角接觸球軸承

1、角接觸球軸承打滑行為的非線性動(dòng)態(tài)模型Qinkai Han , Fulei Chu.The State Key Laboratory of Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China.摘要：用一個(gè)三維非線性動(dòng)態(tài)模型來(lái)預(yù)測(cè)復(fù)合載荷組合條件下角接觸球軸承的打滑行為。該模型考慮了鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng)、鋼球與內(nèi)外圈之間的赫茲接觸變形、鋼球與保持架之間的非連續(xù)接觸以及弾流動(dòng)體潤(rùn)滑。通過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了該動(dòng)態(tài)模型正確性。在此基礎(chǔ)上，討論了在復(fù)合載荷作用下，軸承鋼球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和位置的變化規(guī)律。該模型表明，徑向載荷的變

2、化將使鋼球在內(nèi)外圈之間的的滑動(dòng)速度產(chǎn)生波動(dòng)，對(duì)低負(fù)載區(qū)域的鋼球影響更大。增加徑向負(fù)荷將大幅增加滑移速度的幅度和范圍，使打滑更加嚴(yán)重。當(dāng)鋼球在低載區(qū)時(shí)，大的滑動(dòng)速度會(huì)使軸承和潤(rùn)滑油的溫度升高，加劇軸承磨損，縮短軸承的使用壽命。因此，在旋轉(zhuǎn)工件的設(shè)計(jì)和檢測(cè)中應(yīng)考慮徑向載荷。1.導(dǎo)論：角接觸球軸承是許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心支撐部件，其動(dòng)態(tài)特性對(duì)整個(gè)設(shè)備的使用性能、運(yùn)行可靠性和使用壽命起著決定性的作用。軸承在運(yùn)行過(guò)程中，滾道應(yīng)為鋼球提供足夠大的摩擦力和摩擦力矩，以確保鋼球處于純滾動(dòng)狀態(tài)。否則，滾動(dòng)體和內(nèi)、外滾道之間可能會(huì)出相對(duì)滑移。隨著現(xiàn)代旋轉(zhuǎn)機(jī)械的高速化、重載化，軸承的滑動(dòng)將使軸承和潤(rùn)滑油的溫度升高，從而

3、加速軸承磨損。如果軸承早期就開始打滑，它可能會(huì)導(dǎo)致軸承壽命減少，甚至更嚴(yán)重的事故。因此，當(dāng)前準(zhǔn)確預(yù)測(cè)滾動(dòng)軸承的打滑行為并提出防滑設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是很重要的問(wèn)題。哈里斯1,2已經(jīng)在這方面做了開創(chuàng)性的工作?；跍系揽刂评碚摵蜏?zhǔn)靜態(tài)學(xué)，哈里斯1,2建立了用于高速角接觸球軸承的滑行預(yù)測(cè)模型。該模型考慮了滾動(dòng)體的各種受力情況（包括：接觸力，摩擦力，流體力和離心力等），還考慮了軸向載荷、旋轉(zhuǎn)速度、滾動(dòng)體的數(shù)量對(duì)打滑的影響。Liao and Lin3在幾何約束條件和受力平衡中考慮了每一個(gè)滾動(dòng)體受到的接觸力和每一個(gè)滾動(dòng)體的接觸角。希拉諾4打滑的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)中分析了在軸向和徑向負(fù)荷下鋼球和滾道的打滑。此外,他們還研究了熱效

4、應(yīng)引起的鋼球滑動(dòng)5。基于準(zhǔn)動(dòng)態(tài)分析，Jiang et al.6, Cui et al.7 and Yuan et al.8等提出了估計(jì)防止軸承打滑的最小軸向載荷的經(jīng)驗(yàn)公式。最近，Chen et al. 9,10提出推力球軸承在固體潤(rùn)滑條件下的準(zhǔn)靜態(tài)模型。該理論構(gòu)想了一種用于準(zhǔn)確界定鋼球與內(nèi)外圈之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的滑動(dòng)比和旋滾比。它表明，鋼球與滾道的密切接觸引起的滑差使滑動(dòng)和接觸力分布不對(duì)稱。Xu et al.11建議用預(yù)載分析法作為球軸承的滑動(dòng)準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明采用最佳預(yù)緊力的軸承具有良好的溫度特性。Chen et al 12等人對(duì)高速旋轉(zhuǎn)的軸承進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)打滑分析，發(fā)現(xiàn)鋼球自轉(zhuǎn)擠壓油膜對(duì)打滑和軸承疲

5、勞壽命有不利的影響。上述的大多數(shù)分析是在穩(wěn)態(tài)條件下采用靜態(tài)/動(dòng)態(tài)模型來(lái)研究打滑行為和防滑判據(jù)。實(shí)際上，滾動(dòng)軸承上經(jīng)常被施加動(dòng)載荷，滾動(dòng)體和保持架之間的接觸和碰撞是不可避免的。這些因素往往造成滑移隨時(shí)間和空間的變化。顯然，基于靜態(tài)模型的穩(wěn)態(tài)分析很難準(zhǔn)確地描述和預(yù)測(cè)滾動(dòng)體打滑的行為。因此，發(fā)展動(dòng)態(tài)分析方法在當(dāng)前得到了廣泛關(guān)注。采用動(dòng)態(tài)法，古普塔13首先建立微分方程來(lái)模擬一個(gè)推力球軸承在彈流潤(rùn)滑條件下鋼球的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)。奧斯滕森等人14建立了軸承運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)軸承運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了仿真模擬，并與測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較。他們發(fā)現(xiàn)，卸載區(qū)的滑動(dòng)主要受局部潤(rùn)滑劑分布狀態(tài)和滾子在軸承中的位置的影響。Imado15提出

