分析力學(xué),拉格朗日方程ppt課件

1、5.1 自在度和廣義坐標自在度和廣義坐標 5.2 虛位移原理虛位移原理5.3 動能和勢能動能和勢能5.4 DAlembert原理原理 5.5 Lagrange方程方程5.6 哈密爾頓原理哈密爾頓原理自在度自在度 完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨立坐標數(shù)稱完全確定系統(tǒng)在任何瞬時位置所需的獨立坐標數(shù)稱為自在度。為自在度。 5.1 自在度和廣義坐標自在度和廣義坐標 分析力學(xué)分析力學(xué) 分析力學(xué)是利用分析方法研討質(zhì)點系平衡和運動問分析力學(xué)是利用分析方法研討質(zhì)點系平衡和運動問題的工具。它從能量的觀念，一致建立起系統(tǒng)動能、勢題的工具。它從能量的觀念，一致建立起系統(tǒng)動能、勢能和功之間的標量關(guān)系，是研討靜動力

2、學(xué)問題的一個普能和功之間的標量關(guān)系，是研討靜動力學(xué)問題的一個普遍、簡單又一致的方法。遍、簡單又一致的方法。 廣義坐標廣義坐標 用某一組獨立坐標參數(shù)就能完全確定系統(tǒng)在任用某一組獨立坐標參數(shù)就能完全確定系統(tǒng)在任何瞬時的位置，那么這組坐標稱為廣義坐標。何瞬時的位置，那么這組坐標稱為廣義坐標。 普通地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時廣義坐標的數(shù)目普通地，建立振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時廣義坐標的數(shù)目與自在度相等。與自在度相等。約束約束 對質(zhì)點在空間的運動所加的限制稱為約束。對質(zhì)點在空間的運動所加的限制稱為約束。 質(zhì)點的自在度質(zhì)點的自在度 質(zhì)點在空間需求質(zhì)點在空間需求3 3個獨立坐標才干確定它在任何瞬時的個獨立坐標才干確

3、定它在任何瞬時的位置，因此，它的自在度為位置，因此，它的自在度為3 3。n n個毫不相關(guān)、無任何約束的個毫不相關(guān)、無任何約束的質(zhì)點組成的質(zhì)系自在度為質(zhì)點組成的質(zhì)系自在度為3n3n。剛體的自在度剛體的自在度 一個剛體在空間需求一個剛體在空間需求6 6個獨立坐標才干確定其在任何瞬個獨立坐標才干確定其在任何瞬時的位置，因此它的自在度為時的位置，因此它的自在度為6 6。m m個無約束剛體組成的系統(tǒng)個無約束剛體組成的系統(tǒng)自在度為自在度為6m6m。振動系統(tǒng)的自在度振動系統(tǒng)的自在度 振動系統(tǒng)力學(xué)模型中假設(shè)有振動系統(tǒng)力學(xué)模型中假設(shè)有n n個質(zhì)點和個質(zhì)點和m m個剛體，那個剛體，那么它的自在度么它的自在度DOF

4、DOF必定滿足以下方程：必定滿足以下方程：DOF = 3 n + 6 m -約束方程數(shù)約束方程數(shù) 例例 5.1 圖圖 (a)中，質(zhì)量用一中，質(zhì)量用一根彈簧懸掛。圖根彈簧懸掛。圖b中質(zhì)中質(zhì)量用一根長度為量用一根長度為l，變形可忽，變形可忽略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的略的懸絲懸掛。分析系統(tǒng)的自在度，并建立系統(tǒng)的廣義自在度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標。坐標。 這樣，坐標這樣，坐標 x 、 y 和和 z 就再不獨立。假設(shè)用球面坐標就再不獨立。假設(shè)用球面坐標r 、y 和和j 來表來表示，必需滿足條件示，必需滿足條件 r = l ，只需用，只需用y 和和j 兩個坐標就能完全確定質(zhì)量在任兩個坐標就能完全確定質(zhì)量在任何

