線性參數(shù)的最小乘法處理0

1、第五章線性函數(shù)的最小二乘處理最小二乘原理應(yīng)用時(shí)的條件是：函數(shù)關(guān)系確定已知、等精度、誤差獨(dú)立、無(wú)偏估計(jì)得到滿足，在眾多的N個(gè)測(cè)量方程中利用最小二乘原理求得t個(gè)（t v/N）參數(shù)的最佳估計(jì)值。如前所敘，在隨機(jī)因素作用下， 測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，計(jì)算的結(jié)果就會(huì)更精密，測(cè)量次數(shù)往往大于待求未知量的個(gè)數(shù)，因而出現(xiàn)N>t的現(xiàn)象就成為自然而然的事情了。眾所周知，當(dāng)N = t時(shí)可由線性代數(shù)知識(shí)求得一組唯一正確解。當(dāng)N > t時(shí)，代數(shù)解法則無(wú)能為力了。也許讀者會(huì)提出另外一個(gè)問(wèn)題：既然N>t，可由N中取出t個(gè)方程來(lái)求解，而把（N-t）個(gè)方程棄掉，問(wèn)題不就解決了嗎？答案是不行的。這樣求解后的結(jié)果不是最佳

2、 值，有時(shí)會(huì)與最佳值離歧很大。最小二乘法是一種數(shù)學(xué)原理，高斯于1809年在他的名著天體沿圓錐截面繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的理論一書中，發(fā)表了他發(fā)現(xiàn)的最小二乘原理并應(yīng)用于測(cè)量之后，在許多科學(xué)領(lǐng)域及技術(shù)領(lǐng)域中得到越來(lái)越多地應(yīng)用。5.1函數(shù)為直接測(cè)量值得線性組合5.1.1測(cè)量方程式函數(shù)中可能存在著多個(gè)待定參數(shù)，根據(jù)該函數(shù)關(guān)系可列出多個(gè)測(cè)量后的方程式，該方程式稱作測(cè)量方程式。設(shè)含有t個(gè)待求參數(shù)Xj（j=1,2,t）的函數(shù)關(guān)系已知，表現(xiàn)為線性組合，即tY = a1X1a2X2 卷川二q Xjj 二經(jīng)N次測(cè)量（N>t）后,Xj是待定系數(shù)的真值，aj是在某具體測(cè)量條件下獲得的直接測(cè)量值, 理應(yīng)得到N個(gè)函數(shù)真關(guān)系式。

3、® & +晁+創(chuàng)丿扎匕-叫必+吟扎=2叫為為了表達(dá)更簡(jiǎn)潔，可將各方程中系數(shù)用 簡(jiǎn)寫成aj(i=1,2，,N;j=1,2,t）表示，上述方程可Y = & 1X1 +32X2 + + aijXtt- aij Xj j =1量值Y經(jīng)N次測(cè)量后的測(cè)量值用 Mi表示，則上述方程變?yōu)闇y(cè)量方程式，又稱測(cè)量條件方程,7 =切曲+創(chuàng)民 ' 叭力-+ 口垃衍+ 5召-Afj4>b1-Xy =。冊(cè)叫 + ax2 + + Q4 -收，式中，aj及Mi是在某具體測(cè)量條件下的直接測(cè)量值，Mi含有誤差，即 皿產(chǎn)Y。5.1.2剩余誤差方程式若用x?,x?2，x?表示X-X2，,xt的最

4、的可信賴值，得到 Y的最佳估計(jì)值?,即71 = °i + 嗎晶 + auxty2 =如iN + %為+ a戲*'«<<rv-ami+aNi2+ +同直接測(cè)量時(shí)一樣，可將（Mi y?）稱作剩余誤差。由此便可得到n個(gè)剩余誤差方程式見-叭佩+“ + %忑）二隔-齊工h町-<a2ii + a222 + + 巾怎 = - yt =*«*i-«>«¥9an-«mI-fc*.7 -+ a蛇+ + 臥氏 = % - r,¥ = yN可以看出，剩余誤差是各最可信賴值的函數(shù)，即T = M W = f （

