高考概率知識(shí)點(diǎn)及例題

1、 概率知識(shí)要點(diǎn)3.1隨機(jī)事件的概率3.1.1 隨機(jī)事件的概率1、必然事件：一般地，把在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件叫做相對(duì)于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱相對(duì)于條件S的確定事件。4、隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件。5、頻數(shù)：在相同條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。6、頻率：事件A出現(xiàn)的比例。7、概率：隨機(jī)事件A的概率是頻率的穩(wěn)定值，反之，頻率是概率的近似值.3.1.2 概率的意義1、概率的

2、正確解釋：隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)性中含有規(guī)律性。認(rèn)識(shí)了這種隨機(jī)中的規(guī)律性，可以比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性。2、游戲的公平性：抽簽的公平性。3、決策中的概率思想：從多個(gè)可選答案中挑選出正確答案的決策任務(wù)，那么“使得樣本出現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)則。極大似然法、小概率事件4、天氣預(yù)報(bào)的概率解釋：明天本地降水概率為70%解釋是“明天本地下雨的機(jī)會(huì)是70%”。5、試驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)：孟德爾的豌豆試驗(yàn)。6、遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。3.1.3 概率的基本性質(zhì)1、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含。對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事

3、件B），記作。不可能事件記作。（2）相等。若，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生。（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生。（5）事件A與事件B互斥：為不可能事件，即，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中并不會(huì)同時(shí)發(fā)生。（6）事件A與事件B互為對(duì)立事件：為不可能事件，為必然事件，即事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。2、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)（1）.（2）必然事件的概率為1.（3）不可能事件的概率為0. .（4）事件A與事件B互斥時(shí)，P(AB)=P(A)+P(B)概率的

4、加法公式。（5）若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則為必然事件，.3.2 古典概型3.2.1 古典概型1、基本事件：基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時(shí)間的和。2、古典概型：（1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型。3、公式：3.2.2 （整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生如何用計(jì)算器產(chǎn)生指定的兩個(gè)整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)？書上例題。3.3 幾何概型3.3.1 幾何概型1、幾何概型：每個(gè)事件發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例的概率模型。2、幾何概型中，事件

5、A發(fā)生的概率計(jì)算公式：3.3.2 均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生常用的是上的均勻隨機(jī)數(shù)，可以用計(jì)算器來(lái)產(chǎn)生01之間的均勻隨機(jī)數(shù)。本章知識(shí)小結(jié)隨機(jī)事件頻率概率，概率的意義與性質(zhì)應(yīng)用概率解決實(shí)際問(wèn)題古典概型幾何概型隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)模擬（1）在具體情境中，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別。（2）通過(guò)實(shí)例，了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式。（3）通過(guò)實(shí)例，理解古典概型及其概率計(jì)算公式，會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率。（4）了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法（包括計(jì)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行模擬）估計(jì)概率，初步體會(huì)幾何概型的意義（參見(jiàn)例3）。（5）通過(guò)閱

6、讀材料，了解人類認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程。重難點(diǎn)的歸納：重點(diǎn)：1、了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，正確理解概率的意義2、理解古典概型及其概率計(jì)算公式3、關(guān)于幾何概型的概率計(jì)算4、體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想：用樣本估計(jì)總體難點(diǎn)：1、理解頻率與概率的關(guān)系.2、設(shè)計(jì)和運(yùn)用模擬方法近似計(jì)算概率3、把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題（二）高考概率概率考試內(nèi)容：隨機(jī)事件的概率等可能性事件的概率互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 考試要求：（1）了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義（2）了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事

7、件的 概率。 （3）了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率（4）會(huì)計(jì)算事件在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率以下歸納9個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)：解析概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容。它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體，以排列組合和概率 統(tǒng)計(jì)等知識(shí)為工具，以考查對(duì)五個(gè)概率事件的判斷識(shí)別及其概率的計(jì)算和隨機(jī)變量概率分 布列性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師，預(yù)計(jì)這也是今后高考概率統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)和命題趨向。下面對(duì)其常見(jiàn)題型和考點(diǎn)進(jìn)行解析?？键c(diǎn) 1 考查等可能事件概率計(jì)算。在一次實(shí)驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等。如果事件A包含的結(jié)果