6、了一個(gè)霍爾元件檢測(cè)法來(lái)檢測(cè)鋼球在軸承中的運(yùn)動(dòng)。最近，米尼安·拉尼阿多哈科梅等人16利用有限元法建立了滾動(dòng)軸承的動(dòng)態(tài)接觸模型。動(dòng)態(tài)接觸模型應(yīng)用在鋼球與滾道打滑的研究中。Jain和亨特17忽略離心力和鋼球接觸角引起的陀螺力的影響，提出了一種應(yīng)用在風(fēng)力機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)高速輸出軸上的軸承的動(dòng)力學(xué)模型。塞爾瓦拉和marappan 18研發(fā)了一種圓柱滾子軸承試驗(yàn)臺(tái)，用于測(cè)量各種工況下運(yùn)行的軸承元件的速度，在實(shí)驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上討論了工作參數(shù)對(duì)圓柱滾子軸承的影響。Tu et al.19以滾動(dòng)體與滾道、保持架之間的接觸力和摩擦力，以及滾動(dòng)體的離心力為基礎(chǔ)建立了研究滾動(dòng)軸承加速時(shí)打滑的分析模型。對(duì)軸承打滑的動(dòng)態(tài)

7、問(wèn)題的一些研究工作已在目前的文獻(xiàn)中提出，但研究對(duì)象僅限于推力軸承（只適用于軸向載荷）和深溝軸承（僅適用于徑向載荷）。角接觸軸承在軸向和徑向載荷作用下（復(fù)合載荷條件下）的研究較少受到關(guān)注。高速度和復(fù)合載荷工況會(huì)使角接觸軸承的滾動(dòng)元件具有三維運(yùn)動(dòng)，而推力軸承和深溝軸承的運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為二維運(yùn)動(dòng)。因此，本論文提出分析角接觸球軸承打滑行為的動(dòng)力學(xué)模型。首先，考慮了內(nèi)圈的五個(gè)自由度，對(duì)軸承的載荷分布和每個(gè)滾動(dòng)體的接觸力和內(nèi)/外接觸角進(jìn)行了分析。根據(jù)赫茲接觸理論和彈流動(dòng)力潤(rùn)滑，確定了鋼球與內(nèi)/外滾道之間的摩擦力和摩擦力矩隨時(shí)間的變化規(guī)律?？紤]到鋼球和保持架之間的不連續(xù)接觸，利用歐拉方程建立了角接觸滾動(dòng)軸承的

8、三維非線性動(dòng)力學(xué)模型。本論文給出了模型的求解方法和過(guò)程并通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證，在此基礎(chǔ)上，討論了在復(fù)合載荷作用下，軸承的滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。最后，得出了一些結(jié)論。2、 角接觸球軸承載荷分布分析通過(guò)對(duì)角接觸球軸承載荷分布的分析，獲得了三種類型的參數(shù)，包括接觸力，赫茲接觸面積的尺寸和鋼球和內(nèi)外圈之間的接觸角。鋼球摩擦力矩的大小和方向可以通過(guò)這些參數(shù)分析計(jì)算得到。因此，載荷分布分析在打滑分析之前進(jìn)行。外圈固定，內(nèi)圈以恒定的角速度i旋轉(zhuǎn)。兩個(gè)坐標(biāo)，其中一個(gè)(X-Y-Z) 固定在內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)中心線上，另一個(gè)（x-y-z）隨Z軸旋轉(zhuǎn)，如圖1所示。x-y-z的中心與球的質(zhì)心重合。忽略

9、了內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)自由度，重點(diǎn)考慮余下的五個(gè)自由度（包括：三平移和兩旋轉(zhuǎn)）。自由向量用表示。作用于內(nèi)圈的外力向量用Fin=(FXin; FYin; FZin; MXin; MYin)T表示。第i個(gè)球相對(duì)于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)x-y-z有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角速度（xj;yj;zj）和一個(gè)基于固定軸Z的滾道旋轉(zhuǎn)速度Wcj。在時(shí)間t，第j個(gè)球的位置角用下公式表示： 圖1。軸承坐標(biāo)示意圖。cj =0+cj +2/Nb(j-1),其中0為初始位置角，cj 為滾道角速度，Nb為鋼球的數(shù)量。 一般情況下0=0，外力會(huì)使內(nèi)圈移動(dòng)。因此，第j個(gè)球內(nèi)圈溝曲率中心的位移 ，包括沿y,z軸的移動(dòng)和沿x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，用 uj=（yj; zj; xj)