5、用，a,，Xt） = f （刃1）5.1.3 正規(guī)方程組現(xiàn)在以三個(gè)待求量 x1,x2,x3為例，說(shuō)明建立正規(guī)方程組的過(guò)程，該計(jì)算方法和過(guò)程及結(jié)論，可推廣到t個(gè)待求量中去。三個(gè)待求量的函數(shù)真關(guān)系為（1 口X + 陽(yáng)為 n K（x = 3）三個(gè)待求量的測(cè)量方程為%眄 + %衍 + a3xy = y； = W, （; = 3）三個(gè)待求量的剩余誤差方程式為帆-（鈿£ + Oftii +。屆）=7i（i = 3）三個(gè)待求量剩余誤差平方和方程式為Ty? - y - <aa*i + a島 + 如玄）I1 = QG】，名局）i1is 1三個(gè)待求量參數(shù)的剩余誤差平方和是X, >?2, x3

6、的函數(shù)。根據(jù)最小二乘原理可知，恰當(dāng)?shù)剡x擇X1,X2,X3,使得'二"=I丨二min，當(dāng)上述條件得到滿足后所求得之值才是X1 ,X2 ,X3的最可信賴值，才是尋求的X?1,X?2,X?3值。這樣，尋求最可信賴值的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為對(duì)Q求極小值的問(wèn)題了，即>?, X2, X3應(yīng)滿足竝-o 應(yīng)“惣-0>0 -o應(yīng)當(dāng)注意：一階導(dǎo)數(shù)不是個(gè)具體的數(shù)值，它仍然是(>?1, >?2, x )的函數(shù)；對(duì)Y盡管測(cè)量Y10次、20次乃至N次，但求導(dǎo)后的方程式只剩下三個(gè)了，求導(dǎo)后的方程組稱作正規(guī)方程組、法方程組或標(biāo)準(zhǔn)方程組。本例中正規(guī)方程式共三個(gè)，待求量Xi, X2, X?3也是三

7、個(gè)，可;Q丹 2Q求得一組唯一正確解；在求得o后，一- 0就不用計(jì)算了，可喜的是工程領(lǐng)域的函數(shù)駐點(diǎn)處都存在著一個(gè)極小值，這給計(jì)算帶來(lái)很大方便。綜上所敘，當(dāng)n>t時(shí),；t個(gè)待求參數(shù)最可信賴值 x, X2，>?的解，是函數(shù)直接測(cè)量值Mj (j = 1，2,，t)的剩余誤差平方和為最小、是利用求導(dǎo)法、建立正規(guī)方程組(tt;)后所求得之解。由此看來(lái)，根據(jù)測(cè)量方程組，建立正規(guī)方程組是最小二乘求解的關(guān)鍵。還須說(shuō)明一點(diǎn)，最小二乘原理的應(yīng)用并不需要預(yù)先知道與測(cè)量相聯(lián)系的何種誤差分布。過(guò)去文獻(xiàn)中闡述最小二乘原理應(yīng)用時(shí)，曾要求誤差要服從正態(tài)分布，這種論斷產(chǎn)生的原因大概是大多數(shù)誤差都服從正態(tài)分布。實(shí)際上

8、最小二乘法并不要求誤差一定要服從正態(tài)分布，只需其剩余誤差平方和為最小就可以了。5.2 正規(guī)方程組的建立含有t個(gè)待定參數(shù)的線性函數(shù)中，怎樣建立正規(guī)方程組，其基本步驟可歸納如下。5.2.1根據(jù)測(cè)量結(jié)果列出測(cè)量方程組71 =加曲 + al3X2 + + aux( - Ml =旳1筍+。埠動(dòng)+十= M2-I»»fi«*r,Y = 5*1 + u世掃 4+M丿上式亦可簡(jiǎn)寫為 aij Xj = yi = Mi (i = 1,2,N; j = 1,2,t )5.2.2根據(jù)測(cè)量方程組列出剩余誤差方程組+ 叫也 + + ottif - Mt =勺爲(wèi)+斗*嗆£ -團(tuán)=y2上

9、式亦可簡(jiǎn)寫為aj Xj- Mi = i5.2.3列出剩余誤差平方和計(jì)算公式，利用求導(dǎo)法導(dǎo)出t t階正規(guī)方程組由求導(dǎo)法導(dǎo)出t t階正規(guī)方程組。根據(jù)最小二乘原理，測(cè)量結(jié)果應(yīng)滿足Q = yy = (sE + 如爲(wèi) + +- 4f,2 +(2l®l + 222 + "* +。蟲暫)M訂'+ " "' +(%£ + '十 盒)-MftY=min為滿足Q=min條件，可對(duì)X?取一階導(dǎo)數(shù)為零，即話=2(%禹 + %盒 + + auxt - 叫+ 2(«!i*t + <*a*2 + + 吟£ - 帆)切 + +

