蒙特卡羅方法解粒輸運問題

1、1.屏蔽問題模型屏蔽問題模型2.直接模擬方法直接模擬方法3.簡單加權(quán)法簡單加權(quán)法4.統(tǒng)計估計法統(tǒng)計估計法5.指數(shù)變換法指數(shù)變換法6.蒙特卡羅方法的效率蒙特卡羅方法的效率輻射（光子和中子）屏蔽問題是蒙特卡羅輻射（光子和中子）屏蔽問題是蒙特卡羅方法最早廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域之一。本章主要從物方法最早廣泛應(yīng)用的領(lǐng)域之一。本章主要從物理直觀出發(fā)，說明蒙特卡羅方法解決這類粒子理直觀出發(fā)，說明蒙特卡羅方法解決這類粒子輸運問題的基本方法和技巧。而這些方法和技輸運問題的基本方法和技巧。而這些方法和技巧對于諸如輻射傳播、多次散射和通量計算等巧對于諸如輻射傳播、多次散射和通量計算等一般粒子輸運問題都是適用的。一般粒子輸運

2、問題都是適用的。 在反應(yīng)堆工程和輻射的測量與應(yīng)用中，常常在反應(yīng)堆工程和輻射的測量與應(yīng)用中，常常要用一些吸收材料做成屏蔽物擋住光子或中子。要用一些吸收材料做成屏蔽物擋住光子或中子。我們所關(guān)心的是經(jīng)過屏蔽后射線的強度及其能量我們所關(guān)心的是經(jīng)過屏蔽后射線的強度及其能量分布，這就是屏蔽問題。分布，這就是屏蔽問題。 當(dāng)屏蔽物的形狀復(fù)雜，散射各向異性，材料當(dāng)屏蔽物的形狀復(fù)雜，散射各向異性，材料介質(zhì)不均勻介質(zhì)不均勻 , 核反應(yīng)截面與能量、位置有關(guān)時，核反應(yīng)截面與能量、位置有關(guān)時，難以用數(shù)值方法求解，用蒙特卡羅方法能夠得到難以用數(shù)值方法求解，用蒙特卡羅方法能夠得到滿意的結(jié)果。滿意的結(jié)果。粒子的輸運問題帶有明顯

3、的隨機性質(zhì)，粒子的輸粒子的輸運問題帶有明顯的隨機性質(zhì)，粒子的輸運過程是一個隨機過程。粒子的運動規(guī)律是根據(jù)大運過程是一個隨機過程。粒子的運動規(guī)律是根據(jù)大量粒子的運動狀況總結(jié)出來的，是一種統(tǒng)計規(guī)律。量粒子的運動狀況總結(jié)出來的，是一種統(tǒng)計規(guī)律。蒙特卡羅模擬，實際上就是模擬相當(dāng)數(shù)量的粒子在蒙特卡羅模擬，實際上就是模擬相當(dāng)數(shù)量的粒子在介質(zhì)中運動的狀況，使粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律得以重介質(zhì)中運動的狀況，使粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律得以重現(xiàn)。不過，這種模擬不是用實驗方法，而是利用數(shù)現(xiàn)。不過，這種模擬不是用實驗方法，而是利用數(shù)值方法和技巧，即利用隨機數(shù)來實現(xiàn)的。值方法和技巧，即利用隨機數(shù)來實現(xiàn)的。 為方便起見，選用平板屏蔽

4、模型，在厚度為為方便起見，選用平板屏蔽模型，在厚度為 a，長、寬無，長、寬無限的平板左側(cè)放置一個強度已知，具有已知能量、方向分布限的平板左側(cè)放置一個強度已知，具有已知能量、方向分布的輻射源的輻射源 s 。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源發(fā)出的平均一個粒子穿透屏蔽的數(shù)向分布。穿透率就是由源發(fā)出的平均一個粒子穿透屏蔽的數(shù)目。目。同時，假定粒子在兩次碰撞之間按直線運動同時，假定粒子在兩次碰撞之間按直線運動 , 且粒子之間且粒子之間的相互作用可以忽略。的相互作用可以忽略。 直接模擬方法就是直接從物理問題出發(fā)，模直接模擬方法就是直接