10、T表示。在小撓度的假設(shè)下,uj可以通過(guò)坐標(biāo)變換得到 uj=TjUin (1)。其中Tj是變換矩陣，可表示為其中Ri=0.5de+（rgi-0.5db)cos0表示由內(nèi)到槽曲率中心的內(nèi)軸旋轉(zhuǎn)中心的距離，de是軸承的節(jié)圓直徑 ，rgi是溝曲率半徑，db是鋼球的直徑，0是公稱接觸角。沒(méi)有負(fù)載時(shí)，鋼球與內(nèi)外滾道之間沒(méi)有接觸變形。由于偏轉(zhuǎn)是零，所以球的中心和內(nèi)外滾道的溝曲率中心位于一條直線，如圖2虛線。 鋼球的內(nèi)外接觸角是相同的，等于公稱接觸角0。施加負(fù)載后，內(nèi)圈滾道將首先移動(dòng)，然后鋼球也因接觸變形而移動(dòng)。平衡狀態(tài)，如圖2所示的實(shí)心線，可以表示鋼球和內(nèi)外滾道之間的狀態(tài)。因?yàn)橥馊κ枪潭ǖ?，所以它的溝曲率?/p>

11、心保持不變。根據(jù)公式（1）內(nèi)圈溝曲率中心的位移可以用 (yj;zj)表示。鋼球中心的位移是未知參數(shù)可用 (vjy;vjz)表示。因?yàn)樨?fù)載的影響，鋼球與內(nèi)外溝道的接觸角變的不相等。外接觸角減小為oj，而內(nèi)接觸角增大為ij。在偏轉(zhuǎn)前，內(nèi)圈溝曲率中心到鋼球質(zhì)心的距離為 Lij。偏轉(zhuǎn)后，距離變得 lij，如圖2所示。同樣，外圈溝曲率中心到鋼球質(zhì)心的距離從Loj（偏轉(zhuǎn)前）變?yōu)閘oj（偏轉(zhuǎn)后），對(duì)于給定的內(nèi)外溝曲率半徑(rgi; rgo)，有Lij=rgi-0.5db和Loj=rgo -0.5db。根據(jù)圖2的幾何關(guān)系，可以獲得以下公式：荷載分布分析應(yīng)滿足上述的四個(gè)幾何方程。圖3給出了第j個(gè)鋼球的受力情況。

12、在圖中， Fcj 和 Mgj表示由于球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺力。 圖2。軸承前后撓度的幾何關(guān)系 圖3，第j鋼球受力圖。20顯然有和 mb和Ib為鋼球的瞬時(shí)質(zhì)量和慣性。s和c為自轉(zhuǎn)角速度和溝道角速度，j 為自轉(zhuǎn)軸和Z軸之間的夾角。對(duì)于純滾動(dòng)軸承，有 鋼球與內(nèi)、外滾道之間的接觸力用Qij和Qoj表示，根據(jù)赫茲接觸理論，有Qij=ijKiij3/2 和Qoj=ojKooj3/2。Ki和Ko為鋼球與內(nèi)外滾道的接觸剛度系數(shù)，ij和oj 為鋼球與內(nèi)外滾道的變形量。從上面的幾何分析中可以得到ij =lij-Lij和Oj=loj- Loj。 當(dāng)ij，oj>0；ij =1,oj=1。ij,oj0時(shí)

13、；ij=0， oj=0 。接觸剛度系數(shù)通過(guò)接觸區(qū)材料性能和幾何尺寸的確定，即 K=，其中E=E/(1-2)表示的有效彈性模量,E為材料的彈性模量，為泊松比，R為等效曲率半徑，為橢圓率，和為橢圓第一類和第二類積分。這些參數(shù)的表達(dá)式從哈里斯和kotzalas 20 的論文中可以得到，接觸剛度系數(shù)Ki和Ko可以通過(guò)以上公式求解得到。 在負(fù)荷分布分析，忽略了x水平的摩擦力，陀螺力矩由y-z平面的瞬時(shí)摩擦力產(chǎn)生，如圖3所示。哈里斯和kotzalas 20在他們的論文中首先對(duì)鋼球進(jìn)行這樣的受力平衡分析。ij和oj表示鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦系數(shù)。在這里對(duì)ij和oj都設(shè)置初始值為1。從圖3可以得到力的平衡方

14、程如下：第j個(gè)鋼球與內(nèi)溝道之間的接觸力和摩擦力的方向與圖3所示的方向相反。把這些力等效到內(nèi)溝曲率中心可以得到得到鋼球與內(nèi)滾道的力平衡方程上述研究表明在未知參數(shù)負(fù)荷分布的位移分析中可以用該鋼球與內(nèi)滾道的模型(vjy，vjz和Xin，Yin，Zin，X in，Y in)代替進(jìn)行計(jì)算。(公式(7)（10）)是一組非線性代數(shù)方程，可以用Newton-Raphson方法迭代求解。該非線性方程的維數(shù)是2Nb+5.得到這些未知參數(shù)后，每一個(gè)鋼球的接觸力（Q ij，Q oj）和內(nèi)外接觸角（ij；oj）可以通過(guò)公式（1）和（3）-（6）計(jì)算得到。3. 施加在球上的摩擦力矩和力矩運(yùn)行中滾動(dòng)軸承，內(nèi)外溝道對(duì)鋼球產(chǎn)生