10、 2(%£ 十+ - + %£)疝機(jī)=0經(jīng)整理后可得到%叫玄 +豐+ ayatit上式中a1a1, h1a2 , a1at丨fe1M等，是高斯書寫符號(hào)，具體意義及運(yùn)算規(guī)則為住1尙= Y引切=切叫L +如 +°|礙二 工 如 = auai2 + a2ia22 + *- += 2 叫 = fflldh + 的誨 i, + + (1嗎 M=工叫甌=anML + a:lAf2 + + %叭同理，下面的書寫符號(hào)可理解為加zz“1b a1 d+ by巧+川-=aJ+aik+ -a；W二1 = 1也=+ di2M2依據(jù)二= 0 ,可依次得到t t階方程組，即=譏得到口離檢+ 叫

11、如盒+ £%玄弓専=2a2a2 > 0-o,得到+ ala2 i2 + + axal xt = d(M £* T護(hù)十叮：亠J=0*得到xj 4*(a2flii3 +;”+ a2atxt =哄M* #X止=°得到li + 出如転嚴(yán)+【a3ajxf s 朗M方程的個(gè)數(shù)恰好等于待求未知數(shù) Xj的個(gè)數(shù)。可以看出其系數(shù)行列式必不為零，故存在一組確定的唯一解。不難看出其二階導(dǎo)數(shù)恒為正值，即傘畑J >0證明了 >?1,燈2,，Xt確實(shí)是最小值。M kx =<1 flfv = #如丿M.5 Jr丿t階系數(shù)矩陣（N t），用A表示則應(yīng)當(dāng)注意，aj（i=l,2

12、,N；j=1,2,t）分別是N個(gè)誤差方程中N t個(gè)直接測(cè)量（嚴(yán)格可控）值。 由此，誤差方程又可表示為A）? - M = V，即九(Mx a22Ay；9-flaNl9-« 1LJ»M丿*剩余誤差平方和的矩陣形式，可表示為5乃了"=X+£ +并帚yyII*皿丿最小二乘原理就是使vv = nnn（At-M） - tnin524正規(guī)方程組特點(diǎn)正規(guī)方程組中各元素排列及位置時(shí)就能發(fā)現(xiàn)，該方程組具有下面三個(gè)特點(diǎn)：（1） 正規(guī)方程組主對(duì)角線上分布著系數(shù)自身的平方項(xiàng)，如|a1a1丨282丨，Qq，因此, 主對(duì)角線上的各系數(shù)的數(shù)值恒為正數(shù)；（2）主對(duì)角線是主對(duì)稱線，以對(duì)角線

13、為對(duì)稱線對(duì)稱的位置上分布著的系數(shù)值彼此之間兩兩相等，女口a1a2丿82a1丨a1a3與 83a1,a1at與8ta11 等；（3） 正規(guī)方程組內(nèi)為 tt階，根據(jù)克萊姆法則可知，系數(shù)行列式不為零時(shí)存在著一組確 定的唯一解。根據(jù)上述三個(gè)特點(diǎn)，可對(duì)所列出的正規(guī)方程組的正確性作檢查或作校核。5.2.5利用系數(shù)（測(cè)量）列表法建立正規(guī)方程組利用偏導(dǎo)法建立正規(guī)方程組，理論嚴(yán)謹(jǐn)、縝密。在工程實(shí)踐中直接測(cè)量后的各系數(shù)值 aj及Mi值多是些非整齊數(shù)字，計(jì)算起來(lái)頗為繁冗，一旦一處計(jì)算出錯(cuò)則會(huì)導(dǎo)致全錯(cuò)，而且 偏導(dǎo)法不易發(fā)現(xiàn)何處出現(xiàn)錯(cuò)也不易校核。同時(shí)，偏導(dǎo)法理論較深，也限制了的推廣。為使二乘原理得到更廣泛地應(yīng)用，最好能

14、尋找出一種使用簡(jiǎn)便、易于推廣的方法。科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一般待求量較少，多是t=24左右，此時(shí)可采用系數(shù)列表法建立正規(guī)方程組?？梢钥闯?，正規(guī)方程組內(nèi)各系數(shù)在各自位置上的排列具有一定的規(guī)律性，只要將各系數(shù)值依照正規(guī)方程中計(jì)算順序分別計(jì)算出它們各自的數(shù)值，寫人表中相應(yīng)的欄內(nèi)， 依據(jù)欄內(nèi)的內(nèi)容寫入正規(guī)方程相應(yīng)的位置上，正規(guī)方程就建立完畢，該方法簡(jiǎn)便、實(shí)用性強(qiáng)且易 于校核，下面舉個(gè)實(shí)際例子。例8- 1銅棒線膨脹系數(shù)測(cè)定問(wèn)題：在不同溫度條件下，對(duì)某銅棒測(cè)量N=5次，數(shù)據(jù)如下（單位：mm ）。A',12345l/TC20,00SO. 0040. 00jaoo60. 001 000,361 000. 53L