5、從物理問題出發(fā)，模擬粒子的真實物理過程。擬粒子的真實物理過程。1) 狀態(tài)參數(shù)與狀態(tài)序列狀態(tài)參數(shù)與狀態(tài)序列2) 模擬運動過程模擬運動過程3) 記錄結(jié)果記錄結(jié)果粒子在介質(zhì)中的運動的狀態(tài)，可用一組參數(shù)來描述，稱之為粒子在介質(zhì)中的運動的狀態(tài)，可用一組參數(shù)來描述，稱之為狀態(tài)狀態(tài)參數(shù)參數(shù)。它通常包括：粒子的空間位置。它通常包括：粒子的空間位置 r， 能量能量 e 和運動方向和運動方向，以，以 s( r , e , ) 表示。表示。有時還需要其他的參數(shù)，如粒子的有時還需要其他的參數(shù)，如粒子的 時間時間 t 和附帶的權(quán)重和附帶的權(quán)重w ，這時，這時狀態(tài)參數(shù)狀態(tài)參數(shù) 為為 s( r , e , , t ,w )

6、 。狀態(tài)參數(shù)狀態(tài)參數(shù) 通常要根據(jù)所求問題的類型和所用的方法來確定。通常要根據(jù)所求問題的類型和所用的方法來確定。對于無限平板幾何，取對于無限平板幾何，取 s( z , e , cos)其中其中 z 為粒子的位置坐標(biāo)，為粒子的位置坐標(biāo)，為粒子的運動方向與為粒子的運動方向與 z 軸的夾角。軸的夾角。對于球?qū)ΨQ幾何對于球?qū)ΨQ幾何 , 取取 s( r , e , cos)其中其中 r 表示粒子所在位置到球心的距離，表示粒子所在位置到球心的距離，為粒子的運動方向與其為粒子的運動方向與其所在位置的徑向夾角。所在位置的徑向夾角。粒子第粒子第 m 次碰撞后的狀態(tài)參數(shù)為次碰撞后的狀態(tài)參數(shù)為或或它表示一個由源發(fā)出的

7、粒子，在介質(zhì)中經(jīng)過它表示一個由源發(fā)出的粒子，在介質(zhì)中經(jīng)過 m 次碰撞后的狀態(tài)，其中次碰撞后的狀態(tài)，其中 rm ：粒子在第：粒子在第 m 次碰撞點的位置次碰撞點的位置 em ：粒子第：粒子第 m 次碰撞后的能量次碰撞后的能量m：粒子第：粒子第 m 次碰撞后的運動方向次碰撞后的運動方向 tm ：粒子到第：粒子到第 m 次碰撞時所經(jīng)歷的時間次碰撞時所經(jīng)歷的時間wm ：粒子第：粒子第 m 次碰撞后的權(quán)重次碰撞后的權(quán)重有時，也可選為粒子進(jìn)入第有時，也可選為粒子進(jìn)入第 m 次碰撞時的狀態(tài)參數(shù)。次碰撞時的狀態(tài)參數(shù)。),(mmmme rs),(mmmmmmwters一個由源發(fā)出的粒子在介質(zhì)中運動，經(jīng)過若干次碰

8、撞后，直到其一個由源發(fā)出的粒子在介質(zhì)中運動，經(jīng)過若干次碰撞后，直到其運動歷史結(jié)束（如逃出系統(tǒng)或被吸收等）。假定粒子在兩次碰撞之間運動歷史結(jié)束（如逃出系統(tǒng)或被吸收等）。假定粒子在兩次碰撞之間按直線運動，其運動方向與能量均不改變，則粒子在介質(zhì)中的運動過按直線運動，其運動方向與能量均不改變，則粒子在介質(zhì)中的運動過程可用以下碰撞點的程可用以下碰撞點的狀態(tài)序列狀態(tài)序列 描述：描述： s0 ，s1 ，sm-1 ，sm或者更詳細(xì)些或者更詳細(xì)些 , 用用來描述。這里來描述。這里 s0 為粒子由源出發(fā)的狀態(tài)，稱為初態(tài)，為粒子由源出發(fā)的狀態(tài)，稱為初態(tài)，sm 為粒子的終止為粒子的終止?fàn)顟B(tài)。狀態(tài)。m 稱為粒子運動的鏈

