偏微分方程教程》第七章Fourier變換及其應用課件

1、淘花/百度專用1偏微分方程教程第七章第七章 FourierFourier變換及其應用變換及其應用淘花/百度專用2偏微分方程教程第七章 Fourier變換及其應用第七章第七章 FourierFourier變換及其應用變換及其應用 Fourier變換在線性偏微分方程, 特別是常系數(shù)線性偏微分方程的研究中十分重要. 它對求解各種數(shù)學物理方程具有普遍意義. 這一章我們將系統(tǒng)地介紹Fourier變換的基本知識及其運算性質. 最后利用Fourier變換及其逆變換求解某些典型數(shù)學物理方程的定解問題.淘花/百度專用3偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用1 Fourier 1 Fourier 變換

2、及其性質變換及其性質在學習常微分方程的求解時, 我們介紹過Laplace變換, 它將一個常系數(shù)的線性常微分方程的求解轉化為求解函數(shù)方程及對該函數(shù)方程的解實施Laplace變換的逆運算. 那么是否有其它形式的積分變換, 能將常系數(shù)的線性偏微分方程, 特別是三類典型的數(shù)學物理方程的求解變得簡單呢？這就是我們下面將要介紹的Fourier變換淘花/百度專用4偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用1.11.1FourierFourier變換變換 定義定義 7.17.1 若, 則對任意的, 積分有意義, 我們稱它為的Fourier變換,或記為定理定理 7.17.1 (Fourier積分定理)若

3、 ,則1( )( )2i xf x edxf1lim( )( )2Ni xNNfedfx (1.1)(1.2)11( )()()f xLC 1( )()f xL淘花/百度專用5偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 證：證：由于 ,因此含參變量的積分 對一致收斂, 且為的連續(xù)函數(shù). 從而有1( )()f xL( )i xf x edx()12311()()221sin()()1sin()1NNixixNNMMMMfedfdedNxfdxNfxdJJJ(1.3)淘花/百度專用6偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用N (1 2 3)iJ i 現(xiàn)在分別討論當 時的極限. 易

4、知 同理可證另一方面, 我們有其中是的連續(xù)函數(shù) 11sin1()( )MNJfxdf xdxM31( )Jf xdxM21()( )( )sinsin1( )sin()sinMMMMMMNMMNf xf xf xNJN ddf xg xN dd 10()()g xfxdx(1.4) (1.5) 淘花/百度專用7偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用00M0MM1344JJMN現(xiàn)在任給, 首先取足夠大，使得當時, . 其次再固定, 取充分大, 由黎曼-勒貝格 (Riemann-Lebesgue)引理, 有1()sin4MMg xNd sinxxdxN此外, 當充分大時, 有 ( )s

5、in( )4MNMNf xdf x將它們代入(1.3)立即可得當0NN時 1( )( )2Ni xNfedf x 定理證畢. 淘花/百度專用8偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用公式(1.2)稱為反演公式反演公式. 左端的積分表示取Cauchy主值.由此所定義的變換稱為FourierFourier逆變換逆變換, 記為( )f因此(1.2)亦可寫成,( )ff即一個屬于11()()LC 的函數(shù)作了一次Fourier變換以后,再接著作一次Fourier 逆變換,就回到這個函數(shù)本身 注注:在以后應用Fourier變換的反演公式求解問題時, 我們先不必深究上述定理的條件是否滿足, 而是直

6、接應用它導出問題的形式解,然后再通過直接驗證, 以確定這個形式解就是“真解”. 淘花/百度專用9偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用1( )( )()f x g xL12 性質性質 7.1(7.1(線性性質線性性質) )若, 則對任意常數(shù)1212()fgfg1( )()f xL 性質性質 7.2(7.2(平移性質平移性質) )若，則對任意常數(shù)a, 有 ( ()( )iaf x aef(1.6) (1.7) 1.2.1.2.基本性質基本性質 在運用Fourier變換求解定解問題之前, 我們先介紹Fourier變換的一些基本性質. ，有淘花/百度專用10偏微分方程教程 第七章 Fou

7、rier變換及其應用 性質性質 7.3(7.3(對稱性質對稱性質) )若1( )()f xL, 則(1.8)( ( )()f xf 以上三條性質的證明均可由Fourier變換及其逆變換的定義直接推出. 請讀者自己完成 . 性質性質 7.4(7.4(微商性質微商性質) )若1( )( )()()f x f xLC , 則d fifd x(1.9)淘花/百度專用11偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 證證: :由假設1( )( )()()f x f xLC 知 lim( )0 xfx 事實上, 由( )()f xC, 則 0( )(0)( )xf xff t dt因為1( )()f