8、有m個(gè)，那么。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計(jì)n算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的計(jì)算方法以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例 1（2004 天津）從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點(diǎn) 2 考查互斥事件至少有一個(gè)發(fā)生與相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率計(jì)算。不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)計(jì)算。事件A（或B）是否發(fā)生對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響，則A、B叫做相互

9、獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生的事件為AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計(jì)算。高考常結(jié)合考試競(jìng)賽、上網(wǎng)工作等問(wèn)題對(duì)這兩個(gè)事件的識(shí)別及其概率的綜合計(jì)算能力進(jìn)行考查。例 2.（2005 全國(guó)卷）設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒(méi)有影響。已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125，（）求甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別是多少；（）計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)需要照顧的概率?？键c(diǎn) 3 考查對(duì)立事件概率計(jì)算。必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥事件A、B叫做互為對(duì)立事件。用概率的減法公式P(A)=1-P(A)計(jì)算其

10、概率。高考常結(jié)合射擊、電路、交通等問(wèn)題對(duì)對(duì)立事件的判斷識(shí)別及其概率計(jì)算進(jìn)行考查。例 3(2005 福建卷文）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為。（）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點(diǎn) 4 考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算。若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴其它各次試驗(yàn)的結(jié)果，則此試驗(yàn)叫做n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。若在1次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為 P，則在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)=。高考結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率的計(jì)算方法 和化歸轉(zhuǎn)化、分類討

11、論等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。例 4（2005 湖北卷）某會(huì)議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號(hào)相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān)，該型號(hào)的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2。從使用之日起每滿1年進(jìn)行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時(shí)不換。（）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（）在第二次燈泡更換工作中，對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō)，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（）當(dāng)p1=0.8，p2=0.3時(shí)，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）考點(diǎn) 5 考查隨機(jī)變量概率分布與期望計(jì)算。解決此類問(wèn)題時(shí)

12、，首先應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后按照相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的法公式去計(jì)算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據(jù)分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率知識(shí)解決 實(shí)際問(wèn)題的能力。例 5（2005 湖北卷）某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過(guò)，使可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)的分布列和的期望，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率?？键c(diǎn) 6 考

13、查隨機(jī)變量概率分布列與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合1、考查隨機(jī)變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合。例 6.（2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值。（）求的分布及數(shù)學(xué)期望；（）記“函數(shù)f(x)x23x1在區(qū)間2，)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率。2、考查隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合。例 7 甲乙兩人做射擊游戲，甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨(dú)立事件，規(guī)則如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續(xù)射擊，若射擊一次不中，就由對(duì)方接替射擊。已知甲乙兩人射擊一次擊中的

14、概率均為7，且第一次由甲開始射擊。（1）求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率。（2）若第n次由甲射擊的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求lim，并說(shuō)明極n限值的實(shí)際意義。3、考查隨機(jī)變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合。例 8（2005 遼寧卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果均有A、B兩個(gè)等級(jí)對(duì)每種產(chǎn)品，兩道工序的加工結(jié)果都為A級(jí)時(shí)，產(chǎn)品為一等品，其余均為二等品。（）已知甲、乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為A級(jí)的概率如表一所示，分別求生產(chǎn)出的甲、乙產(chǎn)品為一等品的概P(甲)、P(乙)；（）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示，用、分別表

15、示一件甲、乙產(chǎn)品的利潤(rùn)，在（I）的條件下，求、的分布列及E、E；（）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示.該工廠有工人40名，可用資金60萬(wàn)元。設(shè)x、y分別表示生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量，在（II）的條件下，y為何值時(shí)，z=xE + yE x最大？最大值是多少？（解答時(shí)須給出圖示）考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì) 性質(zhì)應(yīng)用 考點(diǎn) 7 考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用。離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.，高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題對(duì)隨機(jī)變量概率分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用進(jìn)行考查。例 9(2004 年全國(guó)高考題)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答三個(gè)問(wèn)題,競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確

16、得100分，回答不正確得0分。假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響.。求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望；求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即0)的概率?？键c(diǎn) 8 樣本抽樣識(shí)別與計(jì)算。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，系統(tǒng)抽樣，分層抽樣得共同特點(diǎn)是不放回抽樣，且各個(gè)體被抽取得概率相等，均為(N為總體個(gè)體數(shù)，n為樣本容量)。系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣，只需按照定義，適用范圍和抽樣步驟進(jìn)行，就可得到符合條件的樣本。高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題，考查構(gòu)照抽樣模型，識(shí)別圖形，搜集數(shù)據(jù)，處理材料等研究性學(xué)習(xí)的能力。例 11 （2005 年湖北湖北高考題）某初級(jí)

