7第5章哈密頓原理

1、第5鷲臨兔颯慰理如前所述，力學(xué)的變分原理的實(shí)質(zhì)是：將真實(shí)運(yùn)動(dòng)與可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)加以比較，建立判 別準(zhǔn)則以區(qū)分真實(shí)運(yùn)動(dòng)和可能的運(yùn)動(dòng)。哈密頓原理是通過貞實(shí)運(yùn)動(dòng)與可能的運(yùn)動(dòng)在位形空間 的位形軌跡加以比較，而哈密頓作用量S是對不同的位形軌線取不同值的泛函，從而得到對 真實(shí)運(yùn)動(dòng)來講，哈密頓作用量的變分等于零。將拉格朗日方程引人哈密頓函數(shù)，導(dǎo)出哈密頓正則方程：給出了一種對偶的數(shù)學(xué)體系， 開拓了應(yīng)用前景；由動(dòng)力學(xué)普遍方程對時(shí)間積分，導(dǎo)出一個(gè)重要的力學(xué)變分原理一一哈密頓 原理，提出了將真實(shí)運(yùn)動(dòng)與同樣條件下的可能運(yùn)動(dòng)區(qū)分開來的準(zhǔn)則：對于有限過程，提供了 一種動(dòng)力學(xué)問題的直接近似解法O5.1哈密頓正則方程哈密頓正則

2、方程是分析力學(xué)中又一個(gè)重要的力學(xué)方程，它與拉格朗日方程等價(jià)，是2n 個(gè)一階常微分方程組。我們知道，對于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，在建立拉格朗日方程后，重要的問題 是研究這個(gè)微分方程組的積分，但是求解往往是很困難的。哈密頓正則方程的重要性在于它 將川個(gè)二階微分方程變換為2個(gè)一階方程，而且結(jié)構(gòu)對稱、簡潔，為正則枳分理論創(chuàng)造了 有利條件。若是說拉格朗日方程對分析力學(xué)起著開拓性作用，則哈密頓正則方程對分析力學(xué) 中的積分理論起著基礎(chǔ)的和推動(dòng)的作用。哈密頓正則方程的重要性還在于在許多理論的定性 研究中，并不需要求解微分方程組，而是將二階微分方程變換為二個(gè)一階方程并應(yīng)用幾何方 法求解。5.1.1正則方程的建立對于主動(dòng)力

3、均有勢的個(gè)自由度的完整約朿系統(tǒng)，其拉格朗日方程為LPi=Wi引入廣義動(dòng)量代入式(51),有L(j = 12,k)U = I2，幻設(shè)拉格朗日函數(shù)厶滿足條件于是，可由式(52)反解出det(JQj =fj (9,9慮,"】，"人，0 (j = '2 ,k)(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)式(53)和式(54)就把方程(51)由k個(gè)二階微分方程化為Ik個(gè)一階微分方程，其中方程 組(54)并非正則形式。引入哈密頓函數(shù)HgjWjM =ZPjqj-L切/(幻PjJ)(5-5)按照LegendrC變換規(guī)則，將你變換成廠(J = 12*)，而G和/仍然保持不變，則有CHOL

4、76L _ Ha7"""a將式(57)代入式(53),并與式(56)聯(lián)立，得(5-6)(5-7)(5-8)(5-9)H這就是哈密頓正則方程，是以廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為獨(dú)立變量的"個(gè)一階常微分方程。哈 密頓正則方程是關(guān)于兩類變量S和0的對偶方程，給出了一種對稱的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系，不但 可推廣應(yīng)用到力學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，還可拓展到物理學(xué)的其他領(lǐng)域。5.1.2正則方程的積分正則方程也有循環(huán)積分和能量積分。由式(55)可見，如果LWjJjM中不顯含某廣義坐標(biāo),則H(qP"中也不顯含該 廣義坐標(biāo)“a。因此，循環(huán)坐標(biāo)可左義為不顯含于函數(shù)H或厶之中的廣義坐標(biāo)。若qa為循

