勾股定理經(jīng)典例題(含答案)(共8頁)

1、勾股定理經(jīng)典例題類型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路點撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。 舉一反三 【變式】:如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長是多少? 類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 2、如圖，已知：在中，. 求：BC的長. 150°20m30m1、某市在舊城改造中，計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元

2、，則購買這種草皮至少需要（） A、450a元B、225a 元C、150a元 D、300a元 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。 類型三：勾股定理的實際應(yīng)用 （一）用勾股定理求兩點之間的距離問題 3、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達目的地C點。 （1）求A、C兩點之間的距離。 （2）確定目的地C在營地A的什么方向。 舉一反三 【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外

3、形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門? （二）用勾股定理求最短問題 4、如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程 類型四：利用勾股定理作長為的線段 5、作長為、的線段。 作法：如圖所示 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點。 解析：可以把看作是直角三角形的斜邊， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。 作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑， 以O(shè)為圓心做弧

4、，弧與數(shù)軸的交點B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1原命題：貓有四只腳（正確） 2原命題：對頂角相等（正確） 3原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等（正確） 4原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等（正確） 7、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。 【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),

5、且mn),判斷ABC是否為直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。 請問FE與DE是否垂直?請說明。 【答案】答：DEEF。 證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。練習(xí)一、判斷直角三角形問題：1、.滿足下列條件的ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2a2 B.abc=345 C.C=AB D.ABC=12131

6、52、若一個三角形的三邊長的平方分別為：32，42，x2則此三角形是直角三角形的x2的值是A.42B.52 C.7D.52或73、如果ABC的三邊分別為m21，2 m，m2+1(m1)那么A.ABC是直角三角形，且斜邊長為m2+1 B.ABC是直角三角形，且斜邊長2 為mC.ABC是直角三角形，但斜邊長需由m的大小確定 D.ABC不是直角三角形4、已知RtABC中，C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則RtABC的面積是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面幾組數(shù):7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均為

7、正整數(shù),mn);,.其中能組成直角三角形的三邊長的是( )A.;B.;C.;D.6、 三角形的三邊長為,則這個三角形是( ) A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.7、已知 ,則由此為三邊的三角形是 三角形.9、已知a，b，c為ABC三邊，且滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.10、若ABC的三邊長為a,b,c，根據(jù)下列條件判斷ABC的形狀.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=011、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC邊上的中線AD=1

8、5cm，試說明ABC是等腰三角形。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。 舉一反三 【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a。 【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。 【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。 總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。 【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角

9、三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 類型二：勾股定理的應(yīng)用 2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN30°，點A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？ 總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三 【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極

10、少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。 【答案】4 【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。 （1）直接寫出單位正三角形的高與面積。 （2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？ （3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。 類型三：數(shù)學(xué)思想方法 方程的思想方法 4、如圖所示，已知ABC中，C=90°，A=60°，求、的值。 思路點撥：由，再找出、的關(guān)系即可求出和的值。 解：在Rt

11、ABC中，A=60°，B=90°-A=30°， 則，由勾股定理，得。 因為，所以， ，。 總結(jié)升華：在直角三角形中，30°的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。 舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。 解：因為ADE與AFE關(guān)于AE對稱，所以AD=AF，DE=EF。 因為四邊形ABCD是矩形，所以B=C=90°， 在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 所以。 設(shè)，則。 在RtECF中，即，解得。 即EF的長為5cm。三、折疊問題1、已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為EF，則ABE的面積為（） A、6cm2B、8c