9、長。稱為粒子運動的鏈長。這樣的序列稱為粒子隨機運動的歷史，模擬一個粒子的運動過程，這樣的序列稱為粒子隨機運動的歷史，模擬一個粒子的運動過程，就變成確定狀態(tài)序列的問題。就變成確定狀態(tài)序列的問題。mmmmmmeeeerrrr,110110110為簡單起見，這里以中子穿透均勻平板的模型來說明，為簡單起見，這里以中子穿透均勻平板的模型來說明，這時這時狀態(tài)參數(shù)狀態(tài)參數(shù) 取取 s( z , e , cos)。模擬的步驟如下：模擬的步驟如下：(1) 確定初始狀態(tài)確定初始狀態(tài) s0 ：確定粒子的初始狀態(tài)，實際上就是要從中子源的空間位確定粒子的初始狀態(tài)，實際上就是要從中子源的空間位置、能量和方向分布中抽樣。設(shè)源

10、分布為置、能量和方向分布中抽樣。設(shè)源分布為則分別從各自的分布中抽樣確定初始狀態(tài)。則分別從各自的分布中抽樣確定初始狀態(tài)。對于平板情況，對于平板情況，抽樣得到抽樣得到 z00。)(cos)()()cos,(030201000fefzfezf)()(001zzf(2) 確定下一個碰撞點確定下一個碰撞點 ：已知狀態(tài)已知狀態(tài)sm-1，要確定狀態(tài)，要確定狀態(tài)sm，首先要確定下一個碰撞點的位置首先要確定下一個碰撞點的位置 zm。在相鄰兩次碰撞之間，中子的輸運長度在相鄰兩次碰撞之間，中子的輸運長度 l 服從如下分布：服從如下分布：對于平板模型，對于平板模型，l 服從分布：服從分布：其中，其中，t 為介質(zhì)的中子

11、宏觀總截面，為介質(zhì)的中子宏觀總截面，積分積分 稱為粒子輸運的自由程數(shù)，稱為粒子輸運的自由程數(shù)，系統(tǒng)的大小通常就是用系統(tǒng)的自由程數(shù)表示的。系統(tǒng)的大小通常就是用系統(tǒng)的自由程數(shù)表示的。 lmmmtmmmtl delellf0111111),(exp),()(rr lmmmtmmmtl delzelzlf0111111),cos(exp),cos()( lmmmtl del0111),(r顯然，粒子輸運的自由程數(shù)服從指數(shù)分布，顯然，粒子輸運的自由程數(shù)服從指數(shù)分布，因此從因此從 f ( l ) 中抽樣確定中抽樣確定 l，就是要從積分方程，就是要從積分方程 中解出中解出 l。對于單一介質(zhì)對于單一介質(zhì)則則下

12、一個碰撞點的位置下一個碰撞點的位置如果如果 zma，則中子穿透屏蔽，若，則中子穿透屏蔽，若 zm0, , 則中子被反射出屏蔽。這兩種則中子被反射出屏蔽。這兩種情況，均視為中子歷史終止。情況，均視為中子歷史終止。ln),(0111 lmmmtl del r)(ln1mtel11111cos)(lncosmmtmmmmezlzz(3) 確定被碰撞的原子核確定被碰撞的原子核 ：通常介質(zhì)由幾種原子核組成，中子與核碰撞時，要確定與哪一種核通常介質(zhì)由幾種原子核組成，中子與核碰撞時，要確定與哪一種核碰撞。設(shè)介質(zhì)由碰撞。設(shè)介質(zhì)由a a、b b、c c 三種原子核組成，其核密度分別為三種原子核組成，其核密度分別

13、為na、nb、nc，則介質(zhì)的宏觀總截面為：則介質(zhì)的宏觀總截面為：其中其中 分別為核分別為核a a、b b、c c 的宏觀總截面。其定義如下：的宏觀總截面。其定義如下： 分別表示分別表示( () )核的宏觀總截面、核密度和核的宏觀總截面、核密度和微觀總截面。微觀總截面。)()()()(1111mctmbtmatmteeeectbtat,)()(1)()(1)(mtmtene)()(1)()(1)(mtmtene、由于中子截面表示中子與核碰撞可能性的大小，因此，由于中子截面表示中子與核碰撞可能性的大小，因此，很自然地，中子與很自然地，中子與a a、b b、c c 核發(fā)生碰撞的幾率分別為：核發(fā)生碰撞