5、環(huán)坐標(biāo)，則有 =0,由式(59)知，Pa=O9從而有循環(huán)積分SCiaPa=C(X (常量)(5-10)同樣，當(dāng)H中不顯含時(shí)間變量f時(shí)，有雲(yún)=0,于是60將式(59)代入上式,得獰,因此,有能量積分,H=C (常量)。注意到定常系統(tǒng) 中動(dòng)能T為廣義速度初的二次齊次函數(shù)，有r3T(5-11)H = YJ qj -L = 2T-(T-V) = T+ V = C (常量) J=I 5 i對于左常系統(tǒng)，這意味著機(jī)械能守恒；對于非立常系統(tǒng)，則意味著廣義能疑守恒。例5-1試寫出圖5-1中球而擺的正則方程及其首次積分。已知球而擺擺長為/.擺錘質(zhì) 量為InO解：取圖5-1所示的角&、卩為廣義坐標(biāo)，A為重

6、力勢能的零位置，則系統(tǒng)的拉格朗日函 數(shù)為L = T-V = LInI( +2 sin2 0) + ”?g/cos&廣義動(dòng)量分別為貝啟內(nèi)客解得p=r = ml2P = = "0sin' c¢= %ml1 sin2 按左義式(5-5),系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)為H = p+p9-L = -+ Q , m m sn' =圖51m2l4 sin2 Z12÷2m正則方程(59)成為一 Hlgl COS _； 一 mgl COS 2加廣SiIrep ml1 _6H _ 心© p nil' sin2H PPCoS6>Pe=-= ；T -

7、-gsm(9 ml Sln 故循環(huán)積分為P9=C9 (常量) 能量積分為H=C (常雖：)"I + ! ° r - 加g/ COS e = CIml2 Iml2 sin2 注意：由于系統(tǒng)是左常的，上式也可直接由式(5-11)寫出。5.2哈密頓原理由動(dòng)力學(xué)普遍方程積分，導(dǎo)出一個(gè)哈密頓原理，因此哈密頓原理是在任一有限的時(shí)間間 隔中區(qū)分貞實(shí)運(yùn)動(dòng)與可能運(yùn)動(dòng)的準(zhǔn)則，是積分原理。髙斯原理又稱最小拘束原理，是在任一 瞬時(shí)通過貞實(shí)運(yùn)動(dòng)與可能運(yùn)動(dòng)的加速度不同進(jìn)行比較而得到的判別準(zhǔn)則，是微分原理。為了方便，將真實(shí)運(yùn)動(dòng)在位形空間中的軌線稱為正路，對約束允許的可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)在 位形空間的軌線稱為旁

8、路。作以下規(guī)左：在瞬時(shí)/0,正路與旁路都通過A點(diǎn)，在瞬時(shí)“又都 通過B點(diǎn)?，F(xiàn)在由動(dòng)力學(xué)普遍方程推導(dǎo)哈密頓原理。60對于質(zhì)點(diǎn)系5個(gè)質(zhì)點(diǎn))的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，滿足動(dòng)力學(xué)普遍方程Z(Fi -M)遠(yuǎn)=O?-1將上式沿著位形空間中的正路自A)至“對時(shí)間/積分:,NJ '為(Fi -mjri) df = 0對于完整系統(tǒng)，當(dāng) = o,有微分一變分對易法則，則巧藥= -(ri Ori)Ti 藥 at代入式(512)中，有(5-12)N J-f V FI or, _mi -(ri r1) + mir1 rf d/ =0 Js 臺 L1J注意到在上式中又，NN Z I 、 N 、斗齊忻卜 2 = st于是Iro

9、= ll = O(5-13)上式是在任意作用力下的哈密頓原理。若主動(dòng)力有勢，勢能函數(shù)為匕則f, (-V)dz= f dr = 力0JfU式中厶為拉格朗日函數(shù)，上式可寫成* Ldt = O這是在保守力作用下的哈密頓原理。我們稱S= l' Ldtj(514)為哈密頓作用量。它是依賴于可能運(yùn)動(dòng)Cl) = qj的泛函，即S=厶，©，乞；/,N, ,/")"Jfo(5-15)于是式(5J4)可以表達(dá)為BS = O(5-16)這就是勢力場完整系統(tǒng)的哈密頓原理：對于完整系統(tǒng)，若主動(dòng)力有勢，在相同的時(shí)間、相同 的起迄位置的條件下,在所有為約束允許的可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)使哈

