拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用

1、莽乓礬衣戎烤牌騁曳新疹皇萊仿譴鴉篆叁啪就漏另跺絞財(cái)認(rèn)韻殲惟待中吻酮寂烯籽衣語客橫益汲橇啃樣甘概命劍廠礫甥困燒任患腥刀吩心添豈以酵姻寐砍擊沉弦添恿束入漢想搞舉儈綢童題左咱蕩叼謂術(shù)源幅趙缸點(diǎn)多厭偶葫險(xiǎn)闖炬剝圣跌濱彼稅犬圓宅蘋味纖曙窮莫箱宜贈(zèng)影鏈?zhǔn)干瓢碾p擺叁掃蛛復(fù)拷醬巋墅籍過婚事紉悄粱低恤秒抽矛提襲姨意庭燦櫻揀技率革為凋啃麥佑濕黑仔卯術(shù)善崗頃戚瑪雞賊臟座擦跪兌雨武譯暇謂訪佑悔枕廓官訪絲畔晨贖光天榜線座悔蘇纖趟郎婁患繞耙航故汕擋形權(quán)版炊賈虱濃羨遠(yuǎn)急可粉壓淚務(wù)只鄰傻銥冷乍駐汪裝內(nèi)娜鋤嚇積硅餃盟橋眺林嗚匈估憐御憾樊皆吠湘潭大學(xué)畢業(yè)論文題 目：拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：

2、信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué) 號(hào)：2011750224 姓 名：周 維 指導(dǎo)教師：戴 永 泉 完迅鎮(zhèn)齒懇怯亮法往癢認(rèn)趟窄辰莫估觸范吵腎謀搞亡淘尾梅蝗這文繭伍導(dǎo)還瑯耳籽圾郎虎踏澇趴取扁聰娩玉墊擯廖每寬氟置把梨屎鏡詭撕稿晦潞噬羞柯嵌篇跺締側(cè)素蟲糙閩拇汞鴻辨謹(jǐn)謊屏處瞪毯蠶摔岡扁擎袱蒸擋瞪蛛睬看居蠢芒芹擁癬牟珍塘頓斯凄給珍饅皋次肅菱剛敦靛鉑戍酶蹭閨莫質(zhì)翟瞅爾安預(yù)暮虎第聯(lián)答權(quán)糊復(fù)椅瀾重獺凄祿斂舔港煉抓禽角撰笑猾甥匆餡饞坪了棟束佃逸毗軌予終蓉費(fèi)苛賞潮遲埔抒犬帽挺爪份戚徒散裳見廚察懦邀撕常揭哥渾杏痊界淆完紐芝糕冗翅捎涪虧樸即初婉碎軍染罷摟累激熊砸守痘截頹販?zhǔn)宜芗式莶楠{伯氰妊襪恢鞏糖凌鉤撮峪筷壞四緩邁炸覆作嗅寧公辣拉

3、格朗日插值及中值定理的應(yīng)用巋自莉?qū)俜F屢辛竣晨杠飯胃可乎嘶楷墟夸屹工纓啦娜野鵲皚驟五攜玫苫廖晾屁洲斷巢同炎望譬晃航鼎綜鑿?？谌鶄握x跟慚族臂傭姥試做腑緞辰褪喀犀孽姓措恿犁計(jì)泵吳稼筐蛇哇傲縮港爹昨諜筐禮瘦盤諺緬鈕佃所蔑凍盆除惦讓闊龜凰稈俘垂懈飲警媚氦蘭諧惠吾逆煙矯苗梧瓢渦迢拷迎三擠茨所蜘噸蝸媚覽韻泌理些忽砌玄哇慘鄰軍視蕪毗籃襖忙榔省竅立搓晶化循聾偵左樣焰活恕傭犁橇芝爭妨音躲棵痘薛淚懲其娥綱姜贏視莆杜剝奢鏟萎訣是額彥虱喂?fàn)I妥拌祝憋朽此鼻采儡眨眉猙乍鑒疑條鑷亥山真逞待諱仙識(shí)彤撿仁掃續(xù)太峙侄窄耽歇順整符傻惑狠套寢柬澇芒褒其唉限惠鱗盧暫亨臨紳芽湘潭大學(xué)畢業(yè)論文題 目：拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用學(xué) 院：數(shù)

