可降階的高階微分方程(30)課件

1、1可降階的高階方程第六節(jié))()(xfyn一、),(yxfy 二、),(yyfy 三、四、小結(jié)及作業(yè)四、小結(jié)及作業(yè)2第六節(jié)第六節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程一.)()(xfyn令,) 1( nyz則)(nyxdzd因此1)(Cxdxfz即1) 1()(Cxdxfyn同理可得2)2( Cxdyn1)(Cxdxfxd xdxf)(依次通過(guò) n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程3例例1. 求解xeyxcos2 解解: 12Cxdxeyx cos12sin21Cxexxey241xey281( 這里 )1121CCxsin21xC32CxCxco

2、s21CxC42例例.的的通通解解求求121 xy:解解dxxy 121112CxdxCxy)(11221231231CxCx)(dxCxCxy)(21231231322125212151CxCxCx)(5二二. ),(yxfy 型的微分方程設(shè),py 則py 于是原方程化為一階方程),(pxfp 設(shè)其通解為),(1Cxp則),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21),(CxdCxy63例例.的的通通解解求求02 xyyx:解解, py 設(shè)設(shè),py 則則方程為方程為02xppxxpxp1111CdxxeepdxxdxxxCx1231dxxCxy)(123121391CxCxln7例例4. 求

3、解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: 設(shè),py 則,py 代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(22xxdxppd積分得,ln)1(lnln12Cxp即)1(21xCp,3 0 xy利用得,31C于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy得12C133xxy因此所求特解為8三三.),(yyfy 型的微分方程設(shè),)(ypy 則xdpdy xdydydpdydpdp故方程化為),(pyfydpdp設(shè)它的通解為, ),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(CxCyyd9例例5. 求解.02 yyy代入方程得02 pydpdpy即

4、yydppd兩端積分得,lnlnln1Cyp即,yCp1,yCy1再分離變量積分得21CxCylnln故所求通解為xCeCy12解解: 設(shè),py 則xdpdy xdydydpdydpdp0)(pydpdypCyp 0由由0 pydpdy由由),(CyC 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0110例例6. 解下列初值問(wèn)題 解解: 令02 yey,00 xy10 xy, py 則,ydpdpy 代入方程得ydepdpy2積分得1221221Cepy利用初始條件 ,0100 xyyp得,01C從而yep但根據(jù)yepxdyd積分得,2Cxey再利用,00 xy得12C故所求特解為xey1應(yīng)取11為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與

5、 x 軸圍成的三角形面1Soyx例例7. 設(shè)函數(shù))0()(xxy二階可導(dǎo), 且,0)( xy過(guò)曲線)(xyy 上任一點(diǎn) P(x,y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線 ,1S區(qū)間 0, x 上以,2S)(xy且212SS 恒為 1 ,求)(xyy 解解: 設(shè)曲線)(xyy ),(yxP,由于,1)0(y,0)( xy所以,0)(xy于是cotyyS211yy22xyP12S在點(diǎn)處的切線傾角為滿足的方程 ., 1)0(y積記為記為tdtySx02)(12再利用 y (0) = 1 得利用,1221 SS得xtdtyyy021)(兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得方程2)( yyy 定解條件為)0(,1)0(y

6、y令,)(ypy 方程化為,ydpdp則yydppd解得,1yCp 利用定解條件得,11C再解,yy 得,2xeCy ,12C故所求曲線方程為xey 1SxyPoyx2S1 y2pydpdpy113.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解將方程寫成將方程寫成, 0)( yydxd,1Cyy 故有故有,1dxCydy 即即積分后得通解積分后得通解.212CxCy 注意注意: :這一段技巧性較高這一段技巧性較高, 關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.例例 814.0)4()5(的的通通解解求求方方程程 yxy解解,)(Py4設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程,

7、 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 例例 915內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy 則xdpdy ),(. 3yyfy 令, )(ypy 則ydpdpy 16作業(yè)作業(yè)12-6: P292 1(2)(4) (5)(7)(10); 2 (3) (5) (6) ; 3 ; 4 .17思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答: 令)(

8、xpy 或)(ypy 一般說(shuō), 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 .例如2)(yey 2. 解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意哪些問(wèn)題 ?答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便(2) 遇到開(kāi)平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào) 18 3、 已已知知31 y，223xy ，xexy 233都都是是微微分分方方程程 16222222 xyxyxyxx的的解解，求求此此方方程程所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊次次方方程程的的通通解解. 19思考題解答思考題解答321,yyy都是微分方程的解都是微分方程的解,23xeyy ,212xyy 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,21223xeyyyyx 常數(shù)常

9、數(shù)所求通解為所求通解為.221xCeCx 122231yyCyyCy 20一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)過(guò)點(diǎn))1,0(M且在此點(diǎn)與直線且在此點(diǎn)與直線12 xy相切的積分曲線相切的積分曲線 . .練練 習(xí)習(xí) 題題21練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、32