15、 000.741 000.911 001.06試按公式Lt =Lo（1 t）確定?0及:?直。解 為計(jì)算方便，可采用變量置換法，令= 丨x2二L0(1 )列出測(cè)量方程式 x1 t i x =Lti= Mi(2)列出剩余誤差方程式根據(jù)實(shí)際測(cè)量結(jié)果，可得到5個(gè)剩余誤差公式九 +20 00和-1 000, 36 = “ 玄 + 30+ 00名-1 000+ 53 = y2 xL + 4a 00嘉-1000.74 =旳，%, + 50. 00i2 - 1 000. 91 = y4£ +60. 00爲(wèi)-1 001.06 = ”(3)利用剩余誤差方程中的系數(shù)列表，建立正規(guī)方程組，見表»

16、8.1利用更數(shù)列聯(lián)法建立正規(guī)方程組吧ail七哄%a豆MI120. OT1 000. 361Mix)1 000,3640020 007. 22130.001 000, 53j30 00J 000, 5390030 015.93L40” 001 000,74140.00 000, 743 60040 0264150 . OD1 non. 91150. (XI000 9】2 50050 045. 55160, no1001.06160 . WL00J.06360060063. 625200.003 003 .609 000200 I6L&本例Lt=L0(1+ t)函數(shù)關(guān)系中，待求量(L0,)

17、,按式列出待求量為2個(gè)的正規(guī)方程組，即閔 玄+ 嗎嗎鬲=的M旳曾玄+ 幻幻嘉=也aiaj - 5, aiaj - 200. 00, biM 丨 - 5003. 60, bza?丨 一 9000及 2 - 200161.8以上結(jié)果分別代入正規(guī)方程內(nèi)瞄 + 200. 00名=5 003. 60、200. OOxj + 9 000嘉=200 16L 8 J以上方程是二元一次聯(lián)立方程，解之可得Xi = L)= 1000. 00, X?2 = :?= 0. 018, :?- = 0. 000018某銅棒隨溫度的變化規(guī)律是Lt = 1000.00(10. 00001 &)例2測(cè)量某電源內(nèi)阻 R及開

18、路電壓時(shí)，可按公式E0-IRi=E計(jì)算，I與E分別是負(fù)載電流和電壓。在不同條件下，獲得數(shù)據(jù)如下(電流單位A,電壓?jiǎn)挝籚)1=1.0, E=9.1； 1=2.0, E=8.0； 1=3.0, E=6.9; 1=4.0, E=6.1; 1=5.0, E=4.8。試確定Ri及E0的最可信賴值。令 x 4 = E°, x 2 = R , Mj = Ej的(1)測(cè)量方程為X4 ljX2 =EMi解牛：(2)剩余誤差方程為Xi _ I i«2 - M -i根據(jù)實(shí)測(cè)結(jié)果，可得到5個(gè)剩余誤差方程式(x( - k 0xs) - 9. 1 = yJ(xE - 2. Ox2) - 8. 0 =

19、y2(云3. 0x2) - 6. 9 二 Yj*(ij - 4, 0x2) - 6. 1 y4(爲(wèi)-5. Oi；) -4.8 = w(3)系數(shù)列表 系數(shù)列表法的格式并無(wú)嚴(yán)格的理論上的規(guī)定，可由計(jì)算者的習(xí)慣與方便來(lái)確定，比較靈活，例如本例也可用下面的表格進(jìn)行。*8.2正規(guī)方程圧規(guī)方程°|aiai#1址方程11-I9. 11-i9- i1-9. i測(cè)址方稈21-2.8.0 ., 11-2S,0-24-16.0療址方稈3!-36.91-36.9-39. 7圜雖方程41二 46, LL6- 1-4-24.4測(cè)量方程51-54,814.S-525-24.0Z =1 15-1534 9i1555

