試驗(yàn)一-基于AR模型的股票價(jià)格預(yù)測(cè)

1、實(shí)驗(yàn)一-基于AR模型的股票價(jià)格 預(yù)測(cè)基于AR模型的股票價(jià)格預(yù)測(cè)1問題描述AR模型是一種線性預(yù)測(cè)，即已知N個(gè)數(shù)據(jù)，可由模型推出第N點(diǎn)前面或后面的數(shù)據(jù)(設(shè) 推出P點(diǎn))，所以其本質(zhì)類似于插值，其目的都是為了增加有效數(shù)據(jù)。本次實(shí)驗(yàn)使用從雅虎上 下載的美國(guó)某股票七年共2000個(gè)收盤價(jià)格數(shù)據(jù)來進(jìn)行數(shù)據(jù)分析建模， 取其前1000個(gè)價(jià)格數(shù)據(jù) 構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，預(yù)測(cè)剩下的股票收盤價(jià)格。2. 原理簡(jiǎn)述2.1基本原理自回歸模型(Autoregressive Model，AR Model )是用自身做回歸變量的過程，即利用前 期若干時(shí)刻的隨機(jī)變量的線性組合來描述以后某時(shí)刻隨機(jī)變量的線性回歸模型，它是時(shí)間序列中的一種常見形

2、式。考慮一組隨機(jī)自變量觀測(cè)值與因變量觀測(cè)值之間的關(guān)系，設(shè)自變量觀測(cè)值為x(n),因變量觀測(cè)值為丫=y(n),y(n-1),y(n-N),則依據(jù)AR Model，滿足如下關(guān)系式:a0y n ay n 1aNy nN x n(2.1)第7頁共15頁其中，a=ao,a1,aN為各項(xiàng)因變量觀測(cè)值系數(shù)。通常情況下，我們令ao=1?？紤]到式(2.1)的迭代性，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一組自變量觀測(cè)值和一個(gè)因變量觀測(cè)值的形式如下：yn xn /n12xn2(2.2)其中，A= 1, 2,是各項(xiàng)自變量觀測(cè)值的系數(shù)。另外，我們假定自變量觀測(cè)值的自相關(guān)函數(shù)為：(2.3)k是狄拉克函數(shù)其中，2是自變量觀測(cè)值的方差,將所得

3、的y(n)代入可得：E y n x nE x nM n 12(2.4)同樣，將任意的一個(gè)y(n-K)代入可得：E y n k x n 2 k接下來，我們將所得各式寫成向量的形式如下:(2.5)a1yn，yn 1，.，y n N M XnaN1aiEynxn Eyn yn,yn1 ,., y nN 抽(2.6)Eyn k x n6 r1 ,，rNa1MaN,y n，ya1MaN(2.7)a11，rk N0MaNr°1LN 1ar1r1roLrN 2a2DMMMMMMN 1N 2LroaNrN該矩陣由Yule-Walker方程描述為:Rar。將因變量觀測(cè)值的自相關(guān)函數(shù)寫成矩陣形式可得如下

4、:對(duì)于該系統(tǒng)預(yù)測(cè)的關(guān)鍵在于對(duì)系統(tǒng)系數(shù)向量(2.8)a的求解。將ARModel方程寫成如下形式:Ny naky n k x nk 1(2.9)將因變量觀測(cè)值y(n)的L個(gè)觀測(cè)值寫成矩陣形式如下:y Ny N 1 y N 2y N 1y N y N 1MMMy L 1y L 2 L將上式寫成Yule-Walker方程形式為：yLy 0ax NLy 1a2x N 1(2.10)MMMMLy L N 1aNx L 1Ya x。其中，x是自變量觀測(cè)值矩陣，a是系數(shù)矩陣，丫是Toeplitz矩陣，y是因變量觀測(cè)值矩陣。.2h使用最小二乘法（Least Square，LS）尋找一個(gè)最優(yōu)解為：|x y Ya