15、摩擦力和摩擦力矩。彈流潤(rùn)滑條件下的鋼球和滾道之間的接觸與圖4所示。圖中的x，y軸分別表示接觸橢圓的主要和次要軸，Z表示垂直于接觸橢圓的軸。根據(jù)赫茲接觸理論，接觸應(yīng)力在接觸區(qū)為橢圓分布，并可以表示如下：其中， PHj 為最大接觸應(yīng)力，a和b為接觸橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。有b = a/。在求出接觸力，等效曲率半徑和橢圓率后， 可以求出接觸區(qū)的面積(ain，bin和aout，bout) 。一般情況下，油膜厚度hc遠(yuǎn)小于接觸區(qū)尺寸,接觸區(qū)域任一點(diǎn)的剪切應(yīng)力（x,y）可以用下公式表示：其中（pj，T）是潤(rùn)滑劑的粘度，是接觸壓力Pj和油的溫度T的函數(shù)。相對(duì)之間的接觸界面的滑動(dòng)速度用表u示，u=u1-u2。

16、圖4.對(duì)于鋼球和滾道之間的接觸示意圖。根據(jù)結(jié)果Hamrock和道森 21 ，油膜厚度是由下面的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：其中表示無(wú)量綱速度，0是20大氣壓力下潤(rùn)滑油的粘度，表示沿滾動(dòng)方向的等效半徑，外圈用“+”，內(nèi)圈用“-”。是等效轉(zhuǎn)速，dri，dro 表示內(nèi)圈和外圈溝道的直徑，G =Ecp是無(wú)量綱的彈性模量,其中cp為粘度壓力系數(shù)。無(wú)量綱載荷由計(jì)算得到 。潤(rùn)滑油的粘度(pj, T)由經(jīng)典的巴勒斯方程17來(lái)確定。然而，目前的研究表明在接觸壓力大的情況下使用該公式將會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。滾動(dòng)軸承的接觸壓力通常大于1 GPa，屬于高接觸壓力。因此，在這種情況下，巴勒斯方程不能用。貝爾和科特基 22 的實(shí)驗(yàn)研究了潤(rùn)

17、滑劑的接觸壓力和油溫在高接觸壓力（高達(dá)2 GPa）下的變化情況。以下的經(jīng)驗(yàn)公式是通過(guò)數(shù)據(jù)擬合得到的。（14） 其中B，R0，R分別潤(rùn)滑油的杜利特泰特參數(shù)，r為油量隨溫度的線性變化，即r=1+1（T -T0），其中1為20室溫下體積的膨脹量。V/V0為體積隨壓力和溫度的變化率，公式如下： (15) 其中 a為熱膨脹系數(shù)，K0為體積模數(shù)， K0 為常數(shù)用計(jì)算，這里的溫度是Kelvin（絕對(duì)溫度）。 接觸界面之間的相對(duì)滑動(dòng)速度u有鋼球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)速度以及內(nèi)外圈的旋轉(zhuǎn)速度確定。圖5給出了鋼球相對(duì)于x，y，z軸的三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度（xj；yj；zj）和一個(gè)相對(duì)于軸心的軌道速度（cj) 。圖5.鋼球與內(nèi)外滾道之

18、間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系圖。 對(duì)于鋼球與外滾道的接觸，短軸（xo，鋼球的滾動(dòng)方向）和長(zhǎng)軸（yo軸）的滑移速度可以用下邊的公式計(jì)算。（16） （17） 當(dāng)時(shí)，soj 為鋼球的相對(duì)于zo軸的旋轉(zhuǎn)速度，有以下公式 （18） 內(nèi)圈轉(zhuǎn)速為i，鋼球相對(duì)于內(nèi)圈滾道的速度為i -cj。同樣的，鋼球沿短軸（xi軸）和長(zhǎng)軸（yi軸）的相對(duì)滑動(dòng)速度可以用以下公式表示：當(dāng)時(shí)，sij 為鋼球相對(duì)于zi軸的旋轉(zhuǎn)速度有以下公式：（21） 知道油膜厚度，潤(rùn)滑油的粘度和相對(duì)滑動(dòng)速度后，接觸區(qū)任意點(diǎn)的剪切應(yīng)力（x,y ）可以按下公式求解得到。摩擦力矩的推導(dǎo)如下：4.三維非線性動(dòng)力學(xué)模型 在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)（x-y-z）中，第j個(gè)鋼球的運(yùn)動(dòng)包括三個(gè)旋

