx的近似值(保存4位小數(shù))。11 2x2Xi00.511.52f (xi)10.6666670.3333330.1818180.111111解：5個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值3(2 分)(1)復(fù)化梯形公式(n=4,h=2/4=0.5 ):0.5T41 2 (0.666667 0.333333 0.181818) 0.1111110.868687(2)復(fù)化梯形公式(n=2,h=2/2=1 ):1S2 - 1 4 (0.666667 0.181818) 2 0.333333 0.111

40、1110.86195311、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度:A1 f 1取f(x)=1,x ，令公式準(zhǔn)確成立，得：1 1 1 1 1 AoA1Ao A1AoA12，233，6f(x)=x 2時(shí)，公式左右 =1/4; f(x)=x 3時(shí)，公式左=1/5,公式右=5/24公式的代數(shù)精度=212、證明定積分近似計(jì)算的拋物線公式具有三次代數(shù)精度證明：當(dāng) =1時(shí)，f fd'&K =b - a公式左邊：“當(dāng)=x時(shí)1 十 4 +1公式右邊：左邊=右邊左邊:iZ右邊:“血+旬自左邊= 右邊左邊:左邊:iZ右邊:b23左邊=右邊右邊:左邊=右邊時(shí)左邊:右邊:b a

41、故丁 0具有三次代數(shù)精度 13、試確定常數(shù)A, B, C和；使得數(shù)值積分公式I符)必7 (勺)+申禺+©3有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的?165,x 土一，該數(shù)值求積公式具有 5次代數(shù)精確度,解第五章常微分方程一、填空題1、求解階常微分方程初值問題y = f(x,y)，y(xo)=yo的改良的歐拉公式為ynhf (Xn, yn)0yn 1yn 1yn h f (Xn, yn) f X 1, 丫初肆)2y f(x,y)2、解初值問題y(Xo) y。的改良?xì)W拉法yn 1yn0yn 1hf ( Xn , yn )2yn hf(Xn,yn)

42、g,閉)是Jy'=jay3、解初始值問題 I近似解的梯形公式是 $4、解常微分方程初值問題.1 ': '. . |-|.- 的梯形格式一 -、 1 J -I -I-是二階方法二、計(jì)算題0 x 1，取步長h=0.1計(jì)算到y(tǒng)5。dy 2 x x y1.用改良?xì)W拉方法計(jì)算初值問題dxyo 0yn 1 ynhf (xn, yn)解：改良的歐拉公式h-f (Xn, yn)2yn 1 Ynf (xn1,yn 1)代入 f (x, y) x2x y,且 Xnnh,有ynh 21y n x n22xnynx n1x n 1y nh(x2x ny n )yn 0.052(1.9x n2

43、1x n-1.9yn 0.11)(n0,.1,2,3,4)Xn0.10.20.30.40.5yn0.005500.02193 0.05015 0.090940.14500相比擬x=0.5 ，并與準(zhǔn)確解解：用梯形法求解公式，得解得精確解為y XV 0x13 .用改良的Euler法解初值問題；取步長h=0.1計(jì)算y 0.5，并與精V 01,確解y x 1 2ex相比擬。計(jì)算結(jié)果保存到小數(shù)點(diǎn)后 4位解：改良的尤拉公式為：yn 1y hfxn,yny 1h f ynf2Xn, ynf xn 1 , yn 1代入f x,y xy和xnh，有y 1hyn 22h xn2 hyn hh2 2h2-nh222

44、nhh22yn2代入數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果如下:n012345Xn00.10.20.30.40.5yn1001.11211.24851.39181.58491.79y(Xn)1031.11281.24971.39361.58741.794.設(shè)初值問題y' x2 100y,y 00，a由Euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數(shù)值解的公式；b由改良Euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數(shù)值解的公式。解：a根據(jù)Euler公式:yn 1ynhfXn,ynyn 1ynhf X；100yn2yn 111yn 0.001n3分yn 1ynhfXn,ynb 根據(jù)改良Euler公式:h5

45、分yn 1ynf Xn,ynf Xn 1, yn 12h 22yn 1 yn 二人 1°°丫人11°°%12h 222=yn-Xn100% Xn 1100nhX.100丫.h2=yn1200yn 12x2 0.2xn 0.012=61yn 0.006n0.001 n 0.00055設(shè)初值問題y X y x 0 , y(0) 1a) 寫出由Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；b) 寫出由改良Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式。 解：a)根據(jù)Euler公式：yn 1yn hf Xn, ynYn 1 Yn n0.

46、1(Xn Yn)0劭.0.%b )根據(jù)改良Euler公式:yn 1h2ynhf Xn , ynXn, ynf Xn 1, yn 1yn 1ynXn=ynXnXnyn2Xn=0.905yn 0.095xn 0.005Xn 1yn 1Xn 1ynh XnynXnhynhXnhyn2h h2h2yn 1ynynynyn26、用歐拉方法求x t2y(x) 0 e dt在點(diǎn)x 0.5,O,1.5, 2.0 處的近似值。解:y(x)X0et2pll等價(jià)于x2 eY y(0) 0x 0)記 f(x, y)那么由歐拉公式x2取 h 0.5, x00,x10.5, x21.0, x31.5, x42.0yn 1yn hf (Xn,yn)y。0n0,123可得y(0.5)y10.5,y(1.0)y2 0.88940y(1.5) y 1.07334,y(2.0)y41.126047、取步長h 0.2，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題y 2x3yy(0) 1(0 x 1)yn 1yn0.2(2xn3 yn)答案：解：(0)y n 1y n0.1 (2 xn3yn)(2xn 13y n 1 )即yn 1 0.52xn 1.