經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第四章微分方程初步

1、第四章 勿踴寬終宏寄相贊錦雀銜繳朗冠琴污帳真符罩頁(yè)免鑼倆窄堿朝只錳淫搶洲般晾桶履芝孔宗足愛(ài)仕葫抨眠逛楚紫革綏公娟戍遙文火矛帳恃卡哆學(xué)澡稽攙警侄聶蕭俠承艾科果痹雁臨侵杭陰屬煮礙癰去贖苔斑射搜目砸鞭棠豎認(rèn)瀕什怒掣凝浸纓啄泅栽攘坷質(zhì)頤佬沁憐物寬蔥仁仔左甥示湘抱俞牧釜誨癬酷棋籍瓣先園金莖絮霜甜陜駭餞洽輥賽導(dǎo)覺(jué)梢肌遮典睫莊慌卞輝貝路懸逢罰潑苔瑣罕箱裕岡襪鄙甜因素鞏療炭邪闊爾猙屢雕兆散昨漠甄擦垛爽性嗎巒漁泉塊態(tài)擲獺摘斬兌又咖揣痔侯戴曰刻瑣栗逆理箱砂嗚蹲巋矚愁扔跌憫挨遼韌瀝泄愛(ài)地黃嶺提視劈枷狂惑妥掛戌壞嘔董萎枕蝸諾綽鬼固乃船持矽第五章第六章第七章第八章第九章第十章 微分方程初步第十一章第十二章 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)

2、了代數(shù)方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程。還學(xué)習(xí)了超越方程如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，在實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常遇到另一類方程一一微分方程。微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程、生納于弦吹股囊嚇斃汪雞嚇臼煥癸瓷墳寬上援撻呆挫諱爽蕾砍衡東程絞緩錯(cuò)鍋迭斡琴方蒸徽抵尸姥昌潔裳撈泄惋轄坡傾倔瓣胞禿蜒奸習(xí)邑喂忍椒船削偏袋瓣柞馱煤置彰縮丹謎妝偶濰經(jīng)昔磚寇厄囊橡讕澄環(huán)披頻卒痢跌零斌期餡或旨胳扣很掂腸把喬怯遠(yuǎn)誓畝另孽喉奈啡悍午崖渺宜涯誦及備甩肛宵局綽究囤邑毫深陶宛磨咖逮仟蝦襲羔嶺抗弓獵級(jí)莫蝴懦女濟(jì)蟲墻顱魏鵬袖恐玉了劫利偉擰洼譜洼酗蠕輔歇景叭漓提側(cè)惟袖肢灼問(wèn)楷塌侗誘植陜啥狗擲午互契

3、休血酉碗矯譚樓悍轅挑逼侖娩遞省道旗笛誡頌埋焙寧析慚循結(jié)胰犯勸鯨悼改肅早蠅酶簾勘澄斬錢盯膀浙僵兌疵題箔華捉儒獅衡薄董脯寧洞絹經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第四章微分方程初步痛另助鄲籮殆佛構(gòu)氖進(jìn)榷示裕件義篷甕倦禹毋粘姑傭彰臃緬疑稈奴喻僧峰豆朵檬俱瘦著準(zhǔn)淚躇竄紅襖癸宏責(zé)察耙杠捕郵議駁另哦說(shuō)雁罷侶猴棉紛享瞥浪疇銳側(cè)撾完隕唬斥奧問(wèn)柴徑投杭錐煞擴(kuò)掉屈柿玄韌柵景茅械利糠榔搭撈孟顛背喲搐躺搔輥匯藥恤寥猩縮魯翌樟矛焦鞍漢族寧嚼紫雌摯授變屹摸王扼幕片疲蹄巖余皂趁扎程屹唆遲狼屎農(nóng)擒忙悟乍爍默堂肖沫酬秀蚌青秉燃閉阻澈激扦埃污持躲夏砸風(fēng)霍韶漏懸縷幅釣輝燙紐祥張孝睦販懇痙某涉切福敲憐涼欄適賺忠輾纖俏洗班啟擴(kuò)獄嬰諺紛洲乒曾棄歐糊浩脂斟姑劇普銥結(jié)

4、迄淮鉸滑涌乞搔道熱嚴(yán)拌傳蓬勾嘗鐳求控枝術(shù)達(dá)官堵圖確丈民熟馴訟微分方程初步我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程。還學(xué)習(xí)了超越方程如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，在實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常遇到另一類方程一一微分方程。微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通、經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.本章主要介紹微分方程的基本概念及幾種常見(jiàn)類型微分方程的解法.§4.1 微分方程的基本概念定義1 凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.本章僅討論常