5、瞬時的位置，即廣義坐標數(shù)為何瞬時的位置，即廣義坐標數(shù)為2，自在度為，自在度為2。解解 對圖對圖a所示的系統(tǒng)，雖然質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自在地伸長，所示的系統(tǒng)，雖然質(zhì)量用彈簧懸掛，但彈簧能自在地伸長，因此它的約束方程為零，自在度為因此它的約束方程為零，自在度為3。 對圖對圖b所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長，所示的系統(tǒng)，懸掛質(zhì)量的懸絲不可伸長， 因此在空間的位置必因此在空間的位置必需滿足質(zhì)量離懸掛點的間隔堅持不變的條件，即滿足以下方程約束方程：需滿足質(zhì)量離懸掛點的間隔堅持不變的條件，即滿足以下方程約束方程：2222lzyx(a) b例例 5.2 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和

6、質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈銜接處用鉸鏈銜接成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈O與固定點銜接，使雙擺只與固定點銜接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動，分析系統(tǒng)的自在度，并建立系能在平面內(nèi)擺動，分析系統(tǒng)的自在度，并建立系統(tǒng)的廣義坐標。統(tǒng)的廣義坐標。 設(shè)剛性桿設(shè)剛性桿l 1與與x軸的夾角為軸的夾角為q 1 ，剛性桿，剛性桿l 2與與x軸的夾角為軸的夾角為q 2 ，方向，方向如下圖，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置，如下圖，那么用和可以完全確定雙擺在任何瞬時的位置， q 1和和q 2可以可以作為雙擺的廣義坐標。作為雙擺的廣義坐標。 解

7、解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此，由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，因此， z 1 = 0，z 2 = 0，而雙擺的長度，而雙擺的長度l 1和和l 2不變，即不變，即 利用自在度利用自在度DOF計算的公式，可得到雙擺的自在度為計算的公式，可得到雙擺的自在度為 212121lyx22212212lyyxxDOF 完好約束完好約束 當約束方程本身或約束方程經(jīng)過積分后可以用下式所示的方當約束方程本身或約束方程經(jīng)過積分后可以用下式所示的方式表示時，稱為完好約束。顯然，例式表示時，稱為完好約束。顯然，例5.15.1和例和例5.25.2的約束都是完的約束都是完好約束。好約束。0)(tz,y,x,fi定常約束定常

8、約束當約束方程與時間當約束方程與時間t t 無關(guān)時，稱為定常約束。例無關(guān)時，稱為定常約束。例5.15.1和例和例5.25.2的的約束都是定常約束。約束都是定常約束。不完好約束不完好約束 當約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完當約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完好約束。具有不完好約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自在度不等于廣義坐好約束。具有不完好約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自在度不等于廣義坐標數(shù)，自在度數(shù)小于廣義坐標數(shù)。標數(shù)，自在度數(shù)小于廣義坐標數(shù)。不完好約束不完好約束 當約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完當約束方程含有不能積分的速度項時，系統(tǒng)的約束稱為不完好約束。具有不完

9、好約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自在度不等于廣義坐好約束。具有不完好約束的系統(tǒng)，系統(tǒng)的自在度不等于廣義坐標數(shù)，自在度數(shù)小于廣義坐標數(shù)。標數(shù)，自在度數(shù)小于廣義坐標數(shù)。例例 5.3 剛體剛體A經(jīng)過三個點放置經(jīng)過三個點放置在在xoy 平面上，其中的兩個接平面上，其中的兩個接觸點可在平面上作無摩擦自在觸點可在平面上作無摩擦自在滑動，而滑動，而P點有一個刀片，使點有一個刀片，使其只能沿刀片方向挪動，分析其只能沿刀片方向挪動，分析冰刀系統(tǒng)的廣義坐標和自在度。冰刀系統(tǒng)的廣義坐標和自在度。解解 由于剛體由于剛體A在在xoy平面中挪動，因此需求三個廣義坐標平面中挪動，因此需求三個廣義坐標(x, y和和q)描畫其描畫其在恣意

