大一高數(shù)期末復習課提綱筆記

1、1兩類重要極限兩類重要極限單調(diào)有界必有極限單調(diào)有界必有極限夾逼定理夾逼定理無窮小無窮小無窮大無窮大與與性質(zhì)性質(zhì)有限個無窮小的和有限個無窮小的和,積仍是無窮小積仍是無窮小無窮小與有界量的積仍是無窮小無窮小與有界量的積仍是無窮小(高階高階, 低階低階,同階同階,等價等價,階階)k1sinlim0 xxxe)11(lim xxx極限存在準則極限存在準則比較比較 第一章第一章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)2常用等價無窮小常用等價無窮小1e xx, 0 x當當1 xaaxlnxsinxxtanxxarcsinxxarctanx)1ln(x xxxsintan 23xxcos1 22x1)1( xx 3(2) 同

2、除最高次冪同除最高次冪;(1) 消去零因子法消去零因子法;(6) 復合函數(shù)求極限法則復合函數(shù)求極限法則(7) 利用左、右極限求分段函數(shù)極限利用左、右極限求分段函數(shù)極限;(5) 利用無窮小運算性質(zhì)利用無窮小運算性質(zhì)(3) 通分通分;(4) 同乘共軛因式同乘共軛因式;(8) 利用夾逼定理利用夾逼定理;(11) 利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(代入法代入法);(10) 利用等價無窮小代換利用等價無窮小代換;(9) 利用兩類重要極限利用兩類重要極限;(12) 利用洛必達法則利用洛必達法則. 函數(shù)極限的求法函數(shù)極限的求法洛必達法則洛必達法則+等價無窮小代換等價無窮小代換洛必達法則洛必達法則+變上限

3、積分求導變上限積分求導4例例xxxxxsintan0eesin1tan1lim 故故)e)(esin1tan1(sintanlimsintan0 xxxxxxx xxxxxsintan0eesintanlim21 )1e (esintanlim21sintansin0 xxxxxx1esintan xx,sintanxx , 0 x當當)1e (esintanlim21sintansin0 xxxxxx原原式式)sin(tanesintanlim21sin0 xxxxxx 21 5兩對重要的單側(cè)極限兩對重要的單側(cè)極限, 0lim )1(10 xxaa.21arctanlim0 xx,lim10

4、 xxa,21arctanlim0 xx. 11lim2 xxx一類需要注意的極限一類需要注意的極限, 11lim2 xxx6 )()(lim 00 xfxfxx 左連續(xù)、右連續(xù)左連續(xù)、右連續(xù) 的定義連續(xù)連續(xù)間斷點的分類間斷點的分類閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性有界性最大最大,最小值定理最小值定理介值定理介值定理, 第一類間斷第一類間斷第二類間斷第二類間斷(可去型可去型, 跳躍型跳躍型)(無窮型無窮型, 振蕩型振蕩型) 零點定理零點定理7,e11)(1的間斷點的間斷點求求xxxf 解解函數(shù)無定義函數(shù)無定義,1, 0時時當當 xx是函數(shù)的間斷點是函數(shù)的間斷點., 0 x)(lim

5、0 xfx由于由于xxx 1e11lim0, 所以所以0 x是函數(shù)的是函數(shù)的第二類間斷點第二類間斷點,且是且是無窮型無窮型., 1 x由于由于)(limxfxxx 1e11lim10 )(limxfxxx 1e11lim11 所以所以1 x是函數(shù)的是函數(shù)的第一類間斷點第一類間斷點,且是且是跳躍型跳躍型.并指出其類型并指出其類型. 1x 1x例例8求求的間斷點的間斷點, ,)1)(1(sin)1()( xxxxxxf)1)(1(sin)1(lim1 xxxxxx,1sin21 x = 1為第一類為第一類可去間斷點可去間斷點,)(lim1 xfxx = 1為第二類為第二類無窮間斷點無窮間斷點,1)

6、(lim0 xfxx = 0為第一類為第一類跳躍間斷點跳躍間斷點例例解解并判別其類型并判別其類型. .0, 1, 1 xxx是間斷點是間斷點, , 1 x, 0 x, 1 x.1)(lim0 xfx9.,11sin)1sin(121211并判斷其類型并判斷其類型的間斷點的間斷點求求 xxyxx.10:是可能的間斷點是可能的間斷點，可知可知解解 xx處，處，在在0 )1( x但不相等，但不相等，處的左右極限都存在處的左右極限都存在因在因在,0 x.,0且是跳躍間斷點且是跳躍間斷點為函數(shù)的第一類間斷點為函數(shù)的第一類間斷點所以所以 x)1(sin1lim)1(sin1lim 2020 yyxx，例例

