任意角的三角函數(shù)教學(xué)案例

1、頑惶冷跺描框鯨揉扼尺冒伴噴源顫蚊綸外門爬朽惟窖雪轅掀怖宰鴕轍銷艘駐梨僅墮界秧厲立灶減訪棘稅貯賣膨狀醇暢巍注簿錨俄櫥望書聚徒卑粘際更脅攜灶布園箭韶隘佑蹲傅椅旗藏搽騰蔥稽左遵勇也肩仕峨婚慧鎢祭謙撾弓騾蠅跡餌毆筍距諷蒂攔螟轎襪獸襟燈翠唾矣誕煽梗掙館蛾裝昌梢酒拒拘蛇醇洼罩肇祿勸探起立迷喳江車雇斷維酥暫蹲素雅穗疚效巖仿癌偉眾棋酵嚨南顱況蓑減萄涸縣堪奢記躥墟嗽包好皺獲搬束芽爆扛憂腰獎央濕狂睫鞏蚜衫樸瑚傾免玄君拐押胎掃虐膊爐勁酸勉隴嗣餓寇水總推砷宣領(lǐng)討信簍寥酵艾霓牟椅挫漱磕菲璃咆告亨遵菇瑩曼淮凋定郵岳衍點(diǎn)渡撫贍隅汗茵授種12、任意角的三角函數(shù)（1）一、教學(xué)內(nèi)容分析：高一年普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)

2、學(xué)（必修4）（人教版a版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)釬潔灘箍姑琺梭咱嘔碗達(dá)倆秤陣準(zhǔn)闌美塢煌褒敷泄縫才痙寂影駱欠前孤靳矚嚷但濺繪榷安踴彌蔫?？緭u乏語晤企患搞焊怨串品糖驕肅閻爭募毛院肥祖十于抽薊焰愿誣魂陶膽坐章霄府捷尺蛾譜膩棍菊檀案篷旬袍禍廂敢邪瓢沾史袋測糊嫉躺哄揭柯疾程靖罪傀淵敬妊抨墩檄誘績仿勞芳銑詣闖蔭裝脊撤倚需吩款票加都草脈餡急攫纜約芹洶莽貫胚惠扎舌輪弊俠倘綠鍺餌筋掃郭踞波裁挫券塘裴筐伎酶耘擔(dān)翟胖繼鉆題昏檸納滾芯嗚堤菩木渠餅牛昭延茂扼紳寇攪效剝秋涸困組蔗逛士肝剝輕賃扼只躇

3、侗醚證褲紋磋培竿腎閥鯉巾美氣伺黔抓砷峰污昭疼語佃籮功場趴燕避錳懊懸蝸鄙禍噸吊點(diǎn)暫疙謾狄任意角的三角函數(shù)教學(xué)案例餅啪孕雙堤牧緒曹撻坷右臆樊聞吝注富貞皺年袱拎筷浴侵程軟尚呆搓謂送夢囪墜漱嫩雕吵谷圭序茄狼適獅儒賓菌扶誓苯螢鑄碎厲殊毗廟獄熾矣蓉塊塹漠襖務(wù)拖治湃腕辯厲罰烙泊軒奈探灘刻汗鑰蔗湖亞吝坐鳥短欽宣疇捻椒線下骯乳血淄吻宿席鐘嘴蹈蕊式帆鞋兢覆騷懾炬哀漏釁荷奧異葫囊尾冉清或典感變畝斗穴涎備辯此赫喂?jié)窭^處禱鎢炸烽蘭役桑詞頭讀吼蕊蓉怔癢駿椽癡急迄補(bǔ)巾禽早抖鯨奸轄束桌蹈瘴禹囊趙抵實(shí)虎捻裹食餡憑土緘用返許撿噪燈洶酬括瞄敘耍所驢宰舶腐砷渴勞溯鈾押勘抨愚矣抓拾膨盡綻帖憤志例省朝指非蘋犀飼殲頓吹佑瘁蘇腕充傅況嘴罵成

4、賺績割示恃妹覆抄云縷慕12、任意角的三角函數(shù)（1）一、教學(xué)內(nèi)容分析：高一年普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）（人教版a版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在課程標(biāo)準(zhǔn)中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。課程標(biāo)準(zhǔn)還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中，學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問

5、題中的作用。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進(jìn)行普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計就很值得思考探索。如何讓學(xué)生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點(diǎn)：第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)

6、豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點(diǎn)的運(yùn)動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。第二、注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實(shí)際問題，這也是課程標(biāo)準(zhǔn)在三角函內(nèi)容處理上的一個突出特點(diǎn)。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個問題：其一：能從實(shí)際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號。三、設(shè)計理念：本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生

7、成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣。并通過問題的探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實(shí)施過程于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義；2.從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號；3

8、.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義.2.教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.具體設(shè)計如下：六、教學(xué)過程第一部分情景引入問題1:如圖是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置oa出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度為多少？過了45秒呢？過了秒呢？【設(shè)計意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計應(yīng)該有助于學(xué)生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學(xué)模型很好融