20、正規(guī)方程-巧盤嚴(yán)笑t? 1-15E0 +55Jf£ = -94,2正規(guī)方程組顯然是5E0 - 15R = 34. 915E0 + 55R = -94. 2解之，可得 E。= 10. 13V, R = 1. 05Q關(guān)于最小二乘的應(yīng)用還需作下列幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)實(shí)際測(cè)量中，函數(shù)關(guān)系確定已知，自變量是嚴(yán)格可控的已知量，函數(shù)值是直接測(cè)量之 結(jié)果，待求量是線性函數(shù)中的系數(shù)值。(2 )盡管函數(shù)關(guān)系確定已知，測(cè)量次數(shù)N不同時(shí)，計(jì)算后的最信賴值也不同，即便是又重復(fù)測(cè)量了相同的 N次，最可信賴值的計(jì)算結(jié)果也不會(huì)一致。我們知道，最小二乘計(jì)算后的 結(jié)果，盡管是 N次測(cè)量后得到的最小二乘的最佳效果，但它們?nèi)允?/p>

21、些樣本的函數(shù)值，是些 統(tǒng)計(jì)量，即隨機(jī)變量。5.3不等精度條件的最小二乘法線性函數(shù)在不等精度條件下的測(cè)量可轉(zhuǎn)化為等精度測(cè)量形式，為此，可單位權(quán)化，只需將剩余誤差方程組的兩端同乘以自身權(quán)的平方根后即可，在這種情況下就可以用等精度最小二乘估計(jì)法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，即=最小i=ln 2對(duì)v PiVi求導(dǎo)數(shù)并令其為0i三該方程滿足、PM二最小的條件，經(jīng)整理后得如下方程組:式中2仍務(wù)|厲|龍1 + 工已叫1疝耳衍+=1 2 1工Pi叫陷巫=4=1«4Ep%®內(nèi)+工刊衍+ il L»A為趴口吃務(wù)肉= "1n1=1RH.巳卩皿引的+ 2陽(yáng)1丹衍卡+圧 1£ 1工肥辰

22、間=1-151 Pi 砧4-1AXpN 皿 E.=內(nèi)如衛(wèi) W + +1-1上式就是不等精度測(cè)量時(shí)最小二乘法處理的正規(guī)方程。 的形式。為此，作代換我們還可以將該正規(guī)方程化成等精度將其代入正規(guī)方程，經(jīng)整理后得到下面的正規(guī)方程Xa-1+ J2%時(shí)舸+G = l"-風(fēng)咗嶺 + += Y ai（的十+ aafaxt =i LE工 xi可以看出，上列正規(guī)方程在形式上已與等精度測(cè)量時(shí)的正規(guī)方程完全一致了。陽(yáng)叫阿 +Pa«a«i + Ui% = 0Pi%”i +p訶竝場(chǎng)+ *'*卡P衛(wèi)同 = 0PiaUVl +P迪 11 旳 + +幾口腫m = 0 J0用矩陣表示為23N

23、pv = 0V = L - AXAPAX = A.PL可得出正規(guī)方程的解，即參數(shù)的最小二乘解為X =(ATPA) JAr PL例5-2某測(cè)量過(guò)程有誤差方程式及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如下:巧V2=氐 44 _ （和 + x；）= 0.06=0. 06=fi, 60 -（>i + 瓦）嗎=10. 81 -（*i + 込）= 0.08%工 IX 22-仙 + 4x26=0.08-15, 27 -（野 +6=0. 08試求Xi,X2的最小二乘處理正規(guī)方程的解。 解：首先確定各式的權(quán)PiPj*PrPP5 =丄7：7：寺：4：4CF CTj 6 ”* O"s_ ：1 .1.1,1 0.063 0.

24、062 0.08, 0. 08： + 0.08J二】6：16：9：9：9取各式的權(quán)為Pi=16,p2=16,p3=9,p4=9,p5=9現(xiàn)用表格計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù)：iailaaPiPiak .必如PiailiiP如h111161616166. 44103.04101042216166432霍60137.60275.3031399di27IQ. 8197.29291.8741499144拓13 . 22Its. 98475.925I39922315. 27137.436&7 151鈾53Q156594, 341831 18可得正規(guī)方程旳筍 + 156i2 = 594. 3411

25、56x（ + 530i3 = 1&33. is!解得最小二乘法處理結(jié)果為利 4. 186'x3 « 1 227J三、非線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程在一般情況下，函數(shù)Xi =£3丹嚴(yán)腐（* = 1,2,，町為非線性函數(shù)，測(cè)量的誤差方程v - A /；（叫拝肉）旳= 1血（哥，旳*血»9% = £ -人（旳，衍嚴(yán)是非線性方程組。一般來(lái)說(shuō)，直接由它建立正規(guī)方程并求解是困難的。為了解決這類問(wèn)題，一般采取線性化的方法，將非線性函數(shù)化為線性函數(shù)，再按線性參數(shù)的情形進(jìn)行處理。為此，X10,X20,xio為待估計(jì)量X1,X2,Xi的近似值，而估計(jì)量X