17、中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； 11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，19

18、2，219，246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（）A、都不能為系統(tǒng)抽樣B、都不能為分層抽樣C、都可能為系統(tǒng)抽樣D、都可能為分層抽樣考點(diǎn) 9 考查直方圖。這是統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，不是概率的吧？例 12.（2005 江西卷）為了解某校高三學(xué)生的視力情況，隨機(jī)地抽查了該校100名高三學(xué)生的視力情況，得到頻率分布直方圖，如右，由于不慎將部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)最大頻率為a，視力在4.6到5.0之間的學(xué)生數(shù)為b，則a、b的值分別為（）A0,27,78 B0,27,83 C2.7,78 D2.7,83方法小結(jié)：解決概率問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)有關(guān)概念，判斷問(wèn)

19、題是否是等可能性事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件，還是某一事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的情況，以便選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)注意上述各類事件的綜合問(wèn)題，要全面考慮，特別是近幾年高考概率與期望的綜合，體現(xiàn)了高考對(duì)概率知識(shí)要求的進(jìn)一步提高。下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)。一、用排列組合求概率例1從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)不能被3整除的概率為（）(A)19/54 (B)35/5 (C)38/54 (D)41/60分析：等可能事件的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)。答案：B點(diǎn)評(píng)：本題將等可能事件與對(duì)立事件的概率，以及分類討論綜合在一起，體現(xiàn)了知識(shí)交匯點(diǎn)的命

20、題精神，是高考的熱點(diǎn)。二、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率例2某廠生產(chǎn)A產(chǎn)品,每盒10只進(jìn)行包裝,每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合格后才能出廠,規(guī)定以下,從每盒10只中任意抽4只進(jìn)行檢驗(yàn),如果次品數(shù)不超過(guò)1只,就認(rèn)為合格,否則就認(rèn)為不合格,已經(jīng)知道某盒A產(chǎn)品中有2只次品 （1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率 （2）若對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn),求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一致的概率 分析：對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件的概率可以分拆成幾個(gè)互斥事件的概率或者轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率。點(diǎn)評(píng)：求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事件。本例的“比賽型”題，分析比較簡(jiǎn)單，只要結(jié)合有關(guān)比賽規(guī)則即可解決，此類題也是高考的熱點(diǎn)題。三、對(duì)立

21、重復(fù)試驗(yàn)例3一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的,且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p，其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為。(1) 若p=2/3，求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率;(2) 若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò)5/18，求p的取值范圍。分析：首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同，其余3個(gè)交通崗遇紅燈的概率也相同，可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。點(diǎn)評(píng)：要注意恰有k次發(fā)生和某指定的k次發(fā)生的差異。對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，前者的概率為總結(jié)：概率初步的考題一般以（1）等可能事件；（2）互斥事件有一個(gè)發(fā)生；（3）相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生；（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載

22、體。有的考題可能綜合多個(gè)概率題型；在等可能事件的概率計(jì)算中，關(guān)鍵有二：一是誰(shuí)是一次試驗(yàn)（一次事件所含的基本事件的總數(shù)）；二是事件A所含基本事件數(shù)。當(dāng)然，所有基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵。（三）高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析一、概念理解不清致錯(cuò)例1拋擲一枚均勻的骰子，若事件A：“朝上一面為奇數(shù)”，事件B：“朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，求P（A+B）錯(cuò)誤解法1：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，P（A+B）=P（A）+P（B）=錯(cuò)因分析：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是1，3，5；事件B：趄上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，

23、很明顯，事件A與事件B不是互斥事件。即P（A+B）P（A）+P（B），所以上解是錯(cuò)誤的。實(shí)際上：正確解法為：A+B包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，5四種情況P（A+B）=錯(cuò)誤解法2：事件A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，3，5；事件B：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為1，2，3，即以A、B事件中重復(fù)的點(diǎn)數(shù)1、3P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）=錯(cuò)因分析：A、B事件中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1、3，所以P（A·B）=；這種錯(cuò)誤解法在于簡(jiǎn)單地類比應(yīng)用容斥原理致錯(cuò)正確解答：P（A+B）=P（A）+P（B）P（A·B）=例2某人拋擲一枚均勻骰子，構(gòu)造數(shù)列，使，記 求且的概率。錯(cuò)解：記事件A：，即前

