2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第6節(jié)立體幾何中的向量方法_證明平行與垂直學(xué)案含解析新人教B版

1、高考復(fù)習(xí)資料第6節(jié)立體幾何中的向量方法證明平行與垂直一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1直線的方向向量與平面的法向量直線的方向向量一般地，如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量，且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合，則稱v為直線l的一個方向向量，記作0l平面的法向量如果是空間中的一個平面，n是空間中的一個非零向量，且表示n的有向線段所在的直線與平面垂直，則稱n為平面的一個法向量，記作n(1)若l是空間一條直線，a，b是l上任意兩點，則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量(2)設(shè)a，b是平面內(nèi)兩個不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2空間位置關(guān)系的

2、向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1·n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmm·n0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmn·m0用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線ab，只需證明向量ab(r)即可若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調(diào)直線在平面外二、基本技能·思想·活動體驗1判斷下列說法的正誤，對的打“”

3、，錯的打“×”(1)直線的方向向量是唯一確定的( × )(2)平面的單位法向量是唯一確定的( × )(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行( )(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行( )(5)若ab，則a所在直線與b所在直線平行( × )(6)若空間向量a平行于平面，則a所在直線與平面平行( × )2若直線l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，則有()alblcl與斜交dl或lb題目解析：由an知，na，則有l(wèi).故選b.3平面的一個法向量為(1,2，2)，平面的一個法向量為(2，4，k)若，則k等于()a2 b

4、4 c4 d2c題目解析：因為，所以兩平面的法向量平行，所以，所以k4.4若平面，垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是()an1(1,2,1)，n2(3,1,1)bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)a題目解析：兩個平面垂直時其法向量也垂直，只有選項a中的兩個向量垂直5兩條不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，則l1與l2的位置關(guān)系是_平行題目解析：因為v22v1，所以v1v2.又l1與l2不重合，所以l1l2.考點1利用空間向量證明平行問題基礎(chǔ)性1如圖，平面pad平面

5、abcd，四邊形abcd為正方形，pad是直角三角形，且paad2，e，f，g分別是線段pa，pd，cd的中點，則平面efg與平面pbc的位置關(guān)系是()a相交b平行c垂直d不能確定b題目解析：因為平面pad平面abcd，平面pad平面abcdad，paad，且四邊形abcd為正方形，所以ab，ap，ad兩兩垂直，以a為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系axyz.則a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(2,2,0)，d(0，2,0)，p(0,0,2)，e(0,0,1)，f(0,1,1)，g(1,2,0)因為(0,1,0)，(0,2,0)，所以2，所以bcef.又因為ef平面pbc，bc平面p

6、bc，所以ef平面pbc，同理可證gfpc，從而得出gf平面pbc.又efgff，ef平面efg，fg平面efg，所以平面efg平面pbc.2如圖，在四棱錐pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四邊形abcd中，abcbcd90°，ab4，cd1，點m在pb上，pb4pm，pb與平面abcd成30°角求證：cm平面pad.證明：由題意知，cb，cd，cp兩兩垂直，以c為坐標原點，cb所在直線為x軸，cd所在直線為y軸，cp所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系cxyz.因為pc平面abcd，所以pbc為pb與平面abcd所成的角，所以pbc30°.因為pc

7、2，所以bc2，pb4，所以d(0,1,0)，b(2，0,0)，a(2，4,0)，p(0,0,2)，m，所以(0，1,2)，(2，3,0)，.設(shè)n(x，y，z)為平面pad的一個法向量，由得取y2，得x，z1，所以n(，2,1)是平面pad的一個法向量因為n·×2×01×0，所以n.又cm平面pad，所以cm平面pad.利用空間向量證明線面、面面平行的方法(1)證明線面平行的常用方法：證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量共面；證明直線的方向向量與平面內(nèi)的一個向量平行；證明直線的方向向量與平面的法向量垂直(2)證明面面平行常用的方法：利用上述方法證

8、明平面內(nèi)的兩個不共線向量都平行于另一個平面；證明兩個平面的法向量平行；證明一個平面的法向量也是另一個平面的法向量考點2利用空間向量證明垂直問題綜合性如圖，在三棱錐pabc中，abac，d為bc的中點，po平面abc，垂足o落在線段ad上已知bc8，po4，ao3，od2.(1)證明：apbc；(2)若點m是線段ap上一點，且am3.試證明平面amc平面bmc.證明：(1)如圖所示，以o為坐標原點，分別以射線od，op為y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標系oxyz.則o(0,0,0)，a(0，3,0)，b(4,2,0)，c(4，2,0)，p(0,0,4)，所以(0,3,4)，(8,0,0)，所以