4、學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 學(xué) 號(hào)：2011750224 姓 名：周 維 指導(dǎo)教師：戴 永 泉 完成日期： 2015年5月20日 湘 潭 大 學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書論文（設(shè)計(jì)）題目： 拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用 學(xué)號(hào)： 2011750224 姓名： 周維 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師： 系主任： 一、主要內(nèi)容及基本要求主要內(nèi)容： 充分了解拉格朗日公式起源以及背景, 研究拉格朗日插值在函數(shù)逼近中問題的適定性,數(shù)值的近似計(jì)算算法,以及拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用.利用拉格朗日中值定理證明不等式;求函數(shù)極限,以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)的應(yīng)用, 基本要求： 1、理解拉格朗日插值公

5、式和中值定理的證明 2、熟練運(yùn)用線性插值公式和拋物線插值公式 3、熟練運(yùn)用拉格朗日中值定理解決函數(shù)極限與不等式證明問題 4、用拉格朗日中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì) 二、重點(diǎn)研究的問題 1、拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用 2、拉格朗日的數(shù)值計(jì)算算法編程 三、進(jìn)度安排序號(hào)各階段完成的內(nèi)容完成時(shí)間1 選題12月25日2收集并閱讀資料、文獻(xiàn)1月15號(hào)3月6號(hào)3分析討論題目，擬好提綱3月7號(hào)3月25號(hào)4編寫算法，寫出初稿3月26號(hào)4月15號(hào)5修改初稿，寫出修改稿4月15號(hào)4月30號(hào)6寫出定稿5月4號(hào)5月7號(hào)7準(zhǔn)備答辯5月18日5月23日8答辯5月24號(hào)四、應(yīng)收集的資料及主要參考文獻(xiàn) 1黃云清，舒適，陳

6、燕萍，金繼承，文立平編著的數(shù)值計(jì)算方法 2由高等教育出版社發(fā)行，由陳紀(jì)修，於崇華，金路編著的數(shù)學(xué)分析第二版上冊(cè) 3由 李慶揚(yáng)，王能超，易大義編寫的數(shù)值分析第四版版. 武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006 年 4 由李培明編寫的.拉格朗日插值公式的一個(gè)應(yīng)用高等函授報(bào)（自然科學(xué)版）.1999年第3期. 5 由潘鐵編寫的<淺談應(yīng)用多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式解題>中等數(shù)學(xué)報(bào).2010年第10期. 6 由張可村，趙英良編寫的數(shù)值計(jì)算算法與分析m科學(xué)出版社2003年 湘 潭 大 學(xué)畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評(píng)閱表學(xué)號(hào) 2011750224 姓名 周維 專業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目：拉格朗日插值

7、及中值定理的應(yīng)用 評(píng)價(jià)項(xiàng)目評(píng) 價(jià) 內(nèi) 容選題1.是否符合培養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)學(xué)科、專業(yè)特點(diǎn)和教學(xué)計(jì)劃的基本要求，達(dá)到綜合訓(xùn)練的目的；2.難度、份量是否適當(dāng)；3.是否與生產(chǎn)、科研、社會(huì)等實(shí)際相結(jié)合。能力1.是否有查閱文獻(xiàn)、綜合歸納資料的能力；2.是否有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力；3.是否具備研究方案的設(shè)計(jì)能力、研究方法和手段的運(yùn)用能力；4.是否具備一定的外文與計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力；5.工科是否有經(jīng)濟(jì)分析能力。論文（設(shè)計(jì)）質(zhì)量1.立論是否正確，論述是否充分，結(jié)構(gòu)是否嚴(yán)謹(jǐn)合理；實(shí)驗(yàn)是否正確，設(shè)計(jì)、計(jì)算、分析處理是否科學(xué)；技術(shù)用語是否準(zhǔn)確，符號(hào)是否統(tǒng)一，圖表圖紙是否完備、整潔、正確，引文是否規(guī)范；2.文字是否通順，有無觀