10、時辰的位置。在恣意時辰的位置。 而剛體而剛體A只能沿刀片方向挪動，因只能沿刀片方向挪動，因此有約束方程：此有約束方程：自在度數(shù)為自在度數(shù)為2 2，小于廣義坐標數(shù)。，小于廣義坐標數(shù)。tanxy虛位移虛位移 所謂非自在質(zhì)點系的虛位移是指在某一固定時辰，約束所所謂非自在質(zhì)點系的虛位移是指在某一固定時辰，約束所允許發(fā)生的坐標微小改動量。允許發(fā)生的坐標微小改動量。 虛位移只是約束允許的能夠位移虛位移只是約束允許的能夠位移 ，并不一定是系統(tǒng)的真實位移。它，并不一定是系統(tǒng)的真實位移。它與時間與時間t t 的變化無關(guān)。的變化無關(guān)。 虛位移用虛位移用d d 表示，真實微小位移用表示，真實微小位移用d d表示。表

11、示。虛功虛功 力在虛位移上的元功稱為虛功。力在虛位移上的元功稱為虛功。在系統(tǒng)運動或平衡中處于主導(dǎo)位置。在系統(tǒng)運動或平衡中處于主導(dǎo)位置。約束作用于系統(tǒng)的力。約束作用于系統(tǒng)的力。力的分類力的分類作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和自動力。作用于系統(tǒng)的力可分為兩類：約束反力和自動力。理想約束理想約束 在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。在虛位移上不做功的約束稱為理想約束。虛位移原理虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是：件是：作用于質(zhì)點系一切自動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之作用于質(zhì)點系一切自動力在該位置處的任何虛位移

12、中的虛功之和等于零。和等于零。虛位移原理虛位移原理 受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條受定常理想約束的質(zhì)點系在某一位置平衡的必要與充分條件是：件是：作用于質(zhì)點系一切自動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之作用于質(zhì)點系一切自動力在該位置處的任何虛位移中的虛功之和等于零。和等于零。01piiiWrF其數(shù)學(xué)表達式為其數(shù)學(xué)表達式為: :其中，其中，F(xiàn)iFi為作用于質(zhì)點系的自動力，為作用于質(zhì)點系的自動力， dri dri為虛位移。上式也稱為虛功方程。為虛位移。上式也稱為虛功方程。虛位移原理的另一種表述虛位移原理的另一種表述 假設(shè)系統(tǒng)有假設(shè)系統(tǒng)有n n個自在度，恣意一點的坐標矢量可以用個自在

13、度，恣意一點的坐標矢量可以用n n個廣義坐標和時個廣義坐標和時間間t t來表示，即：來表示，即：)(21tqqqnii，rr由于虛位移與時間無關(guān)，那么由于虛位移與時間無關(guān)，那么有：有：nkkkiiqq1rr 代入虛功方程，得：代入虛功方程，得： pinkkkiiqqW11rF對換求和的次序，得：對換求和的次序，得： nkkpikiiqqW11rF其中，其中， 為與廣義坐標為與廣義坐標qk qk 對應(yīng)的廣對應(yīng)的廣義力。義力。 ), 2, 1(1nkqQpikiikrF這樣，虛功方程可以寫成：這樣，虛功方程可以寫成：01nkkkqQW 由于虛位移是約束所允許的恣意能夠位移，因此可恣意選擇，當上式成

14、由于虛位移是約束所允許的恣意能夠位移，因此可恣意選擇，當上式成立時，有：立時，有：), 2, 1(0nkQk 虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，虛位移原理可表述為：在理想約束情況下，n n 個自在度的系統(tǒng)到達平衡個自在度的系統(tǒng)到達平衡的充要條件是的充要條件是n n 個廣義力都等于零。個廣義力都等于零。動能動能 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m im i的質(zhì)點在某位置時的速度是的質(zhì)點在某位置時的速度是 ，那么質(zhì)，那么質(zhì)點在此位置的動能為點在此位置的動能為 ir iiimVrr 21其中其中,nkikkiitqq1rrr假設(shè)振動系統(tǒng)由假設(shè)振動系統(tǒng)由p個質(zhì)點組成，那么系統(tǒng)的動個質(zhì)點組成，那么系統(tǒng)的動能為能為

