2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文數(shù)(天津卷)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(文史類)第I卷1至2頁(yè),答卷時(shí)，考本試卷分為第I卷(選擇題)和第n (非選擇題)兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘第n卷3至5頁(yè).答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：再選涂1、每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后,其他答案標(biāo)號(hào)2本卷共8小題，每小題5分，共40分 參考公式：如果事件A , B互斥，那么P(A U B)=P(A)+P(

2、B).柱體的體積公式 V柱體=Sh,其中S表示柱體的底面積其中h表示棱柱的高.如果事件A , B相互獨(dú)立，P(AB)=P(A) P(B).1圓錐的體積公式V =Sh3其中S表示錐體的底面積，h表示圓錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的(1 )已知集合 A 1,2,3 , B y | y 2x 1,x A，則 AI B=()(A) 1,3( B) 1,2(C) 2,3( D) 1,2,3【答案】A【解析】試題分析：B 1,3,5, AI B 1,3,選 A.考點(diǎn)：集合運(yùn)算1 1(2)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是丄，甲獲勝的概率是 丄，則甲不輸?shù)母怕蕿?3

3、(A)56【答案】A1(D)-3【解析】試題的甲押疇為”嶺選扎考點(diǎn)：概率(3 )將一個(gè)長(zhǎng)方形沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為(【答案】B【解析】試題分析：由題意得截去的是長(zhǎng)方體前右上方頂點(diǎn)，故選B考點(diǎn)：三視圖2 2 _(4)已知雙曲線 務(wù) yr 1(a 0,b 0)的焦距為2 5，且雙曲線的一條漸近線與直線 2x y 0垂直, a b(A)X2y2 1(B)22 y 1 x144(C)3x2対1(D)2 23x 3y ,1205520【答案】A【解析】試題分析；由題意得尸吞三=丄=空=：1=三-二=1,選A.a 241考點(diǎn)：雙曲

4、線漸近線（5）設(shè) x 0, y R，則X y”是 “ | y|”的（ ）（A）充要條件（B）充分而不必要條件（C）必要而不充分條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：34,3 | 4|,所以充分性不成立；x |y| y x y，必要性成立，故選 C考點(diǎn)：充要關(guān)系（6）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（,0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a1)f( ,2),則a的取值范圍是（)/ 、 1、131 33(A) ()(B) ()(一，)(C)(,)(D)(一，)22 22 22【答案】Ca1 32 a 2，故選C【解析】試題分析：由題意得 f（ 2|a 1|） f（ -

5、、2）考點(diǎn)：利用函數(shù)性質(zhì)解不等式（7）已知ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)(A)(D)118【答案】B【解析】(8)已知函數(shù)f(x).2 X sin1 . sinx !(222取值范圍是()115(A) (0,(B)(0,-,1)848考點(diǎn)：向量數(shù)量積0), x5(C)(0，8【答案】D【解析】R 若f (x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn),1(D)(0，81 -4,8r uuu ruur 1uur1 rrUULT3 ulu3rra, BC b，二DE -AC-(ba)，DF-DE(ba)22241 r 3 r r5r3ruuuruuu5r r3 r

6、253a(b a)ab ,二 AFBCa bb24444484試題分析：設(shè)BAuuu uuur uuir AF AD DF1-，故選B.8試題分析：fA)3處*血辦-丄二匹喊誠(chéng)”-竺),/(!：)=X-)=0 J fif以2 22244for十壬.-.-,.工=百(罔2£z),因此 e 槿(有)U (-1 )U = (-)U(-> +© E ?g&斗 8 +3 斗8 438 斗 8選D.考點(diǎn)：解簡(jiǎn)單三角方程注意事項(xiàng):1、用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上 2、本卷共12小題，共計(jì)110分.二、填空題：本大題共 6小題，每小題5分，共30分.(9) i是

7、虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) z滿足(1 i)z 2，則z的實(shí)部為【答案】1【解析】試題分析：2(1 i)z 2 z1 i，所以z的實(shí)部為11 i考點(diǎn)：復(fù)數(shù)概念(10)已知函數(shù)f(x) (2x+1)ex, f (x)為f (x)的導(dǎo)函數(shù)，貝U f (0)的值為【答案】3【解析】試題分析：Q f (x)(2x+3)ex, f (0) 3.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)S的值為(11) 閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出n =【答案】4【解析】 試題分析：第一次循環(huán)；5=8Fn = 2；第二次循環(huán)：2hn = 5;第三次循環(huán)；S=4an=4; 束循環(huán)，輸考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖(12) 已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0