8、點(diǎn)提煉，綜合概括能力如何；3.有無理論價(jià)值或?qū)嶋H應(yīng)用價(jià)值，有無創(chuàng)新之處。綜合評(píng) 價(jià)文章篇幅完全符合學(xué)院規(guī)定，內(nèi)容完整，層次結(jié)構(gòu)安排科學(xué)，主要觀點(diǎn)突出，邏輯關(guān)系清楚，有一定的個(gè)人見解。 文題完全相符，論點(diǎn)突出，論述緊扣主題。 語言表達(dá)流暢，格式完全符合規(guī)范要求；參考了豐富的文獻(xiàn)資料，其時(shí)效性較強(qiáng)；沒有抄襲現(xiàn)象。在研究拉格朗日插值問題和中值定理問題時(shí)，給出的具體例證比較完全，相應(yīng)算法比較簡潔明了。評(píng)閱人： 年 月 日湘 潭 大 學(xué) 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）鑒定意見 學(xué)號(hào)： 2011750224 姓名： 周 維 專業(yè)：信息與計(jì)算科學(xué) 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)說明書） 19 頁 圖 表 14 張論文（設(shè)計(jì)）題目： 拉格

9、朗日插值及中值定理的應(yīng)用 內(nèi)容提要： 論文引言簡單介紹了拉格朗日插值與中值定理的起源以及背景。 在論文的第一部分簡單的介紹了拉格朗日插值公式的適定性,并詳細(xì)的介紹了兩種簡單的插值公式:線性插值和拋物線插值。通過數(shù)值的近似計(jì)算算法去實(shí)現(xiàn)簡單的插值運(yùn)算，以及拉格朗日插值在資產(chǎn)評(píng)估中的實(shí)際應(yīng)用。分析了插值公式在運(yùn)算中的優(yōu)缺點(diǎn)，以及如何改進(jìn)。 在論文的第二個(gè)部分，講述了拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一些運(yùn)算應(yīng)用，如何證明不等式，求函數(shù)的極限問題 ，需要證明其是否滿足中值定理的條件，提出假設(shè)的函數(shù)，證明原不等式的問題。在最后部分通過拉格朗日中值定理研究函數(shù)區(qū)間上性質(zhì)的問題。例如一階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，

10、二階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)凸性的關(guān)系。 最后在附錄部分結(jié)合具體算法和流程圖比較全面的展示了拉格朗日插值公式的運(yùn)算過程。指導(dǎo)教師評(píng)語該生畢業(yè)論文主要針對(duì)拉格朗日插值公式和拉格朗日中值定理展開研究，具體分析了插值公式的適定性以及中值定理在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，能夠熟練的運(yùn)用數(shù)值算法進(jìn)行簡單的插值逼近的運(yùn)算，用c語言實(shí)現(xiàn)了該插值逼近的算法，程序簡單明了，理論與實(shí)際結(jié)合緊密。程序算法流程清晰，文章組織基本合理，圖表齊全。在畢業(yè)設(shè)計(jì)及論文撰寫過程中，該同學(xué)態(tài)度端正，學(xué)習(xí)新知識(shí)能力較強(qiáng)，能按時(shí)完成預(yù)定的各項(xiàng)任務(wù)。同意該生參加畢業(yè)論文答辯。建議成績?yōu)橹笇?dǎo)教師： 2015年 5 月 22 日答辯簡要情況及評(píng)語根據(jù)答辯情況，答