26、r則可表示為xi二 +毎式中，"，、：2,，“分別為估計(jì)量與所取近似值的偏差。因此，只須求得偏差-V2,，即可獲得估計(jì)量 X.X2, ,Xt?，F(xiàn)將函數(shù)在x10,x20,，xi0處展開，取一次項(xiàng)，則 有£3衍,血）=£（%宀,E）+ （普）& + （警）52 + »- + （讐）St（i = 1式中f.( -)o為函數(shù)f i對(duì)Xr的偏導(dǎo)數(shù)在Xio, X20,，Xto處的值，r =1,2,，t。并令 jXr化=A*F 也）則誤差方程化為線性方程組»i = 1 -+ ®iA + + 哎點(diǎn))、旳=幾-(的鬲+ %昂+他厲)II叫=化-

27、島+ %岔丿于是，就可以按線性參數(shù)的情形列出正規(guī)方程并求解出r (r = 1, 2,，t),進(jìn)而可求得相應(yīng)的估計(jì)量 Xr (r=1 , 2,t)。應(yīng)該指出，為獲得線性化的結(jié)果，函數(shù)的展開式只取一次項(xiàng)而略去了二次以上的高次項(xiàng)，嚴(yán)格地說(shuō)，由此給出的估計(jì)量是近似的。不過(guò)一般來(lái)說(shuō)這已能滿足實(shí)際的要求，因?yàn)橹灰〗浦礨r。的偏差r相對(duì)于所研究的問(wèn)題而言足夠小，則二次項(xiàng)以上的高次項(xiàng)其值甚微，可以忽略不計(jì)。因此，在對(duì)某一非線性參數(shù)作線性化處理時(shí)，估計(jì)量近似值的選取應(yīng)有相應(yīng)的精度要求。為獲得函數(shù)的展開式，必須首先確定未知數(shù)的近似值，其方法可以是： (1 )直接測(cè)量 對(duì)未知量Xr直接進(jìn)行測(cè)量，所得結(jié)果即可作

28、為其近似值。(2)通過(guò)部分方程式進(jìn)行計(jì)算從誤差方程中選取最簡(jiǎn)單的t個(gè)方程式，采用近似的求僻方法，如令vi=0，于是可以得到一個(gè)t元齊次方程組，由此解得 x10, x20，Xj。即為未知 數(shù)的近似值。至于到底選用哪種方法，應(yīng)視具體問(wèn)題而定。由以上討論可見，所有情況(等精度與非等精度測(cè)量，線性與非線性參數(shù))最后均可歸結(jié)為線性參數(shù)等精度測(cè)量的情形。從而，可按線性參數(shù)等精度測(cè)量的情形建立和解算正規(guī)方 程。四、最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系為了確定一個(gè)量 X的估計(jì)量X，對(duì)它進(jìn)行n次直接測(cè)量，得到 n個(gè)數(shù)據(jù)h,l2,ln，相應(yīng) 的權(quán)分別為P1，P2,pn，則測(cè)量的誤差方程為= 1 -工其最小二乘法處理

29、的正規(guī)方程為H(2嘰小=工卩皿由誤差方程知ai=|，因而有£卩小=可得最小二乘法處理的結(jié)果工=卩仏+叢+P人 八呂 "Pi +Pi + " + pi-k這正是不等精度測(cè)量時(shí)加權(quán)算術(shù)平均值原理所給出的結(jié)果。對(duì)于等精度測(cè)量有Pl P2 P則由最小二乘法所確定的估計(jì)量為卩占仏十*臥 卩（A + £ +） 即Pi * 阿+幾np t n此式與等精度時(shí)算數(shù)平均值原理給出的結(jié)果相同。由此可見，最小二乘法原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理可以看做是最小二乘法原理的特例。第三節(jié)精度估計(jì)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)最小二乘法處理的最終結(jié)果，不僅要給出待求量的最可信賴的估計(jì)量，而且

