第9講特殊的平行四邊形

1、 讓優(yōu)秀成為習(xí)慣第9講 特殊的平行四邊形一、特殊的平行四邊形矩形1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.2.矩形的性質(zhì):矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(1)矩形的對(duì)邊平行且相等； (2)矩形的四個(gè)角都相等，且都是直角；(3)矩形的對(duì)角線互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(定義)；(2)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.【矩形基礎(chǔ)練習(xí)】1. 如圖，矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，則矩形的對(duì)角線的長(zhǎng)是（ B ）A、2B、4C、D、ODCAB第1題12BCDAO（第2題）2. 如圖，要使ABCD成為矩形，需添加的條件是（

2、）A、 B、 C、 D、3.下列性質(zhì)中，矩形具有而平行四邊形不一定具有的是（ ） A、對(duì)邊相等 B、對(duì)角相等 C、對(duì)角線相等 D、對(duì)邊平行4.如圖所示，矩形ABCD中，AEBD于E，BAE=30°，BE=1cm，那么DE的長(zhǎng)為_(kāi)3_5.如圖將矩形ABCD沿BE折疊，若CBA=30°則BEA=_【例題1】已知：在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE ，求：EAC的度數(shù)。_O_A_B_D_C_E【練習(xí)1】如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于O點(diǎn)，于E，于F。求證BE=CF。EABCDO1【例題2】已知，在矩形ABCD中，AE平分BAD，1=15°，求證：BO

3、=BE【練習(xí)2】如圖所示，E為ABCD外，AECE,BEDE，求證：ABCD為矩形 【例題3】如圖，直線EFMN，PQ交EF、MN于A、C兩點(diǎn)，AB、CB、CD、AD分別是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分線，求證：四邊形ABCD是矩形【例題4】已知平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于E、F、G、H。求證：四邊形EFGH為矩形【練習(xí)3】如圖，在ABC中，C=90°，AC=BC，AD=BD，PEAC于E，PFBC于F，求證：DE=DF【例題5】已知:如圖,四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且ACBD。E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)。求證：四邊形

4、EFGH是矩形【練習(xí)4】已知，如圖矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是矩形 【例題6】如圖，已知矩形ABCD，從頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與BAD的平分線交與點(diǎn)E，求證：BD=CE二、特殊的平行四邊形菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；(1)菱形的對(duì)邊平行，四條邊都相等；(2)菱形的對(duì)角相等；(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.3.菱形的判定方法： (1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義)；(2)四條邊都相等的四邊形是菱

5、形；(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.【菱形基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為12m和16m，則面積是( )，2.一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線分別是6cm，8cm，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)等于_cm3.已知：菱形的周長(zhǎng)為40cm，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的比是3：4。求兩對(duì)角線長(zhǎng)分別是 。4若菱形的周長(zhǎng)為24 cm，一個(gè)內(nèi)角為60°，則菱形的面積為_(kāi) cm2。5. 菱形和矩形一定都具有的性質(zhì)是（）A對(duì)角線相等B對(duì)角線互相垂直C對(duì)角線互相平分 D對(duì)角線互相平分且相等6.下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是( )A.對(duì)邊平行且相等 ；B.對(duì)角線互相平分；C.內(nèi)角和等于外角和；D.每一條對(duì)角線都是它

6、的對(duì)稱軸7. 已知菱形的面積為，對(duì)角線，則菱形邊長(zhǎng)為8. 菱形的周長(zhǎng)是它的高的8倍，則菱形較小的一個(gè)角是（）【例題7】已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 【練習(xí)5】已知：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形【例題8】已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求證：AM=BE?！纠}9】如圖，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作OEAB，垂足為E求線段的長(zhǎng)【練習(xí)6】如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB

7、交BA的延長(zhǎng)線于E，DFBC，交BC的延長(zhǎng)線于F。請(qǐng)你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想【例題10】如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：BDEBCF； （2）判斷BEF的形狀，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍.三、特殊的平行四邊形、矩形、菱形正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形；或有一個(gè)角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性質(zhì):正方形具有平等四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)；(1)正方形的對(duì)邊平行，四條邊都相等；(2)正方形的四個(gè)角都是直角；(3)正方形的兩條對(duì)角線相等，

8、并且互相垂直平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；3.正方形的判定方法： (1)有一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(3)對(duì)角線相等的菱形是正方形；(4)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.【正方形基礎(chǔ)練習(xí)】1.已知：如圖所示，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AEAD，ADE75°，則AEB30。2.正方形具有而菱形沒(méi)有的性質(zhì)是。A、對(duì)角線互相平分B、每條對(duì)角線平分一組對(duì)角C、對(duì)角線相等D、對(duì)邊相等3.以線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為頂點(diǎn)作位置不同的正方形，一共可作。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)4.正方形ABCD中，對(duì)角線的長(zhǎng)是10cm，點(diǎn)P是AB上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到AC、