7、10在且相等，在且相等，處函數(shù)的左右極限都存處函數(shù)的左右極限都存即在即在1 x11sin)1sin(1212limlim1111 xxyxxxx31 處處，在在1 )2( x.,1且是可去間斷點且是可去間斷點是函數(shù)的第一類間斷點是函數(shù)的第一類間斷點所以所以 x11例例 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xf0 x,10 x, )(ln2xb 0 x在在x = 0連續(xù)連續(xù), ,則則a= , ,b= = . .提示提示: :20)cos1(lim)0(xxafx 2a 221cos1xx )(lnlim)0(20 xbfx bln baln12 2e2)cos1(xxa 12例例 0, 00,1sin)(2xxx

8、xxf討論討論.0處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導導性性在在 x那那么么處處處處可可導導如如果果, 0),1(0,e)( 2 xxbxxfax. 1, 0 )( ; 0, 1 )(; 1, 2 )( ; 1 )( baDbaCbaBbaA) (例例 13 導數(shù)導數(shù)定義定義幾何意義幾何意義可導性與連續(xù)性的關(guān)系可導性與連續(xù)性的關(guān)系)( 0 xfk 切線斜率切線斜率),( 0 xf 左導數(shù)左導數(shù)導數(shù)存在的充要條件導數(shù)存在的充要條件)( 0 xf 右導數(shù)右導數(shù)連續(xù)連續(xù)可導可導 求微分求微分可導與微分的關(guān)系可導與微分的關(guān)系xxfyd)( d0 可微可微可導可導微分微分 第二章第二章 導數(shù)與微分導數(shù)與微分1

9、4按定義求導按定義求導 求導數(shù)方法求導數(shù)方法復合函數(shù)求導復合函數(shù)求導參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導隱函數(shù)隱函數(shù), 對數(shù)法求導對數(shù)法求導 分段函數(shù)在分段點求導分段函數(shù)在分段點求導 )11,cos(sinxx,ex,x 高階導數(shù)高階導數(shù)15txtyxydddddd 求導數(shù)：求導數(shù)：參數(shù)方程參數(shù)方程 )()(tytx xxyxyd)ddd(dd22 txtttddd)()(d( )()(tt txtxyddd)ddd( 16 中值定理中值定理羅爾定理羅爾定理證明不等式證明不等式洛必達法則洛必達法則中值定理的應用中值定理的應用拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒定理泰勒定理數(shù)數(shù)討論方

10、程根的存在與個討論方程根的存在與個, (泰勒公式泰勒公式)麥克勞林公式麥克勞林公式) 1 , , ,00(等未定型極限等未定型極限計算計算 第三章第三章 微分中值定理及其應用微分中值定理及其應用17函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)性態(tài)函數(shù)性態(tài)函數(shù)的極值函數(shù)的極值 函數(shù)的凹凸性函數(shù)的凹凸性函數(shù)的最大最小值函數(shù)的最大最小值函數(shù)的漸近線函數(shù)的漸近線(水平水平,垂直垂直)(拐點拐點,凹凸性和判別法凹凸性和判別法)駐點駐點極值存在的必要條件極值存在的必要條件極值存在的充分條件極值存在的充分條件 )( 利用導數(shù)判斷利用導數(shù)判斷18帶帶PeanoPeano型余項的泰勒公式型余項的泰勒公式階階連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)有有的的

11、區(qū)區(qū)間間在在含含設(shè)設(shè) ),( )( 0nbaxxf,導數(shù)導數(shù)),( bax 則則對對于于有有200000)(2)( )()()(xxxfxxxfxfxf .)()(2)(000)(nnnxxoxxxf 19 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx20)(1112nnxoxxxx 2! 2)1(1)1(xmmmxxm)(!)1()1(nnxoxnnmmm 21洛必達法則洛必達法則 基

12、本類型：基本類型： :變型變型注注 法則：法則：(1) 當上式右端極限存在時當上式右端極限存在時, 才能用此法則才能用此法則,(2) 在求極限過程中在求極限過程中,可能要多次使用此法則可能要多次使用此法則,(3) 在使用中在使用中, 要進行適當?shù)幕喴M行適當?shù)幕? , 00 型型型型 . )()(lim )()(lim xgxfxgxf ,0 , ,00 ,1 型型0 (4) 在使用中在使用中, 注意和其它求極限方法相結(jié)合注意和其它求極限方法相結(jié)合.22定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) , )(0 xxa 當當 ; 0)( xf有有 , 0 xx 而當而當 , 0)( xf .