30、還要確定其可信賴程度，即應(yīng)給出所得估計(jì)量的精度。一、測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)為了確定最小二乘估計(jì)量 Xi,X2,Xt的精度，首先需要給出直接測(cè)量所得測(cè)量數(shù)據(jù)的精 度。測(cè)量數(shù)據(jù)的精度也以標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示。因?yàn)闊o(wú)法求得的真值，因而只能依據(jù)有限次的測(cè)量結(jié)果給出的估計(jì)值:?，所謂給出精度估計(jì)，實(shí)際上是求出估計(jì)值；:？。（一）等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)設(shè)對(duì)包含t個(gè)未知量的n個(gè)線性參數(shù)方程組進(jìn)行 n次獨(dú)立的等精度測(cè)量，獲得了 n個(gè)測(cè) 量數(shù)據(jù)Il,l2，In。其相應(yīng)的測(cè)量誤差分別為1,2,，n，它們是互不相關(guān)的隨機(jī)誤差。因?yàn)橐话闱闆r下真誤差1 ,2,，n是未知的，只能由殘余誤差 Vi , V2,，Vn給出2的估計(jì)量。n

31、可以證明V vi / -2是自由度為（n-t）的2變量。根據(jù)2變量的性質(zhì)，有i di因而沖由此可知：所得 于 將對(duì) 2有系統(tǒng)偏移，即n.n將不是 2的無(wú)偏估計(jì)量。因?yàn)樗?，可取n強(qiáng)=旦_n - I作為2的無(wú)偏估計(jì)量。習(xí)慣上，這個(gè)估計(jì)量也寫成2,即H/ = 挖一f因而測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量為例5-3試求例5-1中銅棒長(zhǎng)度的測(cè)量精度。已知?dú)堄嗾`差方程為Vi = h - 1999.9710. 0000183 i /° C bm i = 12 ，6將ti，li值代入上式，可得殘余誤差為叫二2000. 36 - 1999, 97x(1 +0,0000183 x 10)mm =0. 03mm

32、“2000. 72 -19毀 97x(】+Ot 0000183 x 20)=0. 02mm叭2000-1999*97x(1 +0F OOOOJ83 x25) mm = 0+08mm p4 =2001.07-1999.97x(1 +0, 0000133 x3Q)mm =0mm 嗎-2001.48 -1999.97 x (1 +0.0000183 x 40)mm =Q. 05 mm % =【W(wǎng) 岡-19対 97 x(1 +0, 0000183 x 45) mm= -0+ 02mm6= O+ 0i06mrnJ因 n=6, t=2于是可得標(biāo)準(zhǔn)差為（二）不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)不等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估

33、計(jì)與等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)相似，只是公式中的殘余誤差平方和變?yōu)榧訖?quán)的殘余誤差平方和，測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)方差的無(wú)偏估計(jì)為F Ji - /通常習(xí)慣寫成3£屈故測(cè)量數(shù)據(jù)的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差為二、最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)最小二乘法所確定的估計(jì)量Xi,Q,xt的精度取決于測(cè)量數(shù)據(jù)的精度和線性方程組所給出的函數(shù)關(guān)系。對(duì)給定的線性方程組，若已知測(cè)量數(shù)據(jù)li,l2,ln的精度，就可求得最小二乘估計(jì)量的精度。下面首先討論等精度測(cè)量時(shí)最小二乘估計(jì)量的精度估計(jì)。 設(shè)有正規(guī)方程nAAh2映* +為叫宀舸+ XE叫仏|1i.iiHI4a+ aaaut"""Ip»M-ni|&#

34、163;+ X aaaax2 + + E 叫為出=仏1 = i 41i lJ現(xiàn)要給出由此方程所確定的估計(jì)量Xi,X2，,xt的精度。為此，利用不定乘數(shù)法求出Xi,X2，,Xt的表達(dá)式，然后再找出估計(jì)量Xi,X2，,Xt的精度與測(cè)量數(shù)據(jù)1山2，,ln精度的關(guān)系，即可得到估計(jì)量精度估計(jì)的表達(dá)式。設(shè)有不定乘數(shù)dii,di2,dit；d2i,d22,d2t；，dti,dt2,，dtt。（共 t t 個(gè)）。為求 Xi,令d11,d12,d1t分別去乘上面的正規(guī)方程中的第1, 2,，t式，得% S知吹I +比】工吹g + *+碼嚴(yán)曲=dn y an/.1-1ixi-e油e g%如知+為工叱也+心2衍坨=d

35、沖y唧i_1i-liTi血X知叫衍+acia + -工必£嚅如=1r*li-s 1( -x<s airaa =r=l Ef9«Bft2幾孚血=OJi«LfH衍=為弗2>叢r ® I訂1H-JI海=叫迄叫上+ 12 £訕+ % y aJi"I 1=召引 + di2an + + 斗皿“ + <!«：, + dnau + - + dltal2 + + 血】+嘰5&阿I + i2aia 十+ duau = At 心嚴(yán)畫+ di2a +血嶺 =A),*必1% +也皿+ "+嘰略=AJt?T * 口3