5、y Ya。對(duì)該1式進(jìn)行求解可得：aYhY YHy。將所求系數(shù)代入即可得到擬合方程，根據(jù)擬合方程可以得到問題的估計(jì)值2.2實(shí)現(xiàn)步驟具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：（1） 利用自變量觀測(cè)值x,因變量觀測(cè)值y和系數(shù)矩陣a構(gòu)建系統(tǒng)模型y Ya x ；1（2） 依據(jù)LS求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣aYhY YHy ；（3）將a代入構(gòu)造預(yù)測(cè)方程；（4）將已知值代入到預(yù)測(cè)方程中對(duì)未知值進(jìn)行預(yù)測(cè)。2.3實(shí)現(xiàn)框圖構(gòu)建系統(tǒng)模型1r依據(jù)LS求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣構(gòu)造預(yù)1則方程1r利用已知值對(duì)未知值進(jìn)行預(yù)測(cè)圖1預(yù)測(cè)實(shí)現(xiàn)框圖3. 仿真結(jié)果及分析仿真分為三組進(jìn)行，分別是固定系數(shù)矩陣 a的股價(jià)預(yù)測(cè)圖樣；迭代更新系數(shù)矩陣 a的股價(jià) 預(yù)測(cè)圖樣；加窗更新系數(shù)矩

6、陣 a的股價(jià)預(yù)測(cè)圖樣。3.1固定系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)仿真采用1000個(gè)股票收盤價(jià)格構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，來預(yù)測(cè)接下來300個(gè)股票收盤價(jià)格，具體仿真如下圖所示：(a)實(shí)際值預(yù)測(cè)值格價(jià)盤收票股280026002400實(shí)際值預(yù)測(cè)值格價(jià)盤收票股40'120200601008002OO8t)2O602180160o O o O4 2格價(jià)盤收票股u A'i,/(b)實(shí)際值 預(yù)測(cè)值I9280026002400實(shí)際值預(yù)測(cè)值格價(jià)盤收票股第18頁共15頁圖2固定系數(shù)矩陣時(shí)不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)圖圖2所示為利用前1000個(gè)數(shù)據(jù)求得系數(shù)矩陣a之后對(duì)接下來300個(gè)股票價(jià)格的預(yù)測(cè)圖，藍(lán)色為股票價(jià)格實(shí)際值，紅色為股

7、票價(jià)格預(yù)測(cè)值。圖中（a）、（b）、（ c）、（ d）分別代表階數(shù)為10、50、100、200時(shí)的不同情況。從圖中可以看出，在階數(shù)為 10時(shí)，股票價(jià)格預(yù)測(cè)效 果較差；當(dāng)階數(shù)為50和100時(shí)，預(yù)測(cè)效果有較大提升；而在階數(shù)為 200時(shí)，出現(xiàn)過度擬合的 情況，預(yù)測(cè)效果開始下降。四種不同階數(shù)的預(yù)測(cè)均方誤差如表I所示:表I不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)均方誤差10501005.73281.65523.8745階數(shù)均方誤差（104）6.0020從表I中可以看出，階數(shù)位于10100之間時(shí)，具有最優(yōu)預(yù)測(cè)。3.2迭代更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)本節(jié)中，我們利用原始數(shù)據(jù)求解系統(tǒng)系數(shù)矩陣 a,利用該系數(shù)矩陣a構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，通過

8、預(yù)測(cè)方程求解接下來的一個(gè)值，再將該值代入，更新系數(shù)矩陣 a,實(shí)現(xiàn)一種交叉迭代的預(yù)測(cè)求 解。仿真采用1000個(gè)股票收盤價(jià)格構(gòu)建預(yù)測(cè)方程，來預(yù)測(cè)接下來 1000個(gè)股票收盤價(jià)格，具體 仿真如下圖所示：300028003000280000620024格價(jià)盤收票股002200實(shí)際值預(yù)測(cè)值602 O642O864 O40'20022o O o OO 82 1o O o O6 4格價(jià)盤收票股實(shí)際值 預(yù)測(cè)值002O40006008008642O0062002400230002800004o o o O o o o O 2 0 8 62 2 11格價(jià)盤收票股$I S4.(a)b)實(shí)際值預(yù)測(cè)值3000一,

