高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)例3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用課件新人教A版選修

1、3 3.1 1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用1.了解回歸分析的基本思想,會(huì)對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行回歸分析,會(huì)求兩個(gè)具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系的變量的回歸直線(xiàn)方程,并用回歸直線(xiàn)方程進(jìn)行預(yù)報(bào).2.了解最小二乘法的思想方法,理解回歸方程與一般函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.3.通過(guò)典型案例的分析,了解回歸分析的初步應(yīng)用相關(guān)檢驗(yàn).12341234知識(shí)拓展知識(shí)拓展1.當(dāng)r0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r|r甲|=0.8更接近于1,乙組數(shù)據(jù)相關(guān)性強(qiáng).答案:b12342.隨機(jī)誤差(1)隨機(jī)誤差的均值e(e)=0,方差d(e)=2.(2)線(xiàn)性回歸模型的完整表達(dá)式是 在此線(xiàn)性回歸模型中,隨機(jī)誤差e的方差2越小,通過(guò)

2、回歸直線(xiàn)預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高.知識(shí)拓展知識(shí)拓展隨機(jī)誤差的主要來(lái)源:(1)用線(xiàn)性回歸模型近似地逼近真實(shí)模型所引起的誤差;(2)忽略了某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差;(3)觀(guān)測(cè)誤差.12341234知識(shí)拓展知識(shí)拓展在線(xiàn)性回歸模型中,r2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率.r2越接近于1,表示回歸的效果越好(因?yàn)閞2越接近于1,表示解釋變量和預(yù)報(bào)變量的相關(guān)性越強(qiáng)).如果對(duì)某組數(shù)據(jù)可以采取幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析,也可以通過(guò)比較幾個(gè)r2,選擇其值大的模型.1234【做一做2】 有下列說(shuō)法:在殘差圖中,殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi),說(shuō)明選用的模型比較合適;r2用來(lái)刻畫(huà)回歸效果,r2值越大,

3、說(shuō)明模型擬合效果越好;比較兩個(gè)模型的擬合效果,可以比較殘差平方和的大小,殘差平方和越小的模型,擬合效果越好.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()a.0b.1c.2d.3答案:d12343.非線(xiàn)性回歸方程當(dāng)回歸方程不是形如y=bx+a(a,br)時(shí),稱(chēng)之為非線(xiàn)性回歸方程.非線(xiàn)性回歸方程也可以線(xiàn)性化.(1)將冪函數(shù)型函數(shù)y=axn(a為常數(shù),a,x,y均取正值)化為線(xiàn)性函數(shù):將y=axn兩邊取常用對(duì)數(shù),則有l(wèi)g y=nlg x+lg a,令=lg y,v=lg x,b=lg a代入上式得=nv+b(其中n,b是常數(shù)),其圖象是一條直線(xiàn).(2)將指數(shù)型函數(shù)y=cax(a0,c0,a,c為常數(shù))化為線(xiàn)性函數(shù):將y

4、=cax兩邊取常用對(duì)數(shù),則有l(wèi)g y=xlg a+lg c,令=lg y,b=lg c,d=lg a,代入上式得=dx+b(d,b是常數(shù)),它的圖象是一條直線(xiàn).12344.建立回歸模型的基本步驟一般地,建立回歸模型的基本步驟為:(1)確定研究對(duì)象,明確哪個(gè)變量是解釋變量,哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量.(2)畫(huà)出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖,觀(guān)察它們之間的關(guān)系(如是否存在線(xiàn)性關(guān)系等).(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類(lèi)型.(4)按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計(jì)回歸方程中的參數(shù).(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常,則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等.121.相關(guān)分析的意義和作用是什么剖析函數(shù)是

5、大家比較熟悉的概念,它是指變量之間的確定性關(guān)系,即當(dāng)x取某一數(shù)值x時(shí),變量y按照某種規(guī)則總有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).相關(guān)關(guān)系則是指變量之間的非確定性關(guān)系,由于隨機(jī)因素的干擾,當(dāng)變量x取確定值x時(shí),變量y的取值不確定,是一個(gè)隨機(jī)變量,但它的概率分布與x的取值有關(guān).這里,我們看到了函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)區(qū)別,在函數(shù)關(guān)系中變量x對(duì)應(yīng)的是變量y的確定值,而在相關(guān)關(guān)系中,變量x對(duì)應(yīng)的是變量y的概率分布.換句話(huà)說(shuō),相關(guān)關(guān)系是隨機(jī)變量之間或隨機(jī)變量與非隨機(jī)變量之間的一種數(shù)量依存關(guān)系,對(duì)于這種關(guān)系,只能運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行研究.通過(guò)對(duì)相關(guān)關(guān)系的研究又可以總結(jié)規(guī)律,從而指導(dǎo)人們的生活與生產(chǎn)實(shí)踐.122.舉例說(shuō)明怎