8、,'.5)在圓C上，且圓心到直線2x y 0的距離為 匚5，5則圓C的方程為【答案】(x 2)2 y29.【解析】試題分析：設(shè)C(a,0),( a 0)，則丨2；1亠5a 2,r.22 53，故圓C的方程為(x 2)2y2 9.5考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系(13) 如圖，AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E, BE=2AE=2, BD=ED ,則線段CE的長(zhǎng)為【答案】【解析】試題分祈二設(shè)= 貝惱相交弦定理得DE-CE = AE-BE? DE = -P BD = DE = J所次rxAC = AE = ?因?yàn)锳B是直徑"則SC =苕F =2忑,在圓中ABCEADAE ,則匹占AD

9、 AE即Y 解得x考點(diǎn)：相交弦定理(14)已知函數(shù)f(x)2x (4 a 3)xlOga(X 1)3a,X 0(a 0且 a 1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程| f (x) |1,x0恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則 a的取值范圍是【答案】!,-)3 3【解析】試題分析：由函數(shù) f(x)在R上單調(diào)遞減得4a 321 2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以3a 2,- 1 62a313x0,0 a 1,3a 1 a，又方程 | f (x) | 2 恰34311 2a ，因此a的取值范圍是一，)73 3考點(diǎn)：函數(shù)綜合 三、解答題：本大題共 6小題，共80分.(15) (本小題滿分13分)在 ABC中，內(nèi)角 代B

10、,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a,b,c,已知asin2B3bsin A.(I )求 B；(n)若 cosA-，求sinC的值.3【答案】(I) b-(n) 26 16【解析】 試題分析：(I )利用正弦定理，將邊化為角：2sin.4sm5co = J?5tnBsinJ4.R根據(jù)二角形內(nèi)角范圍化簡(jiǎn)得2“ =當(dāng)，B = ¥ ( II )已知兩角，求第三角剎用三角形內(nèi)角和為* 將所求角化為兩已知角的和,2 6試題解析：(1 )解:在X15C中，由再根抿兩角和的正弦公式求解( 丿可得應(yīng)血E = bsin £又由aw 2B = j3ijsin A得 sui A sin B2tisin Bc

11、osB 二 %民sin A - Vasin B 、所以cos B 二得療二二；2 6,貝血7二如兀一(川十召)二血川十3), 刪、C H 解：由cos J =-得sin A -空】考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理(16) (本小題滿分13分)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示:AB 1C屮483乙5510現(xiàn)有A種原料200噸，B種原料360噸，C種原料300噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)甲乙兩種肥料 已知生產(chǎn) 1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為 2萬(wàn)元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的

12、利潤(rùn)為 3萬(wàn)元分別用x,y表示 生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù) (I )用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；（n）問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？并求出此最大利潤(rùn)【答案】（I）詳見(jiàn)解析（n）生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料 24車皮時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為 112萬(wàn)【解析】試題分析：（I 根據(jù)生產(chǎn)扇斗不能超過(guò)A種熄H如噸，B種熄料噸，c種扇斗300噸，列風(fēng)尊關(guān)系式f即可行冊(cè) 再根據(jù)直線及區(qū)域畫(huà)出可行域（U ）目標(biāo)遜數(shù)為利潤(rùn)不二2小3八根據(jù)直線平移及栽距變 化規(guī)律確定最犬利潤(rùn)試題解析：（I）解：由已知 x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為4x5y2008x5y360

13、3x10y300，該二兀一次不等式組所表示的區(qū)x0y0域?yàn)閳D1中的陰影部分(u )解：設(shè)釉冊(cè)I T萬(wàn)元?jiǎng)t目埶Z = 2r+ 3v ,這罡斜率為-令隨衛(wèi)變優(yōu)的一礁平行直線j為 直線在軸上的戯距，當(dāng)彳取最大值吋，二的值最大.又因?yàn)楣ご鐪鹤慵s朿條件，所次由團(tuán)2可知，當(dāng)崖密3-4x+5v = 200-"右+外經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)竝時(shí)，截距二的值最大，即二的值最大-解方程組P “得點(diǎn)孔3 | lx + 13y =300的坐標(biāo)刊 M(2024),所以去=2x20 + 3x24=112答：生產(chǎn)甲種叭斗20車疲，Z種BB424車皮時(shí)剎潤(rùn)最大，且最大剎潤(rùn)為112萬(wàn)沅考點(diǎn)：線性規(guī)劃(17) (本小題滿分13