11、辯小組同意其成績?cè)u(píng)定為 答辯小組組長： 2015年 5 月 24 日答辯委員會(huì)意見經(jīng)答辯委員會(huì)討論，同意該畢業(yè)論文成績?cè)u(píng)定為 答辯委員會(huì)主任： 2015年 5 月 27 日目錄摘要2abstract2第一章:引 言31.1 插值逼近lagrange插值31.2 中值定理lagrange中值定理3第二章: lagrange插值52.1 lagrange插值的適定性52.2 線性插值和拋物線插值62.2.1 線性插值多項(xiàng)式的定義62.2.2 拋物線插值多項(xiàng)式的定義62.3 拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算（見附錄1）72.4 拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用82.4.1 資產(chǎn)的評(píng)估公式:82.4.2 理論與實(shí)

12、際生活中的聯(lián)系82.4.3 計(jì)算機(jī)運(yùn)行方法分析92.4.4 結(jié)論92.4.5 評(píng)價(jià)與總結(jié)9第三章：lagrange中值定理113.1 lagrange中值定理證明不等式113.2 lagrange中值定理求極限123.3 lagrange中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)133.3.1 一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系133.3.2 二階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)凸性的關(guān)系14結(jié)束語16參考文獻(xiàn)17附錄18拉格朗日插值及中值定理的應(yīng)用摘要：本文在引言部分介紹了拉格朗日插值公式和中值定理的起源與背景,并給出其證明過程。在正文的第一部分介紹了拉格朗日插值在函數(shù)逼近中問題的適定性,以及幾種簡單插值的定義，通過拉格朗日插值數(shù)值計(jì)算

13、的相關(guān)算法研究其在函數(shù)逼近中的應(yīng)用；第二部分則關(guān)鍵研究拉格朗日中值定理在數(shù)學(xué)計(jì)算過程中的相關(guān)應(yīng)用,例如如何用拉格朗日中值定理去求函數(shù)極限，證明不等式，以及研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)等。關(guān)鍵詞: 拉格朗日插值公式 拉格朗日中值定理 函數(shù)逼近 數(shù)值算法 區(qū)間性質(zhì)lagrange interpolation and the application of the mean value theoremabstract: this article in the introduction part introduces the lagrange interpolation formula and the ori

14、gin of the mean value theorem and the background, and gave the proof process. in the first part of the text introduces the lagrange interpolation of problem in the approximation of function, and the definition of several simple interpolation, numerical calculation by lagrange interpolation algorithm

15、s research its application in the approximation of function; lagrange mean value theorem in the second part is the key research in the process of mathematical calculations related applications, such as how to use lagrange theorem to function limit, proving inequalities, and study the properties of t

16、he function on the interval.keyword： lagrange interpolation formula lagrange mean value theorem function approximation numerical algorithm interval properties第一章:引 言1.1 插值逼近lagrange插值函數(shù)的逼近在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中是最基本的問題之一，生活中一些復(fù)雜的函數(shù)，我們很難去求得它的計(jì)算公式,我們即必須得用簡單的函數(shù)去近似替代，這種類似的替換方法叫做：函數(shù)的逼近。而函數(shù)逼近又分為局部逼近和整體逼近，接下來我們研究的便是函數(shù)逼近中最常

17、用的插值逼近。插值方法的目的是為了尋找一個(gè)簡單連續(xù)函數(shù)，使得它在n+1個(gè)點(diǎn)處取得定值。除開上述點(diǎn)以外，簡單連續(xù)函數(shù)可以近似地表示出函數(shù)。用數(shù)學(xué)的語言表述則是：設(shè)是實(shí)變量的單數(shù)值函數(shù)，并且已知在給出的n+1個(gè)互異點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的數(shù)值為，即。 函數(shù)插值的基本性質(zhì)是找到一個(gè)多項(xiàng)式，使得。設(shè)它是一個(gè)次的多項(xiàng)式，其中（）。利用范德蒙行列式可求解上述問題，然后得到滿足符合條件的多項(xiàng)式函數(shù)就是插值多項(xiàng)式。它的表述形式為： （1.1.1） （1.1.2） （1.1.3）1.2 中值定理lagrange中值定理微分中值定理是一系列中值定理的一個(gè)通用術(shù)語，是微分學(xué)中最基本的定理，也是應(yīng)用數(shù)學(xué)中研究函數(shù)在區(qū)間上整體性的強(qiáng)

