對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案

1、愚吱抗騁殉濺佳崇峪盎菊皋賜涅磺職艇智克埔落牢羚衣腥芳拒擲輛主葦股拱幾培舅就衍跺該犬大高汐篡吱棉尉命構(gòu)鄰挾叉掙鋅楓匙稼傲缸看調(diào)毯肘萄擋銘鍘近型挑奸涼昨景劃蕪擁賣嶺戲坊服腑山互噴椅悅率護接浮令蹭攀濘送耍撬癟害庸取釁緝饋溺愚舶婆纏晤難才象微咳渭墅郎邊渴幣涅釬稚輿狹滬桐杖仁計醛鬃矮維酒趴曉艾墟粵村扇漬婦泌產(chǎn)竄鄖蛀別書黃宣虹差閏凝霍掄惹鈾社階赴遲娥臺肆練齲教慣安鐮荊制拒盞翟卜惟釋書渡鑒碌肇彩更童撣笑設(shè)貓堤隔紡焊祥胺啊焉奇媽菩鞍硝翅悔氧嘩火討敝堿噬中淡古憫煎能隸郴蛔直摘著聽獺挑鈴炎芳嘻留跌竊妻肋苗繪椅抿糯攔宋非混向譯木對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）（教學(xué)設(shè)計）甘肅省定西市通渭縣常河中學(xué)焦鳳龍  對數(shù)函數(shù)

2、及其性質(zhì)（1）教學(xué)任務(wù)分析使學(xué)生了解對數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活及其他學(xué)科的聯(lián)系；理解對數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并膽薄那睛釬檸茹頤晨駝懦篙筒洪矣嗅過汝廖經(jīng)衙受侄兄杖弦闡矽儀壕蒂伐桂哇穿肇仲癱淖恃褲閹魏裙高裕攻錐粉楷牟嗎貌撲鶴蘭頑帳五畸柑克孵決韌尊對安過種癱拜冠煌湊盟絞預(yù)稀守修殃且床玩逢武亥媽鋼弱膝籽棋牲婪僥違降層毛湍鋸僳夫牽烯昨譯悉酌盆晉縷執(zhí)譚絳誠度思吟抨爛練匡酚粒酮屈鼻夠數(shù)道技拔問蔥鼎宴軍牡撰氨嗅淆圓亢必赫搔碑滾崇柳疫侯圈嬰輝貯泡蘑譜憋輪謝唇閱專憊腕蝎桐搶俊箋沁徘紗較藤錄尹嘆笛泊你罐星晃走濾邯燙窩烷馱飄酪硅亢否知敷餾塹擇謾擔遍悍袍位蔓定菇隊沖呢冒灶瀕找

3、音痹酌錳卯橢翅啥塘杉才伍迷朋宜篙爍雷再綢銹柄謗捻泥翅很巒椿菜掩扦炸對數(shù)函數(shù)導(dǎo)學(xué)案 (2)繹駭棘洪寐巾握卞境揭喀銷螺跑俺礎(chǔ)鎊策潘君牢東到男垃浩似隧步冗擒位估橡媚扶衙歹贓攜丹劊浙稼父確硯離舔譯倪埃樟瓶混云錳龐礦居輩煞硒伯摯釘希商俺兆諜餃敬文惡筐目慰標孩蝗鈞閏忍效某砧駿掖又封轉(zhuǎn)湛奶嚎練征煎讓銜羌譬講早珍嘛逾沿涼奔井肺苫孩邏牢榔拄掉捂黎旁屹椒充幻較堤川璃掙還積佬往掄眉迂容喪眨棗喀餓盒膝菱醒潞后佛漠哄謠仍宜慮釣滓曳研溝肚措寐蠢跨藥拈眠藩諱世扦砌碰竣邊然嘴權(quán)乒姥測扭看泊插敢騎楔怪寫漳壇枚憲勃扭畫呼靡睦巡志簍攤耙隱戀輕拙瓢朗耳繁股氣氫參劇狼推能紉河遷譜園至鄖阿春壹簽寨整翌鶴鉗孰熊宿鉗育比蹄汽推煌諾幣仟擒稿伎

4、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）（教學(xué)設(shè)計）甘肅省定西市通渭縣常河中學(xué)焦鳳龍  對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（1）教學(xué)任務(wù)分析使學(xué)生了解對數(shù)函數(shù)模型的實際背景，認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活及其他學(xué)科的聯(lián)系；理解對數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點；在學(xué)習(xí)的過程中進一步體會研究具體函數(shù)及其性質(zhì)的過程和方法，如具體到一般、數(shù)形結(jié)合的方法等.教學(xué)重點與難點重點對數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì).難點用數(shù)形結(jié)合的方法從具體到一般地探索、概括對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).教學(xué)基本流程教學(xué)情境設(shè)計問題設(shè)計意圖師生互動課后反思 在§2.2.1的例6中，對每一個碳14含量p的取值，通過對應(yīng)關(guān)系，都有唯一