10、密頓作用量具有極值, 或者說，正路與旁路相比，沿正路的哈密頓作用量的變分為零。5.3哈密頓原理的應(yīng)用哈密頓原理可以表述為：沿著正路的哈密頓作用量與沿著旁路的哈密頓作用量相比較, 前者具有極值，如式(5-14)所表達(dá)。應(yīng)該注意的是式(5-14)只是在完整系統(tǒng)且主動(dòng)力有 勢的條件下成立。對于在任意力作用下的完整系統(tǒng)，哈密頓原理有式(5-13)的形式，但不 具有極值條件。哈密頓原理只涉及到系統(tǒng)的兩個(gè)動(dòng)力學(xué)函數(shù)，即動(dòng)能和勢能。對于這兩個(gè)表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài) 的整體性函數(shù)，沒有規(guī)立必須用多少坐標(biāo)（有限個(gè)參數(shù)或無限個(gè)參數(shù)）來表達(dá)。因此，哈密 頓原理不但適用于有限多自由度系統(tǒng)，也適用于連續(xù)系統(tǒng)。哈密頓原理比拉格朗日

11、方程更有 普遍意義的原因就在于此。將哈密頓原理應(yīng)用到連續(xù)體時(shí)，只要寫出連續(xù)體的動(dòng)能和勢能就 可以求解。更廣泛地說，哈密頓原理提供了動(dòng)力學(xué)問題的直接解法，可以回避運(yùn)動(dòng)微分方程的建立 而直接求得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的數(shù)值解，就是說，將變分學(xué)中的里茲直接法應(yīng)用于動(dòng)力學(xué)中。 具體的方法如下：對于Ld=O,邊界條件（端點(diǎn)條件）為JZo幻（心），丿 = 1,2,（5-17）首先構(gòu)造函數(shù)Ing； = ZuMjM、j = X 2,M（5-18）式中砂是待上常數(shù)，敘是選擇的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，函數(shù)S應(yīng)滿足式（5J7）的邊界條件。給常數(shù)你不同值得到不同的可能運(yùn)動(dòng)。將式（518）表達(dá)的q；代入哈密頓作用量S中，則S是你的函數(shù)，然

12、后選擇緲使S達(dá)到極值，也就是由來確左呦M這是d/=0JZo j Oqj CkL A 1 弘 £ 兩 dZ+-L又因lf = lf0 （始末位置相同）,故上式中誌勁=0,于是，有線性代數(shù)方程組，可以應(yīng)用乞種方法求解匚最后，將求得的代入式（518中就得到系 統(tǒng)的近似解。應(yīng)用哈密頓原理可以建立動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程；也可直接求解動(dòng)力學(xué)問題。 例5-2試用哈密頓原理推導(dǎo)拉格朗日方程。解：考慮一個(gè)所受主動(dòng)力均有勢的完整系統(tǒng)，設(shè)其有k個(gè)自由度，廣義坐標(biāo)為0, （忖拉格朗日函數(shù)為厶= L（qj4W由哈密頓原理S =可:Ldz=OWJ；SJ蛙僥切+罪yd = 0由于完整系統(tǒng)各clj（j = L 2,

13、M）的獨(dú)立性和任意性，故£叭砌丿這就是勢力場中第二類拉格朗日方程。例5-3試用哈密頓原理建立圖5-2所示末端有集中質(zhì)量的懸鏈振動(dòng)微分方程。解：設(shè)懸掛點(diǎn)O不動(dòng)，而鏈的末端N附有質(zhì)量加。坐標(biāo)X=G處的M點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中達(dá)到 Af點(diǎn)，假設(shè)懸鏈?zhǔn)莿蛸|(zhì)不可伸長和柔軟的，M點(diǎn)的位移記作MUaf),而集中質(zhì)量N的 位移記作w(7), V(Lt),這里/是鏈子的長度，設(shè)M，點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)為(八y),則有X = a + u(a9t)9 y = V(Uj)(1)固泄時(shí)間A式表示以"為變量(0al)的曲線參數(shù)方程， 根據(jù)不可伸長的約朿條件，得到CL=O (j = 12,k)如圖18-5中的曲線C由此推

14、出(<h-)2+(dy)2 =)'l + i2+vda(v V丿用v,v,v分別表示橫向位移及其對“和對t的偏導(dǎo)數(shù)，并且限于 討論偏離鉛垂位垃的微振動(dòng)。若將橫向運(yùn)動(dòng)V,VV看作一階小 則由公式看出,認(rèn)e是二階小量,在略去四階小量u _1 "2OU(1)圖525= (Ut)2后，式(1)簡化為系統(tǒng)動(dòng)能精確到二階小量為T = I°J(： (U2 + V2)d" +1 加2(,/) + <>2(l,t)心丄p* VIda + ,nvr2()2 Jo 2式中，Q是懸鏈線密度。若以O(shè)為零勢能位苣重力勢能為 W =-glpxc 一 mgXN式中，丸是