14、的幾率分別為：利用離散型隨機變量的抽樣方法，確定碰撞核種類：利用離散型隨機變量的抽樣方法，確定碰撞核種類：)()(,)()(,)()(111111mtmctcmtmbtbmtmataeepeepeep核碰撞與核碰撞與核碰撞與cbppapbaa(4) 確定碰撞類型確定碰撞類型 ：確定了碰撞的核確定了碰撞的核( (比如比如b核核) )后，就要進(jìn)一步確定碰撞類后，就要進(jìn)一步確定碰撞類型。中子與核的反應(yīng)類型有彈性散射、非彈性散射、型。中子與核的反應(yīng)類型有彈性散射、非彈性散射、(n,2n)(n,2n)反應(yīng)，裂變和俘獲等，它們的微觀截面分別為反應(yīng)，裂變和俘獲等，它們的微觀截面分別為 則則有有各種反應(yīng)發(fā)生的

15、幾率分別為各種反應(yīng)發(fā)生的幾率分別為)()()()()(111)2,(11mbcmbfmbnnmbinmbeleeeee和、)()()()()()(111)2,(111mbcmbfmbnnmbinmbelmbteeeeee)()()()()()()()()()(111111)2,()2,(1111mbtmbccmbtmbffmbtmbnnnnmbtmbininmbtmbeleleepeepeepeepeep利用離散型隨機變量的抽樣方法，確定反應(yīng)類型。利用離散型隨機變量的抽樣方法，確定反應(yīng)類型。在屏蔽問題中，中子與核反應(yīng)常只有彈性散射和吸收兩種類型，吸在屏蔽問題中，中子與核反應(yīng)常只有彈性散射和吸收

16、兩種類型，吸收截面為：收截面為：這時，總截面為：這時，總截面為：發(fā)生彈性散射的幾率為：發(fā)生彈性散射的幾率為：若若 ，則為彈性散射；否則為吸收，發(fā)生吸收反應(yīng)意味著中子的歷，則為彈性散射；否則為吸收，發(fā)生吸收反應(yīng)意味著中子的歷史終止。史終止。)()(11mbtmbeleleepelp)()()(111mbcmbfmbaeee)()()(111mbambelmbteee(5) 確定碰撞后的能量與運動方向確定碰撞后的能量與運動方向：如果中子被碰撞核吸收，則其輸運歷史結(jié)束。如果發(fā)生如果中子被碰撞核吸收，則其輸運歷史結(jié)束。如果發(fā)生彈性散射，需要確定散射后中子的能量和運動方向。中子能彈性散射，需要確定散射后

17、中子的能量和運動方向。中子能量量 em 為：為：a是碰撞核的質(zhì)量與中子質(zhì)量之比，一般就取元素的原子量；是碰撞核的質(zhì)量與中子質(zhì)量之比，一般就取元素的原子量；c 為質(zhì)心系中為質(zhì)心系中中子散射前后方向間的夾角，即偏轉(zhuǎn)角。中子散射前后方向間的夾角，即偏轉(zhuǎn)角。 可從可從質(zhì)心系中質(zhì)心系中彈性散射角分布彈性散射角分布fc(c) 中抽樣產(chǎn)生。實驗室系散射角中抽樣產(chǎn)生。實驗室系散射角l的余弦的余弦l為：為： 21)11(cos112aarrreecmmcccoscclaaa2112如果給出實驗室系散射角余弦分布如果給出實驗室系散射角余弦分布 fl(l)，可直接從，可直接從 fl(l)中中抽取抽取l，此時能量，此

18、時能量em與與l的關(guān)系式為：的關(guān)系式為：確定了實驗室系散射角確定了實驗室系散射角l后，后，再使用球面三角公式再使用球面三角公式確定確定cosm ：其中其中為在為在0,2上均勻分布的方位角。上均勻分布的方位角。cossinsincoscoscos11lmlmm222211) 1(llmmaaee至此，由至此，由sm-1完全可以確定完全可以確定sm。 因此，當(dāng)中子由源出因此，當(dāng)中子由源出發(fā)后，即發(fā)后，即s0確定后，重復(fù)步驟確定后，重復(fù)步驟 (2)(5)，直到中子游動歷史直到中子游動歷史終止。于是得到了一個中子的隨機游動歷史終止。于是得到了一個中子的隨機游動歷史 s0 ，s1 ，sm-1 ，sm，即