19、轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) xj， yj， zj 和一個(gè)沿滾道繞軸心的運(yùn)動(dòng)cj。鋼球的旋轉(zhuǎn)矢量定義如下：其中，鋼球的慣性矩為Ixj =Iyj= Izj=Ib， Tvj為牽連角速度矩陣X，Y，Z 為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（x-y-z）相對(duì)于固定坐標(biāo)系（X-Y -Z）的旋轉(zhuǎn)速度?？梢缘玫絏 =Y =0 和Z =cj。為施加在滾動(dòng)鋼球上的總外力矩。這些力矩由鋼球與內(nèi)外溝道之間的摩擦力和摩擦力矩計(jì)算得到。根據(jù)前面的分析和圖5中的幾何關(guān)系，可以得出如下的公式：對(duì)于鋼球的在溝道上的運(yùn)動(dòng)，鋼球表面的摩擦力矩與內(nèi)外溝道的摩擦力有關(guān)，在鋼球的軌道運(yùn)動(dòng)方程中也應(yīng)該考慮潤(rùn)滑劑的阻力和鋼球與保持架之間的不連續(xù)接觸。哈里斯和kotzalas 20給了

20、一個(gè)計(jì)算球軸承潤(rùn)滑油阻力的經(jīng)驗(yàn)公式 。其中，v 為潤(rùn)滑油的密度，cv 為阻力系數(shù)，g為重力加速度。鋼球和保持架之間的相對(duì)位移+ ，-如圖6所示。其中t為時(shí)間，cage為保持架的角位移，cr為鋼球與保持架之間的間隙。根據(jù)圖6的幾何關(guān)系，可以得到計(jì)算+ ，-的公式：因此，保持架對(duì)第j鋼球的接觸力為kcage 為鋼球與保持架之間的接觸剛度。當(dāng)+ ，-<0時(shí)， -=1， +=1；相反， -=0，+=0。根據(jù)動(dòng)量定理，可以將鋼球的軌道運(yùn)動(dòng)方程寫成其中，Icj為鋼球相對(duì)于軸線（Z軸）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，有。同樣的保持架的的運(yùn)動(dòng)方程也可以利用動(dòng)量定理求出 其中，Icage為保持架相對(duì)于軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ，cag

21、e為保持架的旋轉(zhuǎn)角速度。從公式（34）-（35）可以看出，要想求出鋼球與保持架之間的相對(duì)位移就必須先求出鋼球與保持架任意時(shí)間的角位移。 圖6.鋼球與保持架之間的相互作用示意圖 由角速度與角位移之間的微分關(guān)系可以得到每一個(gè)鋼球的一系列方程包括（28），（37），（39）在內(nèi)，都能夠得到，還包括兩個(gè)形容保持架運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)方程（38），（40）。通過(guò)計(jì)算每個(gè)鋼球與滾道的運(yùn)動(dòng)方程，可以得到角接觸球軸承的三維非線性動(dòng)力學(xué)模型 。其中是（5Nb+2）X（5Nb +2）的尺寸系數(shù)矩陣 ，是（5Nb+2）X1的三維位移矢量，為（5Nb+2）X1的外力向量。由于鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和鋼球與保持架之間的間斷

22、接觸，公式（41）為非線性耦合一階微分方程。外部負(fù)載的大小，鋼球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的初始值，保持架和內(nèi)圈的旋轉(zhuǎn)速度都對(duì)方程（41）的收斂過(guò)程有顯著影響。顯然，外部負(fù)載的不足會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)花費(fèi)更多的時(shí)間收斂， 不合理的旋轉(zhuǎn)和軌道速度的初始值可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)的振蕩。本研究中，用滾道控制理論 20 所獲得的結(jié)果作為初始值。增加內(nèi)圈速度意味著陀螺耦合效應(yīng)變得顯著，鋼球與溝道之間的不連續(xù)接觸可能會(huì)更頻繁。在該計(jì)算中應(yīng)減少時(shí)長(zhǎng)以保證收斂，公式（41）可用MATLAB的ode15s程序求解。該解算程序是專用剛性微分方程，在每一個(gè)時(shí)間段，解算程序可以估計(jì)該計(jì)算的局部誤差。這種誤差必須小于或等于可接受的誤差，這是一個(gè)

23、指定的相對(duì)誤差（reltol）與絕對(duì)容差（abstol）之間的函數(shù)。在本研究中RelTol和 AbsTol分別設(shè)置為1e-3 和1e-6,當(dāng)總時(shí)間超過(guò)設(shè)定時(shí)間時(shí)，計(jì)算停止，詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程如圖7所示。 5.模型的驗(yàn)證 Pasdari and Gentle 23 測(cè)試了角接觸球軸承的保持架在軸向載荷下的旋轉(zhuǎn)速度，35毫米口徑的角接觸球軸承在最高轉(zhuǎn)速為3000轉(zhuǎn)的變速直流電機(jī)的驅(qū)動(dòng)下旋轉(zhuǎn)，試驗(yàn)軸承的參數(shù)在表一中列出。軸承被安裝在驅(qū)動(dòng)軸上，驅(qū)動(dòng)軸由由2個(gè)深槽球軸承支撐，并通過(guò)皮帶輪與電機(jī)相連。軸承垂直安裝，可以用重力作為軸向載荷的一部分，使其更容易作用在軸承上。本文的動(dòng)態(tài)模型可以預(yù)測(cè)保持架在各種軸向載