15、ipiiimVrr 121 當系統(tǒng)具有定常約束時，各質(zhì)點的坐標只是廣義坐標的函數(shù)，而不顯當系統(tǒng)具有定常約束時，各質(zhì)點的坐標只是廣義坐標的函數(shù)，而不顯含時間含時間 t 。系統(tǒng)的動能可寫成：。系統(tǒng)的動能可寫成：pinlllinkkkiiqqqqmV11121rr改動求和的次序，得：改動求和的次序，得： nknllkpilikiiqqqqmV11121rrnknllklkqqmV1121或：或：其中，其中， 和和 為廣義速度，為廣義速度， 為廣義質(zhì)量系數(shù)，為廣義質(zhì)量系數(shù)， 。kq lq lkmpilikiilkqqmm1rr 引入廣義質(zhì)量矩陣引入廣義質(zhì)量矩陣 M ，并引入廣義速度列陣，并引入廣義速度

16、列陣 ，那么動能可表示，那么動能可表示為為q 顯然顯然 有有m k l = m l k。當質(zhì)點在平衡位置附近作小振動時可近似地取其。當質(zhì)點在平衡位置附近作小振動時可近似地取其在平衡位置附近臺勞級數(shù)展開的第一項，即將在平衡位置附近臺勞級數(shù)展開的第一項，即將m k l取為與廣義坐標無關(guān)的取為與廣義坐標無關(guān)的常數(shù)。常數(shù)。21TqMqV顯然，動能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。顯然，動能是正定的，廣義質(zhì)量矩陣也是正定的。權(quán)利場和權(quán)利權(quán)利場和權(quán)利 質(zhì)點從力場中某一位置運動到另一位置時，作用力的功與質(zhì)點從力場中某一位置運動到另一位置時，作用力的功與質(zhì)點閱歷的途徑無關(guān)，而只與其起點及終點位置有關(guān)，這就是質(zhì)

17、點閱歷的途徑無關(guān)，而只與其起點及終點位置有關(guān)，這就是所謂的權(quán)利場。重力場、萬有引力場和彈性力場都是權(quán)利場。所謂的權(quán)利場。重力場、萬有引力場和彈性力場都是權(quán)利場。在權(quán)利場中質(zhì)點所受的力稱為權(quán)利。在權(quán)利場中質(zhì)點所受的力稱為權(quán)利。勢能勢能所謂勢能是把質(zhì)點從當前位置移至勢能零點的過程中權(quán)利所作所謂勢能是把質(zhì)點從當前位置移至勢能零點的過程中權(quán)利所作的功。根據(jù)勢能的定義，特別需求強調(diào)的是：勢能大小與規(guī)定的功。根據(jù)勢能的定義，特別需求強調(diào)的是：勢能大小與規(guī)定的勢能零點位置有關(guān)。的勢能零點位置有關(guān)。勢能勢能在線性系統(tǒng)中，勢能是廣義坐標的二次函數(shù)?？捎镁仃嚪绞奖碓诰€性系統(tǒng)中，勢能是廣義坐標的二次函數(shù)?？捎镁仃嚪?/p>

18、式表示成：示成：21TqKqU 例例 5.4 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈銜接成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈處用鉸鏈銜接成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈O與固定點銜接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微與固定點銜接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。振動時的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。 解解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q 1和和q 2為廣義坐為廣義坐標。并以平衡位置標。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢能零點。作為勢能零點。那么系統(tǒng)的勢能為那么系統(tǒng)的勢

19、能為)cos1()cos1()cos1(22112111llgmlgmU 其中，其中， K K 為剛度矩陣。普通地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣。為剛度矩陣。普通地，剛度矩陣是對稱、半正定矩陣。微振動時，系統(tǒng)的勢能在平衡位置附近展開并保管廣義坐標的二次項：微振動時，系統(tǒng)的勢能在平衡位置附近展開并保管廣義坐標的二次項：21)(21222221121lgmlgmmU系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動能為)(cos2212112212122222121221211llllmlmV22222122121221212121)(cos)(21lmllmlmm通常，系數(shù)通常，系數(shù) m i j 普通不是常數(shù)，這里普通不是常數(shù)