36、 KC=P* F"斗T1 乂1X 丄亙亠 亠1因/ 1, 12, , '尢為相互獨(dú)立（因而互不相關(guān)） 的正態(tài)隨機(jī)變量，且為等精度的！ =trn =礦，貝刂有試I=九？ If: +九bT;牛十九7. d ：=（允：I +九乞卄十允：冂）釘 2 將等式右端d 2的系數(shù)展開，并適當(dāng)?shù)睾喜⑼愴?xiàng)，注意到不定乘數(shù) d,*, d, 9, 條件式（3. 47）,最后可得7 3. = dnc同樣，再用d /, d? 2，嚨：分別去乘正規(guī)方程各式，將乘得的各式相加，按扎，死yr 3幾=局廚+ Ajjtf +局就=（晞+焉+ +虬）#tr： = dLlaE吐£ 曲+工心f 2 %叫衍士

37、+工*藝口沁必=y 3r y ajf rs IEIf = 1|r I(j.t-K Jj. JAfa亠出口 “-c*冶皿r-l i=l叫 = o%?？?-1|»tnS心叫=0.r=1=!a工叫%禺1 + 丫比嚴(yán)顯悅+工=1 gj = iEIt工吹局+21HJIhl-Bn口謳理+ 護(hù)屏"=omil工 ailail 11E =工%如+嘰毒o , slE"HS aila22 + + 三 %血=0iMt«!轉(zhuǎn)nX ai2alllL + 工如弧 + + V «ali = 1r> I$ |“ i睥耳AQ宀di + X aaaa22 +*工%血=0ilE

38、gitX aiiaill + 2如血 + + X ailA = 0 eEJTi界Aft£磚引比I + 2%如氐+ X aaau = 0 1*1i 巧is |用尺k£血占爲(wèi)l4l + £嗎% +皿心血=1 .方程組（5. 51）中，不定乘數(shù)吒（、,J= 1, 2;.。，訝）的系數(shù)與正規(guī)方程（5.19）的系數(shù)完全一樣，因而在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以利用解正規(guī)方程的中間結(jié)果，十分簡(jiǎn)便。由式（5、51）求得不定乘數(shù) d */, d,。，噸，則各估計(jì) E*/, “ 2，免/的方差 為= daa2 丿pItSAflii°.i*i +必5%2 + 丫幾5<1曲 = 工卩

39、心仏 I Ii*ii a |*Rn若 P如 g + 號(hào) PSX2 + §Pi%ag = RpeJi若嘰如衍+辛硼護(hù)2 + £嘰Qg =* * *1 s 1o工 PiSSidi + PiOaaa2 + + 工 “血=0 $】i«lid RnXPi°ua.ii + Lpfiuaadn + puaudi = 0 - 1E««!代eftPiaiail2 + PiaiiaQZ2 + + 工卩02 “血=0 iiiEE* *nPiai2aa2 + 丫/5<1 詔 E +“血=1 i»lB«|jTj11*A2p<&#

40、176;ua.i2i +工卩心宀血+工卩幾兀/心=0i«Ia 1Piaaaaa +幾。討<2 + 丫卩心皿”此=0* i»l| |+ 2嘰"=1i >16 =s =J =(Dln Dln DZ, ADL =Dl“ Dig Dl“皿兒Dl“-E(L 一 EL)(L 一 EL)1= 0*2 =(7 = a= (ATA)-,ATa2ZA(ATA)_,=(A A)-1a2Dk = (ATPA)a2(AtPA)-1a】&2血、%血血6a + 1706% = 1200603mm170a + 56506 七=340201.3 mma = 0. 051mm6r

41、fn + 170d = 1 170% + 56504l2 = 0/6d2, + 17O4» = 0ITOcij! + 5650Jh = 1.dlt = 1, 13 da = 0. 0012<rfl = <r J去w - 0. 051 /13mm = 0, 054mm<rft = er s/d - 0 Q51 vO* OOllmm/T： = 0. OOlSmm/tTo0.0018/T1999. 97(7 應(yīng)=(7 = 0. 054mm=9 x 10 rcC第四節(jié) 組合溺量的最小二乘法處理 在精密測(cè)試工作中，組合測(cè)量占有十分重要的地位。例如，作為標(biāo)準(zhǔn)量的多面棱體、盤、砝碼、電容器以及其他標(biāo)準(zhǔn)器的檢定等，為了減小隨機(jī)誤差