24、荷下的作用，其速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。將計(jì)算數(shù)值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證動(dòng)態(tài)模型的正確性。本試驗(yàn)中未給出潤(rùn)滑劑的類型23。本動(dòng)態(tài)模型使用了一種專用于滾動(dòng)軸承的典型潤(rùn)滑油（MIL-L-23699）。拜爾和科特基 22提供了MIL-L-23699潤(rùn)滑劑的參數(shù)，見(jiàn)表2，該潤(rùn)滑劑的溫度T為30。 7.非線性動(dòng)力學(xué)模型的求解過(guò)程。 試驗(yàn)中，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速2000 rpm (i =209:4395 rad/s)，在純滾動(dòng)條件下= 82。0994 rad/s。在模擬中，初始角速度和位移被設(shè)置為軸向載荷為40,80,120.，300N，基于非線性動(dòng)力學(xué)模型和圖8中的結(jié)果，可以得到保持架速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。結(jié)果表明

25、在<120N時(shí)，cage的影響小與。由于軸向載荷較低，摩擦力和摩擦力矩也會(huì)較低，不能提供足夠的阻力來(lái)保證鋼球一直處于純滾動(dòng)狀態(tài)。 表1.滾動(dòng)軸承的物理參數(shù)。表2.潤(rùn)滑油MIL-L-23699參數(shù) 圖8.隨著cage在各種軸向負(fù)荷隨時(shí)間的變化。因此，宏觀滑移出現(xiàn)在鋼球與內(nèi)外溝道的接觸區(qū)。加大 以增大對(duì)鋼球的摩擦力，可以使cage接近純滾動(dòng)速度 。 越大，可以cage接近的時(shí)間就越短，如圖8中的放大圖所示。把在不同軸向載荷下的保持架的速度cage，與Pasdari and Gentle23實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較, 如圖9所示。在較低的軸向載荷作用下，cage出現(xiàn)明顯的波動(dòng)，這是因?yàn)閲?yán)重的打滑導(dǎo)致測(cè)

26、試結(jié)果不準(zhǔn)確。隨著軸向載荷的增加，cage為恒定值，即。圖9所示的數(shù)值結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很吻合，表明預(yù)測(cè)滑移行為的動(dòng)態(tài)模型是可靠的。 此外，從圖9可以看出在FZin>120N時(shí)，cage/i接近純滾動(dòng)比0.3920，表明保持架的打滑變?nèi)?。但是，無(wú)論球是否在純滾動(dòng)狀態(tài)，應(yīng)通過(guò)觀察鋼球的自轉(zhuǎn)速度（xj，yj，zj）來(lái)判斷打滑的程度。以j=1的鋼球?yàn)槔?，三個(gè)旋轉(zhuǎn)速度隨時(shí)間和軸向載荷的變化如圖10所示。 它表明，隨著時(shí)間的增加，在>500N后，三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量變?yōu)楹愣ㄖ?。該圖表明，當(dāng)=520N時(shí)，x10 rad/s, y1 187rad/s，z1-376rad/s。公稱接觸角0=25º，

27、鋼球的旋轉(zhuǎn)速度可以通過(guò)公式（18）和（20）計(jì)算得到該值近似為零。因此，當(dāng)>500N時(shí)可以認(rèn)為鋼球是在純滾動(dòng)狀態(tài)。4. 軸向和徑向載荷下軸承的打滑 在前一節(jié)中，僅在角接觸球軸承的內(nèi)圈上施加軸向載荷，在實(shí)際應(yīng)用中，軸向和徑向載荷（聯(lián)合載荷）將同時(shí)作用于內(nèi)圈。與僅僅軸向加載系統(tǒng)相比，聯(lián)合負(fù)荷對(duì)打滑行為的影響有明顯的不同。在這一節(jié)中，考慮了2種類型的載荷，即：恒定的徑向載荷（時(shí)不變載荷）和正弦徑向載荷（時(shí)變載荷）。6.1.恒定的徑向負(fù)荷軸向負(fù)荷總是作用在內(nèi)圈，設(shè)置=600N，徑向載荷為為100,200,300,400,500N，第j=1個(gè)鋼球運(yùn)行速度隨時(shí)間的變化如11所示。徑向載荷的添加將引起

28、鋼球運(yùn)行速度c1 的小幅波動(dòng)。徑向載荷的增加僅僅減少c1的數(shù)值，一般情況下，徑向負(fù)載對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的影響并不顯著。通過(guò)公式（16）-（17）和（19）-（20），可以得到uox，oy，和uix，iy，他們?yōu)殇撉蚺c內(nèi)外溝道之間橢圓接觸區(qū)短長(zhǎng)軸的相對(duì)滑動(dòng)速度。為了準(zhǔn)確地計(jì)算滑動(dòng)速度，滑動(dòng)速度的絕對(duì)值定義如下：圖9.在不斷增加的情況下對(duì) cage的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。圖10.轉(zhuǎn)動(dòng)分量（x1，y1，z1）隨時(shí)間和軸向載荷的變化在不同的徑向載荷作用下，ui ，uo 隨j=1的鋼球軌道運(yùn)動(dòng)的變化分別如圖12和圖13所示。 從圖12的曲線中可以明顯的看出ui的波動(dòng)，在軌道周期Top=(2/c1)的某些區(qū)域,

