研究學生是數(shù)學教學的前提

1、基于學生認知結(jié)構的初三數(shù)學總復習摘要： 初三數(shù)學復習課承擔著查漏補缺、知識整理以及綜合能力提升的任務，那么如何通過學生的再認識、再實踐，進一步提高學生的學習能力和運用知識解決問題的能力，成為每個教師提高復習效果的問題之一。本文基于對學生數(shù)學認知結(jié)構的研究和思考， 關鍵詞：初三學生、數(shù)學認知結(jié)構、培養(yǎng)正文：提到初三數(shù)學總復習，自然聯(lián)想到我們眼前的兩幅畫面：一幅是教師拿著一本本復習用書，在茫茫的中考試卷中殫精竭慮地選試題，學生則埋頭于總也做不完的試卷之中的場景；另一幅是教師拿著那一份份批改后的試卷，在課堂里教師選擇例題或者作業(yè)中的錯題，一刻不停地習題講評，學生低頭訂正的場景教師的辛苦、學生的努力，

2、換來怎樣的結(jié)果？這種“一言堂”和“填鴨式”的復習課堂，乏味的教學方法，其復習效果如何？我們不難想象。目前，許多報刊、雜志都有好的復習方法的介紹，值得我們教師認真閱讀和借鑒。筆者也與大家一樣，就如何提高復習的效率，學生是如何思考問題的？避免師生在題海之中盲目“撲騰”的現(xiàn)象，進行了長期的實踐與研究。本文通過自己的教學案例，從認知學習理論的角度對這個問題加以探討，以期能拋磚引玉，得到大家的指點。當然，初中數(shù)學總復習，離不開知識點的盤點和整理、學生個體的查漏補缺、不同數(shù)學題型的強化訓練等重要環(huán)節(jié)。然而，新課程背景下，在復習整理的過程中，應當把完善學生的認知結(jié)構、培養(yǎng)學生整理知識的能力作為復習的主要任務

3、。 一、研究認知起點，盤活原有知識結(jié)構美國教育心理學家奧蘇貝爾說過：“影響學習的最重要因素是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況去教學。”我們可以這樣理解，要把學生引向一個地方，首先得知道他們現(xiàn)在在哪里？數(shù)學教學復習課不也是這樣的嗎？我們的教學設計必須先研究學生的認知情況，了解學生對原有認知結(jié)構的熟悉和理解程度。這些知識學生是以什么形式建立起知識結(jié)構圖的？然后才能在學生已經(jīng)掌握知識程度的基礎上，對原有的知識結(jié)構進行喚醒，使原有的認知結(jié)構被激活。所以，我們的復習設計要以此為依據(jù)來進行設計。1.建立知識網(wǎng)絡，梳理知識脈絡奧蘇貝爾認為：“學生的認知結(jié)構是以教材的知識結(jié)構轉(zhuǎn)化而來的”。我

4、們教科書的設計又是螺旋上升、分步到位。所以，每個知識點，它一般經(jīng)歷了初中三年的學習而加以完善。出現(xiàn)在學生面前的知識可能是零散、間斷的，老師如何根據(jù)學生的認知水平和簡約化教學原則，經(jīng)過適當篩選后再現(xiàn)在學生面前，可以采用網(wǎng)絡、圖表或列表的方式把相關知識點串起來，使學生感到脈絡清晰。案例1：四邊形單元復習課的設計為了使學生對四邊形單元有一個整體的認識，我利用2007年杭州18題的中考試題來進行知識的梳理。我們學習了四邊形和一些特殊的四邊形，右圖表示了在某種條件下它們之間的關系。 如果，兩個條件分別是：兩組對邊分別平行；有且只有一組對邊平行。那么請你對標上的其他6個數(shù)字序號寫出相對應的條件。數(shù)學知識之