9、·(0,3,4)·(8,0,0)0，所以，即apbc.(2)由(1)知|5，又|3，且點m在線段ap上，所以.又(4，5,0)，所以，則·(0,3,4)·0，所以，即apbm.由(1)知apbc，且bcbmb，所以ap平面bmc，于是am平面bmc.又am平面amc，故平面amc平面bmc.利用空間向量證明線面、面面垂直的方法(1)證明線面垂直的常見思路：將線面垂直的判定定理用向量表示；證明直線的方向向量與平面的法向量共線(2)證明面面垂直的常見思路：利用面面垂直的判定定理，證明一個平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個平面的法向量；證明兩平面的法向量互相垂

10、直1如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，o是底面正方形abcd的中心，m是d1d的中點，n是a1b1的中點，則直線on，am所成的角為_90°題目解析：以a為原點，分別以ab，ad，aa1所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)設(shè)正方體的棱長為1，則a(0,0,0)，m，o，n，·o·0，所以on與am所成的角為90°.2如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60°，paabbc，e是pc的中點證明：(1)aecd；(2)pd平面abe.證明：以a為原點，ab，ad，ap所在直線分別為x軸、

11、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系axyz.設(shè)paabbc1，則p(0,0,1)(1)因為abc60°，所以abc為正三角形所以c，e.設(shè)d(0，y,0)，由accd，得·0，即y，則d，所以.又，所以·××0，所以，即aecd.(2)(方法一)由(1)知，d，p(0，0,1)，所以.又·××(1)0，所以，即pdae.因為(1,0,0)，所以·0.所以pdab.又abaea，ab，ae平面aeb，所以pd平面aeb.(方法二)由(1)知，(1,0,0)，設(shè)平面abe的一個法向量為n(x，y，z)，則

12、令y2，則z，所以n(0,2，)為平面abe的一個法向量因為，顯然n.因為n，所以平面abe，即pd平面abe.考點3利用空間向量解決與平行、垂直有關(guān)的綜合問題應(yīng)用性考向1存在性問題如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，p為側(cè)棱sd上的點(1)求證：acsd；(2)若sd平面pac，側(cè)棱sc上是否存在一點e，使得be平面pac.若存在，求seec的值；若不存在，試說明理由(1)證明：連接bd，設(shè)ac交bd于點o，則acbd.由題意知so平面abcd.以o為坐標原點，ob，oc，os所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系設(shè)底面邊長為a，則高soa

13、，所以s，d，b，c，所以，則·0.故ocsd.所以acsd.(2)解：棱sc上存在一點e使得be平面pac，此時seec21.理由如下：由已知條件知是平面pac的一個法向量，且，.設(shè)t(0t1)，則t，又·0，所以a×a×0，所以t.即當seec21時，.而be平面pac，故be平面pac.“是否存在”型問題的兩種探索方式(1)根據(jù)條件做出判斷，再進一步論證(2)利用空間向量，先設(shè)出假設(shè)存在點的坐標，再根據(jù)條件求該點的坐標，即找到“存在點”，若該點坐標不能求出，或有矛盾，則判定“不存在”考向2折疊問題如圖，四邊形abcd為正方形，e，f分別為ad，bc

14、的中點，以df為折痕把dfc折起，使點c到達點p的位置，且pfbf.(1)證明：平面pef平面abfd；(2)求dp與平面abfd所成角的正弦值(1)證明：由已知可得bfpf，bfef，pfeff，pf，ef平面pef，所以bf平面pef.又bf平面abfd，所以平面pef平面abfd.(2)解：如圖，作phef，垂足為h.由(1)得，ph平面abfd.以h為坐標原點，的方向為y軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系hxyz.由(1)可得，depe.又dp2，de1，所以pe.又pf1，ef2，所以ef2pe2pf2，所以pepf.所以ph，eh.則h(0,0,0)，p，d，.又

15、為平面abfd的一個法向量，設(shè)dp與平面abfd所成的角為，則sin |cos，|.所以dp與平面abfd所成角的正弦值為.解決折疊問題的關(guān)鍵是弄清折疊前后的不變量如圖1，在rtabc中，c90°，bc3，ac6，d，e分別是ac，ab上的點，且debc，de2.將ade沿de折起到a1de的位置，使a1ccd，如圖2.(1)若m是a1d的中點，求直線cm與平面a1be所成角的大?。?2)線段bc上是否存在點p，使平面a1dp與平面a1be垂直？說明理由解：(1)由折疊的性質(zhì)得cdde，a1dde.又cda1dd，所以de平面a1cd.又因為a1c平面a1cd，所以a1cde.又a1ccd，cdded，所以a1c平面bcde.建系如圖，則c(0,0,0)，d(2,0,0)，a1(0，0,2)，e(2,2,0)，b(0,3,0)，所以(0,3，2)，(2,2，2)設(shè)平面a1be的一個法向量為n(x，y，z)，則所以取z，則x1，y2，所以n(1,2，)為平面a1be的一個法向量又因為m(1,0，)，所以(1,0，