9、實(shí)際值預(yù)測(cè)值1000 IIIIIIIIII0200400600800100012001400160018002000數(shù)據(jù)量28001000 IIIIIIIIII0200400600800100012001400160018002000數(shù)據(jù)量（C）(d)圖3迭代更新系數(shù)矩陣時(shí)不同階數(shù)下股票價(jià)格預(yù)測(cè)圖圖3中（a）、（ b）、（ c）、（ d）分別為階數(shù)取10、50、100和200時(shí)的股票價(jià)格預(yù)測(cè) 圖，從圖中可以看出，由于對(duì)系數(shù)矩陣 a進(jìn)行不斷的迭代更新，因此求得的預(yù)測(cè)值近似為線性 預(yù)測(cè)，即只能預(yù)測(cè)股票的升降趨勢(shì)。觀察之前1000個(gè)數(shù)據(jù)可知，股票價(jià)格以下降趨勢(shì)為主，因此在這里的預(yù)測(cè)函數(shù)為一近似單調(diào)遞

10、減的線性函數(shù)。3.3加窗更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)考慮到3.2中系數(shù)矩陣a是在每次得到新的預(yù)測(cè)值就進(jìn)行更新，在本節(jié)中，我們利用前1000 個(gè)股價(jià)預(yù)測(cè)接下來長(zhǎng)度為 m的股價(jià)，m即為我們加窗的長(zhǎng)度。在這里我們?nèi)為一系列的值，分別為50、100、200、300和400。通過預(yù)測(cè)的估計(jì)，更新系統(tǒng)矩陣 a,進(jìn)而預(yù)測(cè)接下來的股 價(jià)。仿真時(shí)階數(shù)分別取為100和300,顯示如下圖所示：28002600實(shí)際值預(yù)測(cè)值2800|實(shí)際*值2600 .預(yù)測(cè)值10000200400600 800數(shù)據(jù)量100012001400200400600800數(shù)據(jù)量100012001400（a）（ b）圖4加窗長(zhǎng)度為50時(shí)不同階數(shù)下

11、的股價(jià)預(yù)測(cè)圖格價(jià)盤收票股-0.50200400600 800數(shù)據(jù)量x 1028實(shí)際值預(yù)測(cè)值1000 120076543210-114000200400600800100012001400數(shù)據(jù)量a實(shí)際值預(yù)測(cè)值（b）圖5加窗長(zhǎng)度為100時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖格價(jià)盤收票股10數(shù)據(jù)量I 00U實(shí)際值 預(yù)測(cè)值(b)圖6加窗長(zhǎng)度為200時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖00實(shí)際值預(yù)測(cè)值格價(jià)盤收票股008200400210000200400600 800數(shù)據(jù)量1000120014000Q62006格價(jià)盤收票股1000a)(b)圖7加窗長(zhǎng)度為300時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖0082100001000o O602 2O4