9、BD的距離之和是105.如圖所示，在正方形ABCD中，H是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使CECH，連結(jié)DH，延長(zhǎng)BE交DH于G，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是B。A、BEDH B、HBEC90°C、BGDHD、HDCABE90°【例題11】 如圖，在正方形ABCD中，M為BC上任一點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，且AM=DC+CM求證：AN平分DAM【練習(xí)7】如圖，在正方形ABCD中，PAQ是正三角形，設(shè)AB=10,求PB的長(zhǎng)【例題12】已知正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，MNDM且交CBE的平分線于N. 求證：MD=MN. 若M是AB上任意一點(diǎn)，MD=MN還成立嗎？【練習(xí)8】如圖，

10、在正方形ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，BFEF,求證：BF=EF【例題13】如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線分別交CD、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、G. 求證：BE=BG+CF【例題14】如圖，在菱形ABCD的邊上依次取點(diǎn)E、F、G、H，使AE=AH=CF=CG,若菱形邊長(zhǎng)是1，A=120°，求證（1）四邊形EFGH是矩形 （2）設(shè)AE=x,四邊形EFGH的面積是y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式 （3）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形EFGH是正方形？【練習(xí)9】如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上移動(dòng).試判斷當(dāng)點(diǎn)F移到什么位置時(shí)，AE是DAF的平分線？

11、【練習(xí)10】如圖，P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC,PFCD,E、F分別為垂足求證：AP=EF.【作業(yè)】1.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是（ ）A平行四邊形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形DCBA2.順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四邊形D.矩形3.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（ ）A當(dāng)AB=BC時(shí)，它是菱形 B當(dāng)ACBD時(shí)，它是菱形C當(dāng)ABC=900時(shí)，它是矩形 D當(dāng)AC=BD時(shí)，它是正方形4.如圖，在中，點(diǎn)分別在邊，上，且，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（）A四邊形是平行四邊形B如果，那么四邊形是矩

12、形C如果平分，那么四邊形是菱形D如果且，那么四邊形是菱形5.如圖，四邊形為矩形紙片把紙片折疊，使點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕為若，則等于（）AB CD6.如圖，矩形的周長(zhǎng)為，兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，分別交于點(diǎn)，連結(jié)，則的周長(zhǎng)為（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右圖的方格紙中有一個(gè)菱形ABCD（A、B、C、D四點(diǎn)均為格點(diǎn)），若方格紙中每個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該菱形的面積為 ABCD8.如圖，在矩形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，已知，則的長(zhǎng)為 ADCBO9.邊長(zhǎng)為cm的菱形，一條對(duì)角線長(zhǎng)是6cm，則另一條對(duì)角線的長(zhǎng)是 .10.如圖所示，菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，若再補(bǔ)充一個(gè)條件能使菱形成

13、為正方形，則這個(gè)條件是 （只填一個(gè)條件即可）BCDAP11.如圖，已知P是正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BP = BC，則ACP度數(shù)是 12.已知：如圖RtABC中，ACB90°，CD為ACB的平分線，DEBC于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形.13.已知，AD是ABC的角平分線，DEAC交AB于點(diǎn)E，DFAB交AC于點(diǎn)F. 求證：四邊形AEDF是菱形. 14.如圖，矩形中，是與的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與的延長(zhǎng)線分別交于（1）求證：；FDOCBEA第14題圖（2）當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論【優(yōu)加分享】 自信的原因 她叫黃美廉，出生沒(méi)多久，

14、她就患上了腦性麻痹癥。由于生病，她的模樣變得十分怪異，嘴里常常會(huì)念叨一些模糊不清的詞語(yǔ)。另外，她的四肢也失去了平衡感，手腳常會(huì)不能自控地亂動(dòng)。 按照一般人的觀點(diǎn)，這樣一位失去語(yǔ)言表達(dá)能力和正常生活條件的女性，是根本沒(méi)有資格去談什么前途與幸福的，可是黃美廉卻kao著自己頑強(qiáng)的意志和毅力，取得了令人震驚的成績(jī)她考上了美國(guó)著名的加州大學(xué)，并獲得了藝術(shù)博士學(xué)位。除此之外，依kao手中的畫(huà)筆和很好的聽(tīng)力。她能夠完全自如地表達(dá)自己的情感，與人交流起來(lái)幾乎一點(diǎn)困難也沒(méi)有。 在一次面向中學(xué)生的演講會(huì)上，一位聽(tīng)者情不自禁地提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：黃博士，你從小就長(zhǎng)成這個(gè)樣子，為什么還會(huì)這么自信呢？請(qǐng)問(wèn)你是怎么看待你自己的？ 頓時(shí)，場(chǎng)上所有人都暗暗責(zé)怪起這個(gè)學(xué)生的不敬來(lái)，但是目光卻不約而同地集中在了黃美廉身上。顯然，大家心里都存在這個(gè)疑惑。黃