5、間的連接，往往又是環(huán)環(huán)相扣，緊密相連的。后一知識是前一知識的遞進或條件的追加。教師要善于將這些知識，以網(wǎng)絡、圖表或列表的方式串起來，完善知識結(jié)構，有利于學生建立良好的知識結(jié)構。2.提供結(jié)構性素材，引起相關性聯(lián)想復習課有別于新授課和練習課，不可能把知識重新組織教學，又不可以進行簡單的練習加以鞏固。它應該是基于學生的知識結(jié)構，設計合理的、有內(nèi)在聯(lián)系的例題，可以使學生借助具體材料回憶，追溯到相關的概念、法則，把相關的知識都聯(lián)想起來，成為一個塊狀的整體，達到從知識結(jié)構到認知結(jié)構的提升。案例2：在相似三角形方法的復習課的設計：如圖，在ABC和DEF中，下列那兩組條件能判定ABC DEF？通過對四個選項的

6、兩兩組合，得到6種選擇結(jié)果，并逐一對它進行觀察、理解，有效激活了學生已有的知識，整體回憶相似三角形的判定方法。以此為基點展開梳理、完善知識結(jié)構便水到渠成。因此，教師要站在知識系統(tǒng)的高度提供的素料，切忌零碎、孤立的，提綱的素材要具有內(nèi)在的結(jié)構性。3設計遞進式題組，形成知識結(jié)構的串聯(lián)在學生的知識結(jié)構中，許多知識往往是相對獨立的，比較零散的。所以，在復習過程中，就要關注學生的知識結(jié)構，讓學生從知識結(jié)構到認知結(jié)構的提升。教師還可以設計一些有助于學生對一類知識的結(jié)構性材料。溫暖常用的題組就是很好的結(jié)構性材料，可以為知識的溝通整理提供了很好的憑借。案例3：如圖1，一副直角三角板滿足ABBC=10，ABCD

7、EF90°,EDF30°，將三角板DEF的直角邊EF放置于三角板ABC的斜邊AC上，且點E與點A重合。操作一：固定三角板ABC，將三角板DEF沿AC方向平移，使直角邊ED剛好過B點，如圖2所示； 【探究一】 三角板DEF沿A C方向平移的距離為_；操作二： 將三角板DEF沿AC方向平移至一定位置后，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC交于點Q；【探究二】 在旋轉(zhuǎn)過程中，(1) 如圖3，當時，請判斷下列結(jié)論是否正確（用“”或“×”表示）： EP=EQ；（ ） 四邊形EPBQ的面積不變，且是ABC面積的一半；（ ）(2) 如圖4，當時

8、，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關系？并說明理由.(3) 根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當時，EP與EQ滿足的數(shù)量關系式為_；(直接寫出結(jié)論，不必證明)（圖1）利用這道遞進式的題組，要學生體會全等三角形到相似三角形知識結(jié)構的發(fā)展性，深刻理解全等是相似的特殊情形，從而對知識結(jié)構有了更深的建構。二重構知識結(jié)構，優(yōu)化和發(fā)展學生的認知結(jié)構華南師范大學何小亞教授認為：知識結(jié)構與認知結(jié)構是教育心理學的兩個基本概念，數(shù)學學科的概念、原理和規(guī)律是有內(nèi)在聯(lián)系的，這種內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系就構成了數(shù)學學科的知識結(jié)構。而認知結(jié)構是學生頭腦里的數(shù)學知識結(jié)構，是學生頭腦里的知識按自己的理解深度、廣度結(jié)合自己的感覺、知覺、記

9、憶、思維、聯(lián)想等特點組成一個具有內(nèi)部結(jié)構的整體結(jié)構。所以學生數(shù)學能力的強弱就是數(shù)學認知結(jié)構的優(yōu)劣在起作用。為此，初三總復習，教師不但要梳理、完善學生的知識結(jié)構，更重要的是幫助學生主動地建構自已的數(shù)學認知結(jié)構的過程，優(yōu)化和發(fā)展學生的認知結(jié)構。1構建知識組塊，豐富學生的認知結(jié)構 在總復習的過程中，因為學生對知識的理解深度、廣度不同，導致他們對知識結(jié)構的認識不同，經(jīng)過復習整理形成的認知結(jié)構有的還不夠穩(wěn)定，建構還不夠到位，需要進一步內(nèi)化和豐富。教學時，教師可以合理地選擇知識組塊，組織教學，把知識的歸納與思維能力培養(yǎng)有機地結(jié)合起來。案例4：在課題學習時，老師布置畫一個三角形ABC，使A=30°