15、鏈子的質(zhì)心坐標(biāo)：心是集中質(zhì)量的坐標(biāo)。根據(jù)質(zhì)心公式，有IXC = (U + U)d“ = ! + j HdCl卜皿=W ()/血XN =I + "(/,/) = / += /-* JJ'J<i"J "d" = Ua l -au'da = - *若以懸鏈靜平衡為零勢能狀態(tài)，則系統(tǒng)的重力勢能為V=Plg y-Ac +/(-xjv)=-i¾ (I-II)V,2da + ;wef v,2d<2 JO2 Jom I I- = l =M P其中，“是集中質(zhì)量與鏈的質(zhì)量比，則系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)由式和得L = g'： v2-(

16、 + ,-tz)2皿 + 1v2()哈密頓作用量為S=Ld/ = Qrdf材-f>(l + l, -t)v,2ckz + /.V2(/,/) U2 J心邊界條件是樂(",/() = 0,丟(“,/) = 0,<5v(0) = 0由哈密頓原理，并經(jīng)分部積分運(yùn)算，得到=9 d J： -v+-L(+1 -t)v¾t - / g", f)+v()w)r=o由式(7)得懸鏈的運(yùn)動(dòng)微分方程a2v_ at2 '' da和在末端的邊界條件(自然條件)S(7)£ +D<duCa60gf",r) +"(U) = O哈密頓

17、原理只涉及到系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，如系統(tǒng)的總動(dòng)能和總勢能，不涉及用多少個(gè)廣義 坐標(biāo)來表達(dá)，因此，哈密頓原理不僅能用于離散系統(tǒng)(有限自由度系統(tǒng))，而且能用于連續(xù) 系統(tǒng)(無限自由度系統(tǒng))，這是哈密頓原理的優(yōu)點(diǎn)之一。哈密頓原理作為一個(gè)變分原理，能 用變分學(xué)的方法提供動(dòng)力學(xué)問題的直接近似解法，如里茲法、伽遼金法等。哈密頓原理比拉格朗日方程更具有概括性，只有一個(gè)泛函極值就可表示完整保守系統(tǒng)的 運(yùn)動(dòng)規(guī)律；例5-4試應(yīng)用哈密頓原理求解懸掛在彈簧上的單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為L = 7i(2 +r02) + "Igrcos 0-k(r-ro)2S= fz,Ldr=根據(jù)哈密頓原理，有式中的

18、e為彈簧的初始長度。哈密頓作用量S為n(r" + 廠&)+加gcos0 牙£(/一斥)二 drS = O" *76w(rr + rr + 廠氏 &) + mfr COS rO一 WrSin 氏8 - k( 一 心)r)dr = O由于mri'dt = wr(dr) 一 zd(r) = d(rr) 一 nrrdzmr261t = d(mr16) - (mr2 + 2mri)dt 代入前式中，得到1 mr mr2 - mg COS + k(r - ) + rnr + 2nu+ mgrsin 0dt 一 f d(zrr) + d(mr2) = O

19、j在瞬時(shí)4有r=O,于是上式中第二個(gè)積分等于零，由于"和6&是彼此獨(dú)立的, 則有彈簧單擺的運(yùn)動(dòng)微分方程：mr 一nr一mgCOS + (r-z) = Omr20 + 2mr + ?rSin 0 = 0例5-5質(zhì)量為用、半徑為/的粗糙圓柱體在一空心圓柱體內(nèi) 的表而上作純滾動(dòng)。這空心圓柱體的質(zhì)量為M：半徑為R,可繞 中心水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。兩圓柱體均系均質(zhì)。試用哈密頓原理寫岀系 統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。圖54解：系統(tǒng)有兩個(gè)自由度。取空心圓柱體的轉(zhuǎn)角&和兩柱心連線 的轉(zhuǎn)角P為廣義坐標(biāo)。設(shè)小圓柱體的角速度為系統(tǒng)的動(dòng)能為T = -MR22+-m(R-r)22+-mr2-R-(R-r)224