20、，這里m 1 2和和m 21是廣義坐標的函數(shù)是廣義坐標的函數(shù))(cos21122121221llmmm當系統(tǒng)在平衡位置附近作小運動時，系數(shù)當系統(tǒng)在平衡位置附近作小運動時，系數(shù) m i j 取其在平衡位置附近臺勞級取其在平衡位置附近臺勞級數(shù)的第一項：數(shù)的第一項：212122121llmmm那么系統(tǒng)的動能可寫成那么系統(tǒng)的動能可寫成222222121221212121)(21lmllmlmmV將動能和勢能寫成矩陣方式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：將動能和勢能寫成矩陣方式可以得到剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：21)(21222221121lgmlgmmU222222121221212121)(21lmllmlmm

21、V2212100)(lgmlgmmK2222122122111)(lmllmllmlmmM質(zhì)系質(zhì)系DAlembert原理原理 作用在質(zhì)系上的外力自動力和約束反力和慣性力構(gòu)成平衡作用在質(zhì)系上的外力自動力和約束反力和慣性力構(gòu)成平衡力系。力系。), 2, 1(0pimiii rR其數(shù)學(xué)表達式為其數(shù)學(xué)表達式為: :其中，其中，R i R i 為自動力為自動力F iF i和約束反力和約束反力f if i的向量和。的向量和。運用運用D DAlembertAlembert原理可將虛位移原理推行到動力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點原理可將虛位移原理推行到動力學(xué)問題。上式左邊可看成質(zhì)點上的合力，計算整個質(zhì)系的虛功，

22、有上的合力，計算整個質(zhì)系的虛功，有0)(1piiiiiimWrrfF 在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有在理想約束下，約束反力虛功之和為零，因此有0)(1piiiiimWrrF 動力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程作用在理想約束質(zhì)系上一切的自動力和慣性力恣意瞬時在虛位作用在理想約束質(zhì)系上一切的自動力和慣性力恣意瞬時在虛位移上的虛功之和等于零。移上的虛功之和等于零。 Lagrange方程方程 拉格朗日方程利用廣義坐標來描畫非自在質(zhì)點系的運動，這拉格朗日方程利用廣義坐標來描畫非自在質(zhì)點系的運動，這組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的方式出現(xiàn)，組方程以系統(tǒng)的動能、勢能、耗散函數(shù)和廣義力的方式

23、出現(xiàn)，具有以下方式：具有以下方式：)., 2, 1(ddniQqDqLqLtiiii Lagrange方程為非自在質(zhì)點系的動力學(xué)問題提供了一個普遍、簡單又方程為非自在質(zhì)點系的動力學(xué)問題提供了一個普遍、簡單又一致的方法。一致的方法。式中：式中：L 為為Lagrange 函數(shù)，它是系統(tǒng)動能函數(shù)，它是系統(tǒng)動能V和勢能和勢能U之差，之差， L = V - U 。 而而 和和 ( i = 1, 2, , n) 是系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度；是系統(tǒng)的廣義坐標和廣義速度；是耗散函數(shù)，其中是耗散函數(shù)，其中c i j為系統(tǒng)在廣義坐標為系統(tǒng)在廣義坐標q j方向有單位廣義速度時，在廣義方向有單位廣義速度時，在廣義坐標

24、坐標q i方向產(chǎn)生的阻尼力；方向產(chǎn)生的阻尼力； Q i 是在廣義坐標方向是在廣義坐標方向q i的廣義力，的廣義力， ，其中其中W是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。是除阻尼力外的其他非保守力所作的功。 和和 分別是對廣義分別是對廣義坐標和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)，坐標和對廣義速度求偏導(dǎo)數(shù)， 是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。是對時間求一次導(dǎo)數(shù)。ninjjij iqqcD1121iiqWQiqiq tddiqiq例例 5.5 右圖表示由剛性桿右圖表示由剛性桿l 1和質(zhì)量和質(zhì)量m 1及剛性桿及剛性桿l 2和質(zhì)量和質(zhì)量m 2組成的兩個單擺在組成的兩個單擺在O 處用鉸鏈銜接成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈處用鉸鏈銜接成雙擺，并經(jīng)過鉸鏈