19、，即也就是模擬了一個由源發(fā)出的中子的運動過程。也就是模擬了一個由源發(fā)出的中子的運動過程。mmmmmmeeeezzzzcos,cos,cos,cos,110110110以上模擬過程可分為兩大步：第一步確定粒子的初始狀以上模擬過程可分為兩大步：第一步確定粒子的初始狀態(tài)態(tài)s0，第二步由狀態(tài)，第二步由狀態(tài)sm-1來確定來確定狀態(tài)狀態(tài)sm。這第二步又分為兩。這第二步又分為兩個過程：第一個過程是確定碰撞點位置個過程：第一個過程是確定碰撞點位置zm，稱為輸運過程；，稱為輸運過程；第二個過程是確定碰撞后粒子的能量及運動方向，稱為碰撞第二個過程是確定碰撞后粒子的能量及運動方向，稱為碰撞過程。對于中子而言，碰撞過

20、程是先確定散射角，進(jìn)而確定過程。對于中子而言，碰撞過程是先確定散射角，進(jìn)而確定能量和運動方向；而對于光子，碰撞過程是先確定能量，再能量和運動方向；而對于光子，碰撞過程是先確定能量，再確定散射角以及運動方向。重復(fù)這兩個過程，直至粒子的歷確定散射角以及運動方向。重復(fù)這兩個過程，直至粒子的歷史終止。史終止。這種模擬過程，是解任何類型的粒子輸運問題所共有的，這種模擬過程，是解任何類型的粒子輸運問題所共有的，它是蒙特卡羅方法解題的基本手段。它是蒙特卡羅方法解題的基本手段。在獲得中子的隨機游動歷史后，我們要對所要計算的物在獲得中子的隨機游動歷史后，我們要對所要計算的物理量進(jìn)行估計。對于屏蔽問題，我們要計算

21、中子的穿透率。理量進(jìn)行估計。對于屏蔽問題，我們要計算中子的穿透率?？疾烀總€中子的隨機游動歷史，它可能穿透屏蔽（考察每個中子的隨機游動歷史，它可能穿透屏蔽（zma），），可能被屏蔽發(fā)射回來（可能被屏蔽發(fā)射回來（zm0），或者被吸收。設(shè)第），或者被吸收。設(shè)第 n 個中個中子對穿透的貢獻(xiàn)為子對穿透的貢獻(xiàn)為n ，則，則如果我們共跟蹤了如果我們共跟蹤了n 個中子，則穿透屏蔽的中子數(shù)為：個中子，則穿透屏蔽的中子數(shù)為：，或者被吸收當(dāng)當(dāng)0, 0, 1mmnzaznnnn11則穿透屏蔽概率的近似值為：則穿透屏蔽概率的近似值為：它是穿透率的一個無偏估計。它是穿透率的一個無偏估計。我們稱這種直觀地模擬過程和估計方法

22、為直接模我們稱這種直觀地模擬過程和估計方法為直接模擬方法。在置信水平擬方法。在置信水平 10.95 時，時， 的誤差為：的誤差為：其中其中 為為n的均方差，由于的均方差，由于n是一個服從二項分布的隨機變量，所以是一個服從二項分布的隨機變量，所以或或nnnnnnnp11)1(1)1 (npnnppn96. 1)1()1 ()1 ()1()1(22nnpppp為得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，將能量、角度為得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，將能量、角度范圍分成若干個間隔：范圍分成若干個間隔：其中其中emax，emin分別表示能量的上、下限，對于穿透屏蔽分別表示能量的上、下限，對于穿透屏蔽的中子按其能