24、8項(xiàng)中，5項(xiàng)取值1，另3項(xiàng)取值1的概率記事件B：，將分為兩種情形：（1）若第1、2項(xiàng)取值為1，則3，4項(xiàng)的取值任意（2）若第1項(xiàng)為1，第2項(xiàng)為1，則第3項(xiàng)必為1第四項(xiàng)任意P（B）=所求事件的概率為P=P（A）·P（B）=錯(cuò)因分析：且是同一事件的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件，而不是兩個(gè)相互獨(dú)立事件。對(duì)的概率是有影響的，所以解答應(yīng)為：正解： 前4項(xiàng)的取值分為兩種情形若1、3項(xiàng)為1；則余下6項(xiàng)中3項(xiàng)為1，另3項(xiàng)為-1即可。即；若1、2項(xiàng)為正，為避免與第類重復(fù)，則第3項(xiàng)必為-1，則后5項(xiàng)中只須3項(xiàng)為1，余下2項(xiàng)為-1，即，所求事件的概率為二、有序與無(wú)序不分致錯(cuò)例3甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同

25、的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙依次各抽一題。求：（1）甲抽到選擇題，乙提到判斷題的概率是多少？（2）甲、乙兩人中至少有1人抽到選擇題的概率是多少？錯(cuò)誤解法：（1）甲從選擇題抽到一題的結(jié)果為乙從判斷題中抽到一題的結(jié)果為而甲、乙依次抽到一題的結(jié)果為所求概率為：錯(cuò)因分析：甲、乙依次從10個(gè)題目各抽一題的結(jié)果，應(yīng)當(dāng)是先選后排，所以應(yīng)為。為避免錯(cuò)誤，對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題目的結(jié)果應(yīng)為種，乙再抽取余下的9道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為種，所以正確解答：（2）錯(cuò)誤解法：從對(duì)立事件考慮，甲、乙都抽到判斷題的結(jié)果為種，所以都抽到判斷題的概率為，所求事件的概率為錯(cuò)因分析：指定事件中指明甲、

26、乙依次各抽一題，那么甲、乙都提到判斷題的結(jié)果應(yīng)為種，所以所求事件概率應(yīng)為說(shuō)明：對(duì)于第（2）問(wèn)，我們也可以用這樣解答：，這里啟示我們，當(dāng)基本事件是有序的，則指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；當(dāng)基本事件是無(wú)序的，則指定事件也必?zé)o序。關(guān)鍵在于基本事件認(rèn)識(shí)角度必須準(zhǔn)確。例4已知8支球隊(duì)中有3支弱隊(duì)，以抽簽方式將這8支球隊(duì)分為A、B兩組，每組4支，求：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率。錯(cuò)解：將8支球隊(duì)均分為A、B兩組，共有種方法：A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從3支弱隊(duì)取2支弱隊(duì)，又從5支強(qiáng)隊(duì)取2支強(qiáng)隊(duì)，組成這一組共有種方法，其它球隊(duì)分在另一組，只有一種分法。所求事件的概率為

27、：。錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看，分組是講求順序的，那么指定事件：“A、B組中有一組有2支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形。即“A組有”或“B組有”，所以正確解答為：正解：或說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立事件求解：3支弱隊(duì)分法同一組共有：種結(jié)果。所求事件概率為三、分步與分類不清致錯(cuò)例5某人有5把不同的鑰匙，逐把地試開某房門鎖，試問(wèn)他恰在第3次打開房門的概率？錯(cuò)誤解法：由于此人第一次開房門的概率為，若第一次未開，第2次能打開房門的概率應(yīng)為；所以此人第3次打開房門的概率為。錯(cuò)因分析：此人第3次打開房門實(shí)際是第1次未打開，第2次未打開，第3次打開“這三個(gè)事件的積事件” ，或者理解為“開房門是經(jīng)過(guò)未開、未開、開”這三

