2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東卷

1、2013年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（理科）逐題詳解參考公式:臺(tái)體的體積公式,其中分別是臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高.一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1設(shè)集合,則( )A . B C D【解析】D；易得,所以,故選D2定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A . B C D【解析】C；考查基本初等函數(shù)和奇函數(shù)的概念,是奇函數(shù)的為與,故選C3若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是( )A . B C D【解析】C；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是,故選C4已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 則的數(shù)學(xué)期望 ( )正視圖俯

2、視圖側(cè)視圖第5題圖A . B C D【解析】A；,故選A5某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則該四棱臺(tái)的體積是 ( )A . B C D【解析】B；由三視圖可知,該四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為和的正方形,高為,故,故選B6設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是( )A . 若,則 B若,則C若,則 D若,則【解析】D；ABC是典型錯(cuò)誤命題,選D7已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,在雙曲線的方程是 ( )A . B C D【解析】B；依題意,所以,從而,故選B8設(shè)整數(shù),集合.令集合 若和都在中,則下列選項(xiàng)正確的是( )A . , B, C, D, 【解析】B；特殊值法,不妨令

3、,則,故選B如果利用直接法:因?yàn)?，所以，三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立；，三個(gè)式子中恰有一個(gè)成立.配對(duì)后只有四種情況：第一種：成立，此時(shí)，于是，；第二種：成立，此時(shí)，于是，；第三種：成立，此時(shí)，于是，；第四種：成立，此時(shí)，于是，.綜合上述四種情況，可得，.二、填空題：本題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，共30分(一)必做題(913題)9不等式的解集為_(kāi)【解析】；易得不等式的解集為.10若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,則_.【解析】；求導(dǎo)得,依題意,所以.11執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的值為_(kāi).【解析】；第一次循環(huán)后:；第二次循環(huán)后:； 第三次循環(huán)后:；第四次循環(huán)后:；故輸出.第11

4、題圖12. 在等差數(shù)列中,已知,則_.【解析】；依題意,所以. 或:xy441O13. 給定區(qū)域:,令點(diǎn)集是在上取得最大值或最小值的點(diǎn),則中的點(diǎn)共確定_條不同的直線.【解析】；畫(huà)出可行域如圖所示,其中取得最小值時(shí)的整點(diǎn)為,取得最大值時(shí)的整點(diǎn)為,及共個(gè)整點(diǎn).故可確定條不同的直線.（二）選做題（14、15題,考生只能從中選做一題,兩題全答的,只計(jì)前一題的得分）14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點(diǎn)處的切線為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則的極坐標(biāo)方程為_(kāi).AEDCBO第15題圖【解析】；曲線的普通方程為,其在點(diǎn)處的切線的方程為,對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程

5、為,即.15. (幾何證明選講選做題)如圖,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長(zhǎng)到使,過(guò)作圓的切線交于.若,則_.【解析】；依題意易知,所以,又,所以,從而.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分,解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16（本小題滿分12分）已知函數(shù),.() 求的值； () 若,求【解析】()；() 因?yàn)?所以,所以,所以.17（本小題滿分12分） 第17題圖某車間共有名工人,隨機(jī)抽取名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).() 根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值；() 日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人.根據(jù)莖葉圖推斷該車間名工人中有幾名優(yōu)秀工人；() 從

6、該車間名工人中,任取人,求恰有名優(yōu)秀工人的概率.【解析】() 樣本均值為； () 由()知樣本中優(yōu)秀工人占的比例為,故推斷該車間名工人中有名優(yōu)秀工人.() 設(shè)事件:從該車間名工人中,任取人,恰有名優(yōu)秀工人,則.18（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,分別是上的點(diǎn),.COBDEACDOBE圖1圖2為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.CDOBEH() 證明:平面；() 求二面角的平面角的余弦值.【解析】() 在圖1中,易得連結(jié),在中,由余弦定理可得由翻折不變性可知,所以,所以,理可證, 又,所以平面.() 傳統(tǒng)法:過(guò)作交的延長(zhǎng)線于,連結(jié),因?yàn)槠矫?所以,所以為二面角的平面

7、角.結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而CDOxE向量法圖yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值為.向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,所以,設(shè)為平面的法向量,則,即,解得,令,得由() 知,為平面的一個(gè)法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值為.19（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知,.() 求的值；() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；() 證明:對(duì)一切正整數(shù),有.【解析】() 依題意,又,所以； () 當(dāng)時(shí), 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以. () 當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),此時(shí) 綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.20（本小題滿分14分）已知拋物線的頂點(diǎn)為

8、原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線:的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).() 求拋物線的方程；() 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程；() 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.【解析】() 依題意,設(shè)拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. () 拋物線的方程為,即,求導(dǎo)得設(shè),(其中),則切線的斜率分別為,所以切線的方程為,即,即同理可得切線的方程為因?yàn)榍芯€均過(guò)點(diǎn),所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.() 由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,所以又點(diǎn)在直線上,所以,所以所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,且最小值為.21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(其中). () 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；() 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.【解析】() 當(dāng)時(shí), , 令,得, 當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值 右表可知,函數(shù)的