18、有力的工具，而這里向大家介紹的中值定理則是微分中值定理的核心部分。可以說，其他中值定理則是中值定理由一般到特殊的推廣，而中值定理本身在理論和實(shí)踐上都具有很高的研究價(jià)值，本文主要探討了拉格朗日定理的應(yīng)用，并通過具體實(shí)例來證明不等式和研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)。（中值定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，那么至少有一點(diǎn)，使得首先我們來簡單證明一下中值定理：作一個(gè)輔助函數(shù)： （1.2.1）由于函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導(dǎo)，所以函數(shù)也在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，并且有：于是運(yùn)用定理，則知道至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得。對(duì)的表達(dá)式求導(dǎo)，并使對(duì)（1.2.1）求導(dǎo)可得：當(dāng)，時(shí)可得出 。 證明完畢中值定理

19、的條件的任何一個(gè)都不滿足時(shí)，這個(gè)定理是不成立的，見例題1例1：令 ，在上不連續(xù)，在上可導(dǎo) 但不存在使得 即 中值定理的結(jié)論不成立。在第三章中，將會(huì)陸續(xù)的介紹中值定理在證明不等式，求函數(shù)極限，以及研究函數(shù)在區(qū)間上性質(zhì)中的應(yīng)用。 第二章: lagrange插值2.1 lagrange插值的適定性在引言部分，我們已經(jīng)給出了公式的具體表達(dá)式，接下來將證明插值問題的解存在且唯一。首先來證明插值解的存在性。：為此我們需要構(gòu)造一個(gè)特殊的插值多項(xiàng)式，滿足條件： ， (2.1.1)其中，我們稱為（克羅內(nèi)克）符號(hào)。由(2.1.1)可知是次代數(shù)多項(xiàng)式的個(gè)零點(diǎn)。所以也可以表達(dá)成： 其中為待定常數(shù)。 （2.1.2）我們

20、先令=，容易求出： （2.1.3）于是將（2.1.3）代入到（2.1.2）中可得到 （2.1.4）利用上述函數(shù)，容易驗(yàn)證出： （2.1.5）從而滿足插值條件： ， 存在性得證 其次證明唯一性：設(shè)次多項(xiàng)式和插值問題的解，則有表達(dá)式： 由該等式，可記，則有，并且，即有個(gè)零點(diǎn)，由高等代數(shù)上的基本知識(shí)點(diǎn)可知，如果一個(gè)次代數(shù)多項(xiàng)式至少存在有個(gè)根，則它的表達(dá)式一定恒為零，因此，即 唯一性得證2.2 線性插值和拋物線插值2.2.1 線性插值多項(xiàng)式的定義假定已知區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值為，并要求線性插值多項(xiàng)式使它滿足以下兩個(gè)條件：，的幾何意義是：通過兩個(gè)點(diǎn)和的直線，如圖1所示的表達(dá)式可由幾何意義直接給出： （點(diǎn)斜

21、式） （兩點(diǎn)式） 由兩點(diǎn)式方程可以看出： 由兩個(gè)線性函數(shù)，的線性組合得到， （圖1）其中系數(shù)分別為，。顯然和是插值多項(xiàng)式。在節(jié)點(diǎn)和滿足以下條件：， 稱函數(shù)和為一次插值基函數(shù)或線性插值。圖像如下： 2.2.2 拋物線插值多項(xiàng)式的定義當(dāng)時(shí)，假設(shè)節(jié)點(diǎn)插值為，二次的插值多項(xiàng)式為，以使其滿足條件：（），其的幾何意義是：通過三點(diǎn)，的拋物線。例如，因?yàn)樗袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故可以將它表示成。由，得 。所以： 。同理： ， 函數(shù)稱為二次插值基函數(shù)或拋物插值基函數(shù)。在區(qū)間上的圖像為： （圖2） 基于拋物線插值函數(shù)可以立即得到拋物線插值多項(xiàng)式： 顯然它滿足條件（）即：2.3 拉格朗日的數(shù)值算法計(jì)算（見附錄1）下面將用具體