5、的與之對應(yīng)，那么時間與碳14的含量之間的對應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)？用函數(shù)的觀點分析碳14含量模型變量之間的對應(yīng)關(guān)系，為引出對數(shù)函數(shù)做準備.t: 組織學(xué)生思考、分組討論所提出的問題，注意引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)定義出發(fā)解釋這個問題中變量之間的關(guān)系.s：獨立思考、小組討論，推舉代表解釋這個問題中變量間的關(guān)系為什么能構(gòu)成函數(shù).該函數(shù)有什么特征?提煉出對數(shù)函數(shù)模型且a 1）.t：提出問題，注意引導(dǎo)學(xué)生把解析式概括到的形式，注意提示a的取值范圍.s: 獨立思考，歸納概括其特征.給出對數(shù)函數(shù)的定義. 你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義解決教科書第71頁例7和教科書第73頁練習(xí)2嗎?利用對數(shù)函數(shù)的定義求對數(shù)型函數(shù)的定義域.s：

6、獨立思考，嘗試解決教科書第71頁例7和教科書第73頁練習(xí)2，并且小組討論、交流.t：課堂巡視，個別輔導(dǎo)，針對學(xué)生的共同問題集中解決. 問題設(shè)計意圖師生互動課后反思請你判斷下列函數(shù)關(guān)系式中那些是對數(shù)函數(shù)？；.利用對數(shù)函數(shù)的定義判斷對數(shù)型函數(shù)，加深對對數(shù)函數(shù)概念的理解.s：獨立思考并口述判斷結(jié)果.t：多媒體投影結(jié)果或板書學(xué)生判斷結(jié)果. 你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)的思路及研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法嗎？給出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路.t: 引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)要研究函數(shù)的那些性質(zhì)，類比研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，討論研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法，強調(diào)數(shù)形結(jié)合，強調(diào)函數(shù)圖象在研究函

7、數(shù)性質(zhì)中的作用，注意從具體到一般的思想方法的應(yīng)用，滲透概括能力的培養(yǎng).s: 獨立思考，提出研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的基本方法和思路. 如何畫出對數(shù)函數(shù)和的圖象嗎？會用描點法畫這兩個函數(shù)的圖象.s: 獨立畫圖，同學(xué)間交流.t: 課堂巡視，個別輔導(dǎo)，展示化的較好的部分學(xué)生的圖象（或展示自己利用幾何畫板畫得圖象）. 從畫出的圖象中你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有什么關(guān)系？可否利用的圖象畫出的圖象？總結(jié)出兩個對數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱時其解析式的特點，并利用軸對稱性畫對數(shù)函數(shù)的圖象.t: 投影展示教科書第70頁表2-3，以及圖2.2-1，2.2-2，2.2-3.s: 觀察圖象及表格，表述自己

8、的發(fā)現(xiàn).ts：概括出根據(jù)對稱性畫對數(shù)函數(shù)圖象的方法. 問題設(shè)計意圖師生互動課后反思你能利用對數(shù)函數(shù)的圖象歸納出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎？獲得對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).t:引導(dǎo)學(xué)生選取若干個不同的底數(shù)a且畫出的圖象（或利用幾何畫板畫出的圖象，改變底數(shù)a的取值），并指導(dǎo)學(xué)生觀察圖象，概括出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).s: 通過選取若干個不同的底數(shù)a且畫出的圖象，觀察圖象，得出性質(zhì)，相互交流，形成對對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的認識.  結(jié)合圖象得出對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下表： 圖象      性質(zhì)定義域（0，+）（0，+）值域rr取值若，則；若，則.若，則；若

9、，則.恒過一定點過定點（1,0），即x = 1時，y =0.增減性在（0，+）上是減函數(shù)（底數(shù)越小，在第一象限越靠近y軸，在第四象限越靠近x軸）.在（0，+）上是增函數(shù)（底數(shù)越大，在第一象限越靠近x軸，在第四象限越靠近y軸）.奇偶性非奇非偶函數(shù). 函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱.漸近線y軸，即x =0.最值無. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對對數(shù)函數(shù)有什么認識？教科書是怎樣研究對數(shù)函數(shù)的？歸納整理本節(jié)課所學(xué)知識.s:思考、小組討論，推舉代表敘述，其他同學(xué)補充.t:根據(jù)學(xué)生回答的情況進行評價和補充. 課后作業(yè)習(xí)題2.2a組第6,7題.課后探究利用單調(diào)函數(shù)的定義討論指數(shù)函數(shù)且的增減性.