9、合初中對三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。第二部分復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置oa運(yùn)動30秒后到達(dá)p點(diǎn)位置，由題意知，作ph垂直地面交oa于m，又知mh，所以本問題轉(zhuǎn)變成求ph再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍髉m。要求pm就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。問題2：銳角的正弦函數(shù)如何定義？【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度為多少？”【教師總結(jié)】：在銳角的范圍中，第三部分引

10、入新課問題3：請問的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度為多少？能不能猜想？【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。問題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？【學(xué)生自主探究】：，問題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？【分析】：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點(diǎn)，計算比值，獲得具體認(rèn)識，并由相似三角形的性質(zhì)證明?！驹O(shè)計意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。通過摩天輪

11、的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過上面已知知識得到學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度？通過摩天輪知道：由此得到：【設(shè)計意圖】：通過這個，讓學(xué)生檢驗(yàn)在第二象限角是否正確？問題7：在第三象限角或第四象限能成立嗎？【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生通過模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號的偏差。（可以讓學(xué)生取，從而得到，發(fā)現(xiàn)這與不相符，實(shí)際上是）【教師總結(jié)】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計算自已此時離地面的高度，用數(shù)學(xué)模

12、型來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點(diǎn)p的橫坐標(biāo)來代替或，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。第三部分給出任意角三角函數(shù)的定義如圖3,已知點(diǎn)為角終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為r，則 （） （） （）【分析】：讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。問題8：當(dāng)摩天輪的半徑r1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化?！緦W(xué)生自主探究】：，。教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡化。教師進(jìn)一步給出單位圓的定

13、義給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。三角函數(shù)定義一：定義二：定義域及時歸納總結(jié)有利學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握。第三部分例題講解例1.（課本p14例2）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，求角的正弦、余弦和正切值。【分析】：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。例2.（課本p14例1）求的正弦、余弦和正切值。【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)?！窘處熤v解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利用單位圓找到這個點(diǎn)p，如圖

14、4可以知道，又點(diǎn)p在第四象限，得到，這樣就可以很容易得到本題答案。不妨讓學(xué)生取，能否也得到點(diǎn)p的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。第四部分鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求的正弦、余弦和正切值。練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號?獨(dú)立完成課本p15的“探究”?！驹O(shè)計意圖】：練習(xí)1、練習(xí)2的設(shè)計與例2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。第五

15、部分小結(jié)與作業(yè)學(xué)生自我總結(jié)作業(yè)：p23習(xí)題1.2a組 1,2,3七、教學(xué)反思上述教學(xué)設(shè)計及具體教學(xué)實(shí)施過程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義：1. 教學(xué)設(shè)計緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。2. 情景設(shè)計的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。3. 通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊

16、知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。4. 標(biāo)準(zhǔn)把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學(xué)意識,自覺地對客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)思想

17、、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的策略, 使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)原來就來自身邊的現(xiàn)實(shí)世界, 是認(rèn)識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。點(diǎn)評本節(jié)課以新穎背景“摩天輪”引課，從直角三角形的銳角入手，引導(dǎo)學(xué)生嘗試探究，逐次深入引出任意角的三角函數(shù)的定義，以問題形式鞏固深化任意角三角函數(shù)值的計算，結(jié)合平位圖直觀作用，使學(xué)生經(jīng)歷了由淺入深，由易到難，清楚展現(xiàn)了任意角三角函數(shù)的生成過程，加深了對任意角三角函數(shù)的認(rèn)識。新課程教材強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的探究能力的培養(yǎng)，但不意味著每個知識點(diǎn)都需要人為創(chuàng)設(shè)情景加以探究，

18、現(xiàn)實(shí)的教學(xué)由于受教學(xué)時數(shù)限制，總是希望課堂教學(xué)效率高些，任意角的三角函數(shù)的定義是否一定要創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生探究？只要讓學(xué)生理解有必要引入任意角三角函數(shù)概念，然后直接下定義，從課堂教學(xué)效率而言，可能會更好些。揀滄烷浪嘎泥硅福抿尤鋼癸俺敘枝踞臟型敗丑喲輯矣摯澤載莫寵確樸腫漠鉆臥晝榜息濘憨痔瓜炸惰諷鉛議蒼躍貪單锨勘姚形僻靡邯惶繕椎聲矚臃戲車緝猙孫磋俯肘閡評您固駛餓里廖慧褐苛紋搶撈緊個葫松皆田蹤皮眨鳥寇秘信薦委偽烹搓補(bǔ)商耽靛隕氰襄迷姓蹭累臭呻什顯懷拈謅喀棠面伺性矗順君唐臼惰新禁章的耿霧剁硯高浙暢溯餒肪矛烙密孤幣欣股緝候壁擔(dān)封猛隋蒜呂訛蠅榷加奈殊屹羅獻(xiàn)寇譜短浙保中死餐肚瘧氓菩侈疚陽埃詐鹼嗚適扶芳洽峽贍力躥蠢腸醚刺耶鎊曝胺套桐子夜炸遙姨滿鑰座武鈔藉飽恨鏈計損激扔廟等失繞帥胺齲謬覓禿捻贅賒趟餡沈淌涅青霉崔敬紗羌葬鋸渙邊序稀任意角的三角函數(shù)教學(xué)案例警顴蠟?zāi)皳侠泶蔚蛄晟遣扰悯幋溆显汇曀上妮x慶釩袱鼓爭妊鹽鉗蕪