14、分)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED丄平面ABCD , EF|AB , AB=2 , BC=EF=1 , AE= ： 6 ,DE=3，/ BAD=60o , G 為 BC 的中點(diǎn).(I )求證：FG|平面BED ;(H )求證：平面BED丄平面AED ;(川)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.【答案】（I）詳見(jiàn)解析（n）詳見(jiàn)解析（川）6【解析】試題分析：（I）證畔務(wù)面平伉一般利用線面平ft判定定理，即從縹護(hù)円亍岀發(fā)給予證明'而線線平行尋 找與論證，往往箔合平幾知識(shí)，蟲(chóng)味題構(gòu)造一個(gè)平行四邊開(kāi)鄉(xiāng)：取ED的中點(diǎn)対0可證四邊形OGFE是平 行四邊昭 從而得X FGL OE （U

15、）面面垂直的證明一般輕化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往 需多次利用面垂宜判定與性庚定理而線線垂直的證明有時(shí)壽蘿剎用平幾條件，如題可由余弦定理解 出Z.W5 = 90%即肋一ID （III）求線面角，關(guān)鍵作出射影，即面的垂可刊用面面垂直的性質(zhì)走 理得SI線面垂直，即畫(huà)的垂第：過(guò)點(diǎn)討 UDE于點(diǎn)日，則上丹一平面BED ,從而直線一癥與平面 歴D所成甬即為厶.再結(jié)合三珀形可求得正弦值試題解析：（I ）證明勰加的中點(diǎn)為6連摟OQOG,在MCD中，因?yàn)镚是證的中馬所次OG DC 且 0G =丄 DC = 1 乂因?yàn)?El AB. - DC ,所臥 EF； 0G 且 EF = 0G，即四邊形OGFE

16、是平行四邊形，所嘆FG 0E,又FG*面匪Q , 0E二平面眩D,所以FG'平 面肛D.I （n ）證明：在 ABD中，AD 1, AB 2, BAD 60° ,由余弦定理可BD . 3 ,進(jìn)而可得ADB 90°，即BD AD，又因?yàn)槠矫?AED 平面ABCD, BD 平面ABCD ；平面 AED 平面ABCD AD，所以BD 平面AED 又因?yàn)锽D 平面BED，所以平面BED 平面AED .（川）解：因?yàn)?EF/AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線 AB與平面BED所成角過(guò)點(diǎn)A作 AH DE于點(diǎn)H，連接BH，又因?yàn)槠矫鍮ED 平面AED ED，由（n）知A

17、H 平面BED，所 以直線AB與平面BED所成角即為 ABH .在 ADE中，AD 1, DE 3, AE . 6，由余弦定理可得cos2 5ADE ，所以 sin ADE，因此 AH AD sin ADE3 3，在 Rt AHB 中,sinABH屠T，所以直線AB與平面BED所成角的正弦值為考點(diǎn):直線與平面平行和垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成角(18)(本小題滿分13分)1已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn n N ，且一3132三S69363.n 21 bn的前2n項(xiàng)和.(I )求an的通項(xiàng)公式;(n)若對(duì)任意的n N ,bn是log2 an和log2 an 1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列【答

18、案】(I) an 2n 1 (n) 2n21 1試題分析：(I 求等比姍隨項(xiàng)，一般利用待定系麴去；先由 解q=±q = -l井別昭 叭農(nóng) 口刈代入S：=±2zi2 = 63得蚩蕪珀1 (II)先根協(xié)等差中項(xiàng)得一 g久h (log ；礙+log ；盤肝J = Qog L 2 :+ lo呂 O =推一丄，再利用分組求和：去求和: ” L * L1Hlx,丄fjflB兀:_ =(一攵+ 3+打；)十+1比t +述J = 5十鳥(niǎo) 十+方：”二 "=2刃亠試®解析；(1)«酬列氐的公比為I由已知有丄2-4,解之可得防w,又由$嚴(yán)彗二0 = 63知gl,所