8、 xL, 故有 0lim( )(0)( )xf xaff t dt(1.10) 1( )()f xL0a又因, 由反證法亦知, 即(1.10)成立.由(1.10), 利用分部積分公式, 有 1( )21( )( )2i xi xdffx edxdxif x edxi f淘花/百度專用12偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 推論推論 7.17.1 若()1( )( )()()mfxfxLC 則()( )1mmmd fifmdx (1.11)， 注：注： 這個性質表明微商運算經Fourier變換后轉化為乘積運算,因此利用Fourier變換可把常系數(shù)的常微分方程簡化為函數(shù)方程,也可把

9、偏微分方程簡化為常微分方程.正由于這個原因,Fourier變換成為解常系數(shù)線性偏微分方程的重要工具.淘花/百度專用13偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 性質性質 7.5 (7.5 (乘多項式乘多項式) ) 若1( )( )()fxxfxL, 則 ( )( )dxf xifd1( )( )()fxxfxL ( )f 證：證：由于, 故的連續(xù)可微是 1( )( )()( ( )2i xdff xixe dxi xf xd由此即知(1.12)成立. (1.12) 函數(shù), 且有淘花/百度專用14偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 推論推論 7.27.2 若1()()(

10、)mfxxfxL , 則( )( )1mmmmdx f xifmd (1.13) 性質性質 7.6 (7.6 (伸縮性質伸縮性質) ) 若1( )()f xL,為非零常數(shù), 則k1( ()f kxfkk(1.14)淘花/百度專用15偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 證：證：不失一般性, 設0k . 由定義7.1, 有 1()()211( )211( )21ykki xiiyf kxf kx edxfy edykfy edykfkk淘花/百度專用16偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 性質性質 7.7 (7.7 (卷積性質卷積性質) ) 若1( )( )()f

11、x g xL, 則 1()( )() ( )()fg xf xy g y dyL 且有 ()2fgfg 證：證：由富比尼(Fubini)定理, 有 111()()()()()()()()LLLfgxdxfxy gy dydxfxy gydygydyfxydxgf故1()fgL(1.15) (1.16) 淘花/百度專用17偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用()1()() ( )21( )()22( ) ( )i xi yix yfgedxf xy g y dyg y edyf xy edxgf再由Fubini定理 12( )()()f xLL 222LLLfff 性質性質 7.8

12、 (Plancherel7.8 (Plancherel定理定理) ) 設, 則 (1.17) 淘花/百度專用18偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用1.3.1.3.幾個例子幾個例子 下面我們通過幾個例子說明如何利用Fourier變換的定義及基本性質來求一些具體函數(shù)的Fourier變換. 例例 1 1 設 11()0 xAfxxA求1( )f. 例例 2 2 設 20( )00 xexfxx求2( )f. .淘花/百度專用19偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 解解：由定義7.1, 知 (1)20111( )122ixfedxi3( )xfxe 3( )f 例例 3

13、 3 設, 求 解：解：由于 322( )( )()fxfxfx由性質 7.1, 性質7.6可得 322222( )( )()( )()1111211122fffxffii24( )xfxe 例例 4 4 求高斯(Gauss)函數(shù) 的Fourier變換. 淘花/百度專用20偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用22211242211424()()1( )21212xi xxixifeedxeedxeedx212()xiedx 1,R 2R 對積分應用Cauchy定理改變積分路徑 , , 則有 2122()xixedxedx 解解：由定義7.1, 得(如圖7-1), 并令淘花/百度專

14、用21偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用圖7-1于是可得 21441()2fe淘花/百度專用22偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 例例 5 5 設25()(0 )A xfxeA, 求5( )f 解：解：由性質7.6, 有2454411( )()2AffAxfeAAA淘花/百度專用23偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用1.4.1.4.高維空間的高維空間的FourierFourier變換變換 為了求解高維空間的常系數(shù)線性偏微分方程, 我們還需介紹高維空間的Fourier變換. 定義定義 7.27.2 設11()()nnf xxLR, 那么積分 1

15、12()1111()()(2 )n nnixxnnnf xx edxdxf有意義, 稱為的Fourier變換, 記為1()nf1()nf xx.淘花/百度專用24偏微分方程教程 第七章 Fourier變換及其應用 定理定理 7.27.2 若111()()()nnnf xxCLRR, 則有 1 1()111121( ()lim()()(2 )n nNNixxnnnnnNNNffeddf xx 其中1( ()nf 表示函數(shù)1()nf的Fourier逆變換. 容易證明關于一維Fourier變換的性質7.1-7.7, 對于高維Fourier變換仍然成立. 此外，根據(jù)Fourier變換的定義7.2, 我們還有