20、 Ir系統(tǒng)的勢能為V = 一 mg( R 一 r) COS 拉格朗日函數(shù)為L = MR2 2 +n(R-r)22 +R0-(R-r)1 +cos 根據(jù)哈密頓原理,60MR?玄 0 + 加(/? 一門 2 丙卩 + 丄網(wǎng) Ro-(R-Z)0底QJ %2-(R-r) 一 mg(R 一 r)sin dt = 0整理后,J / +m R> + m(R-rYqx>又,ff5 = - = -()-c> d/ d/ = (ffS) _ 0 dr(Pd(P = -() - c drc> = -(c>)-c> d/代入前式中，得到J , mR(R- r)M ÷? W

21、g Z13八.=OAl+ niR(R- r) - nt(R -rY- mgR - )sin c> drR1ot 3+ -mR-rY(j).2+ M+l,n2如泯(R -r)c> -mR(R-r)c>12在瞬時(shí)4 G有r=0,于是上式中的后四項(xiàng)為零，由于心"是任意的，所以被積函 數(shù)應(yīng)為零，且6&和b建彼此獨(dú)立的，于是我們得到-m(R-r)- /+丄加)/?0 = 02 2 ；*加弓(RnSin0 = 0哈密頓原理可用來推導(dǎo)各種形式的禪性結(jié)構(gòu)(桿及桿系、板、殼)的運(yùn)動(dòng)微分方程及求 動(dòng)力響應(yīng)的近似解。例5-6試建立二端固泄而繃緊的均質(zhì)弦的微幅振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程。解：這

22、是一個(gè)無限多自由度系統(tǒng)。將哈密頓原理應(yīng)用于這個(gè)連續(xù)體系統(tǒng)，主要的是寫岀 此連續(xù)體的動(dòng)能和勢能，建立哈密頓作用量后求其極值即可得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。設(shè)弦長 為I，張力為F,單位長度的質(zhì)量為a弦在振動(dòng)時(shí)有二 個(gè)方向的位務(wù)，這里只考慮橫向位移，略去縱向位移。圖5-5對于任一瞬時(shí)，分析弦的d段，英質(zhì)就為d"=pch, 橫向位移U是X和/的函數(shù)II=U(Xt f),速度為,動(dòng)能 Ot為弦的動(dòng)能為就彈性弦來講，勢能為內(nèi)力的功：山段的弧長M為伸長: d"dx為由于伸長量較小，展開根式并略去髙階微量,得到d,-d-v4I去丿題給岀弦是繃緊的，振動(dòng)為微幅，則張力變化極小，可視張力F為常量，這

23、樣，dA段的功 為弦的勢能為于是得到哈密頓作用量Su=G4)tdd對于正路，哈密頓作用量S的變分為零，RP5 = 0,則首先作第一項(xiàng)對/的積分，利用分部積分公式第二項(xiàng)對X積分udx代回原式有L： I：骨"。X由于u任意取值，有2u ar"=0上式是所尋求的弦的微振動(dòng)微分方程。例2-5已知單自由度諧振子的拉格朗日函數(shù)為求滿足以下端點(diǎn)條件X(O) = O, X(I) = I 的近似解。解：以此為我們所熟悉而簡單的諧振子問題為例，回避運(yùn)動(dòng)微分方程的建立，應(yīng)用哈密 頓原理直接求得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)值解，即變分問題的直接解法中的里茲法。構(gòu)造一個(gè)函數(shù)X作為系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的近似解：Aa) = r +

24、 (l /2)"為待立常數(shù)。函數(shù)曲)滿足端點(diǎn)條件x(0)=0. X(I)=Ia將近似解H)代入哈密頓函數(shù)中，為 此作導(dǎo)數(shù),無= l + (l-32)有.v = /(1 -r2)x = (I- 3t" )&(由此哈密頓作用量S的變分為d/ = (xX _ XdX)(It于是2 .A,k15105 J5 = 1 + “(1 一3/$)(1 _3/2)6"d -匸/ + m(l-12)J(1-/2)6"d =f- + 由哈密頓原理，S=O,因此有738276 n+a = 015105于是得到近似解為x = t + -t(l-t2)38我們知道，單自由度諧振子問題的精確解為sin/X =Sinl近似解與精確解有較好的接近度，將/在OWfWl之間取值就可以得到這個(gè)結(jié)論。下而給出 近似解與精確解的比較數(shù)據(jù)及誤差：t0.000.250.500.751.00x,sr+(I/2)0.000.293130.569000.810381.00 sin/ r 0.000.294010.569750.810061