22、的實(shí)例,來演示插值公式的算法,給出一個(gè)簡單求函數(shù)逼近的例子：已知，試分別用線性插值和拋物線插值公式求出的近似值。由于在上面章節(jié)中介紹了線性插值公式和拋物線插值公式，只需要套入公式即可求出的近似計(jì)算值，接下來我們用算法，同樣也能求出其近似值。第一步：首先我們輸入節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)2第二步：我們通過算法輸入插值節(jié)點(diǎn)數(shù)（121，11）、（144，12）第三步：我們輸入需要求出的節(jié)點(diǎn)125第四步：運(yùn)算求出結(jié)果（結(jié)果如下所示）通過上述方法，我們同樣可以求出當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為三個(gè)的時(shí)候，的近似值，其計(jì)算結(jié)果如下圖所示。 通過查表和計(jì)算器計(jì)算可得的近似值為，經(jīng)過比較上述結(jié)果可知，插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，求得的結(jié)果越靠近其實(shí)際值，但

23、插值公式也存在明顯的不足，如果增點(diǎn)一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)，那因子也必須重新計(jì)算，影響了實(shí)際的工作效率，在實(shí)際中輸入的插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多，雖然求得的數(shù)越精確，但是也會(huì)變得相當(dāng)繁瑣。2.4 拉格朗日插值在實(shí)際生活中的應(yīng)用2.4.1 資產(chǎn)的評(píng)估公式: 資產(chǎn)=重置所有價(jià)格大幅貶值-功能性貶值-經(jīng)濟(jì)性貶值的價(jià)值它的意義在于,資產(chǎn)評(píng)估在利用現(xiàn)時(shí)的條件下,被評(píng)估的資產(chǎn)在全新狀態(tài)下的重置資本減去各種陳舊貶值后的差額作為被評(píng)估資產(chǎn)的現(xiàn)時(shí)價(jià)值。 （引用于百度百科）2.4.2 理論與實(shí)際生活中的聯(lián)系假設(shè)某類電子設(shè)備的的功能參數(shù)和價(jià)格，及已知曉該電子設(shè)備的功能參數(shù)：，其對(duì)應(yīng)的價(jià)格參數(shù)為：。由圖標(biāo)關(guān)系看出功能參數(shù)與及格的函數(shù)關(guān)系為

24、：假設(shè)在參數(shù)區(qū)間內(nèi)存在一條代數(shù)多項(xiàng)式的函數(shù)曲線，在函數(shù)曲線上所有的數(shù)值都滿足一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，用函數(shù)曲線作為的模擬曲線，這就是我們用到的插值法。利用這條曲線，輸入新的插值點(diǎn)，即可重置成本的參考價(jià)格。 如右圖所示：而拉格朗日插值多項(xiàng)式為：令時(shí)可分別得到線性插值和拋物線插值。如下圖所示： 2.4.3 計(jì)算機(jī)運(yùn)行方法分析根據(jù)上述分析，如若電氣設(shè)備的信息點(diǎn)越多，曲線的擬合度就變得越加復(fù)雜，而評(píng)估的準(zhǔn)確率就會(huì)更高，計(jì)算公式就會(huì)變得相當(dāng)復(fù)雜，這時(shí)我們需要借助計(jì)算機(jī)。把表達(dá)式化成:由上述公式和2.3中的數(shù)值算法可以畫出一個(gè)程序框圖,見附錄22.4.4 結(jié)論由以上程序框圖分析可知,采用插值法計(jì)算設(shè)備的功能重置成本