23、量、方向分間隔記錄。設(shè)一穿透屏蔽的中子的中子按其能量、方向分間隔記錄。設(shè)一穿透屏蔽的中子能量為能量為em，其運動方向與其運動方向與z軸夾角為軸夾角為m，若能量，若能量em屬于第屬于第 i 個能量間隔個能量間隔ei，角度，角度m屬于第屬于第 j 個角度間隔個角度間隔j，則，則分別在第分別在第 i 個能量計數(shù)器及第個能量計數(shù)器及第 j 個角度計數(shù)器中加個角度計數(shù)器中加 11。2010max01minjieeeee跟蹤跟蹤 n 個中子后，則個中子后，則分別為穿透中子的能量分布和角分布。其中分別為穿透中子的能量分布和角分布。其中n1,i 和和 n2,i 分別為第分別為第 i 個能量和第個能量和第 j

24、個角度間隔的穿透中個角度間隔的穿透中 子數(shù)。歸一子數(shù)。歸一后分別為：后分別為：jjnnpiiennpjjniinji, 2 , 1, 2 , 1, 2)1(, 1)1(,2, 1jjnnpppiiennpppjjnnniinnnjjii, 2 , 1, 2 , 11, 2)*1()1()*1(1, 1)*1()1()*1(,2,2, 1, 1 從模擬物理過程來說，直接模擬法是最簡單、也是最基從模擬物理過程來說，直接模擬法是最簡單、也是最基本的方法。但是，在直接模擬法中，不管中子在屏蔽中經(jīng)本的方法。但是，在直接模擬法中，不管中子在屏蔽中經(jīng)過多少次碰撞，只要在介質(zhì)中被吸收，對穿透的貢獻(xiàn)就為過多少次

25、碰撞，只要在介質(zhì)中被吸收，對穿透的貢獻(xiàn)就為零；因此在所跟蹤的粒子中絕大部分都對穿透沒有貢獻(xiàn)。零；因此在所跟蹤的粒子中絕大部分都對穿透沒有貢獻(xiàn)。而在許多屏蔽問題中，穿透率的數(shù)量級在而在許多屏蔽問題中，穿透率的數(shù)量級在10-6到到10-8。進(jìn)一。進(jìn)一步，如果我們要求穿透率達(dá)相對誤差小于步，如果我們要求穿透率達(dá)相對誤差小于1，即，即那么，那么，n 要大到驚人的數(shù)量級要大到驚人的數(shù)量級1010到到1012。顯然，這時用直。顯然，這時用直接模擬法計算不是很有效。接模擬法計算不是很有效。%1)1 (|pnpnpppnppp屏蔽物一般是由吸收強的介質(zhì)組成，因此在每次碰撞時，屏蔽物一般是由吸收強的介質(zhì)組成，因

26、此在每次碰撞時，粒子很有可能被吸收而停止跟蹤?，F(xiàn)在改變粒子很有可能被吸收而停止跟蹤?，F(xiàn)在改變模擬方法，在判斷碰撞類型模擬方法，在判斷碰撞類型 時，可以認(rèn)為粒子時，可以認(rèn)為粒子的的 部分是彈性散射，而其余部部分是彈性散射，而其余部分被吸收，即人為地把中子分成兩部分，一部分彈性散射，分被吸收，即人為地把中子分成兩部分，一部分彈性散射，一部分吸收。彈性散射這部分繼續(xù)跟蹤；吸收部分則停止跟一部分吸收。彈性散射這部分繼續(xù)跟蹤；吸收部分則停止跟蹤。也就是說，我們利用中子權(quán)重的變化來反應(yīng)繼續(xù)彈性散蹤。也就是說，我們利用中子權(quán)重的變化來反應(yīng)繼續(xù)彈性散射的部分。這就是簡單加權(quán)法的基本思想。射的部分。這就是簡單加

27、權(quán)法的基本思想。elp)()(11mbtmbeleleep顯然，在加權(quán)法中中子的權(quán)重顯然，在加權(quán)法中中子的權(quán)重w 已成為中子狀態(tài)參數(shù)的組成部分。已成為中子狀態(tài)參數(shù)的組成部分。這時，中子歷史成為：這時，中子歷史成為：對源中子，取對源中子，取w0=1。經(jīng)過碰撞中子權(quán)重的變化為：。經(jīng)過碰撞中子權(quán)重的變化為：因子因子 稱為尚存因子。稱為尚存因子。,cos,cos,cos,cos,110110110110mmmmmmmmwwwweeeezzzz)()(111mbtmbelmmeeww)()(11mbtmbelee這時，第這時，第 n 個中子對穿透的貢獻(xiàn)為：個中子對穿透的貢獻(xiàn)為：如果我們共跟蹤了如果我們共

