九年級數(shù)學競賽試題及答案

1、九年數(shù)學競賽試題一、選擇題 ( 每小題 7 分，共 42 分 )1. 在直角坐標系中，若一點的縱、橫坐標都是整數(shù)，則稱該點為整點. 設(shè) k為整數(shù)，當直線y=x-2 與 y=kx+k 的交點為整點時， k 的值可以取 ()(A)4個(B)5個(C)6個(D)7個2. 如圖， AB是 O 的直徑， C為 AB上的一個動點 (C 點不與A、B 重合 ) ，CDAB ，AD、CD分別交 O 于 E、F，則與 AB·AC相等的一定是 ( )(A)AE·AD(B)AE·ED(C)CF·CD(D) CF·FD3. 在 ABC與 ABC中，已知 ABAB， B

2、CBC， CACA.下列結(jié)論：(1) ABC的邊 AB上的高小于 ABC的邊 AB上的高；(2) ABC的面積小于 ABC的面積；(3) ABC的外接圓半徑小于 ABC的外接圓半徑；(4) ABC的內(nèi)切圓半徑小于 ABC的內(nèi)切圓半徑 .其中，正確結(jié)論的個數(shù)為()(A)0(B)1(C)2(D) 44. 設(shè)，那么S 與2 的大小關(guān)系是()(A)S=2(B)S 2(C)S 2(D)S與 2 之間的大小與x 的取值有關(guān)5. 折疊圓心為 O、半徑為 10cm的圓紙片，使圓周上的某一點 A 與圓心 O重合 . 對圓周上的每一點，都這樣折疊紙片，從而都有一條折痕 . 那么，所有折痕所在直線上點的全體為 (

3、)(A) 以O(shè)為圓心、半徑為10cm的圓周(B) 以O(shè)為圓心、半徑為5cm的圓周(C) 以O(shè)為圓心、半徑為5cm的圓內(nèi)部分(D) 以 O為圓心，半徑為5cm的圓周及圓外部分6. 已知x，y，z 都是實數(shù)，且x2+y2 +z2=1，則m=xy+yz+zx()(A) 只有最大值(B) 只有最小值(C) 既有最大值又有最小值(D) 既無最大值又無最小值二、填空題 ( 每小題 7 分，共 56 分)7. 如圖是一個樹形圖的生長過程， 依據(jù)圖中所示的生長規(guī)律， 第 15 行的實心圓點的個數(shù)等于 _.8. 如圖 3，在 ABC中， AD是 BC邊上的中線， M是 AD的中點， CM的延長線交 AB于 N，

4、則 AN:AB的值為 _.9. 如圖，取一張長方形紙片，它的長 AB=10cm，寬 BC=5 cm，然后以虛線CE(E點在 AD上) 為折痕，使 D點落在 AB邊上 . 則 AE=_cm，DCE=°.10. 如圖4，BC是O的直徑，AC切O于點C，AB交O于點D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值為 _11. 直角三角形ABC中， A=90°， AB=5cm，AC=4cm，則A的平分線AD的長為_cm.12. 如圖，C 通過原點，并與坐標軸分別交于 A，D 兩點 . 已知 OBA=30°，點D 的坐標為 (0,2) ，則點 A， C 的坐標分別為 A(

5、,)；C(,).13. 若關(guān)于x 的方程 rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0的根是正整數(shù)，則整數(shù)r的值可以是 _.14. 將 2,3,4,5, ,n(n 為大于 4 的整數(shù) ) 分成兩組，使得每組中任意兩數(shù)之和都不是完全平方數(shù) . 那么，整數(shù) n 可以取得的最大值是 _.三、解答題 ( 每題 13 分，共 52 分)15. 九年 (1) 班尚剩班費 m(m為小于 400 的整數(shù) ) 元，擬為每位同學買 1 本相冊 . 某批發(fā)兼零售文具店規(guī)定：購相冊 50 本起可按批發(fā)價出售，少于 50 本則按零售價出售， 批發(fā)價比零售價每本便宜 2 元，班長若為每位同學買 1 本，剛好用完 m元；但若多