29、u的值明顯大于0，表明嚴(yán)重打滑發(fā)生在鋼球與內(nèi)圈接觸的區(qū)域。一個(gè)軌道周期Top可以被劃分為四個(gè)區(qū)域：區(qū)域A（0-0.14）Top和（0.88-1）Top），B區(qū)域（0.14-0.42）Top，C區(qū)域（0.42-0.68）Top，D區(qū)域（0.68-0.88）Top，如圖12所示，很明顯，在B和D區(qū)域，即使加更高的徑向載荷，滑動(dòng)速度也很小。這表明，在這2個(gè)區(qū)域鋼球與內(nèi)滾道之間幾乎不存在打滑。而在A和C區(qū)域，隨著鋼球的旋轉(zhuǎn)，滑動(dòng)速度先增加后減小，A區(qū)域滑動(dòng)速度的最大值大于C區(qū)域的最大值。圖11.鋼球的運(yùn)行速度c1 在徑向載荷下隨時(shí)間的變化 圖12.在組合荷載作用下，鋼球相對(duì)于內(nèi)圈的絕對(duì)速度ui 。隨著

30、徑向載荷的增加，A和C區(qū)域的滑動(dòng)速度也相應(yīng)增大，表明在這兩個(gè)區(qū)域打滑變得更嚴(yán)重。從圖13中可以發(fā)現(xiàn)外圈的滑動(dòng)也有此現(xiàn)象，不同的是，即使加更高的徑向載荷D區(qū)域的滑動(dòng)速度也不太低，然而，與A區(qū)域和C區(qū)域的滑動(dòng)速度相比，它仍然是較低的值。在較高的徑向載荷下，鋼球與內(nèi)外圈之間的滑動(dòng)速度出現(xiàn)波動(dòng)。只要對(duì)內(nèi)圈施加徑向載荷其接觸載荷分布就會(huì)發(fā)生顯著變化，如圖14所示。徑向載荷的引入會(huì)導(dǎo)致B,D區(qū)域的接觸力變大，遠(yuǎn)大于只受到純軸向載荷時(shí)。徑向載荷的增加使接觸力明顯上升，B和D區(qū)域被稱為載荷增加區(qū)域，兩載荷區(qū)域是由軸向和徑向負(fù)載綜合作用產(chǎn)生的。從圖15可以看出徑向載荷使B區(qū)域的接觸力增大，使D區(qū)域的接觸力減小。

31、在軸向載荷作用下，內(nèi)圈相對(duì)于X軸旋轉(zhuǎn)，如圖15所示。然后，鋼球和溝道在D區(qū)域再接觸時(shí)將會(huì)產(chǎn)生更大的接觸力。不過(guò)，在相同的載荷條件下，D區(qū)域接觸力的峰值低于B區(qū)域的峰值。在聯(lián)合載荷條件下，存在兩個(gè)接觸力增加區(qū)（B和D），同時(shí)也存在兩個(gè)接觸力減小區(qū)（A和C）。當(dāng)施加徑向載荷時(shí)，這2個(gè)區(qū)域的接觸力減少，加大徑向載荷接觸力降低的更明顯。在聯(lián)合載荷作用下，該系統(tǒng)滑動(dòng)速度的波動(dòng)，可以用接觸力增加的區(qū)域來(lái)解釋。較高的接觸力，可提供足夠的阻力，以保證鋼球處于純滾動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)滑移速度很小，幾乎不存在打滑。鋼球從接觸力增加的區(qū)域移動(dòng)到接觸力減小的區(qū)域時(shí)，接觸力降低，從而沒(méi)有足夠的摩擦力和摩擦力矩來(lái)帶動(dòng)鋼球運(yùn)動(dòng)。

32、圖13.在聯(lián)合荷載作用下，鋼球相對(duì)于外圈的絕對(duì)速度uo 圖14.第j=1個(gè)鋼球與內(nèi)圈之間的接觸力 圖15.軸承在聯(lián)合荷載作用下接觸力增加和降低區(qū)域示意圖宏觀的滑移發(fā)生在接觸區(qū)，嚴(yán)重打滑也發(fā)生在該接觸區(qū)。當(dāng)鋼球從接觸力減小區(qū)運(yùn)動(dòng)到接觸力增加區(qū)時(shí)，因接觸力的增加其滑動(dòng)速度將減小，打滑減輕，滑動(dòng)速度保持在較低值。 從上面的分析中可以得到，當(dāng)軸向載荷=600N時(shí)，軸承幾乎不會(huì)出現(xiàn)打滑，而徑向載荷的加入會(huì)使滑動(dòng)速度產(chǎn)生波動(dòng)，在接觸力減少區(qū)更明顯，當(dāng)徑向載荷增大時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)更為明顯的波動(dòng)。在這些區(qū)域，鋼球仍然承受載荷。較大的滑動(dòng)速度會(huì)增加軸承和潤(rùn)滑油的溫度，加劇軸承的磨損，縮短軸承的使用壽命。6.2.正弦