28、跟蹤了n個中子，則穿透率個中子，則穿透率p的無偏估計為：的無偏估計為：類似地，可以得到類似地，可以得到穿透中子的能量分布和角分布。只穿透中子的能量分布和角分布。只不過在對各計數(shù)器進(jìn)行的加不過在對各計數(shù)器進(jìn)行的加 1 1 操作改為加操作改為加wm。0, 0,mmmnzazw當(dāng)當(dāng)nnnnnp1)2(1 簡單加權(quán)法的方差估計為：簡單加權(quán)法的方差估計為：與直接模擬法相比，有與直接模擬法相比，有注意到注意到n1，有，有這表明簡單加權(quán)法的方差小于直接模擬法的方差。這是因這表明簡單加權(quán)法的方差小于直接模擬法的方差。這是因為加權(quán)法比直接模擬法減少了一次隨機抽樣。為加權(quán)法比直接模擬法減少了一次隨機抽樣。2)2(

29、122)(1nnnnpnnnnnn1222)(122加權(quán)法的思想在蒙特卡羅方法中用途很廣泛。例如，加權(quán)法的思想在蒙特卡羅方法中用途很廣泛。例如，對于具有中子增殖反應(yīng)，如裂變，對于具有中子增殖反應(yīng)，如裂變，(n,2n)，(n,3n) 反應(yīng)的反應(yīng)的中子輸運問題，一個中子與核發(fā)生碰撞后，根據(jù)反應(yīng)的中子輸運問題，一個中子與核發(fā)生碰撞后，根據(jù)反應(yīng)的類型會產(chǎn)生不同數(shù)量的次級中子，每個次級中子又會產(chǎn)類型會產(chǎn)生不同數(shù)量的次級中子，每個次級中子又會產(chǎn)生新的次級中子，這樣鏈鎖反應(yīng)生新的次級中子，這樣鏈鎖反應(yīng) 下去，使得用直接模擬下去，使得用直接模擬法模擬每一個中子是非常困難的。這種情況可以利用加法模擬每一個中子是

30、非常困難的。這種情況可以利用加權(quán)法來處理。權(quán)法來處理。中子與核發(fā)生碰撞中子與核發(fā)生碰撞 后，產(chǎn)生的次級中子平均數(shù)為：后，產(chǎn)生的次級中子平均數(shù)為： 這里這里f 為裂變次級中子數(shù)。于是，碰撞后的權(quán)重為：為裂變次級中子數(shù)。于是，碰撞后的權(quán)重為：而決定碰撞類型的幾率分別為：而決定碰撞類型的幾率分別為：其中其中加權(quán)法的思想，還可以應(yīng)用到連續(xù)分布情況和偏倚抽加權(quán)法的思想，還可以應(yīng)用到連續(xù)分布情況和偏倚抽樣的問題樣的問題tffnnnninel)3 ,()2,(32111mmwwtfftnntnntintel,3,2,)3 ,()2,(ffnnnninelt)3 ,()2,(3211加權(quán)法雖然改進(jìn)了直接模擬法

31、，但它同樣只關(guān)心加權(quán)法雖然改進(jìn)了直接模擬法，但它同樣只關(guān)心中子是否穿透屏蔽這一信息，因此對每一個中子歷史中子是否穿透屏蔽這一信息，因此對每一個中子歷史的信息利用得很不充分。統(tǒng)計估計法能夠較多地利用的信息利用得很不充分。統(tǒng)計估計法能夠較多地利用中子的歷史信息，因而能得到更好的結(jié)果。中子的歷史信息，因而能得到更好的結(jié)果。一個中子，可能在介質(zhì)內(nèi)不發(fā)生碰撞而直接穿透屏蔽，也可能在介一個中子，可能在介質(zhì)內(nèi)不發(fā)生碰撞而直接穿透屏蔽，也可能在介質(zhì)內(nèi)發(fā)生一次碰撞后再穿透屏蔽，或經(jīng)過二次碰撞穿透屏蔽，等等，質(zhì)內(nèi)發(fā)生一次碰撞后再穿透屏蔽，或經(jīng)過二次碰撞穿透屏蔽，等等，這些事件是互不相這些事件是互不相容的，因此穿透