6、買 12 本給任課教師， 可按批發(fā)價結(jié)算， 也恰好只要 m元. 問該班有多少名同學？每本相冊的零售價是多少元？16. 已知關(guān)于 x 的方程 x2 +4x+3k-1=0 的兩個實根的平方和不小于這兩個根的積；反比例函數(shù)的圖像的兩個分支在各自的象限內(nèi)，點的縱坐標 y 隨點的橫坐標 x 的增大而減小 . 求滿足上述條件的k 的整數(shù)值 .17. 某中學預計用 1500 元購買甲商品 x 個，乙商品 y 個，不料甲商品每個漲價 1.5 元，乙商品每個漲價 1 元，盡管購買甲商品的個數(shù)比預定減少 10 個，總金額多用 29 元. 又若甲商品每個只漲價 1 元，并且購買甲商品的數(shù)量只比預定數(shù)少 5 個，那么

7、買甲、乙兩商品支付的總金額是1563.5 元.(1) 求 x、y 的關(guān)系式；(2) 若預計購買甲商品的個數(shù)的 2 倍與預計購買乙商品的個數(shù)的和大于 205，但小于 210，求 x，y 的值 .18. 如圖，在 ABC中，BC=6，AC=4 ， C=45°， P 為 BC上的動點，過 P作 PDAB交 AC于點 D，連結(jié) AP， ABP、 APD、 CDP的面積分別記為 S1 ，S2，S3，設(shè) BP=x.(1)試用x 的代數(shù)式分別表示S1，S2，S3；(2) 當 P 點位于 BC 上某處使得 APD的面積最大時，你能得出間或 S1、 S2、S3 兩兩之間的哪些數(shù)量關(guān)系 ( 要求寫出不少

8、于 3 條) ？S1、S2、S3 之九年數(shù)學競賽試題答案一、選擇題1.A2.A3.A4.D5.D6.C二、填空題7.3778.1:39.， 30 10.11.12.(,0) ， (,1)13.0， 1 或 714.2815.設(shè)該班共有 x名同學，相冊零售價每本y 元 .由題設(shè)，得xy=(x+12)(y-2)，且整數(shù) x 滿足38 x 50.由得 12y-2x-24=0 ，y= +2， xy=+2x.由及 xy=m 為整數(shù)，知整數(shù) x 必為 6 的倍數(shù)，再由，x 只可能為42 或 48.此時相應的y 為 9 或 10.但 m 400， x=42， y=9.答： (略 ).16.由題意，方程2x

9、+4x+3k-1=0有實數(shù)根，故 =42-4(3k- 1) 0，解之，得 k.設(shè) x1， x2 為的根，由根與系數(shù)關(guān)系知x1+x 2=-4 ， x1·x2=3k-1 ，因x1 2，故(x1+x 2 )2-3x 1x20，即 (-4)2 -3(3k- 1) 0， k .又由當 x 0 或 x 0 時，分別隨x 值增大而減小，知1+5k 0，即 k-.綜合，得- k.滿足題中條件的k 可取整數(shù)值為0, 1.17.(1) 設(shè)預計購買甲、乙商品的單價分別為a 元和 b 元，則原計劃是：ax+by=1500 ，由甲商品單價上漲1.5 元，乙商品單價上漲1 元，并且甲商品減少10 個情形，得：(

10、a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529.再由甲商品單價上漲1 元，而數(shù)量比預計數(shù)少5 個，乙商品單價上漲仍是1 元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5.由，得： - ×2 并化簡，得 x+2y=186.(2) 依題意有：205 2x+y 210 及 x+2y=186.得 54 y.由于 y 是整數(shù)，得y=55 ，從而得x=76.答：略 .18.(1) 由題意知：BP=x ， 0 x 6，且有，故 AD=·BP=x=x.過P作PMAC交AC于M點，過 A作ANBC交BC于N點，則PM=PC· sinC=(BC-PB)sin45 °=(6-x) ，S2=SAPD = AD·PM=· x· (6-x)=2x- x2 ；又 AN=AC· sinC=4·sin45 °=4，故 S1=SABP =BP·AN=2x ；S3=SCDP=CD·PM= (AC-AD)·PM=(