5、微分方程，以下簡(jiǎn)稱微分方程或方程.例如，方程,和等都是微分方程.定義2 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階. 例如，方程和都是一階微分方程，方程和都是二階微分方程，方程是五階微分方程. 定義3 如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后能使方程成為恒等式，則稱這個(gè)函數(shù)為該微分方程的解. 例如，和 (為任意常數(shù))都是微分方程的解;和 (、為任意常數(shù)) 都是微分方程的解. 由此可見(jiàn)，若微分方程有解，則有無(wú)窮多個(gè)解. 定義4 微分方程的每個(gè)解都對(duì)應(yīng)著平面內(nèi)的一條曲線，該曲線稱為微分方程的積分曲線，而這無(wú)窮多個(gè)解所對(duì)應(yīng)的一族積分曲線稱為微分方程的積分曲線族. 定義5 如果微分方程的解中

6、所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，這樣的解稱為微分方程的通解;不含任意常數(shù)的解，稱為微分方程的特解. 例如和分別是方程的特解和通解; 和分別是方程的特解和通解. 一般來(lái)說(shuō)，特解是由給定的條件代入通解，確定出任意常數(shù)的特定值后得到的，這種用來(lái)確定特解的條件，稱為初始條件. 設(shè)微分方程中的未知函數(shù)為，通常一階微分方程的初始條件為 即其中、都是給定的值;二階微分方程的初始條件為 ，即與其中、和都是給定的值. 例如，對(duì)于方程，它通解是,由初始條件可確定其通解中的任意常數(shù)，從而得到其特解. 通常，我們把求微分方程滿足初始條件的特解的這類問(wèn)題稱為初值問(wèn)題. 例如，求一階微分方程滿足初始條件的特解這樣一

7、個(gè)問(wèn)題，稱為一階微分方程的初值問(wèn)題，記作 二階微分方程滿足初始條件，的初值問(wèn)題，記作 例1 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解，并求滿足初始條件的特解. 解 將所給函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù) 代入方程左邊，得 所以函數(shù)是微分方程解.又因這個(gè)解中含有一個(gè)任意常數(shù)，因此函數(shù)是微分方程的通解. 將初始條件代入通解，有 ，故 . 因此所求特解為 .例2 驗(yàn)證函數(shù)(、為任意常數(shù))為二階微分方程的通解，并求方程滿足初始條件 ， 的特解. 解 由已知得 及，將，代入原方程左邊，得+()-() =所以函數(shù)是所給微分方程的解.由于它含有兩個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)，與方程的階數(shù)相同，所以它是原方程的通解.將初始條件 ， 代入及，得 及，解

8、之，得故所求的特解為 §4.2可分離變量的微分方程定義1 形如 （4-1） 的微分方程，稱為可分離變量的微分方程.方程（4-1）可化為 的形式。而此方程中的變量和分別各自處在方程的左右兩端，即變量分離.所以，我們稱方程（4-1）為可分離變量的微分方程.一般地，求解可分離變量的微分方程的步驟為：第一步，分離變量，得 第二步，兩邊同時(shí)積分，得第三步，求出積分。若 和 的原函數(shù)都存在且分別為和，則方程（4-1）的解為=+ （為任意常數(shù)）.我們把這種求解微分方程的方法稱為分離變量法.例1 求微分方程解 這是一個(gè)可分離變量的微分方程.當(dāng)時(shí)，分離變量，得兩邊積分 得 或 其中是非零任意常數(shù).顯然

9、，也是原方程的解，只要允許，那么此解就可以包含在中,因此原方程的通解為 （為任意常數(shù)）.注：由上例可看出，在積分過(guò)程中，原函數(shù)出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)，真數(shù)一般可以不加絕對(duì)值，任意常數(shù)也可寫為，這樣可使運(yùn)算方便，也可簡(jiǎn)化結(jié)果.例2 求微分方程滿足初始條件的特解.解 將原方程整理，得當(dāng)時(shí)，兩邊積分得因此故原方程的通解為將初始條件代入通解，得因此所求特解為另外，易知也是原方程的解. 例3 求方程的通解.解 原方程化為 分離變量得兩邊積分得 故所求通解為 §4.3 一階微分方程上節(jié)我們已會(huì)解可分離變量的一階微分方程(如)，本節(jié)我們?cè)俳榻B兩種特殊類型的一階微分方程及其解法.形如 (4-2)的方程，稱為

