復(fù)變函數(shù)：第5章留數(shù)課件

1、第第4l本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)了解冪級數(shù)的概念;會求泰勒級數(shù);會把函數(shù)在展開成冪級數(shù);知道冪級數(shù)和羅倫級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系;會求函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù).4.1 冪級數(shù)冪級數(shù)4.1.1冪級數(shù)的概念 同實變函數(shù)一樣,關(guān)于冪級數(shù)也有:1.收斂圓與收斂半徑2.級數(shù)在其收斂圓內(nèi)有如下性質(zhì):1)可以逐項求導(dǎo).2)可以逐項積分.3)在收斂圓內(nèi), 冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù).例例1求求 的收斂半徑的收斂半徑(并討論在收斂圓并討論在收斂圓周上的情形周上的情形)解: 因為所以, 收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi) 收斂,在圓外發(fā)散. 在圓周 上,原級數(shù)收斂, 所以原級數(shù)在收斂圓內(nèi)和收斂圓周上處處收斂.132nnz11limli

2、m31nnCCnnnn1R1z1z233111nnznn4.1.2泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)l我們經(jīng)常利用泰勒展開式的唯一性及冪級數(shù)的運算和性質(zhì)(級數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項求導(dǎo),可以逐項積分)來把函數(shù)展開成冪級數(shù),即利用間接的方法, 把函數(shù)展開成冪級數(shù).4.1.2泰勒級數(shù)泰勒級數(shù) 定理一 若函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析,則 在該圓盤內(nèi)可展成的冪級數(shù),這種展式是唯一的,且為 (4.1.3) 或 其中 這個公式(4.1.3) 稱為 在 的泰勒展開式, 它的右端稱為 在 的泰勒級數(shù), 稱為泰勒系數(shù). zfRzz0 zf nnzzczzczzcczf0202010 nnnzzczf00 ., 2 , 1 , 0,!0nn

3、zfcnn zf zf0z0z0,1,2,ncn 利用泰勒展開式利用泰勒展開式,我們可以直接通過計算系我們可以直接通過計算系數(shù)數(shù),把函數(shù)展開成冪級數(shù)把函數(shù)展開成冪級數(shù). (4.1.4) (4.1.5) (4.1.6) (4.1.7)!21! 4! 21cos242nzzzznn! 3! 2132nzzzzenz!121! 5! 3sin1253nzzzzznnnnzzzz11112RRR1Rl1. 只要函數(shù) 在圓盤 內(nèi)解析, 就可在 展開成泰勒級數(shù);l2. 此時泰勒級數(shù), 泰勒展開式, 的冪級數(shù)為同意語;l3. 若 在 平面內(nèi)處處解析,則;l4. 若 只在區(qū)域 內(nèi)解析, 為內(nèi) 的一點, 則 在

4、 的泰勒展開式的收斂半徑 等于 到的 邊界上各點的最短距離;l5. 若 在 平面上除若干孤立奇點外內(nèi)處處解析,則 等于 到最近的孤立奇點的距離.0z zf zf zf zf zf zfRzz00z0z0z0z0z0zz zzRDDDRR例例2把函數(shù)把函數(shù) 展開成展開成 的冪級數(shù)的冪級數(shù) l解: 函數(shù) 在 內(nèi)處處解析, l由公式(4.1.7)l把上式兩邊逐項求導(dǎo),即得所求的展開式211z211zz1z1,11112zzzzznn. 1nzzzzznn羅倫級數(shù)羅倫級數(shù) 定理二 設(shè)函數(shù) 在圓環(huán)域 ,內(nèi)處處解析,那末 (4.2.1)其中 (4.2.2) zf201RzzR n

5、nnzzczf0 , 2, 1, 0,2110ndzficcnn4.2 羅倫級數(shù)羅倫級數(shù)l冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)具有的許多性質(zhì)在收斂圓環(huán)域: 內(nèi)的羅倫級數(shù)也具有.l1.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項求導(dǎo),l2.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)可以逐項積分,l3.在收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù) 201RzzR求羅倫展開式的系數(shù)求羅倫展開式的系數(shù)l羅倫展開式的系數(shù) 用公式(4.2.2)計算是很麻煩的,由羅倫級數(shù)的唯一性,我們可用別的方法,特別是代數(shù)運算,代換,求導(dǎo)和積分等方法展開,這樣往往必將便利(即間接展開法).l同一個函數(shù)在不同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一般不同; 由羅倫級數(shù)的唯一性可知,同一

6、個函數(shù)在相同的收斂圓環(huán)域內(nèi)的羅倫級數(shù)一定相同. ncnc例例3把函數(shù)把函數(shù) 展開成展開成 的級數(shù)的級數(shù) 解: 因為所以 zezzf13z! 3! 2132nzzzzenz .0,! 51! 41! 31! 2! 31! 211122332313zzzzzzzzzzezzfz例例4把函數(shù)把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù)內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzf10 z zzzzzf2111211,11132nzzzzz nzzzzzf321nnzzzz222212133222137248zz10 z例例5把函數(shù)把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù)內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, .222212121121213322nnzzzzzz 211zzzfnnzzzz2222121332221 z zzzzzzzzf211111211121121111111111zzzzzz 21111zzzzf842111121zzzzznn21 z例例5把函數(shù)把函數(shù) 在收斂圓環(huán)域在收斂圓環(huán)域 內(nèi)展開成羅倫級數(shù)內(nèi)展開成羅倫級數(shù).解: 因為所以, 21111111111zzzzzz24211211121zzzzzz 211zzzf 21111zzzzf z2 zzzzzzzzzf211