6、樣確定線(xiàn)性回歸的模型剖析在確定數(shù)據(jù)適合哪種模型之前,首先應(yīng)該對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)繪圖,以便進(jìn)行簡(jiǎn)單的觀(guān)測(cè).例如,為了研究建立初始工資與當(dāng)前工資的回歸模型,首先對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)繪圖,如下圖所示.12從圖中可以發(fā)現(xiàn)初始工資與當(dāng)前工資的趨勢(shì)大概呈線(xiàn)性關(guān)系,可以建立線(xiàn)性回歸方程.如果觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)不呈線(xiàn)性分布,那么還可以根據(jù)其他方程模型的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)分布圖形的特點(diǎn)以及對(duì)建立各方程后所得的r2進(jìn)行比較以便確定一種最佳方程式.一般說(shuō)來(lái),如果所有的觀(guān)測(cè)量都落到回歸直線(xiàn)上,那么r2等于1;如果自變量與因變量之間沒(méi)有回歸關(guān)系,那么r2等于0.另外,我們通過(guò)對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)分布圖形的仔細(xì)觀(guān)察還可以發(fā)現(xiàn)一些奇異值,所以還可以通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的檢查來(lái)消除

7、奇異值.但是,對(duì)待奇異值時(shí)要格外小心.題型一題型二題型三題型四【例1】 一個(gè)車(chē)間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間,為此進(jìn)行了10次試驗(yàn).測(cè)得的數(shù)據(jù)如下:(1)y與x是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系?(2)如果y與x具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,求回歸直線(xiàn)方程;(3)根據(jù)求出的回歸直線(xiàn)方程,預(yù)測(cè)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少?題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練1】 某工廠(chǎng)18月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x(單位:t)與成本y(單位:萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖;(2)判斷y與x是否具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,若有,求出其線(xiàn)性回歸方程.題型一

8、題型二題型三題型四解:(1)散點(diǎn)圖如圖.(2)由圖可看出,這些點(diǎn)基本分布在一條直線(xiàn)附近,可以認(rèn)為x和y線(xiàn)性相關(guān).題型一題型二題型三題型四【例2】 某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下:(1)作出散點(diǎn)圖;(2)求出回歸方程;(3)作出殘差圖;(4)計(jì)算r2;(5)試預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次及55次的成績(jī).題型一題型二題型三題型四解:(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)(x)與成績(jī)(y)之間的散點(diǎn)圖,如圖,由散點(diǎn)圖可知,它們之間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四(3)殘差分析.作殘差圖如圖,由圖可知,殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,說(shuō)明選用的模型比較合適.(4)計(jì)算r

9、2.計(jì)算得r20.985 5.說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的.題型一題型二題型三題型四(5)作出預(yù)報(bào).由上述分析可知,我們可用回歸方程 =1.041 48x-0.003 09作為該運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的預(yù)報(bào)值.將x=47和x=55分別代入該方程可得y49和y57.故預(yù)測(cè)該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練47次和55次的成績(jī)分別為49和57.反思反思“r2、殘差圖”在回歸分析中的作用:(1)r2是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的,由 可知r2越大,意味著殘差平方和越小,也就是說(shuō)模型的擬合效果就越好.(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的,判斷依據(jù)是:殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明模型擬

10、合精度越高,回歸方程預(yù)報(bào)精度越高.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練2】 某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽數(shù)為多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù),得到如下資料:該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線(xiàn)性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率;(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三

11、題型四題型一題型二題型三題型四可以求得:r0.998.由于|r|0.9980.75,可知u和v具有很強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)性.再求出b-0.146,a0.548.題型一題型二題型三題型四【變式訓(xùn)練3】 在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中,某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速率y(單位:g/min)與一種催化劑的量x(單位:g)有關(guān),現(xiàn)收集了如下表所示的8組數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程.題型一題型二題型三題型四解:根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖,如圖.根據(jù)樣本點(diǎn)的分布情況,可選用兩種曲線(xiàn)模型來(lái)擬合.可認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線(xiàn)y=c1x2+c2的附近.令t=x2,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線(xiàn)y=bt+a(b=c1,a=c2)的周?chē)?題型一題型二題型三題型四由題意得變換后t與y的樣本數(shù)據(jù)如下表:y與t的散點(diǎn)圖如圖.由y與t的散點(diǎn)圖可以觀(guān)察到樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并不分布在一條直線(xiàn)的周?chē)?因此不宜用線(xiàn)性回歸方程y=bt+a來(lái)擬合,即不宜用二次曲線(xiàn)y=c1x2+c2來(lái)擬合y與x之間的關(guān)系