33、曲線的徑向載荷 由于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的旋轉(zhuǎn)，在軸承上的徑向載荷可能隨時(shí)變化。這里，認(rèn)為隨時(shí)間變化的徑向載荷是正弦變化的，其頻率等于內(nèi)圈溝道的旋轉(zhuǎn)速度。它可以表示為，其中 Fr 為恒定的徑向負(fù)荷，r為正弦載荷的相對(duì)振幅。軸向載荷保持恒定值即=600N，F(xiàn)r=400N，r =0.0,0.2,0.4時(shí)；滑動(dòng)速度隨鋼球溝道速度的變化如圖16所示。r =0.0表示徑向載荷為常數(shù)，只要徑向載荷為時(shí)變載荷（r =0.2,0.4），滑動(dòng)速度隨著鋼球軌道運(yùn)動(dòng)的波動(dòng)就是非周期性的，這是因?yàn)閮?nèi)圈旋轉(zhuǎn)速度和鋼球沿軌道速度之比不是整數(shù)。在載荷減小的區(qū)域，時(shí)變載荷使滑動(dòng)速度增大了，然而，由于非周期性波動(dòng)，當(dāng)鋼球再次進(jìn)入相同的載荷

34、降低區(qū)域，時(shí)變載荷會(huì)使滑動(dòng)速度減小。因此，很難說(shuō)，時(shí)變載荷是否能提高或減輕鋼球的打滑。但可以肯定的是，時(shí)變載荷可以增大最大滑移速度，如圖16所示。此外，其對(duì)研究滑移速度隨時(shí)間穩(wěn)態(tài)變化中的頻率分量有很大意義。利用了快速傅里葉變換，得到的滑移速度ui 的頻譜如圖17所示。其中恒定徑向載荷（r =0.0），鋼球的軌道速度為頻率整倍數(shù)即 ic1（i=1,2,3.）。當(dāng)徑向負(fù)荷為正弦時(shí)間載荷（r =0.2,0.4）時(shí)，ic1的振幅會(huì)相應(yīng)地增加。除了鋼球的軌道速度和它的整數(shù)倍外，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速和鋼球軌道速度的合速度，即（i±ic）（i=0,1,2，.）。本段考慮了恒定的正弦徑向負(fù)荷，分析其對(duì)鋼球滑動(dòng)行

35、為的影響。雖然該動(dòng)態(tài)模型已通過(guò)與Ref23保持架速度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較得到驗(yàn)證，但本節(jié)中研究得到的結(jié)果在之前未被發(fā)現(xiàn)。幾個(gè)動(dòng)態(tài)的研究已經(jīng)進(jìn)行了，重點(diǎn)是分析深溝球軸承的鋼球與保持架之間的作用力24，干摩擦的摩擦力矩25,26,潤(rùn)滑劑的阻力27。他們沒(méi)有研究鋼球在聯(lián)合載荷作用下其在三維空間中的運(yùn)動(dòng)情況，下邊我們將對(duì)鋼球在不同載荷條件下的三維運(yùn)動(dòng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。 圖16.時(shí)變的徑向負(fù)荷對(duì)滑動(dòng) 圖17.在時(shí)變徑向載荷和恒定的軸向載荷作用下滑移速度ui的頻譜。5. 結(jié)論 該三維非線性動(dòng)態(tài)模型用來(lái)預(yù)測(cè)角接觸球軸承的打滑行為，其綜合考慮了鋼球旋轉(zhuǎn)引起的離心力和陀螺效應(yīng)，鋼球與內(nèi)外圈的赫茲接觸，鋼球和保持架之間的

36、不連續(xù)接觸，彈流動(dòng)力潤(rùn)滑等。通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果的比較，驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)模型可靠性。在此基礎(chǔ)上，得出了在聯(lián)合載荷作用下，鋼球滑動(dòng)速度隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。結(jié)果表明徑向載荷將使鋼球與內(nèi)外圈之間的滑移速度發(fā)生波動(dòng)，在載荷降低區(qū)域其波動(dòng)更明顯。徑向載荷的增加將顯著增加滑動(dòng)速度的幅度和范圍，使打滑更加嚴(yán)重。鋼球在接觸載荷降低區(qū)承受載荷會(huì)使滑動(dòng)速度變大，較大的滑動(dòng)速度會(huì)大大增加軸承和潤(rùn)滑油的溫度，加劇軸承磨損，減少軸承的使用壽命。因此，在旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)與檢測(cè)中應(yīng)認(rèn)真考慮徑向載荷的影響。 本研究中的彈流潤(rùn)滑模型用于重載接觸。當(dāng)軸承在低的外載荷下運(yùn)行時(shí)，鋼球與內(nèi)外溝道之間存在著嚴(yán)重的打滑。在這種情況下，該模型得到的油

37、膜厚度和潤(rùn)滑油的動(dòng)態(tài)粘度可能是不準(zhǔn)確的。未來(lái)的研究應(yīng)致力于通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)改善嚴(yán)重打滑的條件下的該模型。致謝論文中所進(jìn)行的研究工作由國(guó)家摩擦學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助。SKLT2013D02 和北京自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目no. 3131002。參考文獻(xiàn)1 T.A. Harris, An analytical model to predict skidding in high speed roller bearings, Tribology Transactions 9 (1966) 229241.2 T.A. Harris, An analytical model to predict skidding in

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