12、0210001000數(shù)據(jù)量;實(shí)際值預(yù)測(cè)值o o o O o o o O 2 0 8 62 2 11格價(jià)盤收票股數(shù)據(jù)量(a)(b)圖8加窗長(zhǎng)度為400時(shí)不同階數(shù)下的股價(jià)預(yù)測(cè)圖觀察以上各圖可知，加窗長(zhǎng)度為 100、200和300時(shí)，預(yù)測(cè)值和實(shí)際值具有較大偏差。而 當(dāng)加窗長(zhǎng)度為50和400時(shí)，效果較之前三種有較大提高。其中當(dāng)階數(shù)為100時(shí)，預(yù)測(cè)結(jié)果近似于線性，當(dāng)階數(shù)為300時(shí)，兩者均具有較好的預(yù)測(cè)。其中，加窗長(zhǎng)度為50時(shí)，具有最佳預(yù)測(cè)效果。從以上仿真結(jié)果可以看出，預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性和加窗長(zhǎng)度和階數(shù)有關(guān)。所以，為了獲得較好的預(yù) 測(cè)效果，需要選擇合適的加窗長(zhǎng)度和階數(shù)。4. 結(jié)束語本次實(shí)驗(yàn)是基于AR模型的股票價(jià)格

13、預(yù)測(cè)，在實(shí)驗(yàn)中我們使用Yule-Walker方程對(duì)系統(tǒng)系 數(shù)矩陣a進(jìn)行求解，通過求解得到的系數(shù)矩陣 a構(gòu)造預(yù)測(cè)方程。同時(shí)，在仿真中我們討論了使 用不同的方法對(duì)系數(shù)矩陣a進(jìn)行優(yōu)化，分別為固定系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)；迭代更新系數(shù)矩陣 a的股價(jià)預(yù)測(cè)；加窗更新系數(shù)矩陣a的股價(jià)預(yù)測(cè)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在固定系數(shù)矩陣a的情況下, 預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和階數(shù)的選取有關(guān)； 而在更新系數(shù)矩陣a的情況下，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和加窗長(zhǎng)度及 階數(shù)均有關(guān)。5. 附錄股票價(jià)格數(shù)據(jù)命名為 XX ' o%不更新A值clcclearload ('xx.mat'); data = xx(:,1)' p = 200;L

14、= 1000; MSE = 0;datal = data(1:L);y = data(p+1:L)： for i = 1:pY(:,p-i+1) = data(i:L-p+i-1)： enda = -i nv(Y'*Y)*Y '*y;for i = L+1:le ngth(data)data1(i) = data1(i-p:i-1)*(-a);endfor i = 1000:1300MSE = MSE+(data(i)-data1 (i) )A2;endMSE = MSE/300;figure(1) plot(data(1:1500),'b');hold on

15、plot(data1(1:1500),'r'); xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabel('股票收盤價(jià)格'); legend('實(shí)際值預(yù)測(cè)值');axis(0 1300 1000 2800);%每次預(yù)測(cè)一個(gè)點(diǎn)，代入更新a值 clcclear all load ('xx.mat'); data = xx(:,1)' p = 200;L = 1000;data1 = data(1:L);for i = L+1:le ngth(data)y = data1(p+1:L)'for j = 1:pfor k

16、 = 1:(L-p)Y (k,j) = data1(p-j+1+k-1);endendY1 = Y：K = in v( Y1*Y);a = -inv(Y 1* Y)*Y 1*y; data1(i) = data1(i-1:-1:i-p)*(-a);endfigure(2)plot(data(1:2000),'b');hold onplot(data1(1:2000),'r');xlabel('數(shù)據(jù)量');ylabel('股票收盤價(jià)格');lege nd('實(shí)際值預(yù)測(cè)值')；%加窗的預(yù)測(cè)，窗的長(zhǎng)度分別為100、200

17、、300、400、500clcclearload ('xx.mat');data = xx(:,1)'p = 300;L = 1000;L_list = 50 100 200 300 400;select_ nu mber = 5;data1 = data(1:L);for i = 0:30ydata1(L_list(select_ number)*i+(p+1):L_list(select_ numb er)*i+L)'for j = 1:pfor k = 1:(L-p)Y (k,j) = data1(L_list(1)*i+p-j+1+k-1);endend%a(:,i+1) = -in v( Y'* Y)*Y '*y;a = -i nv(Y'*Y )* Y'*y;for m = 1:L_list(select_ number)data1(L+L_list(select_