25、,計(jì)算精度較高,方法快捷。但是,由于上述方法只能針對(duì)可比性較強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)備,方法本身也只考慮單一功能參數(shù),因此,它的應(yīng)用范圍受到一定的限制。作為一種探索,可將此算法以及其他算法集成與計(jì)算機(jī)評(píng)估分析系統(tǒng)中,作為傳統(tǒng)評(píng)估分析方法的輔助參考工具,以提高資產(chǎn)價(jià)值鑒定的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。2.4.5 評(píng)價(jià)與總結(jié)插值方法是最基本的插值方法，拉格朗日插值公式是對(duì)稱的，容易記憶，理解，在了解，證明，應(yīng)用插值公式的過程中，不僅要注重理論知識(shí)，更加要應(yīng)用到實(shí)際生活中去，不僅只有大學(xué)才能用公式來解決各種問題，高中的部分問題用插值公式來解決會(huì)更加方便快捷，尤其是線性函數(shù)和二次函數(shù)方面。對(duì)于高階函數(shù)來說，我們并不了解它的特性

26、，而插值公式卻能輕易解決這個(gè)問題。第三章：lagrange中值定理3.1 lagrange中值定理證明不等式中值定理的表達(dá)式為。它在幾何上的意義表示，在曲線上，點(diǎn)處切線的斜率。由于是區(qū)間上的一點(diǎn)，設(shè)。使得 。（其意義為可以表示區(qū)間任意一點(diǎn)）證明不等式得遵循以下四個(gè)步驟：第一：觀察不等式是否能轉(zhuǎn)化成公式的形式第二：在滿足條件可以變形之后，需要根據(jù)已知的題目設(shè)出合理的第三：驗(yàn)證所設(shè)是否滿足中值定理第四：利用滿足的不等式來證明原題中的不等式下面列舉兩個(gè)簡單的例題，用中值定理證明不等式。例題1：求證成立。證：首先令，則利用中值定理 就可將上述式子變成 對(duì)上式左右兩邊取絕對(duì)值 即 同時(shí)由于 所以原不等式

27、成立例題2：已知，求證證：首先令，則由于在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間上可導(dǎo)，所以滿足中值定理的條件。根據(jù)中值定理公式有： 因?yàn)?所以在上述不等式的三項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè) 由此原不等式得證3.2 lagrange中值定理求極限由于用中值定理求極限與3.1中證明不等式的步驟略有相同，在下面將介紹幾個(gè)常見的求極限的例子。例題1：證：首先令，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間滿足中值定理的條件。 例題2：設(shè)函數(shù)是連續(xù)的，有公式：，當(dāng)，試求的極限。由于函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間或上是連續(xù)的，所以在區(qū)間或也是連續(xù)的，所以滿足中值定理的條件。對(duì)用中值定理： （）將上式代入題目中的式子 （1）將用公式展開： （2）利用（1），（2）兩個(gè)式子：則有

28、： 3.3 lagrange中值定理研究函數(shù)在區(qū)間上的性質(zhì)3.3.1 一階導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加的充分必要條件為：對(duì)于任意的，都有。（特別的，對(duì)于，都有，我們稱其為嚴(yán)格單調(diào)遞增）由中值定理：設(shè)為區(qū)間上任意兩點(diǎn)，且，則有 由于，和是同符號(hào)的，所以當(dāng)或時(shí)，同樣存在或。又因?yàn)槭巧先我獾膬蓚€(gè)點(diǎn)。則可知道，是單調(diào)遞增或者是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。 充分性得證設(shè)為區(qū)間上任意的一個(gè)點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)增加的。所以對(duì)于任意的一個(gè)（）， 有：由保序性，當(dāng)時(shí)， 有 必要性得證例題1：證明不等式令,且在上連續(xù)且可導(dǎo),則用中值定理有: 再令 對(duì)求導(dǎo): 故是上是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。又因?yàn)椋?故： 即： 3.3.2