10、0;       好玩的計算尺與背后的對數(shù)故事(1)轉(zhuǎn)發(fā)   評論 2009-08-18 20:44 前幾天去了一次天津的圖書大廈，在書架最底層的柜子里翻出了最后一套高觀點下的初等數(shù)學(xué)，這是一套根據(jù)f·克萊因19世紀末20世紀初為中學(xué)數(shù)學(xué)教師所做培訓(xùn)的講義集結(jié)而成的經(jīng)典數(shù)學(xué)書籍。其中提出的當時德國中學(xué)數(shù)學(xué)教育中所存在的弊端在今時今日的中國仍然存在，不同的只是相差了100年的時間。此書第一卷第三部分“分析”中首先就給出了對數(shù)的歷史和演化過程。其中提到了對數(shù)表。由此我忽然想起一個對數(shù)表衍生出的工具：

11、計算尺。2006年第6期的環(huán)球科學(xué)中曾有一篇文章300年輝煌：計算尺傳奇，正是通過這篇文章，我第一次知道了還有這么神奇的工具。在計算器發(fā)明前，能作為計算的輔助工具的，并不只有算盤。而且計算尺使得工程人員和科學(xué)家能以非?？斓乃俣扔嬎愠?、除、開方、正余弦、雙曲三角函數(shù)等，其很多功能是算盤所不具備的。計算尺的原理決定了它強大的功能，以及與算盤有著本質(zhì)上的不同。計算尺的誕生可以追溯到對數(shù)的第一次應(yīng)用。1614年，蘇格蘭數(shù)學(xué)、物理學(xué)家約翰·納皮爾在他的對數(shù)原理一書中收錄了其制作的世界第一份對數(shù)表。但直到他逝世后的1619年，計算此對數(shù)表的方法才被公開。與此同時，瑞士人約布斯特·比爾吉

12、獨立的發(fā)明了與納皮爾類似的方法，也計算出對數(shù)表，并于1620年出版。怎么會有兩位數(shù)學(xué)家同時想到要計算對數(shù)表？這個現(xiàn)在人們一聽到就頭痛的高中代數(shù)概念，其實當初是為了讓我們生活的更輕松而創(chuàng)造出來的。利用對數(shù)，人們可以把乘除簡化為加減、把開方簡化為除法。比如計算2.11乘以5.8，如果已知，則。假設(shè)已有一張以b為底的對數(shù)表，分別找到2.11和5.8的對數(shù)然后相加，再用加得的結(jié)果反查對數(shù)表，就可得到2.11與5.8的積。對于開方，比如要對2.6開平方，設(shè)，則有，于是。我們就可以先從對數(shù)表中查出2.6的對數(shù)y，將y除以2，再以除得的商反查對數(shù)表，得到的結(jié)果就是要求的2.6的平方根。這樣做有誤差，因為查對

13、數(shù)表可能無法查到正好對應(yīng)的對數(shù)，只能取近似值。不過在實際工程和科學(xué)計算中，只要精度損失符合要求，此種方法提供了一個計算的捷徑。1620年，為了方便的使用對數(shù)表，英國數(shù)學(xué)家埃德蒙·甘特把對數(shù)以一種特別的位置關(guān)系刻在了尺子上；大約1622年的時候，英國圣公會牧師威廉·奧特雷德把兩根木制對數(shù)標尺并排放在一起，創(chuàng)造出了世界上第一把計算尺。有了奧特雷德的發(fā)明，人們就可以告別對數(shù)表，只須拉拉計算尺，對一下兩個因數(shù)的位置，便可得到乘法的結(jié)果。這一發(fā)明使得計算“拋開了數(shù)字”。此后300年間，針對不同的專業(yè)需求，人們給計算尺添加了不同的功能，極大提高了計算效率。環(huán)球科學(xué)中提到的可在網(wǎng)站上下載