10、，AB=10cm，A的對邊可以在長為4、5、6、11cm的四條線段中任選，這樣互不全等的三角形可以畫幾個？此題從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法判斷三角形是否成立利用垂線段最短這個距離等知識。對于這個問題，學生中出現(xiàn)了不同層次的理解水平，有的無從下手沒有頭緒，有的借助圓規(guī)進行操作來幫助理解。通過對能否作成三角形問題的比較、分析、整理，使知識點中某些相同性質(zhì)的材料取得思維上的一致性，學生對三角形的認知結(jié)構在這里得到了具體的呈現(xiàn)，再一次獲得互補、優(yōu)化的機會。2挖掘基本圖形，內(nèi)化學生的認知結(jié)構建構主義認為，知識結(jié)構轉(zhuǎn)化成學生的認知結(jié)構，是學生主體通過順應和同化的方式實現(xiàn)的，是學生思維活動內(nèi)

11、化的結(jié)果。在總復習的過程中，教師應為學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，放手讓學生自主梳理，合作探究，互相交流，給學生內(nèi)化的時間和空間。在解直角三角形單元復習中，可以把基本是兩塊三角板涉及的知識都組合起來，通過知識點的串聯(lián)、圖形組合的串聯(lián)、認知結(jié)構的串聯(lián)等，讓學生觀察，揭示他們的內(nèi)在聯(lián)系，尋找問題的共性，充分讓學生體會其中的聯(lián)系與變化，抓住問題的本質(zhì)，從而對這塊知識的整體認知達到深化。達到對知識全面復習的目的。案例5：（1）海中有一個小島P，它的周圍18海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，這時測得小島P在北偏東45°

12、;方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由。(2) 如圖所示，A、B兩地之間有一條河，原來從A地到B地需要經(jīng)過DC，沿折線ADCB到達，現(xiàn)在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達B地一直BC=11km，A=45°，B=37°橋DC和AB平行，則現(xiàn)在從A地到達B地可比原來少走多少路程？（結(jié)果精確到0.1km參考數(shù)據(jù)：，sin37°0.60，cos37°0.80） 不管是判斷有沒有觸礁危險？還是求從A地到達B地可比原來少走多少路程？或者是計算建筑物的高度？都可以發(fā)現(xiàn)兩個最常見的直角三角形再起作用，也就是上面所說的基本圖形，或是基本圖

13、形的平移、旋轉(zhuǎn)、疊加，其本質(zhì)是相通的。通過這樣的教學設計，不僅形成了對問題本質(zhì)的了解，而且形成了一種認知能力，即把未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的轉(zhuǎn)化思想。這種轉(zhuǎn)化思想的確立，不僅豐富了認知結(jié)構的內(nèi)容，而且也提升了認知結(jié)構的水平。3.強化變式訓練，拓寬學生的認知結(jié)構現(xiàn)代認知心理學關于“優(yōu)生系統(tǒng)”的研究表明，善于學習的學生，按照老師的啟發(fā)，能把知識組織的很好，便于存儲和提取，相反，一個不善于學習的學生，把他所學的知識機械地往頭腦里裝，把知識的因果關系、類屬關系看作是并列關系，這是一種認知結(jié)構的偏差。 案例6：（八年級教材下冊第147頁第5題） 如圖,在正方形ABCD中，點E、F分別在邊CD上，AE，BF