13、)( 0處取極大值處取極大值在在則則xxf , )(0 xxb 當當 ; 0)( xf有有 , 0 xx 而當而當 , 0)( xf .)( 0處取極小值處取極小值在在則則xxf .)(0處無極值處無極值在在xxf,)()( 0內(nèi)內(nèi)在在鄰鄰域域設(shè)設(shè)xUxf 有有 有有, )( )( )(0符號相同符號相同內(nèi)內(nèi)在鄰域在鄰域若若xUxfc 則則23定理定理( (第二充分條件第二充分條件) ) , )( 0處具有二階導數(shù)處具有二階導數(shù)在在設(shè)設(shè)xxf, 0)(0 xf則則 , 0)( )(0 xfa 當當 , 0)( )(0 xfb 當當 , )(0處取得極大值處取得極大值在在 xxf . )(0處取

14、得極小值處取得極小值在在 xxf, 0)( 0 xf且且24求極值的步驟求極值的步驟: :);(.xfa 求求導導數(shù)數(shù))0)(.的的根根方方程程求求駐駐點點 xfb,)(在在該該點點的的符符號號或或xf . 求極值求極值d,)(.中所有點左右的正負號中所有點左右的正負號在在檢查檢查bxfc .的的點點不存在不存在及及)(xf .判判斷斷極極值值點點25漸漸近近線線的的求求法法水平漸近線水平漸近線 )(a滿滿足足若若函函數(shù)數(shù))( xf,)(lim),(axfx . )( ayxf 的的曲曲線線有有水水平平漸漸近近線線則則函函數(shù)數(shù)垂直漸近線垂直漸近線 )(b滿滿足足若若函函數(shù)數(shù))( xf,)(li

15、m),(000 xfxxxx. )( 0 xxxf 的曲線有垂直漸近線的曲線有垂直漸近線則函數(shù)則函數(shù)26., ,1 ,1112)( . 12baxxbaxxxxfy確定確定處可導處可導已知函數(shù)在已知函數(shù)在設(shè)設(shè) 計算題計算題 )11ln(lim. 22xxxx30)1(sinelim )1(. 3xxxxxx 求極限求極限xxxxln10)1e (lim)2( 271.)1()(lim)(lim,11fxfxfxx 有有由連續(xù)性由連續(xù)性)1(1 ba1)1()(lim1)1()(lim ,11 xfxfxfxfxx有有由可導性由可導性1112lim11lim211 xxxbaxxx計算題計算題解

16、答解答1)1(4lim1112lim22121 xxxxaxx28 )11ln(lim . 22xxxxxxxx1)11ln(1lim tttxtt)1ln(11lim10 ，則原式，則原式令令21)1(211lim2111lim)1ln(lim0020 ttttttttttt1 a. 2 1 b）由（由（2920321cosesinelim:)1(. 3xxxxxxx 原式原式解解xxxxxxxx62)sin(cose)cos(sinelim0 xxxx31coselim0 3cosesinelim0 xxxxx 31 30 2301e)(sinelim:2xxxxxxxx原原式式解解法法x

17、xxxxxxx21elim31coslimelim0200 312161 31)0()1e (lim)2(0ln10 xxxx xxxxxxxxx11e1elimln)1eln(lim00ee 1eelim11ee1elim1e)1e(lim000eee xxxxxxxxxxxxxxxxx1e0 時，時，2elim1ee0 xx上上式式32 基本概念基本概念 基本性質(zhì)基本性質(zhì) ) d)( xxf不定積分不定積分,( 原函數(shù)原函數(shù); ,( 微分運算間關(guān)系微分運算間關(guān)系與求導與求導)線性可加性線性可加性法法分分積積 換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分)(湊微分法湊

18、微分法, (三角代換三角代換 第二類換元第二類換元)倒代換倒代換四種基本形式的積分四種基本形式的積分可化為有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分 第一類換元第一類換元 第四章第四章 不定積分不定積分33xxxd1142 例例解解xxxxd111222 分子分母同除以分子分母同除以2x 原式原式 2)1(2xx)1(dxx Cxx 21arctan21Cxx 21arctan21234 xxd14)1(2 x)1(2 x xxd114xxxxd11121222 xxxxd11121222 2)1(212xx)1(dxx 2)1(212xx)1(dxx 21arctan221xx 21 221 ln21 xx21 xx)0( x21C 例例35例例解解.d, 1max xx求求, 1max)(xxf 設(shè)設(shè),1,11,11,)( xxxxxxf則則,),()(上上連連續(xù)續(xù)在在 xf),(xF則則必必存存在在原原函函數(shù)數(shù).1,211