25、O與固定點銜接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微與固定點銜接，使雙擺只能在平面內(nèi)擺動。求系統(tǒng)作微振動時的振動微分方程。振動時的振動微分方程。 解解 由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取由于雙擺只能在平面內(nèi)擺動，可取q 1和和q 2為廣義坐為廣義坐標。并以平衡位置標。并以平衡位置 q 1q 2 0 作為勢能零點。作為勢能零點。由例由例5.4，系統(tǒng)的勢能與動能分別為：，系統(tǒng)的勢能與動能分別為：22222122121221212121)(cos)(21lmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121lgmlgmmU 112112212121sin)()(sinlgmmllmL22221212

26、122sin)(sinlgmllmL例例 5.522222122121221212121)(cos)(21lmllmlmmV)cos1()cos1()(2221121lgmlgmmU )(cos)(122212121211llmlmmL22221212122)(coslmllmL)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211 llmllmlmmLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122 llmlmllmLt例例 5.5由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只需把前面得到的項代入方程相由于系統(tǒng)無阻尼、無外力，因此只需把前面得到的項代入方程相應(yīng)的位置就可

27、以得到系統(tǒng)的振動微分方程應(yīng)的位置就可以得到系統(tǒng)的振動微分方程0dd11LLt0dd22LLt)(sin)()(cos)(dd12221212122212121211 llmllmlmmLt112112122121sin)()(sinlgmmllmL0sin)()(sin)(cos)(1121122221212221212121lgmmllmllmlmm 例例 5.50dd22LLt)(sin)()(cosdd1212121222221212122 llmlmllmLt0sin)(sin)(cos222122122222121212lgmllmlmllm 普通情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，

28、只需當雙擺作微振動時，普通情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只需當雙擺作微振動時，將將 ， 代入，并只保管廣義位移和廣義速度的線性項時代入，并只保管廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。sin1cos22221212122sin)(sinlgmllmL例例 5.50)()(1121221212121lgmmllmlmm 022222221212lgmlmllm 寫成矩陣的方式寫成矩陣的方式0000)(2122121212222122122121lgmlgmmlmllmllmlmm（ 0sin)()(sin)(cos)(112112222121

29、2221212121lgmmllmllmlmm 0sin)(sin)(cos222122122222121212lgmllmlmllm 普通情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只需當雙擺作微振動普通情況下，雙擺的振動方程是非線性方程，只需當雙擺作微振動時，將時，將 ， 代入，并只保管廣義位移和廣義速度的線性代入，并只保管廣義位移和廣義速度的線性項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。項時系統(tǒng)的振動微分方程才是線性的。sin1cos例例 5.6 圖示系統(tǒng)中質(zhì)量圖示系統(tǒng)中質(zhì)量M只能沿程度只能沿程度方向挪動，一擺長為質(zhì)量為方向挪動，一擺長為質(zhì)量為l 的單擺在的單擺在O點與質(zhì)量點與質(zhì)量M 鉸接，其他參數(shù)如圖。鉸接，其他參數(shù)如圖。試列出系統(tǒng)作微振動的方程。試列出系統(tǒng)作微振動的方程。 質(zhì)量質(zhì)量 M M 的速度：的速度：質(zhì)量質(zhì)量m m的速度：的速度： x 系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能)cos2(21212222lxlxmxMV22)sin()cos(llx系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能221)cos1(xklgmULagrange函數(shù)函數(shù) UVL耗散函數(shù)耗散函數(shù) 221xcD其他非保守力所做的功其他非保守力所做的功 xtFW)(解解 建立廣義坐標建立廣義坐標x和和，坐標，坐標x 的原點在系統(tǒng)靜平的原點在系統(tǒng)靜平