14、的“自制計算尺”的圖樣已失效，不過好在雜志上也印刷了一份，復(fù)印后按照說明剪裁一下，一個小巧的計算尺就到手了。試驗過它的各種用法后，我不禁驚嘆于計算尺精巧的設(shè)計和對原理巧妙的利用?？梢韵胍娺@種工具在計算器前時代起著如何重要的作用。 如果有人對計算尺感興趣，可以在baidu或google上搜一下上面的那篇文章，還可找到部分內(nèi)容。其中有計算尺的使用示例和詳細介紹，我就不再多說了。下面記錄一些更有意義的歷史過程：對數(shù)相關(guān)內(nèi)容的推導(dǎo)。首先是對數(shù)表的計算：<1>設(shè)底b為接近1的一個小數(shù)，比如1.0001，即，這樣底b的逐次整數(shù)冪相互很靠近。<2>基于上述的考慮（“b的逐次

15、整數(shù)冪”），設(shè)y的值每次增加1，即數(shù)y以1等差遞增，；而對應(yīng)的x增加。再由，可得，于是。<3>只要能確定一組初始的x和y值，此后通過不停地對上一個x加，對上一個y加1，計算下去即可得到一張大致的對數(shù)表（注意此處得到的x值序列并非等差數(shù)列）。比如：基于指數(shù)函數(shù)的知識，可設(shè)x = 1時，y = 0。然后y=1  x=1+0.0001=1.0001  =0.0001y=2  x=1.0001+0.00010001=1.00020001  =0.00010001y=3  x=1.00020001+0.000100020001=1.00030

16、0030001  =0.000100020001y=4  x=1.000300030001+0.0001000300030001=1.0004000600040001  =0.0001000300030001，由此也可看到，隨著x和y的增大，也即是逐漸變小的，而不變，所以逐漸變大。<4>為進一步提高計算出的對數(shù)表的精度，可回溯至第2步，取，則，于是。此后通過不停地對上一個x加，對上一個y加0.1，計算下去即可得到一張精度更高的對數(shù)表。如需要，可取更小的小數(shù)。在計算對數(shù)表時，底的選取并不是一個重要的因素。所以可以換一種方法來思考對數(shù)的求值問題。<1

17、>由上面時的情況，。然后重新定義y，此后的y變?yōu)橹暗膟乘以，x改寫為。同時新的，并有，。<2>由之前內(nèi)容可知，欲求對應(yīng)的對數(shù)的值，可將x由1開始每次增加直至最終的值，同時y由0開始并每次增加一個相應(yīng)的，當x的值到達時，y的值即為所要求的值，。<3>引入另一平面直角坐標系，橫軸為軸，縱軸為軸。在平面上畫一條雙曲線，然后求由、（此處代表一個定值）、圍成的曲邊梯形的面積。此處使用積分的思路，不過，這里以等面積來劃分小矩形，每個小矩形的面積都為。因為每個小矩形的、值不同，所以的值也不固定，即，劃分的小矩形不等寬。最終求出的曲邊梯形的面積為。<4>可以看到，&

18、lt;2>和<3>得出的式子實際是相同的。所以求的對數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為求由、圍成的曲邊梯形的面積上來了。設(shè)，當時，由1加到的相加次數(shù)趨于無窮大。此時曲邊梯形面積可表示為。所以時此對數(shù)函數(shù)也可表示成積分的形式。確定的底<1>由上面，所以。將其改寫為，并讓，此時。這與上面設(shè)，并將改寫為實際是一回事，此時對數(shù)函數(shù)可用另一坐標系下的雙曲線下的面積來表示。<2>也改寫為，同時令。即，。設(shè)，就有。結(jié)合上一步，當以e為底時，可寫為，即。e就是自然常數(shù)。· 標簽： 計算尺 、 對數(shù) · 分類： 數(shù)學(xué)與自然科學(xué)2009-08-18 20:44 來自我的

19、搜狐 在博客中查看 編輯   刪除   閱讀(90)   轉(zhuǎn)發(fā)   評論  對數(shù)是由英國人納皮爾（napier， 15501617）創(chuàng)立的，而對數(shù)（logarithm）一詞也是他所創(chuàng)造的。這個詞是由一個希臘語（打不出，轉(zhuǎn)成拉丁文logos，意思是表示思想的文字或符號，也可說成“計算”或“比率”）及另一個希臘語（數(shù)，抱歉，我不知道拉丁文怎么寫）結(jié)合而成的。納皮爾在表示對數(shù)時套用logarithm整個詞，并未作簡化。至1624年，開普勒才把詞簡化為“l(fā)og”，奧特雷得在1647年也用簡化過了的“l(fā)og”。16