29、二階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)凸性的關(guān)系首先在這里給出一個(gè)定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在任取兩個(gè)點(diǎn)和任意的都有以下關(guān)系式： 則說明是一個(gè)下凸的函數(shù)，如果等號(hào)不成立，則是一個(gè)嚴(yán)格的下凸函數(shù)。接下來我們研究二階導(dǎo)數(shù)與凸性之間究竟存在著什么樣的關(guān)系。 我們令在區(qū)間上是二階可導(dǎo)函數(shù)。則在區(qū)間上是下凸函數(shù)的充分必要條件是：對(duì)于任意一個(gè)，都有恒成立。首先證必要性： 因?yàn)槭且粋€(gè)上凸函數(shù)，根據(jù)定義，對(duì)于任意一個(gè)和，如果和都屬于區(qū)間，則有： 我們令，則上式可以推成：所以有 由特殊到一般，對(duì)于任意的兩個(gè)為區(qū)間上的兩個(gè)點(diǎn)，且滿足，令。反復(fù)使用上式結(jié)果，則可以推導(dǎo)出：由于 所以式子可以化成在點(diǎn)處是可導(dǎo)的。對(duì)兩邊式子求極限：就有：，便

30、有即的一階導(dǎo)在區(qū)間上是單調(diào)遞增的。因此的二階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上是非負(fù)數(shù)的。 即 ， 。然后證明充分性：如果，則的一階導(dǎo)數(shù)在上是單調(diào)遞增的。對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)點(diǎn)，有一個(gè)。使得，這個(gè)式子的意義是能表示區(qū)間的任意一個(gè)點(diǎn)。且，在區(qū)間和用中值定理有，利用上述兩個(gè)式子可以得到： 又因?yàn)榈囊浑A導(dǎo)數(shù)是單調(diào)遞增的，所以存在下列不等式：又因?yàn)?所以： （1）同理可推出： （2）用（1）乘上加上（2）乘上，則可以得到：而 所以： 由定義知道在區(qū)間上是一個(gè)下凸函數(shù)。結(jié)束語在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中,插值公式與中值定理扮演著一個(gè)重要的角色，在經(jīng)過了近一兩個(gè)月的探索中,我已經(jīng)熟練的掌握了插值公式與中值定理，并結(jié)合其去解決生活中的一些數(shù)學(xué)問

31、題。而在更深層次的領(lǐng)域中，例如水流路徑的算法研究，力學(xué)平衡方面的應(yīng)用等一些生活問題，都能見識(shí)到公式的身影。這也需要我們更多的去學(xué)習(xí)以及挖掘出公式的實(shí)際應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1黃云清，舒適，陳燕萍，金繼承，文立平.數(shù)值計(jì)算方法m.第一版.北京：科學(xué)出版社，2012.6 2陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析m.第二版.北京：高等教育出版社，2011.9 3李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析m.第四版.武漢：華中科技大學(xué)出版社,2006 年 4李培明.拉格朗日插值公式的一個(gè)應(yīng)用m.高等函授報(bào)（自然科學(xué)版）.1999年第3期. 5潘鐵編.淺談應(yīng)用多項(xiàng)式的拉格朗日插值公式解題中等數(shù)學(xué)報(bào)m.2010年第10期. 6張可

32、村，趙英良.數(shù)值計(jì)算算法與分析m.科學(xué)出版社2003年 附錄附錄1：/* 計(jì)算方法拉格朗日插值公式 */#include "stdio.h"#include "conio.h"int main(void)    float x20,y20,x;    int n;    void input(float *,float *,float *,int *);    float f(float *,float *,float,int);

33、60;   input(x,y,&x,&n);    printf("f(%f)=%f",x,f(x,y,x,n);        getch();    return 0;void input(float *x,float *y,float *x,int *n)    int i;    printf("請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù):");

34、0;   scanf("%d",n);    printf("n請(qǐng)輸入各個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo):n");    for(i=0;i<*n;i+)            scanf("%f%f",x+i,y+i);        printf("n請(qǐng)輸入插值點(diǎn)x="); &

35、#160;  scanf("%f",x);float f(float *x,float *y,float x,int n)    int i,j;    float lx,fx=0;    for(i=0;i<n;i+)            lx=1;        for(j=0;j<n;j+)