14、交于點O，AOF90°。求證：BECF。變式1（平移變化）如圖，O為正方形ABCD內(nèi)一點，過點O的兩條互相垂直的直線與正方形的兩組對邊交于點E，F(xiàn)，G，H，求證：EF=GH。變式2 橫向變化：在例題中，如果將點O移動到正方形外，如圖，其他條件不變，是否還類似的結(jié)論？結(jié)論如何表述？ 變式3（解決此問題后，再對例題進行變化，把正方形改編為矩形、平行四邊形等） 如圖，已知O為矩形ABCD內(nèi)一點，過點O作兩條互相垂直的直線分別交矩形于點E，F(xiàn)，G，H，則EF與GH又存在著怎樣的關系呢？ 把點O移到矩形ABCD外，是否還有同樣的結(jié)論？結(jié)論又該如何表述？_G_F_E_B_H_D_C_A_A_G_

15、F_E_D_C_B變式4縱向變化： 如果教師理解這一點的話，就會通過對知識適當?shù)囊?，運用變式訓練，把與其產(chǎn)生發(fā)展由此派生的思想方法有機聯(lián)系起來，串成一條線。再橫向聯(lián)系，把學生學過的前后相關知識構成知識組塊，納入到學生的認知結(jié)構中。最后縱向聯(lián)系，拓寬學生的認知結(jié)構。三運用認知結(jié)構，提高綜合應用能力現(xiàn)代認知心理學派認為，知識結(jié)構會直接影響學生的認知結(jié)構，而認知結(jié)構又直接影響學生對問題的解決。盤活、重構、豐富、內(nèi)化學生認知結(jié)構，其真正的目的在于促進學生認知結(jié)構的內(nèi)化，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和思維的周密性、深刻性，提高學生的應用能力，使他們有更高的綜合性與靈活性。1圍繞認知結(jié)構，組織綜合練習經(jīng)過復習整理

16、形成的認知結(jié)構還不夠穩(wěn)定，尤其與其它的知識結(jié)構的連接與貫通還不夠密切和靈活，需要進一步內(nèi)化，加以訓練。如果教師在精選的例題時，著眼于學生的不同的側(cè)面，把數(shù)學核心知識置于多變的問題情境之中，引導學生形成多角度的理解，建立多元的聯(lián)系，重視一個知識結(jié)構與其他知識結(jié)構的連接和貫通，使結(jié)構向外延伸，與其他知識融為一體，推動學生認知結(jié)構的不斷發(fā)展，從而提高學生的實際應用能力。 案例7：學生中出現(xiàn)了不同層次的理解水平，有的根據(jù)公式計算后比較發(fā)現(xiàn)的，有的根據(jù)高相等、底的關系進行判斷的，有的根據(jù)推導過程推理得到的。學生的認知結(jié)構在這里得到了具體的呈現(xiàn)，再一次獲得互補、優(yōu)化的機會。2著眼應用能力，開展探究活動開展

17、探究活動是鍛煉學生應用新認知結(jié)構解決問題的有效途徑。新課程的領域之一課題學習就是非常好的素材。它注重向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學知識之間在數(shù)學思想方法上的一致性，為學生提供一個以數(shù)學思想方法為線索進行統(tǒng)領的知識結(jié)構體系。對鞏固和完善學生的認知結(jié)構，實現(xiàn)知識的遷移，提高學生運用知識解決實際問題的能力是非常有益的。案例8：小明準備設計一種高為60cm的簡易廢紙箱如圖甲，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成 （1）小明設計了乙圖所示的三種橫截面圖形，請求出橫截面的面積與之間的函數(shù)關系式，并畫次取最大值時的設計示意圖。（2）在研究性學習小組展示研究成果時，小華同學指出：圖2中“底角為的等腰梯形”的圖象與其他兩個圖象比較，還缺少一部分，應該補畫你認為他的說法正確嗎？請簡要說明理由（3）請你按題目的要求也設計一種橫截面圖形，使橫截面圖形的最大面積比小明的方案大。 在解決這個問題時，不同學生的不同解法，反映了他們的不同數(shù)學認知結(jié)構，面對新的情境問題，學