19、以址？、6九解之得旳“，所法叭&21 ? 1 21(n)解：由題意得bn(log 2 an211log2 an 1)-(log2 2n 1 log2 2n) n ，即數(shù)列bn是首項(xiàng)為2 21，公差為1的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列(1)nb： 的前n項(xiàng)和為Tn，則T2n ( b2 bl) ( bl b：)(b；n 1b2n) b blb2n2n(bi b22n2考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(19)(本小題滿分14分)2 2設(shè)橢圓冷乙 1( aa 33efFA|，其中O.3)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為 A，已知 一1|OF |為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率(I)求橢圓的方程;(n)設(shè)過(guò)點(diǎn) A的直線I與

20、橢圓交于點(diǎn) B ( B不在x軸上)，垂直于I的直線與I交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，若BF HF，且 MOA MAO，求直線的I斜率.皓案】(I)仁1(n)子試題分析；C I)束橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定壘，由 丄亠=ff- + -=T7 再利用OA FA 匚 a ct(a-c)-c2=1 ,應(yīng)：=4 ( Il )先簡(jiǎn)條牛匕 2-MOA = ZM4O »再oa中垂線上再利用直線與橢系，聯(lián)立方程組求方孑利用兩宜線方程組求兀最后中麟時(shí)丄腫，列等量關(guān)系解出直線斜率試題解祈：(1、解：設(shè)PG。)，由OF OAFA1 1即+丄=,可得亍一芒=3幾 XC £1 O'(垃一曠一u* =獷

21、=3,所以。亠=1因此應(yīng)*=4所臥橢圜的方程為=十匚=143(2)設(shè)直線的斜率為 k(k 0)，則直線I的方程為yk(x 2),2 2x y設(shè) B(XB,yB)，由方程組43X消去y ,2),整理得(4k23)x2 16k2x 16k2120,解得x2 或 x I ,4k2 3由題意得Xb，從而yB啟,uuruju9 4k212k由(1 )知 F(1,0)，設(shè) H (0, yH)，有 FH (仆)，BF (嚴(yán),K)，由£尸丄恥得-茹工o,所以.di二+上竺 工04疋十3 4Jt* ±39-4t-19-4i-解得山=,因此直線厲的方程為二12*疋 12盒I 、心/B0農(nóng)，十

22、9 以泊去八g八訐帀19_4丁設(shè)證(弘血),由方程組2二產(chǎn)"I V = Jc(y - 2)=在AM10中，厶=丄口 =丄9即gm*化餉心二-即科薛旱* =_所以直線/搠粹為k=-k=+4考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程(20)(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù) f (x)X3ax b, X R，其中 a,b R()求f(X)的單調(diào)區(qū)間;(n)若f(x)存在極值點(diǎn)X),且f (X1)f (X0)，其中X1X0，求證：X12x0(川)設(shè)a 0，函數(shù)g(X)|f(x)|，求證：g(X)在區(qū)間1,1上的最大值不小于【答案】(I)遞減區(qū)間為(少，一坐)，遞增區(qū)間為(33.3a .3a)(3)，

23、(3).(n)詳見(jiàn)解析(川)詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：(I)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):f (x) 3x2 a，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況,分類討論：當(dāng)a 0時(shí)，有f (x) 3x2 a 0恒成立，所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(，).當(dāng)a 0時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間；_ a簡(jiǎn)可得結(jié)論<ni)實(shí)質(zhì)研究酗蠱広)< II由題肓得佗爪玩-"。即® P再由I f(2廣()I最大值；主要比較(叭 ： 的大小即可井三種情況研究當(dāng)m打時(shí)蘭國(guó)WU1冬四當(dāng)丄冬ov孫寸廠班冬X33爭(zhēng)習(xí)*呼心*噸時(shí),1 -2辰盧< -3r3試題解析:(1)解:由 f (x) x3 ax當(dāng)a0時(shí),有f (x) 3x2 a 0當(dāng)a0時(shí)，令f (x)0,解得 xf (x)、f (x)的變化情況如下表:當(dāng)x變化時(shí),恒成立，所以24b，可得f (x) 3x2 a，下面分兩種情況討論:f (x)的單調(diào)增區(qū)間為(,).3a3a0，即 x°2ax° b，x('爭(zhēng)屆3(J3a J3a)區(qū)343a() 3f (x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增/ /所以f(x)的