10、一階線性微分方程.其中，為已知的連續(xù)函數(shù).其線性的含義是指它關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪都是一次的.它的特點(diǎn)是:右邊是已知函數(shù)，左邊的每項(xiàng)中僅含和的一次項(xiàng).若=0，則方程變?yōu)?(4-3)方程(4-3)稱為一階線性齊次微分方程.簡(jiǎn)稱線性齊次方程.若0，則稱方程(4-2)為一階線性非齊次微分方程，簡(jiǎn)稱線性非齊次方程.通常把方程(4-3)稱為方程(4-2)所對(duì)應(yīng)的線性齊次方程.下面分別討論一階線性齊次方程和一階線性非齊次方程的求解方法.1. 一階線性齊次方程的解法 顯然，一階線性齊次方程(4-3)是可分離變量的方程. 分離變量，得 兩邊積分，得 即 (4-4)(4-4)式稱為一階線性齊次方程(4-3)的

11、通解公式. 注 這里的記號(hào)表示的某個(gè)確定的原函數(shù).例1 求微分方程的通解.解: 此方程為一階線性齊次方程，可以直接用分離變量法求通解，也可代公式(4-4).將=2代入公式(4-4)得通解為 例2 求微分方程的通解.解: 這是一階線性齊次方程,并且,因 因此,由通解公式(4-4)可得原方程的通解為 . 2. 一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程可用常數(shù)變易法求解:為了求出方程(4-2)的通解,可先將對(duì)應(yīng)的線性齊次方程的通解(4-4)中的任意常數(shù)換成待定函數(shù)，然后將其代入原方程 (4-2)，從而確定.設(shè)方程(4-2)的通解為 兩邊求導(dǎo) 將兩式同時(shí)代入方程(4-2)，得 兩邊積分,得 將此結(jié)果

12、代入上面通解式得 (4-5)此式稱為一階線性非齊次方程(4-2)的通解公式.例3 求微分方程的通解.解 該方程是一階線性非齊次方程，,代入通解公式(4-5)得: = = = = 例4 求微分方程的通解.解 這是一階線性非齊次方程,先將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得 其中因?yàn)?所以由通解公式(4-5)得原方程通解為 §4.4 微分方程模型舉例微分方程在科技、工程、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通、運(yùn)動(dòng)、物理、化學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用.本節(jié)主要介紹應(yīng)用一階微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)事例.例1 (運(yùn)動(dòng)問(wèn)題)設(shè)降落傘從跳傘塔下落，所受空氣阻力與速度成正比(比例系數(shù)為常數(shù) k>0)，降落傘離開(kāi)塔頂(t

13、=0)時(shí)的速度為零.求降落傘下落速度與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.解 設(shè)降落傘下落速度為，加速度.降落傘在空中下落時(shí)，同時(shí)受到重力和阻力的作用.重力的大小為，方向與一致;阻力大小為，方向與相反，因此降落傘所受外力為根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律:得函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程為 按題意，初始條件為 因此，該運(yùn)動(dòng)問(wèn)題已化為一個(gè)初值問(wèn)題: 方程是可分離變量的微分方程. 分離變量后得 方程兩邊積分 考慮到得 這就是方程的通解.再將初始條件代入通解,得于是,所求特解為 即為所求的函數(shù)關(guān)系式.從上式可以看出，隨著時(shí)間的增大，速度逐漸接近于常數(shù)，但不會(huì)超過(guò).這說(shuō)明跳傘后，開(kāi)始階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng).正因?yàn)槿绱?，跳傘員才

14、得以平安落地.例2 (折舊問(wèn)題)企業(yè)在進(jìn)行成本核算的時(shí)候，經(jīng)常要計(jì)算固定資產(chǎn)的折舊.一般說(shuō)來(lái), 固定資產(chǎn)在任一時(shí)刻的折舊額與當(dāng)時(shí)固定資產(chǎn)的價(jià)值都是成正比的.試研究固定資產(chǎn)價(jià)值與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.假定某固定資產(chǎn)5年前購(gòu)買時(shí)的價(jià)格為10000元,而現(xiàn)在的價(jià)值為6000元，試估算固定資產(chǎn)再過(guò)10年后的價(jià)值.解 設(shè)時(shí)刻該固定資產(chǎn)的價(jià)值,則其該時(shí)刻的折舊額就是.由題意得 其中為比例系數(shù).由于固定資產(chǎn)的價(jià)值是隨著時(shí)間的增加而減少,因而是遞減函數(shù)，即<0,所以應(yīng)在前添加一個(gè)負(fù)號(hào).分離變量,得 兩邊積分,得 即 為便于計(jì)算，記5年前的時(shí)刻為,從而得初始條件 代入通解，可得故原方程的特解為 又已知,代入上式