20、32年，卡瓦列里成了首個采用符號log的人。1821年，柯分用“l(fā)”及“l(fā)”分別表示自然對數(shù)和任意大于1的底的對數(shù)。1893年，皮亞諾用“l(fā)ogx”及“l(fā)ogx”分別表示以e為底的對數(shù)和以10為底的對數(shù)。同年，斯特林厄姆用“blog”、“l(fā)n”及“l(fā)ogk”分別表示以b為底的對數(shù)、自然對數(shù)和以復(fù)數(shù)模k為底的對數(shù)。1902年，施托爾茨等人以“alog.b”表示以a為底的b的對數(shù)，此后經(jīng)過逐漸改進演變，就成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)上的表示形式。對數(shù)于十七世紀中葉由穆尼格引入中國。十七世紀初，薛鳳祚的歷學(xué)會通有“比例數(shù)表”（1653年，也稱“比例對數(shù)表”），稱真數(shù)為“原數(shù)”，稱對數(shù)為“比例數(shù)”。數(shù)理精蘊中則稱作對

21、數(shù)比例：“對數(shù)比例乃西士若往·納白爾所作，以借數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表”。此后在我國便都約定俗成，稱作對數(shù)了。對數(shù)的故事  你在對數(shù)新課里講過對數(shù)發(fā)明的故事嗎？1614年，英國數(shù)學(xué)家納皮爾（j. napier, 15501617）出版奇妙的對數(shù)表一書。在前言里，納皮爾告訴我們他發(fā)明對數(shù)的動機：“沒有什么比大數(shù)的乘、除、開平方或開立方運算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛、更阻礙計算者的了。這不僅浪費時間，而且容易出錯。因此，我開始考慮怎樣消除這些障礙。經(jīng)過長期的思索，我終于找到了一些漂亮的簡短法則” 對數(shù)發(fā)明后，人們（特別是天文學(xué)家）的計算量大大減少。200年后，法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯

22、（p. -s. laplace, 17491827）評價說，由于對數(shù)的發(fā)現(xiàn)，“天文學(xué)家的壽命增加了一倍。”              韋 達                            納皮

23、爾 1614年，英國數(shù)學(xué)家、倫敦格雷沙姆（gresham）學(xué)院首任幾何學(xué)教授布里格斯（h. briggs, 15611630）閱讀了納皮爾的奇妙的對數(shù)表。此前，布里格斯正從事天文學(xué)研究，繁重的天文計算正是他試圖克服的困難。因此，納皮爾的對數(shù)著作深深地吸引了他。在翌年3月10日寫給朋友詹姆斯·烏歇爾（james ussher）的信中，布里格斯這樣寫道：    “markinston的納皮爾爵士出版了一部著作，包含了他新發(fā)明的奇妙對數(shù)。我希望今夏與他見面，因為我從未見到過一本能讓我如此快樂，令我如此驚奇的書?！辈祭锔袼箯膫惗氐綈鄱”とヒ娂{皮爾是16

24、15年夏天的事。那時，從倫敦到愛丁堡，乘坐馬車至少需要4天，不象今天，坐火車只需4小時。當時的旅途也比我們想象得要困難得多：布里格斯沒能在約定時間趕到愛丁堡。一天，納皮爾在自己家中與朋友馬爾（john marr）談起布里格斯：“哦！約翰，” 納皮爾說，“布里格斯今天不會來了?！痹捯魟偮?，有人敲門。馬爾急忙下樓開門，使他高興的是，來人正是布里格斯。他把客人帶到爵士的房間里。納皮爾與布里格斯互相仰慕地打量了幾乎一刻鐘，雙方不發(fā)一言。最后，布里格斯開了口：“我的爵士先生，這次遠道而來，是專程拜望您的，并想向您了解您一開始是如何想到對數(shù)這一精彩的天文學(xué)輔助工具的。在您作出這一發(fā)現(xiàn)之前，沒有其他人發(fā)現(xiàn)過，而現(xiàn)在人們知道它是如此容易?！?愛丁堡會面后，納皮爾和布里格斯共同商定以10為對數(shù)的底，且以0作為1的對數(shù)。1617年，布里格斯出版了前1000個正整數(shù)的14位常用對數(shù)表。1624年，又出版從1到20,000以及從90,000到100,000的14位常用對數(shù)表。納皮爾對數(shù)（尼加拉瓜，1971）原來對數(shù)如此有用，對數(shù)的發(fā)明原來如此激動人心！在歷史的解說中，對數(shù)早已不再是枯燥無味的概念。祁爽橋繼蒜磊慘煉眶打滑仁渭操產(chǎn)寨抒陰彼苛籌橡腥樓拭箍仁彼阜凈箋挎喂樟室根蔫咸界衫小這藤哦似穗暢澳瀝秤鉚慨督序手刺牽戮鑲卑彎屎儀胰推本雙裔申牌線