32、概容的，因此穿透概率率p 可表示為：可表示為： 其中其中pm 是中子恰好經(jīng)過是中子恰好經(jīng)過 m 次碰撞而穿透屏蔽的概率。這表明，可以用求次碰撞而穿透屏蔽的概率。這表明，可以用求 pm (m=0,1, ) 的方法得到的方法得到p。這樣，中子對穿透概率的貢獻(xiàn)就不只限于。這樣，中子對穿透概率的貢獻(xiàn)就不只限于末次碰撞了。末次碰撞了。0mmpp01s0s1smmp1p0pmza0 設(shè)中子的歷史為：設(shè)中子的歷史為：根據(jù)該中子的歷史，我們可以估計出中子恰好經(jīng)根據(jù)該中子的歷史，我們可以估計出中子恰好經(jīng)過過 m 次碰撞后，穿透屏蔽的部分次碰撞后，穿透屏蔽的部分顯然，具有初態(tài)顯然，具有初態(tài) s0( 0, e0,

33、cos0,w0 ) 的中子，未經(jīng)碰的中子，未經(jīng)碰撞直接穿透的部分是：撞直接穿透的部分是：,cos,cos,cos,cos,110110110110mmmmmmmmwwwweeeezzzz1, 1 , 0,mmpm0000cos)(expaewpt 類似地，在經(jīng)過了第類似地，在經(jīng)過了第 m 次碰撞后的中子具有狀態(tài)次碰撞后的中子具有狀態(tài) sm( zm, em, cosm,wm ) ，其可能穿透的部分，正好是一個中子恰好經(jīng)過，其可能穿透的部分，正好是一個中子恰好經(jīng)過 m 次碰撞穿次碰撞穿透的部分：透的部分：這里的這種估計技巧，由于是對每次碰撞后的狀態(tài)，求其后未經(jīng)碰這里的這種估計技巧，由于是對每次碰撞

34、后的狀態(tài)，求其后未經(jīng)碰撞直接穿透的貢獻(xiàn)，因此該方法也稱為最后自由飛行估計。撞直接穿透的貢獻(xiàn)，因此該方法也稱為最后自由飛行估計。1, 1 , 000coscos)(expmmzaewpmmmmtmm其它， 于是得到該中子對穿透的貢獻(xiàn)：于是得到該中子對穿透的貢獻(xiàn)：如果我們共跟蹤了如果我們共跟蹤了n個中子，則穿透率個中子，則穿透率p的估計為：的估計為：其方差估計為：其方差估計為：10mmmppnnnnpnp1)3()(12)3(122)(1)(nnnpnpnp 在直接模擬方法中，相對誤差為在直接模擬方法中，相對誤差為其中其中 為與置信水平為與置信水平 1相應(yīng)的量。相應(yīng)的量。如果構(gòu)造一個新的概率模型，

35、使得該模型的穿透如果構(gòu)造一個新的概率模型，使得該模型的穿透率率p*與原模型的穿透率與原模型的穿透率p之間存在關(guān)系：之間存在關(guān)系：使用直接模擬方法使用直接模擬方法 , 相對誤差為相對誤差為5. 指數(shù)變換法pnpnpppn)1 (pkp*pn 如果令如果令*，即，即這意味著，達(dá)到同樣的相對誤差，跟蹤粒子的數(shù)這意味著，達(dá)到同樣的相對誤差，跟蹤粒子的數(shù)目縮小目縮小 k 倍，從而減少倍，從而減少 k 倍的計算量。指數(shù)變換法就倍的計算量。指數(shù)變換法就是構(gòu)造一個新的概率模型的一個有效方法。是構(gòu)造一個新的概率模型的一個有效方法。knnpknpnpn*5. 指數(shù)變換法構(gòu)造如下偽過程：宏觀總截面為構(gòu)造如下偽過程：宏觀總截面為散射截面仍為散射截面仍為el(e)。其中。其中 emin、em