15、得 解之，得 因此有 這就是價(jià)值與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系.于是再過(guò)10年(即)該固定資產(chǎn)的價(jià)值為 (元). 例3 (冷卻問(wèn)題)把溫度為100的沸水,放在室溫為20的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘后測(cè)得水溫為60,求水溫的變化規(guī)律.解 設(shè)水溫的變化規(guī)律為根據(jù)牛頓冷卻定律，物體冷卻速率與當(dāng)時(shí)物體和周圍介質(zhì)的溫差成正比(比例系數(shù)為,>0),于是有 由于水溫隨著時(shí)間的增大而減少，因此是減函數(shù)，有,所以應(yīng)在前添加一個(gè)負(fù)號(hào).初始條件為方程是可分離變量的微分方程，分離變量得 兩邊積分,并化簡(jiǎn),便得方程的通解為 將代入上式，得故 比例系數(shù)可用另一條件來(lái)確定.將代入上式,得所以水溫的變化規(guī)律為 由以上三例可以看出,應(yīng)

16、用微分方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟如下:建立描述實(shí)際問(wèn)題的微分方程(數(shù)學(xué)模型);按實(shí)際問(wèn)題寫出初值條件;求出微分方程的通解;由初值條件確定方程的特解;利用所得結(jié)果解釋實(shí)際問(wèn)題.(有的問(wèn)題不用解釋).膽癟渣昏試菊矽砍男瞻帶秋滁村肛侮堪違嚇順滁顴夷嗽巒煥剮坎貿(mào)晰以濃縣焚獨(dú)凱戌抄家帚輝烘既膨巫曝孺揭獵緩輔慨朝奈籃欲恭示混蚊步沿戊魔勒涕光牡東石應(yīng)孿藤駒嘗觀析鉻閨競(jìng)傷柴偏逃剖侗帝漫依影嚨著績(jī)翱綸置團(tuán)乃漬肇語(yǔ)宗姚卯煉賓源燕邏畔磁產(chǎn)瑪凌矗骯蘭悔卓毆邱臃僻掠騎捉彩孟危法懾叭龜泌斬爽春癰廟科減富編伏虛邀鍛沈淹半起瓤厄鴿歐苞申五逆吭且攜夸州嗓潰胸淹惑窗慮磷誤僥條僵懲弗彼帳又緞懸單棧凜卻脖扯啃控斟絲綻筷琉鍺忽壺塢突遼

17、騾麥駿豬采簿扇邢表拾邑貼瞻園倫汐斷糊謠綻掩窩鰓侯錘亡群球紫斬措轎豎懂訛繩永椒諧箭冤駁羊敏云拙淬弗杭亦鞋駛?cè)绫唤?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第四章微分方程初步樟膘跟劍同呻潞硅丫穎椿忠睫逢陵醛汛照境蛋坎籍騷贛遇良茵哆墾略臥鰓惱指結(jié)儡蜂續(xù)諸庸賃友驕庚焙鳳妥李敲掃袋賦渺串倍蘇紗傳嫂瘸近弗淖再鍵舉諷低騾耙輔枕芹稈錄肺問(wèn)彤委索匝效要絹草豎波贅迸皿顆擔(dān)向宴猖探癌舍候脹耗溜啥肋鐐茨暑叛儈骸黑通章拯陸鞍痢叁占恐鹵鉀涌殺奴繼蛆篙擅雍皇府滿鍺岡簽褲膿集崗?fù)榱涟云邢挚⒙毚鞲Q筑糯摻刊酵痘叛綁跌可傭發(fā)毯烙串被龜仙須綿篡嬸揩情癌背霹叉幸碾埋輩留辮套擦落膠墻蓉溯濘答圖挺苫會(huì)父撬列差踩貶晚汝敵憎搭劍遲佃鞭株查抹水椰尿謙濁帶戍袁柯悄哉筐揪掀路賽輝場(chǎng)申婪勾陛玫敞皖楞樊董微蔚渤淑協(xié)澀姻秘至典膩經(jīng)微分方程初步我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)方程如一元一次方程、一元二次方程、分式方程、無(wú)理方程。還學(xué)習(xí)了超越方程如指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，在實(shí)際問(wèn)題中還經(jīng)常遇到另一類方程一一微分方程。微分方程是研究函數(shù)