28、個(gè)步驟，不能理解為此事件只有“開房門”這一個(gè)步驟，所以，正確解答應(yīng)為：正解：第1次未打開房門的概率為；第2次未開房門的概率為；第3次打開房門的概率為，所求概率為：。例5某種射擊比賽的規(guī)則是：開始時(shí)在距目標(biāo)100m處射擊，若命中記3分，同時(shí)停止射擊。若第一次未命中，進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)已在150m遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止射擊；若第2次仍未命中，還可以進(jìn)行第3次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在200m遠(yuǎn)處。若第3次命中則記1分，同時(shí)停止射擊，若前3次都未命中，則記0分。已知身手甲在100m處擊中目標(biāo)的概率為，他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的。求：射手甲得k分的概率為Pk，求

29、P3，P2，P1，P0的值。：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率P與目標(biāo)距離之間的關(guān)系為，由已知 錯(cuò)誤解法：錯(cuò)因分析：求P2時(shí)，將第150m處射擊命中目標(biāo)的概率作為第2次命中目標(biāo)的概率，隔離了第1次射擊與第2次射擊的關(guān)系，實(shí)際上，第2次射擊行為的發(fā)生是在第1次未擊中的前提下才作出的。P2應(yīng)為“第1次未擊中，第2次擊中”這兩個(gè)事件的積事件的概率。求P1時(shí)也如此。正解：四、考慮不周致錯(cuò)例6某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：78910P0.20.20.20.2現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)記為，求：的分布列。錯(cuò)誤解法：的取值為8，9，10。=7，兩次環(huán)數(shù)為7,7；=8，兩次成績(jī)

30、為7，8或8，8；=9，兩次成績(jī)7，9或8，9或9，9；=10，兩次隊(duì)數(shù)為7，10或8，10或9，10或10，10。（分布列略）錯(cuò)因分析：，即兩次成績(jī)應(yīng)為7，8或8，7或8，8實(shí)際為三種情形，兩次環(huán)數(shù)分別為7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 同理例7將n個(gè)球等可能地放入到N（n×n）個(gè)有編號(hào)的盒子中（盒子中容納球的個(gè)數(shù)不限）。求A：某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率。錯(cuò)誤解法：將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)盒子中，共有Nn種方法。而指定的n個(gè)盆中各有一球的放法有：n!種，則所求概率：錯(cuò)因分析：這種解法不全面，如果球是有編號(hào)的，則答案是對(duì)的。若球是不可辨認(rèn)的，則答案錯(cuò)了，若球是不

31、可辨認(rèn)的，則若考慮盒子中球的個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球，為此，我們用“”表示一個(gè)盒子；用“”表示一個(gè)球，先將盒子按編號(hào)12345n把n個(gè)球放入N中盒子中，形如：101001110001，正好看作N+1個(gè)“1”和n個(gè)“0”的全排列。由于兩邊必為“1”所以排法只有種；而指定的n個(gè)盒子中恰有一球的放法只有1種，故五、混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯(cuò)例8甲投籃命中概率為0.8，乙投籃命中概率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？錯(cuò)解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好投中2次為A+B。所以P（A+B）=P（A）+P（B）=。錯(cuò)因分析：本題解答錯(cuò)誤的原因是把相

32、互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮。將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中2次”與“乙恰好投中2次”的和。正解：設(shè)“甲恰好投中2次”為事件A，“乙恰好投中2次”為事件B，則兩人恰好都投中2次為AB。所以P（AB）=P（A）×P（B）=六.混淆有放回與不放回致錯(cuò)例9某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取1只測(cè)試，取后不放回，求：（1）恰好到第5次3只次品全部被測(cè)出的概率；（2）恰好到第k次3只次品全部被測(cè)出的概率的最大值和最小值。錯(cuò)解：（1）P（A）=（2）。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解（1）的錯(cuò)誤的原因在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解（2）的錯(cuò)誤的原因則在于忽視了“不放回

33、摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個(gè)）。正解：（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。一、選擇題2(福建理5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)牙的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是 A.B. C. D. 解：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，3（福建文5)某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是 A. B. C. D.解：這是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，服從二項(xiàng)分布，一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生373男生3773704（廣東理3）某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表1已知在全校 學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（ C ）A24B18C16D12解：依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為6（江西理11文11）電子鐘一天顯示的時(shí)間是從0